On verra ensuite le concept de fonction de transfert, et comment on peut s en servir pour l analyse de circuits.

Chapitre 2 Analyse de circuits La transformée de Laplace a deux caractéristiques qui la rende intéressante pour l analyse de circuits. En premier, elle permet de transformer une série d équations linéaires contenant des dérivées et intégrales en une série d équations polynômial, qui sont plus simples à manipuler. Deuxièmement, les conditions initiales du circuit sont automatiquement prises en considération dans les équations polynômiales. Dans ce chapitre, on commence en premier en montrant comment on peut sauter l étape d écrire l équation du circuit avec les dérivées et intégrales et plutôt écrire directement les équations dans le domaine de Laplace. On verra aussi que toutes les techniques d analyse de circuits, comme les tensions de maille ou l équivalent Thévenin, s appliquent dans le domaine de Laplace. On verra ensuite le concept de fonction de transfert, et comment on peut s en servir pour l analyse de circuits. 2.1 Éléments de circuit dans le domaine de Laplace La méthode utilisée pour transformer les éléments de circuit dans le domaine de Laplace est très simple. On écrit en premier la relation v i de l élément, puis on utilise la transformée de Laplace sur cette équation. Note : les tensions dans le domaine de Laplace ont une unité de volt-seconde, tandis que les courants sont en ampère-seconde. 1

2.1.1 Résistance La loi qui relie la tension au courant pour une résistance est la loi d Ohm : v = Ri (2.1) On applique la transformée de Laplace aux deux côtés de l équation : V = RI (2.2) La relation est la même que dans le domaine du temps. Une résistance de R Ohm dans le domaine du temps est une résistance de R Ohm dans le domaine de Laplace, comme à la figure 2.1. + + R v(t) V R Domaine du temps Domaine de Laplace Fig. 2.1 Résistance dans le domaine de Laplace. Note : On utilise des lettres majuscules pour représenter les variables dans le domaine de Laplace. De plus, on enlève le (s) pour chaque variable, car il est implicite que s est la variable utilisée. 2.1.2 Inductance L équation qui relie la tension au courant d une inductance est : La transformée de Laplace donne : v = L di dt (2.3) V = L(sI i(0 )) = sli LI 0 (2.4) Selon l équation 2.4, la transformée de Laplace d une inductance est une inductance d impédance sl en série avec une source de tension de valeur LI 0, comme à la figure 2.2. On peut aussi transformer la source de tension en une source de courant, en utilisant une équivalence Thévenin-Norton. 2 GELE3132

+ + L v(t) V sl sl I 0 s LI 0 Domaine du temps Domaine de Laplace 2.1.3 Capacitance Fig. 2.2 Inductance dans le domaine de Laplace. Une capacitance initialement chargée aura aussi deux circuits équivalents dans le domaine de Laplace. L équation qui relie la tension au courant est : i = C dv dt On transforme cette équation dans le domaine de Laplace : ou On peut transformer pour isoler la tension : (2.5) I = C(sV v(0 )) (2.6) I = scv CV 0 (2.7) V = ( 1 sc ) I + V 0 s (2.8) Selon l équation 2.8, la transformée de Laplace d une capacitance est une capacitance d impédance 1/sC en série avec une source de tension V 0 /s, comme à la figure 2.3. On peut aussi utiliser un modèle avec une source de courant. 2.2 Analyse de circuits dans le domaine s Avant de commencer l analyse de circuits dans le domaine de Laplace, il faut en premier quelques règles. Premièrement, si aucune énergie n est stockée dans une inductance ou capacitance, la relation entre la tension aux bornes et le courant prend la forme de : V = ZI (2.9) 3 GELE3132

C + v(t) + V 1 sc 1 sc CV 0 V 0 s Domaine du temps Domaine de Laplace Fig. 2.3 Capacitance dans le domaine de Laplace. où Z est l impédance dans le domaine s de l élément. Une résistance a donc une impédance de R, une inductance une impédance de sl, et une capacitance une impédance de 1/sC. Les règles pour combiner des impédances (ou admittances) dans le domaine de Laplace sont les mêmes que celles dans le domaine du temps. Les simplifications série-parallèle et -Y sont applicables. Les lois de Kirchhoff s appliquent dans le domaine de Laplace de la même façon. De plus, toutes les techniques d analyse de circuits (comme les tensions de maille ou l équivalent Thévenin) s appliquent de la même façon. 2.3 Applications On va maintenant utiliser la transformer de Laplace pour déterminer le comportement transitoire de circuits. On fera en premier l analyse de circuits connus comme RC et RLC, pour ensuite faire l analyse de circuits plus complexes. 2.3.1 Circuit RC On analyse en premier un circuit RC. La capacitance est chargée avec une tension initiale de V 0 volts, et on cherche l expression de la tension et du courant dans le domaine du temps. Le circuit RC et son équivalent dans le domaine de Laplace sont montrés à la figure 2.4. Si on fait la somme des tensions dans la boucle, on obtient : On isole pour I, V 0 s = 1 I + RI (2.10) sc I = CV 0 src + 1 = V 0/R s + 1/RC (2.11) 4 GELE3132

t = 0 i 1 sc I v C C R V 0 s R Fig. 2.4 Circuit RC Cette dernière équation est sous la forme d une des transformée de Laplace vue au chapitre précédent. On peut donc donner l expression de i(t) : i = V 0 R e t/rc u(t) (2.12) ce qui est la même expression que celle obtenue avec les équations différentielles. On peut calculer la tension aux bornes de la résistance : v = Ri = V 0 e t/rc u(t) (2.13) On aurait aussi pu calculer V directement en utilisant le circuit équivalent avec une source de courant dans la figure 2.4. 2.3.2 Réponse échelon d un circuit RLC parallèle On analyse maintenant un circuit RLC parallèle. On cherche le courant i L après que la source de courant continue soit appliquée sur les éléments en parallèle, comme à la figure 2.5. L énergie initiale du système est nulle. I dc t = 0 24mA C R i L L 25nF 625Ω 25mH Fig. 2.5 Circuit RLC Il faut transformer le circuit dans le domaine de Laplace. Lorsque l interrupteur sera ouvert, la source de courant I dc sera appliquée aux éléments en parallèle. Ceci produit le 5 GELE3132

même effet qu une entrée échelon : au temps t = 0, le courant passe de 0 à I dc. La transformée de Laplace de la source de courant est donc I dc /s. On obtient donc dans le domaine de Laplace le circuit de la figure 2.6. I dc s 1 sc R I L sl Fig. 2.6 Circuit RLC dans le domaine de Laplace Si on fait la somme des courants dans le noeud supérieur on obtient : On isole V : V = Le courant dans l inductance est V/sL : I L = scv + V R + V sl = I dc s I dc /C s 2 + s(1/rc) + (1/LC) I dc /LC s(s 2 + s(1/rc) + (1/LC)) (2.14) (2.15) (2.16) et si on remplace les valeurs, I L = 384 10 5 s(s 2 + 64000s + 16 10 8 ) (2.17) On peut vérifier si l expression obtenue est correcte en vérifiant la valeur finale de i L. Lorsque t, l inductance devient un court-circuit, et donc tout le courant y circule, soit 24mA. Selon le théorème de la valeur finale, lim si L = s 0 384 105 = 24 ma (2.18) 16 108 ce qui est le bon résultat. On peut donc faire la transformée inverse. En utilisant l expansion en fractions partielles, I L = K 1 s + K 2 s + 32000 j24000 + K 2 s + 32000 + j24000 (2.19) 6 GELE3132

Les coefficients obtenus sont : 384 105 K 1 = 16 10 = 24 8 10 3 (2.20) 384 10 5 K 2 = = 0.02 126.87 ( 32000 + j24000)(j48000) (2.21) On peut maintenant faire la transformée inverse : i L = (24 + 40e 32000t cos(24000t + 126.87 )) u(t) ma (2.22) 2.3.3 Réponse transitoire d un circuit RLC parallèle Un autre exemple d utilisation de la transformée de Laplace pour trouver la réponse transitoire d un circuit est de remplacer la source DC dans le circuit de la figure 2.5 par une source sinusoïdale. La nouvelle source de courant est i g = I m cos ωt (2.23) où I m = 24 ma et ω = 40 000 rad/s. On suppose ici aussi que l énergie initiale du circuit est nulle. La transformée de Laplace de la source de courant est I g = si m s 2 + ω 2 (2.24) La tension aux bornes des éléments en parallèle est : V = (I g /C)s s 2 + s(1/rc) + (1/LC) Si on remplace la valeur de la source de courant, (2.25) et donc on obtient V = I L = V sl = (I m /C)s 2 (s 2 + ω 2 )(s 2 + s(1/rc) + (1/LC)) (I m /LC)s (s 2 + ω 2 )(s 2 + s(1/rc) + (1/LC)) (2.26) (2.27) On substitue les valeurs numériques : I L = 384 10 5 s (s 2 + 16 10 8 )(s 2 + 64000s + 16 10 8 ) (2.28) 7 GELE3132

qu on factorise par la suite : I L = 384 10 5 s (s j40000)(s + j40000)(s + 32000 j24000)(s + 32000 + j24000) (2.29) Dans ce cas-ci, on ne peut pas utiliser le théorème de la valeur finale, puisqu on a deux pôles dont la partie réelle n est pas négative (pôles ±j40000). On utilise l expansion en fractions partielles : I L = K 1 s j40000 + K 1 s + j40000 + K 2 s + 32000 j24000 + K 2 s + 32000 + j24000 Les coefficients sont : K 1 = K 2 = (2.30) (384 10 5 )(j40000) (j80000)(32000 + j16000)(32000 + j64000) = 7.5 10 3 ( 90 ) (2.31) (384 10 5 )( 32000 + j24000) ( 32000 j16000)( 32000 + j64000)(j48000) = 12.5 10 3 (90 ) (2.32) On aurait aussi pu trouver ces coefficients à l aide de Matlab : >> N = [384e5 0]; >> D = conv([1 0 16e8],[1 64000 16e8]); >> [R,P,K] = residue(n,d) R = P = K = -0.0000 + 0.0125i -0.0000-0.0125i 0.0000-0.0075i 0.0000 + 0.0075i 1.0e+004 * -3.2000 + 2.4000i -3.2000-2.4000i -0.0000 + 4.0000i -0.0000-4.0000i [] 8 GELE3132

On voit bien que Matlab obtient les mêmes solutions que celles calculées. Il suffit maintenant de faire la transformée inverse pour obtenir i L : i L = 15 cos(40000t 90 ) + 25e 32000t cos(24000t + 90 ) ma = 15 sin(40000t) 25e 32000t sin(24000t)u(t) ma (2.33) La valeur en régime permanent de i L est 15 sin(40000t) ma, ce qui est la même réponse que celle obtenue par la méthode des phaseurs. 2.3.4 Réponse échelon d un circuit à plusieurs boucles Il est très difficile d analyser des circuits ayant plusieurs mailles en utilisant des équations différentielles. Cependant, on peut le faire très facilement en utilisant la transformée de Laplace. On utilise comme exemple le circuit de la figure 2.7. t = 0 8.4H 10H i 1 i 2 336V 42Ω 48Ω Fig. 2.7 Exemple de circuit à mailles multiples On cherche le courant dans les branches lorsque la source de tension est appliquée soudainement au circuit. L énergie initiale emmagasinée dans le circuit est nulle. Pour commencer, il faut transformer le circuit au domaine de Laplace. La source de tension, puisqu elle est appliquée soudainement, comme un échelon, devient une source de 336/s. Les deux inductances deviennent 8.4s et 10s, respectivement, tandis que les résistances ne changent pas. On peut écrire les équations des courants de maille : 336 s = (42 + 8.4s)I 1 42I 2 (2.34) 0 = 42I 1 + (90 + 10s)I 2 (2.35) 9 GELE3132

C est un système à deux équations, deux inconnues. On résout pour obtenir : 40(s + 9) I 1 = s(s + 2)(s + 12) 168 I 2 = s(s + 2)(s + 12) (2.36) (2.37) On peut faire l expansion en fractions partielles : I 1 = 15 s 14 s + 2 1 s + 12 I 2 = 7 s 8.4 s + 2 + 1.4 s + 12 Il reste à faire la transformée inverse pour obtenir les équations en fonction du temps : (2.38) (2.39) i 1 = 15 14e 2t e 12t u(t) A (2.40) i 2 = 7 8.4e 2t + 1.4e 12t u(t) A (2.41) On peut vérifier les solutions pour voir si elles font du sens. Puisque l énergie initiale du circuit est nulle, les courants i 1 et i 2 doivent être nuls pour t = 0. On obtient bel et bien 0 pour les deux courants à t = 0. À t =, les inductances agissent comme des court-circuits. Les valeurs finales des courants, selon le circuit, sont : 90 i 1 ( ) = 336 = 15 A (42)(48) (2.42) i 2 ( ) = 42 15 = 7 A 90 (2.43) ce qui est la même valeur que celle obtenue avec les équations en fonction du temps. On peut voir le comportement des courants à la figure 2.8. Noter bien que les courants prennent un certain temps à atteindre leur valeur finale, environ 3s dans ce cas-ci. L effet n est pas instantané. 2.3.5 Utilisation de l équivalent Thévenin Soit un autre exemple d utilisation de la transformée de Laplace dans l analyse de circuits. Cette fois, on utilise l équivalent Thévenin pour l analyse du circuit de la figure 2.9. On cherche le courant i C. L énergie emmagasinée initialement dans le circuit est nulle. Le circuit équivalent dans le domaine de Laplace est donné à la figure 2.10. 10 GELE3132

16 14 12 Courant (A) 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 temps (s) Fig. 2.8 Exemple de circuit à mailles multiples : courants 20Ω 60Ω a t = 0 480V 2mH i C 5µF b Fig. 2.9 Exemple d utilisation de l équivalent Thévenin La tension Thévenin entre les bornes a et b est la tension obtenue lorsqu il y a un circuit ouvert entre a et b (comme si on enlève la capacitance). On obtient donc : V T h = 0.002s 20 + 0.002s 480 s = 480 s + 10 4 (2.44) La résistance Thévenin est égale à la résistance de 60Ω en série avec la combinaison parallèle de l inductance et la résistance de 20Ω. Donc : Z T h = 60 + 0.002s(20) 20 + 0.002s = 80(s + 7500) s + 10 4 (2.45) On peut donc simplifier le circuit original à une tension V T h en série avec une résistance 11 GELE3132

20Ω 60Ω a 480 0.002s I C s 2 10 5 s b Fig. 2.10 Exemple d utilisation de l équivalent Thévenin R T h. Le courant I C est donc égal à la tension V T h divisée par l impédance totale du circuit : I C = 480/(s + 10 4 ) [80(s + 7500)/s + 10 4 ] + [(2 10 5 )/s] = 6s (s + 5000) 2 (2.46) On fait l expansion en fraction partielles : I C = 30000 (s + 5000) + 6 2 s + 5000 (2.47) et dans le domaine du temps, i C = 30000te 5000t + 6e 5000t u(t) A (2.48) On peut vérifier si la solution obtenue fait du sens. De l équation 2.48, le courant initial dans la capacitance est i C (0 + ) = 6A. Si on analyse le circuit, lorsque l interrupteur est fermé, aucun courant ne circule dans l inductance, et la tension aux bornes de la capacitance est nulle. Il y a donc un courant initial de 480/80 = 6A, ce qui est la même réponse. La valeur finale du courant dans la capacitance est 0, ce qui fait du sens si on analyse le circuit. À t =, l inductance est un court-circuit, et donc aucun courant circule dans la capacitance. On peut voir la courbe du courant en fonction du temps à la figure 2.11. Remarquer que le courant devient négatif (change de direction) à t = 200µs. Initialement, le condensateur sera chargé, puis il se déchargera au fur et à mesure que l inductance agit comme un court-circuit. 12 GELE3132

6 5 4 courant (A) 3 2 1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps (s) x 10 3 Fig. 2.11 Exemple d utilisation de l équivalent Thévenin : courant 2.4 Fonction de transfert Une fonction de transfert est définit comme étant le rapport dans le domaine de Laplace de la sortie sur l entrée. Dans le cadre de ce cours, on se limite à des circuits où les conditions initiales sont nulles. Si un circuit a plusieurs sources, on trouve la fonction de transfert pour chaque source puis on utilise la superposition pour obtenir la fonction de transfert globale. Par définition, la fonction de transfert est : H(s) = Y (s) X(s) (2.49) où Y (s) est la transformée de Laplace du signal de sortie, et X(s) est la transformée de Laplace du signal d entrée. Noter que la fonction de transfert dépend de ce qui est défini comme la sortie. On prend comme exemple le circuit de la figure 2.12, un circuit RLC série. R sl V g 1 sc Fig. 2.12 Circuit RLC série 13 GELE3132

Si on cherche la fonction de transfert I/V g, on obtient H(s) = I V g = 1 R + sl + 1/sC = sc s 2 LC + src + 1 (2.50) Cependant, si la sortie est la tension aux bornes de la capacitance, on obtient une fonction de transfert différente : H(s) = V c V g = 1/sC R + sl + 1/sC = 1 s 2 LC + src + 1 (2.51) On voit bien que la fonction de transfert dépend de la sortie choisie. 2.4.1 Pôles et zéros de la fonction de transfert Pour un circuit où les composantes sont linéaires, H(s) est toujours une fonction rationnelle de s. Des pôles complexes doivent toujours être en paires et conjugués. Les pôles de H(s) doivent être dans la partie de gauche du plan s pour obtenir une réponse qui est finie (la partie réelle des pôles doit être négative ou zéro). On peut réécrire l équation de la fonction de transfert pour obtenir : Y (s) = H(s)X(s) (2.52) Lorsqu on veut trouver l équation de y(t), on remarquera que les pôles de H(s) sont responsables pour les composantes transitoires de la réponse totale, tandis que les pôles de X(s) sont responsables de la composante en régime permanent de la réponse totale. 2.4.2 Utilisation de H(s) On peut faire deux observations importantes à partir de l équation 2.52. Premièrement, qu arrive-t il à la réponse du circuit si l entrée a un certain délai? Si l entrée est retardée d un certain délai de a secondes, alors L {x(t a)u(t a)} = e as X(s) (2.53) et la réponse est donc : Y (s) = H(s)X(s)e as (2.54) Si on cherche maintenant la réponse en fonction du temps, y(t a)u(t a) = L 1 { H(s)X(s)e as} (2.55) 14 GELE3132

C est-à-dire qu un délai de a secondes de l entrée correspond à un délai de a secondes à la sortie. Deuxièmement, si l entrée est un impulsion (x(t) = δ(t)), on obtient alors : et donc ce qui donne où la sortie est égale à la réponse naturelle du système. X(s) = 1 (2.56) Y (s) = H(s) (2.57) y(t) = h(t) (2.58) La réponse impulsionnelle d un système, h(t), contient assez d information pour calculer la réponse à n importe quelle entrée au circuit. On utilise alors la convolution pour calculer la réponse. 2.5 Convolution La convolution permet de relier la sortie y(t) d un système linéaire à son entrée x(t) et la réponse impulsionnelle h(t). On peut écrire la convolution de deux façons : y(t) = h(λ)x(t λ)dλ = h(t λ)x(t)dλ (2.59) Pourquoi utiliser la convolution? 1. Permet de travailler seulement dans le domaine du temps. Ceci est important si x(t) et h(t) sont seulement connus à travers de données expérimentales. Dans ces cas, la transformée de Laplace est souvent impossible. 2. La convolution introduit les concepts de mémoire et de poids dans l analyse. On verra comment le concept de mémoire peut être utilisé pour prédire quelque peu la réponse d un système. On utilise le plus souvent une représentation simplifiée pour noter la convolution : y(t) = h(t) x(t) = x(t) h(t) (2.60) où le texte se lit la convolution de h(t) avec x(t). La notation h(t) x(t) implique qu on utilise la forme intégrale h(t) x(t) = h(λ)x(t λ)dλ (2.61) 15 GELE3132

tandis que x(t) h(t) implique x(t) h(t) = h(t λ)x(t)dλ (2.62) Pour des circuits pratiques, on peut changer les bornes des intégrales. Pour des circuits réels, h(t) = 0 pour t < 0, puisqu il n y a pas de réponse avant qu on applique une impulsion. On a donc : y(t) = t 0 h(λ)x(t λ)dλ (2.63) 2.5.1 Convolution graphique Une interprétation graphique de la convolution est un outil important pour comprendre l implantation de la convolution comme outil de calcul. On se sert d un exemple pour illustrer. Soit la réponse impulsionnelle de la figure 2.13 a), et l entrée au système, un pulse de largeur finie, de la figure 2.13 b). A B 0 t 1 t 0 t 2 t (a) h(t) (b) x(t) Fig. 2.13 Formes d ondes a) de la réponse impulsionnelle b) de l entrée. On utilise en premier la forme de l équation 2.63. Dans les graphes, on remplace t par λ, la constante d intégration. La forme d onde de x(t) sera modifiée à cause de ceci. Le fait de remplacer λ par λ ne fait que tourner la fonction x(t) autour de l axe vertical. On obtient alors les graphes de la figure 2.14. Il faut maintenant faire l intégrale. L équation 2.63 implique que les deux fonctions sont multipliées ensembles. On accomplit ceci de façon graphique en faisant glisser la fonction x(t λ) de la gauche vers la droite. On multiplie les deux courbes ensembles. L intégrale est alors l aire comprise sous cette nouvelle courbe. Selon la figure 2.15, le graphe de la sortie y(t) sera composée de trois courbes distinctes. 1. La première partie est lorsque x(λ) n a pas encore dépassé le point λ 1. Dans ce cas-là, la superficie sous les deux courbes augmente. 16 GELE3132

CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS (b) x(t λ) Fig. 2.14 Convolution a) de la réponse impulsionnelle et b) de l entrée. (a) h(λ) Fig. 2.15 Convolution graphique 2. La deuxième partie se produit lorsque le point t est dépassé λ 1, mais que le point t λ 2 n a pas encore atteint 0. La superficie sous les deux courbes est alors constante. 3. La troisième partie arrive lorsque le point t λ 2 a dépassé 0. La durée totale de la réponse sera la somme des temps de l entrée et de la réponse impulsionnelle, soit t 1 + t 2. La réponse obtenue est donnée à la figure 2.16. Remarquer que pendant les segments 1 et 3, la courbe est de la forme d une parabole, puisqu il s agit de l intégrale d une pente. y(t) 0 t 1 t 2 t 1 + t 2 t Fig. 2.16 Convolution graphique 17 GELE3132

Exemple 1 Soit le circuit de la figure suivante et l entrée donnée. Calculer la sortie v o, et tracer la réponse pour 0 < t < 15s. 1H + v i 20 (V) v i 1Ω v o t (s) 0 5 10 La première étape est de trouver la réponse impulsionnelle du circuit. L équation de V o est V o = 1 s + 1 V i ou, V o = H(s) = 1 V i s + 1 Lorsque v i est une impulsion δ(t), on a alors que v o = h(t), ce qui donne h(t) = L 1 {H(s)} = e t u(t) en faisant la transformée inverse. La réponse impulsionnelle dans ce cas est donc un exponentiel décroissant. Il faut maintenant appliquer la convolution. Il faudra donc faire une image miroir de l entrée et la faire glisser de gauche à droite sur la réponse impulsionnelle. Ceci donnera trois points importants : 0, 5 et 10s. Pour l intervalle 0 < t < 5s, l équation de l entrée est : v i (t) = 4t Lorsqu on replie l entrée, on obtient comme équation : v i (t λ) = 4(t λ) Pour la convolution, lors de l intervalle 0 < t < 5s, on obtient : v o = t 0 4(t λ)e λ dλ = 4(e t + t 1) 18 GELE3132

Pour le deuxième intervalle, 5 < t < 10s, v o = t 5 20e λ dλ + t 0 t 5 = 4(5 + e t e (t 5) ) (t λ)e λ dλ Pour le troisième intervalle, 10 < t <, v o = t 5 20e λ dλ + t t 10 t 5 = 4(e t e (t 5) + 5e (t 10) ) (t λ)e λ dλ La réponse est tracée (avec Matlab) à la figure suivante. 20 Entrée Réponse 15 tension (V) 10 5 0 0 5 10 15 temps (s) Remarquer que la réponse suit de façon assez près l entrée, mais avec un certain délai. Ce délai est dû à l inductance, une composante qui emmagasine de l énergie. 2.5.2 Propriétés de la convolution Voici quelques propriétés de la convolution : Kx(t) h(t) = x(t) Kh(t) = Ky(t) [x 1 (t) + x 2 (t)] h(t) = y 1 (t) + y 2 (t) 19 GELE3132