QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Tableaux de variations et tableaux de signes Les exercices 1 et se réfèrent au graphique ci-dessous qui représente la fonction f définie sur [ 3 ; 1]. Exercice 1. A f admet comme tableau de variations : B Sur [ 3 ; 0,5], le minimum de f vaut. C f est positive pour tout réel x. D Le maximum de la fonction sur [ 3 ; 1] est 1. Réponses justes : A et B La réponse A est vraie : on a bien f( 3) = 4 ; f( 1,5) = ; f( 0,5) = 3, f(0) = 3 et f(1) =. De plus f est croissante sur [ 1,5 ; 0,5] et sur [0 ; 1] et décroissante sur [ 3 ; 1,5] et sur [ 0,5 ; 0]. La réponse B est vraie : en effet, sur [ 3 ; 0,5], est la plus petite valeur que f prend. La réponse C est fausse car f(0)= 3. La réponse D est fausse car le maximum de f est 4. Page 1 sur 5
Exercice. A L équation f(x) = 0 admet quatre solutions sur [ 3 ; 1]. B Sur [0 ; 1], le maximum de f est atteint pour x =. C f est positive pour tout x [ 1 ; 0,5]. D f admet comme tableau de signes : Réponses justes : A et C La réponse A est vraie : la courbe C f coupe quatre fois l axe des abscisses. La réponse B est fausse car le maximum est atteint pour x = 1 et il vaut. La réponse C est vraie car la courbe C f se situe sur ou au-dessus de l axe des abscisses lorsque x [ 1 ; 0,5]. La réponse D est fausse car, avec la précision permise par le graphique, f est positive sur [ 3 ; 1,9], et non négative sur cet intervalle. Exercice 3. Soit f une fonction définie sur [ 4 ; ] dont le tableau de variations est donné ci-dessous. On précise de plus que f( 0,4) = 0 et f(1) = 0. A L équation f(x) = 0 n admet pas de solution sur [ 4 ; ]. B f admet pour tableau de signes : C f admet 1 comme maximum sur [0 ; ]. D L équation f(x) = admet deux solutions sur [ 4 ; ]. Réponses justes : C et D La réponse A est fausse, car on a f( 0,4) = 0 et f(1) = 0. La réponse B est fausse : Sur [ 4 ; 1], f(x) > 0 car le minimum de f est égal à 1. Sur [ 1 ; 0,4] f est décroissante et f( 0,4) = 0 donc f(x) f( 0,4) c est à dire f(x) 0. Sur [ 0,4 ; 0], f est décroissante et f( 0,4) = 0 donc f(x) f( 0,4) c est à dire f(x) 0. Sur [0 ; 1], f est croissante et f(1) = 0 donc f(x) f(1) c est à dire f(x) 0. Sur [1 ; ], f est croissante et f(1) = 0 donc f(x) f(1) c est à dire f(x) 0. Page sur 5
En résumé : La réponse C est vraie, car sur [0 ; ], 1 est la plus grande valeur prise par f. La réponse D est vraie, sur [ 4 ; 1], f est dérivable, strictement croissante et f(x) [1 ; 5], donc l équation f(x) = admet une unique solution. Sur [ 1 ; 0] f est dérivable, strictement décroissante et f(x) [ 3 ; 5], donc l équation f(x) = admet une unique solution. Sur [0 ; ], le maximum de f est égal à 1 donc l équation f(x) = n a pas de solution. Exercice 4. Soit f une fonction définie sur [ 1 ; 1] dont le tableau de variations est donné ci-dessous. A f(3) f(5). B Si 0 x alors f(0) f(x) f(). C On ne peut pas comparer f(0) et f(4). D On ne peut pas comparer f() et f(9). Réponses justes : A et C La réponse A est vraie car sur [3 ; 6] f est croissante La réponse B est fausse car f est décroissante sur [0 ; ] donc f() f(x) f(0). La réponse C est vraie car on sait simplement que 4 f(0) 10 et que 4 f(4) 7. La réponse D est fausse car f() > 0 (car 4 f() 10) et f(9) < 0 (car 4 f(9) 1), donc f() > f(9) Fonctions polynômes du second degré Exercice 5. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 4x 3. A f admet comme tableau de variations : B f peut s écrire de la façon suivante : f(x) = (x 1) + 3. C f est positive pour tout réel x. D Le maximum de la fonction sur R est 1. Page 3 sur 5
Réponse juste : A La réponse A est vraie car f( x) = ( x 1) 5, donc (1 ; 5) est le sommet de la parabole et puisque a = la fonction est d abord croissante puis décroissante. La réponse B est fausse car ( x 1) + 3= x 4x+ + 3= x 4x+ 5 f( x) La réponse C est fausse car f(1) = 5 < 0. La réponse D est fausse f n admet pas de maximum, elle admet par contre un minimum égal à 5 pour x = 1. Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (x 1) + 3. A La courbe représentative de la fonction f est représentée par la figure suivante : B f peut s écrire de la façon suivante : f(x) = x + x +. C L équation f(x) = 0 n admet aucune solution sur R. Réponse juste : B La réponse A est fausse car la courbe C f passe par le point (1 ; 1) alors que f(1) = 3. La réponse B est vraie car : f( x) = ( x 1) + 3= x + x 1+ 3= x + x+. La réponse C est fausse car f( x) = 0 x + x+ = 0. On trouve : = 1. 1 + 3 + 1 3 Donc : x1 = = = 1+ 3 et x = = = 1 3. Page 4 sur 5
Exercice 7. Soit f la fonction définie sur R dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : A L expression de la fonction f est f(x) = x 6x + 5. B L inéquation f(x) > 5 admet ]0 ; 6[ comme ensemble solution. C f est négative sur ] ; 3]et positive sur [3 ; + [. Réponse juste : A La réponse A est vraie car f s écrit sous la forme f(x) = α(x β) + γ. Or le sommet de la parabole a pour coordonnées (3 ; 4) donc f(x) = α(x 3) 4. De plus, graphiquement, on constate que f(1) = 0 donc α(1 3) 4 = 0 4α= 4 α= 1. Soit finalement f ( x) = ( x 3) 4= x 6x+ 9 4= x 6x+ 5. La réponse B est fausse : l inéquation f(x) > 5 admet ] ; 0[ ]6 ; + [comme ensemble solution car on veut que la courbe C f se situe strictement au dessus de la droite d équation y = 5. La réponse C est fausse : f est négative sur [1 ; 5] et positive sur ] ; 1] [5 ; + [. Page 5 sur 5