TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

Ensimag - 2éme année Mai 2010 TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire AURIAULT 1/48

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Cadre de l Étude Cette étude a été menée sous le tutorat d Hervé Guiol, au sein du laboratoire TIMC-IMAG, équipe TIMB. Cette équipe travaille sur l analyse et la modélisation de systèmes biologiques ou de problèmes médicaux, l analyse mathématique des modèles qui en résultent ainsi que leur simulation. Elle mène aussi une activité en Bioinformatique ayant pour objet l analyse exploratoire de données évolutives multidimensionnelles et le développement d outils logiciels pour la simulation des modèles ou l analyse statistique des données biologiques. Dans leurs analyses les membres de l équipe utilisent des théories qui appartiennent à différentes branches des mathématiques allant des processus stochastiques aux équations d évolution déterministes. J ai pu travailler dans ce laboratoire car certaines de ces méthodes sont très utilisées en Finance. L objectif principal de mon étude était de travailler sur la méthode des arbres binomiaux, une méthode numérique utilisée pour «pricer» des produits dérivés tels que les options américaines. Cette méthode n étant pas au programme du cursus Finance de l Ensimag, l étudier était un un moyen de complémenter ma formation tout en découvrant l univers de la recherche. 3/48

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Table des Matières Introduction I - Le Problème des Options II - Le Modèle de Cox-Ross-Rubinstein : Hypothèses et Notations III - Les trajectoires dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein IV - Options Européennes : Approche historique 1. Le Problème du Pricing a. Le cas le plus simple : L arbre à une période b. L intuition de la récurrence : L arbre à deux périodes c. Généralisation : Arbre à N périodes d. Le passage au continu : N tend vers l infini 2. Le Problème de la couverture 3. Implémentation - Résultats Numériques V - Le point de vue risque neutre : Introductions des notions. VI - Options Américaines 1. Calcul du prix par récurrence rétrograde 2. Cas particulier du Call Américain 3. Le Put Américain : Théorème d'arrêt Optimal 4. Stratégie de Couverture avec Consommation 5. Implémentation et Résultats Numériques VII - Techniques d amélioration de la convergence Conclusion Bibliographie 5/48

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Introduction Dans les années 70, la volonté politique de déréglementer les marchés financiers a rendu les taux d intérêt très volatiles et les taux de change instables. Dans cet environnement dérégulé, les entreprises industrielles et commerciales ont soudainement été soumises à des risques accrus. Pour les aider et plus généralement pour permettre aux compagnies d assurance et aux banques de couvrir ces nouveaux risques, ont été créés des marchés organisés, les autorisant à intervenir massivement pour échanger des produits les assurant contre les variations de taux de change par exemple. C est la naissance de nouveaux instruments financiers, dits produits dérivés. Les options d achat et de vente sont les prototypes de ces produits financiers. On distingue les options européennes ne pouvant être exercées qu à l échéance du contrat et les options américaines qui peuvent être exercées à n importe quel instant. Ces options sont dites vanilles, car ce sont les premières apparues, les plus répandues et les plus simples. Ces produits financiers ont un coût que l on appelle la prime. La détermination de cette prime représente un axe principal de la recherche en mathématiques financières. Pour les options européennes : Les travaux de F. Black et M. Scholes ont ouvert la porte à la détermination de formules exactes des prix. Pour les options américaines : les formules exactes ne sont pas encore déterminées et on a recours à des méthodes numériques. Ces dernières sont multiples et leur efficacité en terme de vitesse convergence et de précision varie en fonction du type de l option considérée. On peut citer les 3 méthodes suivantes qui sont les plus utilisées : - La méthode de Monte-Carlo qui consiste à générer de nombreuses trajectoires possibles de l actif sous-jacent, à calculer les valeurs terminales du produit dérivé pour chaque trajectoire, à prendre leur moyenne et à l actualiser. - La méthode des différences finies : qui consiste à discrétiser l EDP vérifiée par le produit financier considéré de manière à la résoudre comme un algorithme. - La méthode des Arbres Binomiaux que nous allons étudier dans ce rapport. La méthode binomiale, présente de nombreux avantages. L'interprétation financière de cette méthode est naturelle, elle est mathématiquement simple et les résultats obtenus lorsque l on applique cette méthode à des options européennes convergent vers ceux donnés par le modèle de Black-Scholes. Elle est en particulier très utile pour valoriser des produits pouvant être exercés avant échéance. 7/48

I - Le problème des Options Une option est une assurance qui donne à son détenteur le droit et non l obligation d acheter ou de vendre une certaine quantité d un actif financier à une date convenue et à un prix fixé à l avance. L'univers des options financières comprend un vocabulaire spécifique, et de nombreux anglicismes. Ces derniers sont indiqués car leur usage est plus fréquent que leurs traductions en français : - La nature de l option : On parle de Call pour une option d achat et de Put pour une option de vente. - L actif sous-jacent (the underlying) sur lequel porte l option : Ce peut être une action, une obligation, une devise, un indice boursier, une matière première - Le montant : La quantité d actif sous-jacent à acheter ou vendre. Pour simplifier on supposera ici que le montant de l option est 1. - L échéance (maturity) qui limite la durée de vie de l option. On distingue : Les Options Européennes : Options ne pouvant être exercée qu à l échéance ; Les Options Américaines : Options pouvant être exercée à n importe quel instant précédent l échéance. - Le prix d exercice (strike) : Prix (fixé d avance) auquel se fait la transaction en cas d exercice de l option. L option, elle-même, a un prix que l on appelle la prime. Lorsque l option est cotée sur un marché organisé, la prime est donnée par le marché. En l absence de cotation, le problème du calcul de la prime se pose. Et même pour une action cotée, il peut être intéressant de disposer d une formule ou d un modèle permettant de détecter d éventuelles anomalies de marché. La prime à l échéance : Il est facile de déterminer la prime à l échéance. Prenons par exemple le cas d un Call européen d échéance T sur une action dont le cours à la date t est donné par S t. Soit K le prix d exercice. Deux cas sont possibles en T : - ST < K : Alors le détenteur de l option n a pas intérêt à exercer. Le profit réalisé par le détenteur de l option est nul. - ST > K : Alors le détenteur de l option va exercer son droit d achat au prix K et réalisera un profit égal à (ST - K). 8/48

À l échéance la valeur du Call est donc donnée par : (S T K) + = max(s T K,0) Les deux problématiques liées aux options : On sait donc déterminer la valeur de l option à l échéance en fonction du cours de l action à l échéance. Or, Au moment de la vente de l option le cours ST est inconnu et deux questions se posent : 1. Le Problème du Pricing : Quel est le juste prix de l option? Autrement dit comment évaluer à l instant t=0 une richesse (ST date T? - K)+ disponible à la 2. Le Problème de la Couverture : Comment le vendeur d un Call, qui touche la prime à l instant 0, parviendra t-il à produire la richesse (ST - K)+ à la date T. 9/48

II - Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein : Hypothèses et Notations Le marché financier que nous considérons est un marché financier idéaliste. On fait les hypothèses économiques suivantes : - Le marché est sans friction : Il n y a pas de coûts de transaction ; Il n y a pas d écart entre prix d achat et prix de vente (pas de fourchette bid-ask) ; Les titres négociables sont très liquides et indéfiniment fractionnables ; Il n y pas de restriction sur les ventes à découvert ; Il n y a pas d impôts ou taxes ; Les transactions sont instantanées ; Les participants du marché n influencent pas les prix par leurs achats et ventes ; L hypothèse de marché parfait est une hypothèse théorique, évidemment non satisfaite dans la pratique et qu il convient de considérer comme satisfaite en première approximation. Les modèles mathématiques plus élaborés que le modèle CRR cherchent parfois à s en affranchir. Mais il faut reconnaître que, pour l essentiel, on ne sait pas le faire aujourd hui de façon satisfaisante et qu il reste beaucoup à améliorer dans cette direction. - Il y Absence d Opportunité d Arbitrage (AOA) : On ne peut pas faire de profit sans prendre de risque. Autrement dit, il est impossible de gagner de l argent de façon certaine à partir d un investissement initial nul. C est l hypothèse la plus importante. - Les investisseurs sont insatiables. - On se place en temps discret. L intervalle [0,T] est découpé en N intervalles de longueur T N. - On suppose qu il n y a qu un seul actif à risque. On note Sn son prix à l instant n. On suppose que cet actif ne verse pas de dividendes. En fait, il existe des modèles analogues au modèle CRR qui autorisent la prise en compte de dividendes. - Il n y a qu un seul actif sans risque de rendement certain r sur une période. On note Rn son prix à l instant n. On a : Rn = (1+r) n 10/48

Les modèles plus élaborés font parfois l hypothèse d un taux d escompte r stochastique et on peut alors, moyennant le choix d un modèle mathématique pour la dynamique des taux, intégrer dans la probabilité de calcul, et donc dans l évaluation des prix d option par la formule fondamentale, la présence de taux variables. J. Cox, S. Ross, et M. Rubinstein ont proposé en 1979 de modéliser l évolution du prix d un actif risqué de la façon suivante : Entre deux périodes consécutives, la variation relative du cours est soit a, soit b avec 0<b<a<1 S n+1 = (1+ a)s n (1+ b)s n avec une probabilité p avec une probabilité (1-p) Revenons sur l hypothèse d Absence d Opportunités d Arbitrage et développons les conséquences qu elle a sur le modèle : L hypothèse d AOA permet de justifier les inégalités suivantes : b < r < a En effet comme r est le rendement de l actif non risqué durant un pas de temps, et comme b et a sont les deux rendements possibles de l actif risqué sur le même laps de temps, si l on avait b < a < r par exemple, on aurait une opportunité d arbitrage : Constitution du portefeuille n Dénouement n+1 Vente dʼun titre risqué à découvert S n Achat dʼun titre risqué - S n (1+a) ou - S n (1+b) Placement de S n -S n Fin du prêt S n (1+r) Total Portefeuille 0 Total Portefeuille S n (r-a) ou S n (r-b) On raisonnerait de façon analogue dans le cas r <b < a. 11/48

C est aussi un raisonnement d AOA qui entraîne l unicité du prix de l option. En admettant que l on ai une méthode qui nous donne le prix de l option en 0 : C 0. Pourquoi n y aurait-il pas une autre façon de s y prendre qui conduirait à un prix différent, disons un prix moindre par exemple que l on note ici C? En réalité ce n est pas possible car si tel était le cas, on emprunterait une somme C permettant d acheter l option au prix moindre et on vendrait l option C 0. On réaliserait ainsi une opération d arbitrage. Enfin une importante conséquence de l AOA est la relation de parité Call-Put pour les options européennes : Considérons un Call Ct et un put Pt souscrits sur le même actif sous-jacent St, de même date d échéance N et même prix d exercice K. On a la relation de parité Call-Put suivante : C n P n = S n K ( 1+ r) N n Remarque : Lorsque l actif sous-jacent verse des dividendes au taux q la relation de parité Call-Put pour les options européennes devient : C n P n = S n (1+ q) N n K ( 1+ r) N n 12/48

III - Les trajectoires dans le modèle de CRR Dans cette partie, nous nous intéressons à l impact des hypothèses faites dans le modèle de Cox Ross Rubinstein sur les trajectoires de l actif sous-jacent. La marche de CRR S n est définie par sa valeur initiale S 0 et la relation : S n+1 = US n où U { up,down} ( ln(s n )) n définit donc une marche aléatoire. Autrement dit, la marche de CRR est une marche aléatoire géométrique. On pressent dors et déjà le lien pouvant être fait entre le modèle de CRR et le modèle de Black-Scholes. En effet dans le modèle de Black-Scholes, l évolution du cours de l actif sous-jacent est modélisée par les trajectoires d un mouvement brownien géométrique. Or, le mouvement brownien géométrique peut être vu comme la limite continue d une marche aléatoire géométrique (Se reporter à [4] pages 25-27 pour plus de détails). Nous reviendrons sur le lien existant entre ces deux modèles ultérieurement. On choisit ici : up = e σ N down = e σ N Avec ce choix, ( ln(s n )) n est une marche aléatoire sur σ N Ces relations seront justifiées plus loin. σ est une constante strictement positive appelée volatilité de l actif et N est le nombre d étapes. On note p la probabilité que l actif subisse un mouvement «upward». 13/48

Dans un premier temps on s intéresse à l allure générale de l arbre de CRR : On prend S 0 = 140, N=30, σ = 0.2 et p=1/2. On obtient l'arbre suivant : Figure 1 On voit que le prix de l actif sous-jacent prend des valeurs entre comprises 46.8 et 418.7 euros. Voyons maitenant l impact d une augmentation de la volatilité sur les évolutions des cours de l actif sous-jacent : Pour σ = 0.4 on obtient : Figure 2 La volatilité passe de 20% à 40%. On observe que le prix de l actif sous-jacent prend des valeurs comprises entre 15.6 et 1252. On constate à partir de ces arbres que plus la volatilité de l actif est grande plus la variance de la loi de l actif sous-jacent est grande. 14/48

On souhaite à présent simuler un nombre M de trajectoires et en déduire des informations sur la loi de la Marche de Cox-Ross-Rubinstein : Pour S 0 = 140, N=500, M=100, σ = 0.2 et p=0.5 on obtient : Figure 3 Figure 4 Pour σ = 0.4 on obtient : Figure 5 15/48

Figure 6 Ces tests viennent confirmer que plus la volatilité est grande plus la variance de la loi du sous-jacent est grande. En effet on voit clairement sur les histogrammes que pour une volatilité de 20% le prix prend des valeurs comprises entre 60 et 260 alors que pour une volatilité de 40% le prix prend des valeurs comprises entre 20 et 500. Les histogrammes ont la forme d une cloche asymétrique qui rappelle l allure d une loi lognormale. Montrons que le prix l actif sous-jacent suit asymptotiquement une loi log-normale : On a S n+1 = US n. Posons : S n = exp( Y n ) où Y n = Y n + ln( U ) ; ln( U ) σ N ; σ Y n est une marche aléatoire. N Posons maintenant : Z n = N σ Y n + n. On a : Z n B 2n, p ( ) Pour simplifier posons p=0.5 Le théorème central limite entraîne que Z n N n, n 2 lorsque n est grand. D où quand n tend vers l infini : Y n N 0, σ 2 n 2N Donc S n est de loi log normale pour n grand. 16/48

IV - Options Européennes - Approche Historique Dans toute cette section on montrera les résultats pour un Call Européen sur Action. La généralisation à un Put étant immédiate grâce à la relation de parité Call-Put On considère donc dans toute cette section un Call de strike K. On se place sous les hypothèses du modèle de Cox-Ross-Rubinstein. On discrétise l intervalle [0,T] en N intervalles de même largeur. Les paramètres a b et p sont des données du problème. 1. Le Problème du Pricing On cherche à répondre au premier problème lié aux options : Quel est le juste prix de l option? a - Le cas le plus simple : Arbre binomial à une période On prend ici N=1. On note : S 0 le cours de l actif sous-jacent en 0 C 0 le prix du call en 0. C a le prix du call en 1 si l actif sous-jacent a subis une hausse. C b le prix du call en 1 si l actif sous-jacent a subi une baisse. R 0 un montant en cash et r le taux sans risque sur une période. L évolution du cours de l actif sous-jacent, du prix de l option et du cash peut être résumée dans le schéma suivant : (1+ a)s 0 (1+ r)r 0 S 0 C a R 0 C 0 (1+ b)s 0 Figure 7 (1+ r)r 0 C b On a vu dans la première partie de ce rapport qu à l échéance 1 la valeur du Call est donnée par S 1 K ( ) +. On connaît donc les valeurs Ca et Cb. On cherche la valeur de C0. 17/48

C est l hypothèse d absence d opportunité d arbitrage qui va nous permettre d obtenir cette valeur. Considérons qu en t=0 on achète une option et que l on vende à découvert d actifs sousjacents. Le prix du portefeuille évolue de la manière suivante : d(1+ a)s 0! C a ds 0! C 0 Figure 8 d(1 + b)s 0! C b Ce portefeuille est sans risque si : d(1+ a)s 0 C a = d(1+ b)s 0 C b Ce qui entraîne : d = C a C b S 0 (a b) Le portefeuille est sans risque il devrait donc être soumis au taux sans risque (AOA) et on devrait donc avoir la relation suivante : D où en remplaçant d par sa valeur dans le terme de droite : ds 0 C 0 = 1 1+ r C (1+ b) C a b (1+ a) a b V 0 = ds 0 C 0 = 1 1+ r V = 1 1 ( 1+ r d(1+ a)s C 0 a ) On remplace d par sa valeur dans le terme de gauche : C a C b a b C = 1 0 1+ r C (1+ b) C a b (1+ a) a b On obtient enfin : C 0 = 1 1+ r r b a b C + a r a a b C b 18/48

On a donc réussi à «pricer» un Call Européen. Les points suivants sont remarquables : - Le prix du Call en 0 ne dépend pas de la probabilité p qu a le sous-jacent de prendre de la valeur sur une période. Donc même si les investisseurs ont une analyse différente de l évolution du cours (pas la même probabilité p) cela naura pas d impact sur le prix du call en 0. - Aucune hypothèse n a été faite sur l attitude face au risque des investisseurs. - Enfin on pose : q = r b a b Si les investisseurs étaient «risque-neutres», c est à dire si les investisseurs n exigent aucune compensation pour le risque, on aurait la relation suivante : E(S 1 ) = p(1+ a)s 0 + (1 p)(1+ b)s 0 = (1+ r)s 0 ce qui entraîne p=q. On peut donc interpréter le prix du Call en 0 comme l espérance de ses valeurs futures dans un univers où les investisseurs sont risque-neutres. b -Intuition de la Récurrence : Arbre Binomial à Deux Périodes. On prend maintenant N=2. En conservant les même notations que pour le cas N=1 on peut résumer l évolution entre 0 et T du prix de l actif sous-jacent, du prix de l option et d un montant de cash dans le schéma ci-dessous : (1+ a)(1+ a)s 0 (1+ r) 2 R 0 (1 + a)s 0 C aa (1 + r)r 0 S 0 C a (1+ a)(1+ b)s 0 R 0 C 0 (1 + b)s 0 (1 + r)r 0 C b (1+ r) 2 R 0 C ab (1+ b)(1+ b)s 0 Figure 9 (1+ r) 2 R 0 C bb 19/48

D après le paragraphe précédent, on a : C a = 1 1+ r (q C a,a + (1 q) C a,b ) C b = 1 1+ r (q C b,a + (1 q) C b,b ) et C 0 = 1 1+ r r b a b C + a r a a b C b = 1 1+ r qc + (1 q)c a b ( ) D où en remplaçant : C 0 = 1 ( q 2 C (1 + r) 2 a,a + 2q(1 q) C a,b + (1 q) 2 C b,b ) c Généralisation à un arbre à N périodes. Par récurrence en remontant l arbre des feuilles vers la racine on obtient la formule générale suivante : 1 N N! C 0 = (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j max ((1+ a) j (1+ b) N j S 0 K,0) j =0 Essayons de simplifier cette formule. On note m le nombre minimum de fois où l actif sous-jacent doit prendre de la valeur pour que le prix de l option à l échéance soit non nul. 70.70 Par exemple pour N=3 : 62.99 si K = 50 alors m = 2 50 56.12 50 56.13 si K = 57 alors m = 3 45.55 44.55 39.69 Figure 10 35.36 20/48

1 N N! La formule C 0 = (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j max ((1+ a) j (1+ b) N j S 0 K,0) devient : On peut la réécrire sous la forme suivante : N N! C 0 = S 0 j!(n j)! j = m j =0 1 N N! C 0 = (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j j = m q(1+ a) (1+ r) j (1 q)(1+ b) (1+ r) N j ((1+ a) j (1+ b) N j S 0 K ) K N N! (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j j = m On note φ la fonction : φ(m, N,q) = N j = m N! j!(n j)! q j (1 q) N j La formule s écrit alors : q(1 + a) C 0 = S 0 φ m, N, (1+ r) K φ m, N,q N (1 + r) ( ) Où q = r b a b [0,1] et m est le plus petit entier tel que (1+ a) m (1+ b) N m > K C est à dire, m est le plus petit entier tel que K ln S m > 0 (1+ b) N ln 1+ a 1+ b On a donc réussi à «pricer» un Call Européen à l aide d un simple raisonnement de récurrence sur le nombre de périodes. 21/48

A ce stade du rapport plusieurs objections peuvent être soulevées : Dans ce modèle le cours de l action ne peut prendre que deux valeurs différentes pendant une période de temps. Or, sur les marchés financiers le cours de l action évolue moins régulièrement. De plus, on considère ici que l achat ou la vente ne peut avoir lieu qu à un moment donné (par exemple une fois par jour) alors que dans la réalité achats et ventes se font en continu sur les marchés. Faire tendre N vers l infini, en modifiant les échelles, est le moyen de répondre à ces objections. C est ce que nous ferons dans le paragraphe suivant. d - Lorsque N tend vers l infini : Le passage au continu. Pour simplifier les notations dans cette section on notera r ce qui était noté 1+r dans les sections précédentes, a ce qui était noté 1+a et b ce qui était noté 1+b. Pour répondre aux objections levées dans le paragraphe précédent on veut faire tendre N vers l infini dans la formule obtenue. Pour ce faire nous devons faire quelques ajustements pour que la probabilité que le cours de l action bouge d un montant important sur une période très petite soit faible. C est à dire qu il faut ajuster les variables r, p, a et b de manière à ce que les résultats obtenus en faisant tendre N vers l infini soient réalistes. On s intéresse dans ce paragraphe à un Call Européen d échéance T > 0 (réel). On note h le temps écoulé entre 2 changement du cours de l action : h = T N. Où N désigne le nombre de périodes avec lequel on découpe l intervalle [0,T] On commence par introduire les notations suivantes : R représente 1 plus le taux d intérêt instantané entre les instants 0 et T. r désigne 1 plus le taux d intérêt sur une période. Il est clair que r dépend de N et qu on a la relation suivante : r N = R T ln(r)t N D où : r = e RT N Si R = 1+ R avec R petit on a : r = e 22/48

Nous avons aussi besoin de définir p, a et b. Notons J la variable aléatoire représentant le nombre de fois où le cours de l action a monté dans l arbre. On a : ln S N = ln aj b N J S 0 ( ) = J ln a b + N ln b ( ) D où : E ln S N S 0 = ln a b E J Var ln S N S 0 = ln a b [ ] + N ln( b) 2 Var J [ ] Par définition on a E[ J ] = Np et Var[ J ] = Np(1 p) On obtient alors : E ln S N S 0 = pln a b + ln( b) N = µn Var ln S N S 0 = p(1 p)ln a 2 b N = σ 2 N Si on veut maintenant faire tendre N vers l infini au doit faire face au problème suivant : Trouver a, b et p tels que les deux valeurs ci dessus ne tendent ni vers 0 ni vers l infini quand N tend vers l infini. Autrement dit on veut choisir a, b et p tels que : pln a b + ln( b) N µt N + p(1 p)ln a 2 b N N + σ 2 T Ces relations sont vérifiées pour : a = e σ T N b = e σ T N p = 1 2 + 1 µ 2 σ T N 23/48

On peut maintenant étudier le comportement asymptotique de φ( m, N, q) la méthode étant identique pour le terme φ m, N, q(1+ a) (1+ r). On note (X 1,..., X N ) un échantillon de N variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Bernoulli de paramètre q. φ( m, N,q) = N N N! j!(n j)! q j (1 q) N j = P( X i m) j = m i=1 On a donc : φ m, N,q ( ) = P( X i m N i=1 ) = P N i=1 X i Nq Nq(1 q) m Nq Nq(1 q) avec N i=1 X i Nq Nq(1 q) N(0,1) L N + (Théorème central limite) Déterminons la limite de m Nq Nq(1 q) quand N tend vers l infini. Par définition on a : m = inf { j { 0...N},a j b N j > K} On a donc : a m b N m > K a m 1 b N m+1 < K Avec : a = e σ b = e σ T N T N On en déduit : m N 2 + m < N 2 + N T N T ln(k) 2σ ln(k) 2σ + 1 D où : m = N 2 + N T ln(k) 2σ + o( N ) 24/48

RT De plus comme q = e N b a b on obtient par un développement limité que : q = RT N + σ T N σ 2 T N + o 1 N 2σ T N + o 1N q = R 2σ T N + 1 2 σ 2 T N + o 1N On en déduit que : m Nq = NT 2σ ln(k) T R + σ NT 2 + o( N ) et Nq(1 q) = N 2 D où : 1+ o 1 N ln(k) m Nq T R T N + Nq(1 q) σ + σ T = ξ + σ T ( ) N + φ m, N,q F(ξ σ T ) où F est la fonction de répartition d une loi normale centrée réduite. On montre de la même manière que φ m, N, qa r F(ξ) N + Conclusion : Dans le modèle de Cox Ross Rubinstein à N périodes le prix du Call Européen à l instant 0 converge vers la limite C 0 = S 0 F(ξ) K e RT F(ξ σ T ) On reconnaît la formule obtenue dans le modèle de Black-Scholes. On remarque que cette formule dépend uniquement de la volatilité. Ce résultat souligne l intérêt du modèle de Cox-Ross-Rubinstein comme approximation du modèle en temps continue de Black-Scholes. En effet, les calculs dans CRR peuvent s effectuer de manière purement algorithmique. 25/48

2. Le problème de la Couverture Avant de se pencher sur le problème de la couverture on doit introduire quelques notions : Stratégie de gestion : Processus aléatoire φ = φ 0 1 ( n,φ n ) 0 n N à valeurs dans 2 donnant à chaque instant n les quantités : - φ n 0 quantité d actif sans risque dans le portefeuille ; - φ n 1 quantité d actif risqué dans le portefeuille. Le portefeuille à la date n est constitué au vu des informations disponibles à la date n-1 et conservé tel quel au moment des cotations à la date n. Valeur du portefeuille : V n ( φ) = φ 0 n (1+ r) n R 0 + φ 1 n S n Stratégie Autofinancée : n φ 0 n (1+ r) n R 0 + φ 1 0 n S n = φ n+1 (1+ r) n 1 R 0 + φ n+1 S n Il n y a ni apport ni retrait de fonds. On réinvestit à chaque période la valeur totale du portefeuille et rien de plus. Après avoir vendu un Call Européen à un prix C 0 le vendeur va réinvestir cette somme dans un portefeuille et ajuster ce portefeuille tout au long de la vie de l option en suivant l évolution des cours de manière à ce qu à l échéance son portefeuille vaille exactement C N. Autrement dit le vendeur suit la stratégie autofinancée (on peut montrer qu elle est unique) telle que V 0 = C 0 et V n = C n. Nous cherchons donc ici comment trouver cette stratégie. On a : φ n 0 (1+ r) n R 0 + φ n 1 S n = C n pour tout n. On note : C n = c(n,s n ) 1 n n! avec c(n, x) = (1+ r) n j!(n j)! q j (1 q) n j j = m ((1+ a) j (1+ b) n j x K ) 26/48

On cherche à résoudre le système suivant : φ n 0 (1+ r) n R 0 + φ n 1 (1+ a)s n 1 = c(n,(1+ a)s n 1 ) φ n 0 (1+ r) n R 0 + φ n 1 (1+ b)s n 1 = c(n,(1+ b)s n 1 ) D où : φ n 1 = c(n,(1+ a)s n 1 ) c(n,(1+ b)s n 1 ) S n 1 (a b) La stratégie de couverture à suivre par le vendeur de l option est donc la suivante : En 0 : Initialisation 1. On vend l option à l acheteur. On reçoit le montant C 0 en cash. 2. On détermine φ 1 1 la quantité d actifs risqués à détenir entre 0 et 1. On les achète. 3. Notre portefeuille est alors constitué de φ 1 1 S 0 euros d actifs risqués et donc de φ 0 1 = V 0 φ 1 1 S 0 = C 0 φ 1 1 S 0 euros en cash car le portefeuille est autofinançant. En n : Récurrence 1. On est en n. Le cours S n vient d être publié. La valeur de notre portefeuille est V n = φ n 1 S n + φ n 0. 1 2. On détermine φ n+1 la quantité d actif risqué à détenir entre n et n+1. On les achète. 1 3. Notre portefeuille est alors constitué de φ n+1 S n 0 φ n+1 1 = V n φ n+1 S n euros en cash car le portefeuille est autofinançant. euros en actif risqué et donc de Un exemple numérique sera développé dans la partie III.3. 27/48

3. Implémentation et Résultats Numériques On veut ici illustrer les résultats théoriques de cette partie à travers des exemples. a- Pricing / Couverture On veut s assurer qu en vendant l option au prix C 0 et en suivant la stratégie de couverture de l option déterminée dans le paragraphe III.2 on obtient bien une erreur de couverture nulle. Pour cela on écrit un programme Scilab qui calcule cette erreur de couverture. On initialise les paramètres du modèle comme suit : On prend : S 0 = 38 ; K=40 ; N = 100 ; T=1/3 années ; σ = 2% Le pas de temps vaut donc D t = T N On définit le taux sans risque annuel : R=log(1+0.05) Et on en déduit le taux sans risque sur une période : 1+ r = e RD t Les paramètres a et b vérifient les relations suivantes : 1+ a = e σ D t 1+ b = e σ D t On réalise 30 fois les opération suivantes : 1. On tire une trajectoire dans l arbre de CRR pour le prix de l actif sous-jacent 2. On calcule le prix du Call en 0 grâce à la formule de récurrence démontrée en III.1 3. On suit la stratégie de couverture développée en III.2 4. On compare la payoff de l option et la valeur finale du portefeuille de couverture On trace les 30 erreurs obtenues. Figure 11 On obtient une erreur de couverture de l ordre de 10 17 soit quasi nulle. On illustre donc bien à travers ce programme le résultat théorique démontré en III.2 28/48

b- Convergence vers le Prix Black-Scholes On a montré que le prix de Cox Ross Rubinstein tend lorsque n tend vers l infini vers le prix de Black Scholes. On veut ici étudier cette convergence. Pour cela on écrit un programme Scilab qui trace le prix de Cox Ross Runbinstein en fonction de N (nombre de pas dans l arbre). On suit le schéma suivant : On commence par initialiser les données au problèmes : T=1; S 0 = 140 ; σ = 40% ; K=130 ; R=5% (taux annuel) Le pas de temps dans le modèle, les coefficients a, b, p et le taux r sur une période sont définis comme des fonctions de N. D N = T N a N = exp(σ D N ) b N = exp( σ D N ) r N = exp(rd N ) p N = r b N N a N b N Pour N allant de 1 à Nmax=250 on calcule le prix du Call en 0. On trace les 150 prix obtenus en fonctions de la valeur de N. Figure 12 29/48

On observe que lorsque N croit les variations semblent s'estomper. A partir de N=150 elles s e m b l e n t r e s t e r d a n s l i n t e r v a l l e [ 3 0, 0 2 5 ; 3 0, 0 7 5 ]. Les oscillations que l on observe sur le graphique ont donc une limite qui se situerait dans l intervalle [30,025 ; 30,075]. Dans le cas d un Call à la monnaie, c est à dire d un Call dont le prix d exercice K vaut S 0, on obtient le graphe suivant : Figure 13 Les valeurs du prix de CRR oscillent autour de la limite en s en rapprochant. Le prix est proche de 25,2 donc moins cher que lorsque K=130. Pour un put on obtient des graphes très similaires. Seule le valeur de la limité change. On trouve une limite environ égale à 13,75 dans le cas où K=130 et 18,4 dans le cas où K=140 (put à la monnaie). Pour s assurer que la limite vers laquelle converge le prix CRR est bien le prix BS on trace sur le graphe obtenu la valeur du prix Black-Scholes. On obtient : Figure 14 On retrouve bien graphiquement la convergence du prix de Cox-Ross-Rubinstein vers le prix Black-Scholes. 30/48