Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours de cette année, vous allez essayer d atteindre, en mathématiques le niveau de fin de première pour un élève de section scientifique. Ce cours est là pour vous aider dans cet objectif. 1. Programme Le travail demandé couvre toute l année universitaire, et n est sanctionné par aucun examen. Vous aurez juste à rendre, si vous le pouvez, les devoirs demandés. Selon votre niveau, il serait bien de réussir à travailler les mathématiques comme un élève de première S, c est-à-dire environ 10 heures par semaine, tout compris. Si vous le pouvez, faites l effort de venir en tutorat, c est vraiment très efficace. Voici les différents chapitres que nous étudierons : Calculs numériques et algébriques. Équations du premier degré. Systèmes d équations. Équations du second degré. Inéquations. Généralités sur les fonctions. Dérivation. Étude de fonctions élémentaires. Repérage dans le plan, droites, vecteurs, produit scalaire. Introduction aux statistiques et aux probabilités. Ce cours est en construction. Vous allez recevoir une version provisoire des chapitres 2 à 8, qui seront remplacés au fur et à mesure, en ligne, par la dernière version retapée et améliorée. Mais cette version provisoire est d excellente qualité, et vous permet néanmoins tout à fait de vous avancer et de travailler.

ii D A E U B Année de remise à niveau 2. Suggestion de méthode pour étudier le cours Surtout, surtout, ne vous contentez pas de lire le cours. Les mathématiques ne se comprennent qu en faisant des exercices. Donc lisez les exemples du cours et faites les exercices! Ne regardez pas les solutions des exercices avant d avoir essayé de les résoudre. Une utilisation intelligente des exercices corrigés consiste à vérifier dans les corrigés si ce qu on a trouvé est correct. Si votre réponse n était pas bonne, essayez de comprendre où est votre erreur, puis repérez cet exercice et essayez d y revenir quelques jours après : l idéal est que la deuxième fois vous y arriviez! Si vous n arrivez pas à comprendre votre erreur, ou si vous avez des questions, n hésitez pas à m interroger lors du prochain devoir, ou à tout moment en m envoyant un courrier électronique, par exemple. 3. Devoirs Il y a un devoir à rédiger à la fin de chaque chapitre. Si vous venez en tutorat, donnez-moi votre devoir lors des séances, sinon envoyez-le au CTU qui me le fera parvenir. N hésitez pas à m envoyer des devoirs incomplets, imparfaits, ou en retard. Ils seront toujours lus, annotés, corrigés, et notés, (mais cette note éventuelle n a pas vraiment d importance). 4. MOODLE. Hélas, il est impossible d utiliser Moodle en DAEU-B. Rendez-vous sur ma page personnelle pour y trouver mon cours. L intérêt d un cours en ligne est d une part de pouvoir consulter une version interactive de mon cours (nombreux liens hypertexte envoyant aux explications, aux références...) et de mes exercices, mais aussi cela vous permet d avoir à votre disposition la dernière version de mon cours, dans lequel j intègre au fur et à mesure les corrections des erreurs que je découvre ou qu on me signale, des indications supplémentaires, des réponses aux questions qu on m a posées... et bien sûr les corrigés des devoirs. 5. Conseils N hésitez pas à me contacter surtout si vous ne pouvez pas venir en tutorat en particulier par courrier électronique pour toute question sur le cours, les devoirs ou les exercices. J apprécie beaucoup quand on me signale les nombreuses erreurs, coquilles et autres fautes d orthographe que certainement ce cours comporte encore, malgré de nombreuses relectures. Adressez vos copies, vos questions ou vos remarques sur le cours au CTU qui me les transmettra ou par courrier électronique : bruno.aebischer@univ-fcomte.fr Dialoguer à travers les devoirs ou par courrier ou par courrier électronique ou par forum vous aidera à vous sentir moins isolés et vous évitera peut-être de perdre pied...

iii Bon courage! Bruno AEBISCHER

iv D A E U B Année de remise à niveau

v Table des matières I Calculs numériques et algébriques 1 I.1 Expressions ne comportant que des additions et soustraction ou que des multiplications et divisions..................................... 1 I.1.1 Calculs sans parenthèses............................. 1 I.1.2 Calculs avec parenthèses............................. 2 I.2 Expressions avec additions (ou soustractions) et multiplications ou avec additions (ou soustractions) et divisions................................ 4 I.3 Fractions, rapports, quotients.............................. 7 I.3.1 Présentation.................................... 7 I.3.2 Égalité de fractions................................ 8 I.3.3 Additions et soustractions de fractions..................... 9 I.3.4 Multiplications de fractions........................... 11 I.3.5 Inverser des fractions............................... 13 I.3.6 Divisions de fractions............................... 13 I.4 Calculs sur des puissances................................ 14 I.4.1 Puissances à exposants positifs......................... 14 I.4.2 Puissances d exposants négatifs......................... 16 I.4.3 Règles de calcul.................................. 17 I.4.4 Quotients de deux puissances d un même nombre............... 18 I.4.5 Puissance d un produit ou d un quotient.................... 18 I.4.6 Puissance d une puissance............................ 19 I.5 Polynômes......................................... 19 I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base.................... 19 I.5.2 Factorisation de polynômes........................... 21 I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre........................ 26 II Équations du premier degré 39 II.1 Introduction........................................ 39 II.1.1 Définition..................................... 39 II.1.2 Vocabulaire.................................... 40 II.2 Règles de transformation des équations......................... 40 II.2.1 Illustration sur un exemple............................ 40 II.2.2 Règle d addition-soustraction.......................... 41 II.2.3 Règle de multiplication-division......................... 41 II.3 Équations du premier degré à une inconnue...................... 41 II.3.1 Définition..................................... 41

vi D A E U B Année de remise à niveau II.3.2 Récapitulation................................... 44 II.4 Équations se ramenant à des équations du premier degré............... 44 II.4.1 Équations produit sans second membre..................... 44 II.4.2 Équations avec des fractions où l inconnue est au dénominateur....... 46 II.5 Problèmes conduisant à la résolution d équations du premier degré.......... 48 II.6 Corrigé des exercices du deuxième chapitre....................... 53 III Résolution de systèmes 61 IV Équations du second degré 63 V Inéquations 65 VI Généralités sur les fonctions. Dérivation 67 VIIÉtude de fonctions élémentaires : polynômes 69 VIIIÉtude de fonctions élémentaires : fractions rationnelles 71

Chapitre I Calculs numériques et algébriques Nous rappellerons dans ce chapitre les principales règles, conventions d écritures et de priorités utilisées dans les calculs usuels. I.1 Expressions ne comportant que des additions et soustraction ou que des multiplications et divisions I.1.1 Calculs sans parenthèses R1 Si, dans un calcul, il faut uniquement additionner ou soustraire, les opérations s effectuent de la gauche vers la droite après avoir changé si besoin l ordre des termes pour faciliter le calcul. Exemple 1 : calculer 24,1 7 + 5,3 30. on peut calculer de gauche à droite : 24,1 7 = 17,1 puis 17,1 + 5,3 = 22,4 puis 22,4 30 = 7,6 (pour faire ce dernier calcul, on peut imaginer un crédit de 22,4 suivi par un débit de 30 : il en résulte un débit de 7,6). on peut changer l ordre avant de calculer : 24,1 7 + 5,3 30 = 24,1 + 5,3 7 30 = 29,4 37 = 7,6. Exemple 2 : réduire x + 7 a 9 + x + 11 + a (dans une telle écriture, la lettre a désigne n importe quel nombre ; il en est de même pour x). En changeant l ordre, on obtient x + x + a a + 11 9 + 7 ; or x + x = 2x. 1 De plus +a a = a a = a + a = 0. L expression donnée est donc égale, finalement, à 2x + 9. R 1 On a une règle analogue lorsqu il faut seulement multiplier ou diviser. Exemple 3 : le calcul de 12 4 3 (qu on écrit aussi 12 4 3 ) s effectue ainsi : 12 4 = 48 puis 48 3 = 16. 1. On préfère 2x plutôt que 2 x ou que 2 x ou que x 2 ; dans le même genre, on préfère écrire xy plutôt que x y ou que x y ; ainsi plutôt que a 3 + b 4 c a, on préfère en général 3a + 4b ac ; par ailleurs, 1 x ou 1x est égal à x. 1

2 D A E U B Année de remise à niveau I.1.2 Calculs avec parenthèses Dans certaines expressions, les calculs sont placés entre parenthèses ; ce sont des «boites à calcul» ( pour lesquelles, par commodité typographique, on ne conserverait que ) les extrémités ; la première parenthèse s appelle parenthèse ouvrante, la seconde parenthèse est la parenthèse fermante associée. Une première méthode de calcul consiste, lorsque cela est possible, à calculer dans chaque «boite» : Exemple 4 : calculer 3 (7 4) + (9 11). Reconstituons les «boites»(en pratique ce n est bien sûr pas nécessaire) : 3 7 4 + 9 11 Calculons maintenant à l intérieur de chaque boite : 7 4 = 3 et 9 11 = 2. Notons que ce dernier résultat 2 doit se mettre aussi entre parenthèses. On obtient 3 3 + ( 2) et finalement on peut conclure : 3 (7 4) + (9 11) = 2. Une seconde méthode consiste à supprimer les parenthèses en respectant les règles énoncées ci- dessous : R2 Lorsqu une parenthèse ouvrante se trouve derrière un signe + : 1 on rétablit, s il est absent, le signe + devant le terme venant immédiatement derrière cette parenthèse ; 2 on supprime la parenthèse ouvrante et le signe qui la précède, ainsi que la parenthèse fermante associée ; on recopie l intérieur des ex-parenthèses. Exemple 5 : soit A l expression 3 + (x 2). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe +. Appliquons cette règle R2 : A = 3 + (+x 2) on rétablit le signe + devant le premier terme à l intérieur des parenthèses. A = 3 + (+x 2) les éléments marqués seront supprimés On termine en recopiant l intérieur des parenthèses : A = 3 + x 2 = 3 2 + x c est-à-dire A = 1 + x. Exemple 6 : soit B = y + ( 2 + y). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe +. Appliquons cette règle R2 : Ici le terme qui suit la parenthèse ouvrante possède un signe explicite ( ) : il n y a donc pas à faire la première étape. B = y + ( 2 + y) les éléments marqués seront supprimés On termine en recopiant l intérieur des parenthèses : B = y 2 + y = y + y 2 c est-à-dire B = 2y 2. R3 Lorsqu une parenthèse ouvrante se trouve derrière un signe : 1) on rétablit, s il est absent, le signe + devant le terme venant immédiatement derrière cette parenthèse ; 2) on supprime la parenthèse ouvrante et le signe qui la précède, ainsi que la parenthèse fermante associée ; on recopie l intérieur des ex-parenthèses en

3 changeant tous les signes + en et les signes en +. Exemple 7 : soit C = 5 (2 3y). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe. Appliquons cette règle R3 : C = 5 (+2 3y) on rétablit le signe + devant le premier terme à C = 5 (+2 3y) l intérieur des parenthèses. les éléments marqués seront supprimés ; les signes à l intérieur de la parenthèses seront changés. On obtient : C = 5 2 + 3y (le signe + qui précédait 2 a été changé en, le signe qui était devant 3y est devenu +) et donc C = 3 + 3y. Exemple 8 : soit D = 7 ( 4 + 6a). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe. Appliquons cette règle R3 ; ici le terme qui suit la parenthèse ouvrante possède un signe explicite ( ) : il n y a donc pas à faire la première étape. D = 7 ( 4 + 6a) les éléments marqués seront supprimés ; les signes à l intérieur de la parenthèses seront changés. On obtient : D = 7 + 4 6a (le signe qui précédait 4 a été changé en +, le signe + qui était devant 6a est devenu ) et donc D = 11 6a. R4 Lorsqu une parenthèse se trouve au début d une expression et n est précédée d aucun signe, on la considère comme étant précédée du signe +. Exemple 9 : Soit à calculer E = ( 7 + x) (x + 4). On écrit E = +( 7 + x) (x + 4) et on peut maintenant appliquer les règles R2 et R3 : on obtient E = +( 7 + x) (+x + 4), donc E = 7 + x x 4 = 7 4 + x x = 11. On a donc E = 11. Si vous avez déjà l habitude de faire des suppressions de parenthèses, vous pouvez omettre des étapes intermédiaires ; l essentiel est d obtenir la bonne réponse, peu importe le nombre de lignes de calculs! Exercice I.1 1 Calculer de deux façons : (i) en calculant dans les parenthèses ; (ii) en supprimant les parenthèses : a) a = (14 7) ( 18 + 6 11) ; b) b = ( 7 + 11 8) + ( 6 + 17 + 4) c) c = ( 7 11) + (24 12) ; d) d = (14 9 + 6) + ( 17 23). 2 Supprimer les parenthèses et réduire : e) e = (a + b) (b 5) ; f) f = a 2 (b + 2) g) g = a (3 b) + 3 ; h) h = ( a + b) + ( c + d) i) i = 9 ( 3 + x) + (x y) + ( 3 + y) ; j) j = 19 (x 13 y) + (y 13) k) k = 29 (23 x y) (x 23) ; l) l = [ (3 x) (x + 2) ] [ (x + 2) + ( x 3) ] 3 Mettre une paire de parenthèses aux endroits indiqués de telle sorte que l expression T soit inchangée (il faudra donc procéder éventuellement à certains changements de signes) : m) T = a b + 4 c (mettre la première entre + et 4 et l autre après c) ; n) T = a b + 4 c (mettre la première entre et b et l autre après 4) ;

4 D A E U B Année de remise à niveau o) T = a b + 4 c (mettre la première entre et a et l autre après 4). R5 Les parenthèses peuvent être emboîtées ; les «super-parenthèses» extérieures sont souvent notées par des crochets. Dans ce cas, on peut soit supprimer d abord les parenthèses intérieures avec les règles ci-dessus, les crochets devenant alors de simples parenthèses, puis on supprime ces parenthèses, soit on commence par supprimer les crochets extérieurs, en gardant les parenthèses intérieures, et en changeant s il faut le signe, puis on supprime les parenthèses intérieures, toujours en appliquant correctement les règles. Exemple 10 : Supprimer les parenthèses et les crochets pour réduire e = 1 [ a (1 b + a) ]. Désignons par k l expression entre les crochets : k = a (1 b + a) ; supprimons les parenthèses dans k : k = a 1 + b a = a a 1 + b = 1 + b. On reporte alors cette expression de k simplifiée dans e : e = 1 ( 1 + b) (les crochets peuvent devenir de simples parenthèses). Supprimons les parenthèses pour terminer : e = 1 + 1 b, soit finalement e = 2 b. L autre méthode se serait déroulée ainsi : e = 1 [ a (1 b + a) ] = 1 a + (1 b a) (en supprimant le crochet, précédé du signe, on change les signes intérieurs), e = 1 a + 1 b + a = 1 + 1 a + a b = 2 b. On trouve le même résultat, en général plus rapidement, avec cette seconde méthode. Exercice I.2 Supprimer les parenthèses et les crochets, et réduire les expressions suivantes : 1 n = a [ (1 c) + 1 ] ; 2 w = [ (b 1) c ] 1 ; 3 v = [ (a c) (a b) ] [ (b c) (a + c) ]. I.2 Expressions avec additions (ou soustractions) et multiplications ou avec additions (ou soustractions) et divisions R6 Règle dite de priorité (première version) : En l absence de parenthèses, on effectue en priorité les multiplications et divisions puis ensuite les additions et soustractions. Exemple 11 : calculer 3 + 5 7. On effectue d abord 5 7 = 35, puis en suite 3 + 35 = 38. On a donc : 3 + 5 7 = 38. C est la dernière opération à effectuer qui donne la «nature»de l expression : ainsi 3 + 5 7 est une somme. Remarquons que l expression ne serait pas changée si on l écrivait 3+(5 7) mais les parenthèses sont superflues quand on connaît la règle de priorité R6. calculer 3 2 + 4 8, puis 3 (2 + 4) 8, puis (3 2 + 4) 8. Nous faisons ici une rédaction courte : 3 2 + 4 8 = 6 + 32 = 38 ; cette expression est donc une somme.

5 3 (2 + 4) 8 = 3 6 8 = 18 8 = 144 ; cette expression est un produit. (3 2 + 4) 8 = (6 + 4) 8 = 10 8 = 80 ; cette expression est aussi un produit. calculer 12 3 8 2 puis (12 3 8) 2. On a 12 3 8 2 = 4 4 = 0 (on effectue d abord les divisions) ; cette expression est donc une différence. (12 3 8) 2 = (4 8) 2 = ( 4) 2 = 2 ; cette expression est un quotient. Remarques (i) 12 3 8 2 s écrit aussi classiquement 12 3 8 2 12 De même, (12 3 8) 2 s écrit 3 8 2 (ii) pour le calcul de ( 4) 2, rappelons que le quotient de deux nombres est un nombre dont la partie numérique est le rapport des parties numériques, et dont le signe est + si les deux nombres sont de même signe, et sinon (c est la même règle des signes que pour le signe d un produit). Exercice I.3 1 Calculer 3x 7 quand a) x = 5 (ceci signifie que l on attribue à x la valeur 5) puis b) quand x = 4 et enfin c) quand x = 0. 2 Calculer 5x 4y quand a) x = 4 et y = 3, puis b) quand x = 2 et y = 5. R7 Règle de distribution : Introduction A x E 2 B L aire du rectangle ABCD peut se calculer de plusieurs façons : AD AB = 3 (x + 2) ; ou en ajoutant les aires des rectangles AEF D 3 et EBCF : D F C AE AD + EB BC = 3 x + 3 2. On a donc : 3 (x + 2) = 3 x + 3 2, soit 3(x + 2) = 3x + 6. On dit que la multiplication par 3 est distribuée à chacun des termes de la somme x + 2 : 3(x + 2) = 3 (x + 2) = 3 x + 3 2 = 3x + 6. Lorsqu on procède ainsi, on dit qu on développe le produit 3(x + 2) : on transforme ce produit en une somme 3x + 6. Généralisation Pour n importe quelles expressions désignées par k, u et v, on a : k(u + v) = ku + kv et k(u v) = ku kv Une façon plus visuelle de se représenter cette règle est d utiliser des «boites» : ( + ) = +

6 D A E U B Année de remise à niveau Ces symboles (ovale, rond, carré) sont des boites vides ; dans chaque forme de boite, on met toujours la même expression (le signe de multiplication est à adapter selon les cas). Ainsi, si on veut développer le produit 7(a + 5), on pourra écrire : ( 7 a + 5 Ainsi on a 7(a + 5) = 7a + 35. ) = 7 a + 7 5! La présentation avec des boites n est à utiliser éventuellement qu au brouillon. Exemple 12 : Développer et réduire si possible E = 2(a + 3) 5(b 4). Cette expression est une différence, car, règle de priorité oblige, on calcule d abord les produits avant de faire la soustraction. Ainsi, on ne changerait pas la valeur de l expression si on mettait des crochets ainsi : [ 2(a + 3) ] [ 5(b 4) ]. Développons les produits : 2(a + 3) = 2 a + 2 3 = 2a + 6 ; 5(b 4) = 5 b 5 4 = 5b 20. Donc E = (2a + 6) (5b 20) = 2a + 6 5b + 20 et finalement E = 2a 5b + 26. Exercice I.4 Développer et réduire si possible : 1 A = 3(x + 5) 4(x 2) ; 2 B = (2x + 1) + 10(5 + 3x) ; 3 C = 3(3 a) 4(3 b) ; 4 D = (2a 3) 2( 5 + b). R8 Double distribution (cette règle est une application répétée de la règle 7). Introduction Soit à développer le produit (x + 2)(y + 3). Appliquons la méthode des boites : ( x + 2 y + 3 ) = x + 2 y + x + 2 3 Mais on a vu qu on a (x + 2)y = xy + 2y et aussi (x + 2)3 = 3x + 6, d où : (x + 2)(y + 3) = xy + 3x + 2y + 6 ; on observe qu on a multiplié chaque terme de x + 2 par chaque terme de y +3 et qu on a ajouté les résultats obtenus. On dit aussi, dans ce cas, qu on a développé le produit. Généralisation : On a les égalités (a + b)(u + v) = au + av + bu + bv (a + b)(u v) = au av + bu bv (a b)(u + v) = au + av bu bv (a b)(u v) = au av bu + bv Heureusement, il n est nullement besoin de mémoriser toutes ces formules : il suffit de connaître leur fonctionnement : On multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde somme ; si les deux termes sont précédés du même signe, leur produit est précédé du signe + ; sinon, leur produit est précédé du signe. Cette règle s applique aussi lorsque l une ou l autre des sommes concernées ont plus de deux termes.

7 Exemple 13 : Développer P = (2a 5)(3b + 4). Commençons par écrire tous les produits possibles de termes de la première somme par des termes de la deuxième somme : 2a 3b, 5 3b, 2a 4 et 5 4. Installons devant chaque produit le signe qui convient : devant 2a 3b, il faut un signe +, car 2a et 3b sont précédés d un + (en fait ces + sont «invisibles» : ils sont implicites, mais on pourrait les rajouter et écrire P = (+2a 5)(+3b + 4) ;) devant 5 3b, il faut un signe car 5 est précédé de et 3b est précédé de + (c est la règle des signes : + = ) devant 2a 4, il faut un signe + car 2a et 4 sont tous les deux précédés de + ; devant 5 4, il faut un signe car 5 est précédé de et 4 est précédé de +. Par ailleurs, souvenons-nous que 2a 3b = 2 a 3 b = 2 3 a b = 6ab ; de même, on a 5 3b = 15b et 2a 4 = 8a, donc : P = 6ab 15b + 8a 20 ; il n est guère possible de réduire mieux que ça. Développer Q = ( x y + 2)(a b). Les produits sont ax, bx, ay, by, 2a et 2b ; installons les signes en respectant la règle des signes : Q = ax + bx ay + by + 2a 2b. Remarquons qu on a écrit ax au lieu de xa, etc. L usage est en effet d écrire les produits de lettres en respectant l ordre alphabétique, ceci permet de regrouper les produits analogues plus facilement. Bien sûr, avec l habitude, vous arriverez à écrire directement le résultat développé. Exercice I.5 Développer et réduire si possible : 1 A = (x 3)( 4y + 7) ; 3 K = (x + 2)(a 3) (x 2)(a + 3) (ax + 6) 2 B = (2t + 1)(5u 4) ; 4 L = 5 [ x + 3(y 2) ] 2 [ x + 5(y 3) ]. I.3 Fractions, rapports, quotients I.3.1 Exemples Présentation Nous avons déjà signalé dans la partie I.1.1 que le nombre 12 3 s écrit aussi 12 3 On écrira ainsi 12 = 4 ou 9 = 4,5. On dit que 12 est une écriture fractionnaire de 4 et que 9 3 2 3 2 est une écriture fractionnaire de 4,5 ; 9 est une fraction, le nombre qui se trouve «au dessus» 2 de la barre (le «trait de fraction») est le numérateur, le nombre qui se trouve sous le trait de fraction est le dénominateur. Lorsqu on divise un entier par un autre entier, deux cas peuvent se présenter : La division «se termine» : c est par exemple le cas pour 3 2907 = 0,75 pour = 2,325 6 ou pour 4 1250 15 = 1,875 ( 15 s écrit aussi 15). 8 8 8 Dans ces exemples, lorsqu on pose la division et qu on la prolonge éventuellement «après la virgule», à un certain moment le reste devient nul, et la division s arrête. On dit dans ce cas que la fraction que l on calcule représente un décimal. La division continue indéfiniment : examinons le cas de la fraction 22 ; la division de 22 par 7 7 s écrit :

8 D A E U B Année de remise à niveau 22 7 10 3,142 857 14 30 2060 40 5010 En observant les restes successifs, on devine qu ils se répètent indéfiniment dans l ordre 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2... et on ne trouvera donc jamais de reste nul. Pour ce qui concerne le quotient, il y aura donc répétition à l infini de séquences 142857. On ne peut donc pas trouver de valeur décimale exacte pour 22, 7 seulement des valeurs approchées avec une précision aussi grande 30 que l on veut. On pourra par exemple écrire 22 3,14 ou aussi 2 7 22 3,142 857 14. 7 Notons au passage que cette fraction 22 est une valeur approchée historique du célèbre nombre 7 π qui intervient dans les calculs de longueur d un cercle et de surface d un disque ; cependant il a été démontré que π n est pas un nombre qui peut se mettre sous la forme d une fraction (on a donc en particulier π 22). 7 Généralisation a et b étant deux nombres, si en plus on suppose que b est non nul (c est-à-dire que b est différent de zéro), alors on définit la fraction a comme étant le rapport de a à b, ou le quotient de a par b b. On lit cette fraction en général «a sur b» ; en général on considère surtout des fractions d entiers, mais ce n est pas obligatoire. a est le numérateur, b est le dénominateur de la fraction a b On peut trouver des valeurs approchées (ou parfois la valeur exacte) de a en faisant la division b de a par b. Résultats «évidents» Pour n importe quelle valeur de a, on a toujours : a 1 = a ; a a = 1 ; 0 a = 0. (ces deux dernières formules ne sont valables que si a est non nul). Attention! On ne doit jamais diviser par zéro. C est toujours une erreur d écrire une fraction dont le dénominateur est nul. I.3.2 Égalité de fractions R9 Soit F = a une fraction ; on obtient une fraction qui représente le même nombre b (ou, qui lui est égale, si on préfère) en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de F par le même nombre non nul. Cette règle permet d obtenir d autres écritures, si possible plus simples. pour un nombre écrit sous forme de fraction. Exemples 14 : Soit F = 1,8 ; en multipliant le numérateur et le dénominateur par 10, on obtient que 4,2 F = 1,8 4,2 = 18 42

9 Maintenant on peut diviser par 6 le numérateur et le dénominateur de la fraction qu on vient d obtenir (qui est toujours égale à F ) ; on obtient F = 1,8 4,2 = 18 42 = 3 7 Cette technique est à utiliser pour simplifier des fractions comme ce que l on vient de faire : 210 165 = 42 5 33 5 = 42 33 = 14 3 11 3 = 14 11 Souvent, on se permet de barrer les termes que l on va supprimer à l étape suivante. Personnellement, je n aime pas beaucoup, mais si vous avez besoin de barrer, essayez de le faire proprement. Par exemple, on pourrait écrire, pour le calcul précédent : 210 42 5\ = 165 33 5\ = 42 14 3\ = 33 11 3\ = 11 14 Cette dernière fraction, 14 ne peut plus être simplifiée, on dit qu elle est irréductible. 11 On peut aussi utiliser cette méthode pour obtenir des fractions de même dénominateur (on pourrait aussi obtenir des fractions de même numérateur, mais en pratique c est beaucoup moins intéressants. Considérons les fractions 4 et 3 ; on souhaiterait, par exemple pour savoir celle qui représente 7 5 le plus grand nombre sans faire la division, obtenir des fractions égales, mais ayant le même dénominateur. On écrit 4 7 = 4 5 7 5 = 20 35 et 3 5 = 3 7 5 7 = 35 21 On a ainsi réduit au même dénominateur les fractions 4 et 3. Puisque 4 = 20 < 21 = 3, on peut 7 5 7 35 35 5 affirmer que 4 est plus petite que 3 (on pourrait, en faisant les divisions, confirmer ces résultats : 7 5 on trouve 4 0,571 < 0,6 = 3). 7 5 Cette technique de réduction au même dénominateur sera aussi utilisée au suivant pour additionner ou soustraire des fractions. I.3.3 Additions et soustractions de fractions R10 Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, il suffit d additionner ou soustraire les numérateurs, en gardant ce dénominateur commun pour le résultat. 3 Par exemple : 25 + 11 25 = 3 + 11 = 14 25 25 D une façon générale, on a (pour a, b quelconques, et d un nombre non nul) : a d + b d = a + b d a d b d = a b d Notons bien qu on ne peut additionner ou soustraire que des fractions de même dénominateur. Et si deux fractions n ont pas le même dénominateur? Et bien dans ce cas, on commence par appliquer la règle R9 pour réduire ces fractions au même dénominateur, comme expliqué ci-dessus.

10 D A E U B Année de remise à niveau Exemples 15 : Calculer 15 7 + 9 7 Ces fractions ayant le même dénominateur, il suffit d additionner leurs numérateurs. On a donc 15 7 + 9 7 = 15 + 9 7 Calculer 17 21 10 21 = 24 7 : ici aussi, il suffit de soustraire les numérateurs. 17 21 10 17 10 = = 7 ; notons que cette dernière fraction n est pas irréductible : on peut 21 21 21 «simplifier par 7» ; mais nous allons voir ici le danger de «barrer». On risque un grosse erreur en écrivant 7 21 = 7\ 3 7\ = En effet, que mettre à la place du 7 barré au numérateur? Certainement pas «rien» : la fraction sans numérateur 3 n aurait aucun sens! 7 Il est donc plus sage d écrire : 21 = 1 7 3 7 = 1 7\ 3 7\ = 1 3 Finalement, on a prouvé que 17 21 10 21 = 1 3 (cette fois on pouvait barrer sans danger) Soit b un nombre non nul ; calculer 23 b + 18 ; ces fractions ont le même dénominateur, donc on a b tout simplement : 23 b + 18 b = 23 + 18 b = 41 b Calculer a 5 + b 5 c (a, b, c sont des nombres quelconques). Comme ces trois fractions ont le même 5 dénominateur, on écrit simplement : a 5 + b 5 c 5 = a + b c 5 Écrire sous forme d une fraction d entiers la différence : 9,9 14 1,5 14 Ici encore, on remarque le dénominateur commun aux deux fractions qu il faut soustraire, donc on écrit simplement : 9,9 14 1,5 9,9 1,5 = = 8,4 ; le travail n est pas terminé, car il est demandé 14 14 14 d écrire le résultat comme une fraction d entiers, et ici le numérateur n est pas un entier. Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 pour obtenir ce que l on veut : 8,4 8,4 10 = 14 14 10 = 84 ; cette fois, le résultat est bien une fraction d entier, et on a tout à fait le 140 droit de s arrêter là et de conclure : 9,7 14 1,5 14 = 140 84 Les mathématiciens aiment bien en général présenter leurs résultats sous forme d une fraction irréductible, mais ce n est pas obligatoire. Nous allons quand même simplifier cette dernière fraction. 84 140 = 42 2 70 2 = 42 70 = 21 2 35 2 = 21 35 = 3 7 5 7 = 3 5 Finalement, on a prouvé : 9,7 14 1,5 14 = 3 5 Calculer 2 3 + 3 ; ici, les fractions n ont pas le même dénominateur. Nous allons commencer par les 5 réduire au même dénominateur, ensuite nous pourrons les additionner. Le dénominateur commun qu il est logique de choisir est 3 5 = 5 3 = 15. En fait ce n est pas le seul : voici le début de la liste des multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...

11 voici la liste des multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,... On s aperçoit que 15 est bien un multiple commun de 3 et de 5 (c est le plus petit multiple commun, qu on abrège en ppcm), mais 30 est aussi un multiple commun, ainsi que, plus loin, 45 et 60 (en fait il y a une infinité de multiples communs). On pourrait travailler avec n importe quel multiple commun de 3 et de 5, mais c est avec le ppcm que les calculs sont les plus faciles. On écrit 2 3 + 3 5 = 2 5 3 5 + 3 3 5 3 = 10 15 + 9 15 = 19 15 Si on avait utilisé (maladroitement) le multiple commun 30 comme dénominateur commun, il suffisait d écrire 30 = 3 10 = 5 6 et on obtenait : 2 3 + 3 5 = 2 10 3 10 + 3 6 5 6 = 20 30 + 18 30 = 38 30 ; ce résultat est juste, mais la fraction 38 reste à simplifier (par 2), pour retrouver alors le même 30 résultat. Calculer a 4 b 6 Cherchons un multiple commun de 4 et de 6, en écrivant les multiples de ces deux nombres : multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24,... multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30,... Choisissons le ppcm de 4 et de 6 : c est 12 = 4 3 = 6 2. On a donc a 4 b 6 = a 3 4 3 b 2 6 2 = 3a 12 2b 3a 2b = 12 12 On ne peut guère pousser plus loin le calcul. Calculer 5 39 7 Pour pouvoir appliquer la règle R10, il faut écrire 5 comme une fraction, ce qui est toujours possible puisque 5 = 1 5 on peut ensuite réduire au même dénominateur comme on l a fait plus haut. Donc 5 39 7 = 5 1 39 7 = 5 7 1 7 39 7 = 35 7 39 7 = 35 39 7 = 4 7 = 4 7 Remarque : on a vu que a + b = a d d + b ; cela signifie que pour diviser une somme par un d nombre, il faut diviser tous les termes de la somme par ce nombre. Exercice I.6 Écrire sous forme d une fraction (si possible simplifiée au maximum) chacune des expressions suivantes : 1 a = 1 9 + 5 9 5 e = 1 4 9 2 b = 4 5 + 2 15 6 f = 7 + 3 4 3 c = 4 15 12 25 7 g = 5 b + 5 2b 4 d = 7 12 13 21 8 h = a 6 b 10 9 i = 2a 3 3x 4 10 j = 3 2b 2 3b 11 k = 2 x + 3 y 12 l = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 I.3.4 Multiplications de fractions R11 Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs, et dont le dénominateur est égal au produit des dénominateurs.

12 D A E U B Année de remise à niveau En d autres termes, pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. Donc si b et d sont des nombres non nuls, pour tous nombres a et c, on a : a b c d = a c b d = ac bd Notons que si des signes apparaissent dans un calcul de produits de fractions, on détermine d abord le signe du résultat en application de la règle des signes, et ensuite on s occupe des autres calculs. Exemples 16 : Calculer a = 4 ( 5 7 ). 3 Il y a un seul signe, donc le résultat sera négatif, et pour le reste, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs : a = 4 7 5 3 = 28 15 Calculer et réduire b = 8 3 3 14 Pas de problème de signe, tout est positif. b = 8 3 ; il faut toujours essayer de voir si on peut simplifier avant d effectuer les multiplications 3 14 des numérateurs et dénominateurs : il serait particulièrement maladroit (mais pas faux), d écrire maintenant b = 24, car on aurait maintenant plus de mal à simplifier, alors qu on devrait écrire 42 directement : b = 8 3\ 3\ 14 = 8 14 = 4 2 7 2 = 4 7 Calculer a b c Pour pouvoir appliquer la règle R15, il suffit de penser à écrire a sous la forme a = a ; 1 a b c = a 1 b c = a b 1 c = ab c Une remarque concernant ce dernier calcul : nous avons montré que a b = a b ; on montrerait c c de même que a c b = a b c En d autres termes, on peut retenir que pour diviser un produit par un nombre, il ne faut diviser qu un seul des facteurs du produit par ce nombre. On peut choisir n importe quel facteur, mais contrairement au cas d une somme, on ne doit surtout pas diviser tous les facteurs. Le non-respect de cette règle est la cause de nombreuses erreurs en calcul. Par exemple, si on rencontre la fraction 4x 2, on pourra écrire 4x 2 = 4 2 x = 2x. Pour illustrer la différence entre ce qu on doit faire lorsqu on divise une somme et lorsqu on divise un produit : 4x + 6y = 4x 2 2 + 6y (on divise tous les termes de la somme) 2 = 4 2 x + 6 y = 2x + 3y (on n a divisé qu un seul des deux facteurs de 4x et un seul 2 des deux facteurs de 6y). Calculer A = a x + 5 2 On écrit a sous forme de fraction a = a, donc : 1

13 A = a 1 x + 5 = a 2 2 1 2 x + 5 = 2a 2 2 x + 5 ; avant de continuer, une remarque très importante : 2 normalement, la division a priorité sur l addition ; mais dans x+5, c est la somme x + 5 qui est 2 divisée par 2, donc il faut procéder comme si cette somme était entourée de parenthèses (l oubli des parenthèses est une erreur fréquente dans ce genre de situation). A = 2a (x + 5) 2a (x + 5) = = 2a x 5 2 2 2 2 Ceci est l expression de A sous forme d une fraction, mais dans certains cas, on préfère écrire une telle expression sous forme d une somme. Si c est le cas, on divise tous les termes par 2, de sorte qu on a : A = 2a 2 x 2 5 2 = a x 2 5 2 Exercice I.7 Calculer( et réduire au maximum les nombres suivants : 1 A = 2 1 ) ( ) 7 3 + 5 4 1 2 11 ( 1 20 ; 2 B = 2 2 ) ( 3 3 4 + 7 ) 5 12 4 + 5 6 7 2 0,2. I.3.5 Inverser des fractions On dit que deux nombres sont inverses l un de l autre lorsque leur produit vaut 1. Comme on a a b b a = ab = 1, on peut en déduire le principe suivant : ba L inverse de la fraction a b est la fraction b a On retient donc que pour inverser une fraction, il suffit d échanger le numérateur et le dénominateur. Par exemple, l inverse de 2 est la fraction 3 ; l inverse de 7 est 5 ; l inverse du nombre non 3 2 5 7 nul x est, puisqu on peut écrire x = x, le nombre 1 1 x Une conséquence spectaculaire de ce dernier résultat s obtient en l appliquant à une fraction x = a : on peut écrire l inverse b de cette fraction aussi sous la forme 1 b a x = 1 a b On a donc 1 a b = b a allons approfondir au suivant. I.3.6 C est le début des règles de calcul sur les «fractions à étages» que nous Divisions de fractions R12 Pour diviser un nombre x par un nombre non nul y, il suffit de multiplier x par 1 y En effet, on a x y = x 1 1 y = x 1 1 y = x 1 y On peut appliquer cette règle lorsque x et y sont des fractions : Pour diviser par une fraction, il suffit de multiplier par son inverse. En particulier, on a, lorsque b, c, d sont trois nombres non nuls : a b c d = a b d c

14 D A E U B Année de remise à niveau De même, si on veut calculer (bien sûr pour b, c non nuls) la fraction à étages : diviser a b par c, donc de multiplier par son inverse. On a donc : a b c, il s agit de De la même façon, voici le calcul de donc qu on multiplie par son inverse : a b c = a b 1 c = a 1 b c = a bc a c d, en considérant bien qu on divise a par la fraction c d, a c d = a d c = a 1 d c = a d 1 c = ad c Une dernière remarque : lorsqu on écrit à la main une fraction à étages, il faut être très attentif a à savoir se faire lire correctement : par exemple, une fraction écrite b c est incompréhensible! S agit-il de a b c ou de a b c ligne du texte, et surtout de l allonger : évitez? Il faut essayer de mettre le trait de fraction principal au milieu de la a b ou même a b c d en écriture manuscrite, allongez c, a b c bien le trait de fraction principal, car vous ne pourrez pas facilement «diminuer la police de caractères», comme avec un traitement de texte scientifique. Exercice I.8 Calculer et réduire au maximum les expression suivantes : 1 a = 75 63 35 11 105 4 d = 9 1 3 + 5 6 5 + 1 2 3 4 99 39 42 52 28 2 b = 1 + 2 3 1 2 3 5 e = a 2 3 2a 5 3 c = 1 3 1 4 1 3 + 1 4 6 f = 3 5 7 9 I.4 Calculs sur des puissances I.4.1 Puissances à exposants positifs Introduction géométrique Considérons un carré dont la mesure de la longueur d un côté est le réel a ; l aire de ce carré est a a. On note ce produit de a par lui-même a 2 (on lit «a exposant 2»ou encore «a au carré»ou «a puissance 2»). On dit que a 2 est une puissance de a. Considérons maintenant un cube de côté a ; son volume est a a a. On note se produit de a par lui-même et encore une fois par lui-même a 3 (on lit «a exposant 3»ou encore «a au cube»ou «a puissance 3»). a 3 est aussi une puissance de a.

15 Généralisation Ces notations avec un exposant sont pratiques pour désigner de façon concise un produit dont tous les facteurs sont égaux. Par exemple, 2 2 2 2 2 se note 2 5 (5 est le nombre de facteurs de ce produit, c est le nombre de fois qu apparaît 2 dans cette multiplication répétée). De même, ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) se note ( 3) 4. Définition I.1 Soit a un nombre. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note a n (lire : «a puissance n» ou «a exposant n») et s appelle la puissance n-ième de a. Le nombre n, dans la notation a n, s appelle l exposant. On a donc : a n = a a a a } {{ } n facteurs (Les pointillés remplacent des facteurs a non écrits ; lorsque la valeur de n est connue et si cette valeur n est pas trop grande, on écrit tous les facteurs sans utiliser ces pointillés.) Exercice I.9 Donner la valeur des nombres suivants : 1 a = 3 2 ; 2 b = 2 3 ; 3 c = ( 5) 2 ; 4 d = ( 1) 4 ; 5 e = 1 50 ; 6 f = 4 2 ( 3) 2 ( 5) 3. R13 La règle de priorité R6, vue p.4 est à compléter de la façon suivante : En l absence de parenthèses, on effectue d abord les puissances, puis les multiplications et les divisions, et enfin les additions et les soustractions. Exemple 17 : Calculer A = 2 3 + 5 4 2. En application de la règle ci-dessus, on calcule déjà 2 3 = 2 2 2 = 8 et 4 2 = 4 4 = 16, ce qui donne A = 8 + 5 16, puis on calcule 5 16 : A = 8 + 80 et enfin l addition : A = 88. Exercice I.10 Calculer : 1 A = 4 5 2 +3 2 4 ; 2 B = (4 5) 2 +(3 2) 4 ; 3 C = 4 (5 2 +3) 2 4 ; 4 D = (4 5 2 +3) 2 4. (On remarquera l importance de la place des parenthèses!) Puissances et fractions ( ) 3 5 Soit à calculer A = ; on peut écrire A = 5 2 2 5 2 5 2 = 5 5 5 2 2 2 = 53 2 3 On retient la règle suivante : R14 Pour élever une fraction à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur à cette puissance. ( a ) n a n En d autres termes, on a = b b n Exercice I.11 Calculer les fractions suivantes. ( ) 2 ( 1 2 1 A = 2 3 ) 3 ; 2 B = 3 2 ( ) 2 ( 2 5 3 ( ; 3 5 3) C = 3) 2 4 ( ) 2 ( 3 9 3. 4 2)

16 D A E U B Année de remise à niveau Puissances de 10 Les puissances de 10 ont une forme particulière bien connue : 10 2 = 10 10 = 100 s écrit avec un 1 suivi de 2 zéros ; 10 3 = 10 10 10 = (10 10) 10 = 10 2 10 = 100 10 = 1000 s écrit avec un 1 suivi de 3 zéros ; 10 3 = 10 10 10 10 = (10 10 10) 10 = 10 3 10 = 1000 10 = 10000 s écrit avec un 1 suivi de 4 zéros... On comprend bien que d une façon générale, 10 n s écrit avec un 1 suivi de n zéros. Exercice I.12 Écrire sous forme d un entier ou d un nombre décimal les nombres suivants : I.4.2 1 a = 38 10 2 ; 2 b = 9,87 10 2 ; 3 c = 0,326 4 10 3 ; 4 d = 2,041 10 6. Puissances d exposants négatifs Définition I.2 Soit n un entier positif ; on sait calculer a n ; alors a n désigne l inverse de a n (pour a non nul). On a donc a n = 1 a n Exemples 18 : 5 3 = 1 5 3 = 1 5 5 5 = 1 125 = 0,008. 0,2 2 = 1 0,2 2 = 1 0,2 0,2 = 1 0,04 = 25. ( 3) 4 = 1 ( 3) 4 = 1 81 Remarque : On a aussi par exemple 5 3 = 1 5 3 car 53 5 3 = 1 ; on a donc plus généralement, quel que soit n : a n = 1 a n Cas des puissances de 10 Observons : 10 2 = 1 10 = 1 2 100 = 0,01 ; 10 3 = 1 10 = 1 3 1000 = 0,001 ; 1 10 4 = 10 000 = 0,000 1 etc. Nous admettons que en général, 10 n s écrit avec un 1 précédé de n zéros, la virgule étant bien sûr après le premier zéro. Par exemple, 10 8 = 0,000 000 01. Notons bien qu on compte le zéro avant la virgule parmi les 8 zéros! Exercice I.13 1 Calculer 2 Écrire sous forme d un nombre décimal : a) a = 3 3 + 2 2 ; b) b = 6 3 3 3 c) c = 5 3 + 5 3. d) d = 456 10 3 ; e) e = 17 10 4 ; f) f = 5,1 10 5 ; g) g = 4 327 000 10 6.

17 I.4.3 Règles de calcul Puissances 1, 0 et 1 Nous admettrons les conventions suivantes : pour tout nombre a, on a a 1 = a ; pour tout nombre a, on a a 0 = 1 ; pour tout nombre a non nul, on a a 1 = 1 a Ces conventions sont indispensables pour que les règles de calcul que l on va voir soient universelles, c est-à-dire qu elles puissent s appliquer quelles que soient les valeurs des exposants. Produit de deux puissances d un même nombre R15 Lorsqu on multiplie deux puissances d un même nombre, le résultat est une puissance de ce nombre dont l exposant est la somme des exposants. Cette règle s écrit ainsi : Pour tout nombre a, et pour tous nombres entiers n et m (qu ils soient positifs, négatifs ou même nuls) on a Illustrons cette règle sur quelques exemples : Exemples 19 : Si on veut calculer 2 4 2 3, on peut écrire a m a n = a m+n. 2 4 2 3 = (2 2 2 2) (2 2 2) = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 et on a bien 2 4 2 3 = 2 4+3. On veut calculer 3 5 3 2 ; on a 3 5 3 2 = 3 5 1 3 = 35 2 3 = 3 3 3 3 3 2 3 3 = 3 3 3 3\ 3\ 1 3\ 3\ = 3 3 3 1 = 3 3. On a bien 3 5 3 2 = 3 5 2. Calculons 4 4 4 3 = 1 4 4 43 = 1 4 4 4 4 4 4 4 = 1 4 = 4 1 et on a bien 4 4 4 3 = 4 4+3 grâce à la troisième convention vue ci-dessus pour définir 4 1. En appliquant la règle R15, on a donc 10 4 10 7 = 10 4 7 = 10 3 = 0,001. De même 3 7 3 2 = 3 7+2 = 3 9 ; 5 2 5 1 = 5 2 1 = 5 3 = 1 5 3. Enfin, si on doit calculer 7 5 7 5, on trouve, en appliquant la règle R15 : 7 5+5 = 7 0 = 1, ce qui justifie la deuxième convention ci-dessus, concernant une puissance 0. Cette règle R15 fonctionne aussi avec un produit de plus de deux puissances du même nombre : 8 4 8 3 8 2 = 8 4+3+( 2) = 8 3. Exercice I.14 Calculer en mettant le résultat sous forme d une puissance : 1 a = 3 7 3 4 ; 2 b = 9 11 9 13 ; 3 c = 2 4 2 7 ; 4 d = 4 2 7 ; 5 e = 27 3 5 ; 6 f = 100 10 3 10 7.

18 D A E U B Année de remise à niveau I.4.4 Quotients de deux puissances d un même nombre R16 Le quotient de deux puissances d un même nombre est une puissance de ce nombre avec comme exposant la différence de l exposant du numérateur et de l exposant du dénominateur. En d autres termes, on a, pour tout a non nul et pour tous entiers m, n, quels que soient leurs signes : a m a = n am n. Le fonctionnement de cette règle est illustré par l exemple suivant : 5 4 5 = 5 5 5 5 5 5 5\ 5\ = = 5 5 = 5 2 = 5 4 2. 2 5 5 1 5\ 5\ 1 Cette règle fonctionne aussi avec des exposants négatifs : 2 4 2 = 2 24 ( 2) = 2 4+2 = 2 6, et 3 7 3 = 5 3 7 ( 5) = 3 7+5 = 3 2. 2 5 2 3 Cette règle se combine avec la règle sur les produits : par exemple, 2 2 2 = 4 25 3 2+4 : les exposants qui étaient au dénominateurs ont changé de signe, les autres ont conservé leur signe. Exercice I.15 Calculer et écrire le résultat sous forme d une puissance : 1 a = 45 4 3 ; 2 b = 52 5 5 ; 3 c = 7 3 7 9 ; 4 d = 11 5 11 2 ; 5 e = a2 a 3 a 4 a 5 ; 6 f = c 2 c 3 c 6 c 4 c 5 ; 7 g = ( 5)2 5 3 9 i = 37 3 4 3 ; 10 j = 5 2 ; 8 h = ( 2)5 ( 2) 3 ( 2) 8 ; 1 ( 3) 4 ( 3) ; 2 11 k = 62 6 3 6 6 3 6 2 I.4.5 Puissance d un produit ou d un quotient Commençons par un exemple d un tel calcul. On cherche à calculer (a b) 3. En considérant que (a b) est un nombre A, on doit calculer A 3, c est-à-dire A A A. On a donc (a b) 3 = (a b) (a b) (a b) ; on peut maintenant écrire ce produit sans parenthèse et avec ses facteurs et dans n importe quel ordre, donc (a b) 3 = a a a b b b = a 3 b 3. En généralisant, on obtient la règle : R17 Lorsqu un produit est élevé à une puissance, c est chaque facteur qui est élevé à cette puissance. Lorsqu un quotient est élevé à une puissance, il faut élever à cette puissance le numérateur et le dénominateur. En d autres termes, pour tous nombres a, b non nuls, et pour tout entier n, on a (a b) n = a n b n et ( a b ) n = a n b n Nous admettrons que ces formules sont vraies dans tous les cas, même lorsque n est négatif.

19 I.4.6 Puissance d une puissance Soit à calculer b = (a 2 ) 3 ; procédons comme au paragraphe précédent, en posant A = a 2, et donc b = A 3 = A A A ; on a donc b = (a 2 ) (a 2 ) (a 2 ) = a 2+2+2 = a 2 3 On admet que cette démarche est vraie dans tous les cas, c est-à-dire qu on a la règle : R18 Le résultat d une puissance d un nombre élevée à une puissance est une puissance de ce nombre dont l exposant est le produit des exposants. En d autres termes, pour a non nul, quels que soient les entiers m et n, on a ceci quels que soient les signes de m et n. Exemples 20 : (a m ) n = a mn, (4 3 ) 2 = 4 3 ( 2) = 4 6 ; (4 3 ) 3 = 4 ( 3) ( 3) = 4 9 ; (5 7 ) 1 = 5 ( 7) ( 1) = 5 7. Exercice I.16 (récapitulatif) 1 Calculer, en mettant le résultat sous une forme exacte la plus simple possible : a) a = 62 5 7 27 3 21 4 9 2 10 ; b) b = ( 2)7 ( 6) 5 ( 3) 10 18 4 ( 12) 3 (Il vaut mieux éviter de calculer chaque puissance ; on détermine le signe du résultat (surtout pour b), puis on décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, et ensuite on utilise les règles R14 à R18 ) 2 Calculer, en mettant les résultats sous la forme du produit d une puissance de a par une puissance de b : a) x = a2 b 3 a 3 b 4 ; b) y = (a2 b 3 ) 5 ; c) z = a 3 b 7 a 5 b 6 b a ; d) t = (a 1 b 4 ) 2 a 3 b 5 3 On trouve dans le sang des globules rouges : un mm 3 de sang contient environ 45 10 5 globules rouges, et il y a six litres de sang environ dans le corps humain. Un globule rouge a la forme d un cylindre de hauteur 3 micromètres (1µm = 10 6 m). Quelle serait la hauteur approximative de la colonne qu on obtiendrait, si on pouvait empiler les uns sur les autres tous les globules rouges d un individu? I.5 Polynômes Dans cette partie, nous allons appliquer les techniques vues dans les parties précédentes à des expressions particulières appelées polynômes. I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base Un monôme est une expression algébrique dans laquelle les seules opérations à effectuer sur les variables (représentées par des lettres) sont des multiplications et des élévations à des puissances d exposants positifs.

20 D A E U B Année de remise à niveau 3x 2 yz 2 est un monôme. 3 est le coefficient, ou sa partie numérique ; x 2 yz 2 est la partie littérale. 5x 2 n est pas un monôme car il faut diviser par y, ou ce qui revient au même, multiplier par y y 1, et l exposant 1 est négatif. Lorsqu on multiplie des monômes, on applique les règles vues plus haut, et le résultat est encore un monôme. Pour illustrer cette propriété, considérons les monômes a = 2x 3 y et b = 3x 5 yz 2 ; alors ab = a b = (2x 3 y) ( 3x 5 yz 2 ) = 2 x 3 y ( 3) x 5 y z 2 = ( 2 ( 3) ) (x 3 x 5 ) (y 1 y 1 ) z 2 = 6 x 3+5 y 1+1 z 2 ab = 6x 8 y 2 z 2. On ne peut réduire des sommes de monômes que lorsque ces monômes ont la même partie littérale. Si on doit calculer a = 2xy 2 + 3xy 2 7xy 2, on peut écrire a = (2 + 3 7)xy 2 = 2xy 2. Mais pour b = 5x 3y + xy, on ne peut rien réduire ; pour c = 3x + xy 8y + xy, on peut juste réduire les deux termes en xy : c = 3x 8y + 1xy + 1xy = 3x 8y + (1 + 1)xy = 3x 8y + 2xy. Polynômes Un polynôme est une somme algébrique (c est-à-dire une expression avec des + et des ) de monômes. En présence d un polynôme, on essaie toujours d en donner une expression réduite ; pour cela, on met ensemble les monômes de même partie littérale, et on les réduit comme on vient de le montrer. Un polynôme est réduit (sous forme réduite) lorsque toutes les sommes de monômes ayant les mêmes parties littérales ont été effectuées. a = 3x 2 + 6x et b = 5x 3y + xy sont des polynômes réduits, mais pas c = 3x 2 + 6x x 2 + 4x ; pour réduire c, on procède ainsi : c = 3x 2 1x 2 + 6x + 4x = (3 1)x 2 + (6 + 4)x = 2x 2 + 10x ; cette dernière expression est la forme réduite de c. Exercice I.17 On considère les polynômes A = x 2 + 2x + 3, B = 2x 2 + 3x 1, C = 3x 2 5x + 1. Mettre sous forme réduite les polynômes 1 P = A + B + C ; 2 Q = A + B + C ; 3 R = A + C B ; 4 S = A + 2B 3C. Cet exercice I.17 illustre qu une somme de polynômes est toujours un polynôme. Exercice I.18 Réduire les polynômes 1 A = 2x 3x 2 + 1 + (4x 2 3x + 2) (3x 2x 2 3) ; 2 B = 3x 2 8(2x 2 3x + 1) + 4(5x 2 4x + 3) ; 3 C = a 3 + b 2 (2a 3 4ab 2 b 2 ) ; ) ( 4 D = (x + x3 2 + 3x2 x 2 4 2 + 2x 3 5x3 6 ).

21 Exercice I.19 Pour ces expressions, on développera tous les produits, pour montrer qu on a affaire à des polynômes, puis on réduira. 1 E = 5x 2 (4x 1) ; 2 F = 9x 4 (3x 3 4x 2 + 7x 5) ; 3 G = 3xy 2 (2x 2 4xy + y 3 ) ; 4 H = (2x + 1)(3x + 2) ; 5 I = (x 2) 2 ; 6 J = (x 1) 2 + 3(2x + 3) 2 ; 7 K = (x 1) 2 + ( 3(2x + 3) ) 2 ; 8 L = (3x 2)(2x 1) 2 9(3x + 2) ; 9 M = (6x 2 + 4x 3 + 9x)(2x 3) ; 10 N = (x 2 + 9)(2x + 6)(3 x). Exercice I.20 Ici, x, a, b sont des nombres non nuls. On commencera par simplifier les fractions, ce qui montrera que les expressions sont quand même des polynômes, malgré les divisions qui apparaissent au départ. On réduira ensuite si nécessaire. 1 O = 8x3 12x 2 + 16x 4x I.5.2 ; 2 P = 2ax4 + 5a 2 x 3 6a 4 x 2ax Factorisation de polynômes ; 3 Q = 2abx + 3aby + abc2 2ab Pour l instant, nous avons essentiellement travaillé sur les polynômes en les développant, c està-dire en distribuant les produits, en transformant des produits en sommes, pour réduire les polynômes. Mais en pratique, dans de nombreuses situations mathématiques, on a besoin de faire le contraire. Il est souvent indispensable de mettre un polynôme sous forme d un produit de polynômes plus simples. Cela s appelle la factorisation. Nous allons ici exposer un certain nombre de techniques de factorisations classiques qu il faut absolument connaître. Factorisations naturelles On les fait en utilisant la règle R7 de distribution, mais dans le sens contraire à ce qu on a fait le plus souvent : on utilise la formule k(u + v) = ku + kv de la droite vers la gauche. Pour factoriser une somme dont les termes sont des produits, on essaie de repérer dans tous les produits un facteur commun, pour appliquer cette règle R7. Exemples 21 : Factoriser 8a + 72. On cherche un facteur commun : 72 peut s écrire 8 9, donc 8a + 72 = 8 a + 8 9 = 8(a + 9) En pratique, on n est pas obligé de passer par les signes : le calcul précédent peut s écrire plus simplement 8a + 72 = 8a + 8 9 = 8(a + 9) ou même, quand on a l habitude, directement 8a + 72 = 8(a + 9) car tout le monde sait que 8 9 = 72.

22 D A E U B Année de remise à niveau Il est parfois très prudent de passer par ces multiplications, en particulier lorsqu on a une expression du type ku + k : On a ku + k = k u + k 1 = k(u + 1). L oubli du 1 dans une factorisation de ce type est une cause fréquente d erreurs. Factoriser 35xy 7x. On remarque que 35xy = 7x 5y, donc 7x est un facteur commun. Attention à bien penser au 1. Donc 35xy 7x = 7x 5y 7x 1 = 7x(5y 1). Factoriser A = (2x 3)(6x 1) (2x 3)(x + 1). On remarque immédiatement le facteur commun (2x 3), mais il faut faire attention de laisser dans un premier temps les parenthèses dans l expression factorisée, avant de les retirer avec précaution, en appliquant les règles vues au début de chapitre : A = (2x 3) [ (6x 1) (x + 1) ]. On se trompe souvent en voulant aller trop vite et en oubliant les parenthèses devant x + 1. L expression qu on vient d obtenir est factorisée, mais l usage est de réduire tous les facteurs, donc le deuxième aussi. A = (2x 3)(6x 1 x 1) = (2x 3)(5x 2). De façon implicite, quand on demande une factorisation, on aime bien que la réponse soit sous forme d un produit de polynômes réduits. Factoriser B = (7x 1) 2 (7x 1)(3x + 2). Ici, on remarque que (7x 1) est un facteur commun, puisque (7x 1) 2 = (7x 1)(7x 1). On peut donc écrire B = (7x 1)(7x 1) (7x 1)(3x+2) = (7x 1) [ (7x 1) (3x+2) ] = (7x 1)(7x 1 3x 2) = (7x 1)(4x 3). En pratique, quand on a l habitude, on ne passe pas par l étape d expliciter le carré comme produit d un terme par lui-même, on le fait dans sa tête et on peut écrire directement : B = (7x 1) 2 (7x 1)(3x + 2) = (7x 1) [ (7x 1) (3x + 2) ] = (7x 1)(7x 1 3x 2) = (7x 1)(4x 3). Exercice I.21 Factoriser les polynômes suivants : 1 A = 32x 3 24x; 2 B = 5x(3x 1) 4(3x 1); 3 C = 4x(2x + 1) 6(2x + 1); 4 D = (2x 3) 2 x(2x 3); 5 E = 5(x 1) 2 4x(x 1). Factorisations demandant une transformation préalable Une factorisation partielle est souvent nécessaire pour voir apparaître un facteur commun. Par exemple, dans a = (3x 4)(4x 5) + (6x 8), on ne voit pas a priori un facteur commun, mais le deuxième terme (6x 8) peut être factorisé par 2, et on peut espérer voir apparaître un des deux facteurs (3x 4) ou (4x 5) du premier terme, ce qui fera un facteur commun. En effet, on a : a = (3x 4)(4x 5) + [ 2(3x 4) ] = (3x 4) [ (4x 5) + 2 ] = (3x 4)(4x 3). Une technique très souvent utile consiste à remplacer une différence (a b) par (b a) = ( 1)(b a). En effet, on vérifie qu on a bien, en raison des règles de calcul du début du chapitre (règle R4 pour une parenthèse précédée du signe ) (b a) = b + a = a b. Par exemple, pour factoriser b = (3x 1)(x 2) 3x(2 x), il suffit de remarquer que, s il n y a pas de facteur commun, il y a (x 2) dans un des produits et (2 x) dans l autre. Il suffit de mettre ( 1) en facteur dans un de ces termes (celui qu on veut, en fait), pour pouvoir factoriser. Première méthode : on fait apparaître (x 2) comme facteur commun.

23 b = (3x 1)(x 2) 3x( 1)(x 2) = (3x 1)(x 2) + 3x(x 2) = (x 2) [ (3x 1) + 3x ] = (x 2)(6x 1). Deuxième méthode : on fait apparaître (2 x) comme facteur commun. b = (3x 1)( 1)(2 x) 3x(2 x) = (2 x) [ (3x 1)( 1) 3x ] = (2 x)( 3x + 1 3x) = (x 2)( 6x + 1). Notons que les deux résultats sont justes et corrects, ils répondent tous deux à la question, on a juste le choix. Exercice I.22 Factoriser 1 A = (5x + 4)(4 3x) (3x 4)(x 3); 2 B = (3x + 2)(1 x) + (2x 1)(x 1); 3 C = (x 8)(4x 1) + (x 2 8x); 4 D = (5 3x)(x 1) (3x 5) 2. Utilisation des «identités remarquables» Il y a trois identités remarquables à connaître : (I.1) (I.2) (I.3) a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 Ces formules bien connues se démontrent en développant le membre de droite : Pour (I.1), on a : (a + b)(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b 2 (on a utilisé et on va utiliser encore la règle R8 p.6). Pour (I.2), on a : Pour (I.3), on a : (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ba + b 2 = a 2 2ab + b 2 Exemples 22 : Factoriser x 2 9 : pour pouvoir appliquer la formule (I.1), on écrit 9 = 3 2, ce qui donne : x 2 9 = x 2 3 2 = (x + 3)(x 3). Factoriser 9x 2 4a 2. C est toujours la même formule (I.1) qu on va essayer d appliquer ; pour cela, on remarque que 9 = 3 2, 4 = 2 2, donc 9x 2 4a 2 = 3 2 x 2 2 2 a 2 ; maintenant, on applique la règle R17 (p.18), et on peut terminer : 9x 2 4a 2 = (3x) 2 (2a) 2 = [ (3x) + (2a) ][ (3x) (2a) ] = (3x + 2a)(3x 2a). Factoriser (x + 2) 2 16x 2 : on applique la même méthode pour 16x 2 : 16x 2 = 4 2 x 2 = (4x) 2, donc (x + 2) 2 16x 2 = (x + 2) 2 (4x) 2 = [ (x + 2) + (4x) ] [ (x + 2) (4x) ] = (5x + 2)( 3x + 2). Factoriser x 2 + 49 + 14x ; la présence ici de trois termes nous incite à penser à la formule (I.2). On remarque que 49 = 7 2, donc on va écrire le terme 14x sous la forme 2ab (on parle de double produit) avec a = x et b = 7 : 14x = 2 x 7, ça marche, donc on écrit maintenant : x 2 + 49 + 14x = x 2 + 2 x 7 + 7 2 = (x + 7) 2.

24 D A E U B Année de remise à niveau Factoriser 9x 2 + 2x + 1 ; ici aussi, le fait qu il y ait trois termes et que des signes + nous dirige 9 vers la formule (I.2). On écrit 9x 2 = (3x) 2 ; ensuite on remarque que 1 ( ) 2 9 = 12 1 3 =. Il n y a 2 3 plus qu à essayer devoir si le dernier terme 2x est bien sous la forme 2ab avec a = 3x et b = 1. 3 Mais c est bien le cas, puisque 2 3x 1 2 3\ x 1 = = 2x = 2x. Donc on peut écrire : 3 1 3\ 1 9x 2 + 2x + 1 = 9 (3x)2 + 2 (3x) ( ( 1 3) + 1 ) 2 ( 3 = 3x + 1 2. 3) Factoriser x 2 + 1 x. Ici, la présence de trois termes et d un signe nous incite à chercher 4 à utiliser la formule (I.3). x 2 est déjà un carré, 1 = ( 1 2, 4 2) donc on doit essayer de reconnaître dans le dernier terme x un double produit de la forme 2ab avec a = x et b = 1. Or on a bien 2 2 x 1 = x = x, donc on peut écrire : 2 1 x 2 + 1 x = 4 x2 2 x 1 + ( ) 1 2 ( 2 2 = x 1 2 2). Pour finir un petit piège, pour ne pas se précipiter sur n importe quoi : Si on vous demande de factoriser x 2 + 10x + 9 : bien sûr, on peut essayer, et c est normal, la formule (I.2). Mais si on trouve bien les carrés x 2 et 9 = 3 2, en revanche, 10x n est pas le double produit qu il faut : 2 x 3 = 6x, donc ce n est pas simplement avec cette formule qu on pourra s en tirer. On verra plus tard que pour se sortir de cette situation, il faut au contraire commencer par s occuper du double produit 10x = 2 x 5, ce qui permet d utiliser la formule (I.2) avec a = x et b = 5. On peut écrire : x 2 + 10x + 9 = x 2 + 2 x 5 + 5 2 5 2 + 9 = (x + 5) 2 25 + 9 = (x + 5) 2 16 = (x + 5) 2 4 2 On termine en utilisant la formule (I.1) : x 2 + 10x + 9 = [ (x + 5) + 4 ] [ (x + 5) 4 ] = (x + 9)(x + 1). Cet exemple illustre le fait qu il faut toujours bien vérifier qu on peut appliquer En pratique, inutile de donner les explications de la recherche, ni la formule ou la règle qu on utilise. On présentera les résolutions d exercices comme dans les corrigés. Exercice I.23 Factoriser les polynômes suivants : 1 a = 49 (x 1) 2 ; 2 b = (3x + 1) 2 (2x 3) 2 ; 3 c = 4(2x 1) 2 9; 4 d = x 2 6x + 9; 5 e = 4x 2 + 25 + 20x; 6 f = x + x2 4 + 1; 7 g = x2 9 x 3 + 1 4 ; 8 h = 49a 2 + 4 + 28a. Synthèse des différentes techniques En pratique, pour factoriser certaines expressions, on est souvent amené à mettre en œuvre plusieurs des techniques présentées ci-dessus ; par exemple, une factorisation partielle d un morceau de l expression permet parfois de mettre en évidence le facteur commun général. Exemples 23 : Factoriser a = 4x 2 9 + (x 1)(2x + 3). On remarque que 4x 2 9 = (2x) 2 3 2 = (2x + 3)(2x 3), ce qui permet d observer la présence du facteur commun (2x + 3). On rédige donc ainsi : a = 4x 2 9 + (x 1)(2x + 3) = (2x) 2 3 2 + (x 1)(2x + 3) = (2x + 3)(2x 3) + (x 1)(2x + 3) = (2x + 3) [ (2x 3) + (x 1) ] = (2x + 3)(3x 4).

25 Factoriser b = x 2 + 2x + 1 + 5x(x + 1). On reconnaît que x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2, donc on a b = x 2 + 2x + 1 + 5x(x + 1) = (x + 1) 2 + 5x(x + 1) = (x + 1) [ (x + 1) + 5x ] = (x + 1)(6x + 1). On a utilisé, sans l écrire que (x + 1) 2 = (x + 1)(x + 1). Exercice I.24 Pour revoir toutes les techniques, factoriser les polynômes suivants : 1 A = (2x + 1)(3x 5) (x + 6)(2x + 1); 2 B = (x + 1)(2x 3) + (3 2x)(5x + 7); 3 C = (7x + 2) 2 3x(7x + 2); 4 D = x 2 1 + (x 1)(7x + 3); 5 E = (1 4x) 2 (4 x) 2 ; 6 F = x 2 8x + 16; 7 G = (2x + 3)(3x + 2) 3x 2; 8 H = 4x 2 4x + 1 + (2x 1)(x + 2); 9 I = (2x 3)(x 1) (1 x) 2 + 3(x 1)(1 3x); 10 J = x 2 + 10x + 16.

26 D A E U B Année de remise à niveau I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre Corrigé de l exercice I.1 (p.3) 1 a = (14 7) ( 18 + 6 11) a) (i) Calculons l intérieur de chaque parenthèse : 17 4 = 7 ; 18 + 6 11 = 18 11 + 6 = 29 + 6 = 23. On a donc a = 7 ( 23) = 7 + 23 = 30. (ii) On supprime les parenthèses : a = +(14 7) ( 18+6 11) = 14 7+18 6+11 = 14+18+11 7 6 = 43 13 = 30. Bien sûr, on a obtenu le même résultat avec les deux méthodes. b) b = ( 7 + 11 8) + ( 6 + 17 + 4) (i) 7 + 11 8 = 7 8 + 11 = 15 + 11 = 4 ; 6 + 17 + 4 = 6 + 21 = 15 ; donc b = 4 + 15 = 11. (ii) b = 7 + 11 8 6 + 17 + 4 = 7 8 6 + 11 + 17 + 4 = 21 + 32 = 11. c) c = ( 7 11) + (24 12) (i) 7 11 = 18 ; 24 12 = 12 ; donc c = 18 + 12 = 6. (ii) c = 7 11 + 24 12 = 30 + 24 = 6. d) d = (14 9 + 6) + ( 17 23) (i) 14 9 + 6 = 14 + 6 9 = 20 9 = 11 ; 17 23 = 40 ; donc d = 11 40 = 51. (ii) d = 14 + 9 6 17 23 = 14 6 17 23 + 9 = 60 + 9 = 51. 2 e) e = (a + b) (b 5) = a + b b + 5 = a + 5. f) f = a 2 (b + 2) = a 2 b 2 = a b 4. g) g = a (3 b) + 3 = a 3 + b + 3 = a + b 3 + 3 = a + b. h) h = ( a + b) + ( c + d) = a b c + d i) i = 9 ( 3+x)+(x y)+( 3+y) = 9+3 x+x y 3+y = 9+3 3 x+x y +y = 9. j) j = 19 (x 13 y)+(y 13) = 19 x+13+y+y 13 = 19+13 13 x+y+y = 19 x+2y. k) k = 29 (23 x y) (x 23) = 29 23+x+y x+23 = 29 23+23+x x+y = 29+y l) l = [ (3 x) (x + 2) ] [ (x + 2) + ( x 3) ] = (3 x) + (x + 2) + (x + 2) ( x 3) l = 3 + x + x + 2 + x + 2 + x + 3 = 4x + 4. 3 m) T = a b + 4 c = a b + (4 c) n) T = a b + 4 c = a (b 4) c o) T = a b + 4 c = (a + b 4) c Corrigé de l exercice I.2 (p.4) On préférera la deuxième méthode de la règle R5, c est-à-dire supprimer les crochets extérieurs avant les parenthèses intérieures. 1 n = a [ (1 c) + 1 ] = a (1 c) 1 = a 1 + c 1 = a + c 2. 2 w = [ (b 1) c ] 1 = (b 1) c 1 = b 1 c 1 = b c 2.

27 3 v = [ (a c) (a b) ] [ (b c) (a + c) ] = (a c) (a b) (b c) + (a + c) = a c a + b b + c + a + c = a a + a + b b c + c + c = a + c. Corrigé de l exercice I.3 (p.5) 1 a) On remplace x par 5 dans 3x 7, cela donne : 3 5 7 = 15 7 = 8 (n oublions pas que 3x = 3 x). b) x est remplacé par ( 4) : 3 ( 4) 7 = 12 7 = 19. c) x est remplacé par 0 : 3 0 7 = 0 7 = 7. 2 a) On remplace, dans 5x 4y, x par 4 et y par 3 ; cela donne : 5 4 4 3 = 20 12 = 8. b) x est remplacé par 2 et y par 5 : 5 ( 2) 4 ( 5) = 10 + 20 = 10. Corrigé de l exercice I.4 (p.6) 1 On commence par écrire A = [ 3(x + 5) ] [ 4(x 2) ] (on rajoute ces crochets qui sont en fait facultatifs, à cause de la priorité de la multiplication sur la soustraction) ; on va maintenant calculer l intérieur des crochets : 3(x + 5) = 3 x + 3 5 = 3x + 15 et 4(x 2) = 4 x 4 2 = 4x 8. Cette fois, on retourne à l expression de A, et les crochets deviennent de simples parenthèses, qui sont maintenant obligatoires (surtout les deuxièmes). A = (3x + 15) (4x 8) ; pour finir on enlève ces dernières parenthèses et on conclut : A = 3x + 15 4x + 8 = 3x 4x + 15 + 8 = x + 23. 2 Nous allons travailler un peu plus vite, maintenant, mais avec le même schéma. B = (2x + 1) + 10(5 + 3x) = [ (2x + 1) ] + [ 10(5 + 3x) ] ; (2x + 1) = 2x 1 et 10(5 + 3x) = 10 5 + 10 3x = 50 + 30x donc B = ( 2x 1) + (50 + 30x) = 2x 1 + 50 + 30x = 2x + 30x 1 + 50 = 28x + 49. 3 On fait maintenant les calcul sans commentaires, comme vous saurez bientôt le faire! C = 3(3 a) 4(3 b) = [ 3(3 a) ] [ 4(3 b) ] C = ( 9 + 3a) (12 4b) = 9 12 + 3a + 4b = 21 + 3a + 4b. 4 D = (2a 3) 2( 5 + b) = 2a 3 + 10 2b = 2a 2b + 7. Corrigé de l exercice I.5 (p.7) 1 A = (x 3)( 4y + 7) = x 4y + x 7 + 3 4y = 3 7 = 4xy + 7x + 12y 21. 2 B = (2t + 1)(5u 4) = 2t 5u 2t 4 + 1 5u 1 4 = 10tu 8t + 5u 4. 3 On écrit K = (x+2)(a 3) (x 2)(a+3) (ax+6) = [ (x+2)(a 3) ] [ (x 2)(a+3) ] (ax+6). Nous allons maintenant traiter à part le contenu des crochets ; ce n est pas obligatoire de procéder ainsi, mais ça peut être plus prudent. (x + 2)(a 3) = x a x 3 + 2 a 2 3 = ax 3x + 2a 6 ; (x 2)(a + 3) = x a + x 3 2 a 2 3 = ax + 3x 2a 6 ; on revient maintenant à l expression de K :

28 D A E U B Année de remise à niveau K = (ax 3x+2a 6) (ax+3x 2a 6) (ax+6) = ax 3x+2a 6 ax 3x+2a+6 ax 6 K = ax ax ax 3x 3x + 2a + 2a 6 + 6 6 = ax 6x + 4a 6. Voyons maintenant une rédaction «rapide» pour le même calcul, comme celle que vous arriverez sans doute bientôt à faire : K = (x + 2)(a 3) (x 2)(a + 3) (ax + 6) = (ax 3x + 2a 6) (ax + 3x 2a 6) ax 6 K = ax 3x + 2a 6 ax 3x + 2a 6 ax 6 = ax 6x + 4a 6. 4 Avec une rédaction «rapide» : L = 5 [ x + 3(y 2) ] 2 [ x + 5(y 3) ] = 5 [ x + (3y 6) ] 2 [ x + (5y 15) ] = 5( x + 3y 6) 2(x + 5y 15) = ( 5x + 15y 30) (2x + 10y 30) L = 5x + 15y 30 2x 10y + 30 = 7x + 5y. Corrigé de l exercice I.6 (p.11) 1 a = 1 9 + 5 9 = 1 + 5 9 = 6 9 = 2 3 3 3 = 2 3 2 b = 4 5 + 2 15 = 4 3 5 3 + 2 15 = 12 15 + 2 15 = 12 + 2 15 3 c = 4 15 12 = 14 15 ; il faut commencer par trouver un dénominateur commun, qui ne soit si possible 25 pas trop grand. Bien sûr, 15 25 est un multiple commun de 15 et 25, mais ce ne serait pas malin d utiliser ce nombre qui est vraiment grand. On écrit 15 = 3 5 et 25 = 5 5 (ce son les décompositions en produits de nombres premiers de ces deux nombres 15 et 25). On est donc sûr qu on peut prendre 3 5 5 = 75 comme dénominateur commun. c = 4 3 5 12 5 5 = 4 5 3 5 5 12 3 5 5 3 = 20 75 36 20 36 = = 16 75 75 75 = 16 75 4 d = 7 12 13 Appliquons la même méthode avec une rédaction plus «rapide». 21 7 d = 3 2 2 13 3 7 = 7 7 3 4 7 13 4 3 7 4 = 49 84 52 49 52 = = 101 84 84 84 5 e = 1 4 9 = 9 9 4 9 = 9 4 = 5 9 9 6 f = 7 + 3 4 = 7 1 + 3 4 = 7 4 1 4 + 3 4 = 28 + 3 4 7 g = 5 b + 5 2b = 5 2 2b + 5 2b = 10 + 5 2b = 15 2b = 25 4 = 25 4 8 h = a 6 b 10 = a 2 3 b 2 5 = a 5 2 3 5 b 3 2 5 3 = 5a 30 3b 30 9 i = 2a 3 3x 4 = 2a 4 3 4 3x 3 4 3 = 8a 12 9x 8a 9x = 12 12 10 j = 3 2b 2 3b = 3 3 2b 3 2 2 3b 2 = 9 4 6b = 5 6b 5a 3b = 30 = 101 84 11 k = 2 x + 3 y = 2y xy + 3x 2y + 3x = yx xy 12 l = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 ; il est clair que 2 2 3 = 12 est un multiple de tous 2 2 les dénominateurs, donc un dénominateur commun convenable. l = 12 12 + 1 6 2 6 + 1 4 3 4 + 1 3 4 3 = 12 + 6 + 4 + 3 = 25 12 12

29 Corrigé de l exercice I.7 (p.13) 1 Première méthode : on développe les produits grâce à la règle R7. ( A = 2 1 ) ( ) 7 3 + 5 4 1 2 11 20 = 2 3 1 5 3 + 7 4 2 1 2 11 20 A = 6 3 5 + 14 4 2 1 11 ; 20 est un dénominateur commun convenable. 20 A = 6 20 20 3 4 5 4 + 14 5 4 5 2 20 1 20 11 20 = 120 12 + 70 40 11 20 = 127 20 Deuxième méthode : on calcule déjà le contenu des parenthèses. ( A = 2 1 ) ( ) 7 3 + 5 4 1 2 11 ( 10 20 = 5 1 ) ( 7 3 + 5 4 4 ) 2 11 4 20 ( ) ( ) 10 1 7 4 = 3 + 2 11 5 4 20 = 9 5 3 + 3 4 2 11 20 = 27 5 + 6 4 11 20 A = 27 4 5 4 + 6 5 4 5 11 108 + 30 11 = = 127 20 20 20 ( 1 2 B = 2 2 ) ( 3 3 4 + 7 ) 5 12 4 + 5 6 7 0,2 ; développons tout : 2 B = 1 2 3 4 + 1 2 7 12 2 3 3 4 2 3 7 12 5 4 + 5 7 6 2 2 10 B = 3 8 + 7 24 2 3 3 2 2 2 7 3 6 2 5 4 + 35 12 1 5 B = 3 8 + 7 24 1 2 7 18 5 4 + 35 12 1 5 ; Cherchons un multiple commun des dénominateurs ; en écrivant 24 = 2 2 2 3, 18 = 3 3 2, et en constatant qu on a un 5 au dernier dénominateur, le plus petit multiple commun est donc 2 2 2 3 3 5 = 360. Donc B = 3 45 8 45 + 7 15 24 15 1 180 2 180 7 20 18 20 5 90 35 30 + 4 90 12 30 1 72 5 72 B = 135 + 105 180 140 450 + 1050 72 360 Corrigé de l exercice I.8 (p.14) = 448 360 = 56 8 45 8 = 56 45 1 a = 75 63 35 11 105 99 39 42 52 28 = 5 3 5 5 7 3 3 7 11 3 35 3 33 39 42 28 52 a = 125 33 35 33 3 13 3 2 7 2 2 7 125 35 = 1 2 2 13 33 2 a = 90 33 1 2 = 3 30 3 11 1 2 = 30 11 1 2 = 30 2 11 2 1 11 60 11 = 2 11 22 2 b = 1 + 2 3 1 2 3 3 c = 1 3 1 4 1 3 + 1 4 = = 3 3 + 2 3 3 3 2 3 = 1 4 1 3 3 4 4 3 1 4 + 1 3 3 4 4 3 5 3 1 3 = = 5 3 3 1 = 5. 4 3 12 4+3 12 = 1 12 7 12 = 1 12 12 7 = 1 7 = 49 22

30 D A E U B Année de remise à niveau 4 d = 9 1 + 5 3 6 5 + 1 3 = N D en appelant N = 9 1 + 5 et D = 5 + 1 3 (cette méthode de 3 6 2 4 2 4 traiter à part le numérateur et le dénominateur d une fraction aurait raisonnablement pu être appliquée aussi pour b et pour c). N = 9 6 1 6 1 2 3 2 + 5 6 = 54 2 + 5 6 19 2 21 4 = 57 6 = 3 19 3 2 = 19 2 ; D = 5 4 1 4 + 1 2 2 2 3 4 = 20 + 2 3 = 21 4 4 ; Donc d = = 19 2 4 21 = 19 2 2 2 3 7 = 38 21 5 e = a 2 3 2a 5 6 f = 3 5 7 9 = = a 5 2 5 3 = 3 45 7 5 9 7 Corrigé de l exercice I.9 (p.15) 1 a = 3 2 = 3 3 = 9. 2 b = 2 3 = 2 2 2 = 8. (3 2a) 2 5 2 3 c = ( 5) 2 = ( 5) ( 5) = 5 5 = 25. = 5a 2(3 2a) 10 = 3 7 45 = 3 7 3 15 = 7 15 4 d = ( 1) 4 = ( 1)( 1)( 1)( 1) = 1 1 1 1 = 1. = 5a 6 + 4a 10 = 9a 6 10 5 e = 1 50 = } 1 1 1 {{ 1 1 } = 1. 50 facteurs 6 f = 4 2 ( 3) 2 ( 5) 3 = 4 4 ( 3) ( 3) ( 5) ( 5) ( 5) = 16 9 125 = 18 000. Corrigé de l exercice I.10 (p.15) 1 A = 4 5 2 + 3 2 4 = 4 25 + 3 16 = 100 + 48 = 148. 2 B = (4 5) 2 + (3 2) 4 = 20 2 + 6 4 = 400 + 1296 = 1696. 3 C = 4 (5 2 + 3) 2 4 = 4 (25 + 3) 16 = 4 28 16 = 1792. 4 D = (4 5 2 + 3) 2 4 = (4 25 + 3) 16 = 103 16 = 1648. Corrigé de l exercice I.11 (p.15) ( ) 2 ( ) 3 1 2 1 A = = 12 2 3 2 3 2 2 3 = 2 2 2 3 2 2 3 3 3 = 27 2 2 B = 3 ( 2 ( 2 2 5) 5 ) 3 = 3 3 2 2 5 2 ( 5 5 ) ( 5 ) ( 5 ) = 3 2 2 5 5 5 3 3 3 2 5 5 3 3 3 B = 10 9 ( 3 C = 3) 2 4 ( ) 2 ( 3 9 3 ; le premier facteur est positif (il y a quatre ), le deuxième 4 2) aussi (c est un carré), mais le troisième facteur est négatif car il comport trois signes. Donc C est négatif et on a C = 24 3 2 9 3 3 4 4 2 2 = 2 2 2 2 3 3 9 9 9 3 3 3 3 3 4 4 2 2 2 = 81 8

31 Corrigé de l exercice I.12 (p.16) 1 a = 38 10 2 = 38 100 = 3 800. 2 b = 9,87 10 2 = 9,87 100 = 987. 3 c = 0,326 4 10 3 = 0,326 4 1 000 = 326,4 4 d = 2,041 10 6 = 2,041 1 000 000 = 2 041 000. Corrigé de l exercice I.13 (p.16) 1 a) a = 3 3 + 2 2 = 3 3 3 + 1 2 2 = 27 + 1 4 = 27 4 + 1 4 4 = 108 + 1 = 109 4 4 = 27,25 b) b = 6 3 3 3 = 6 6 6 1 3 = 6 6 6 3 3 3 3 = 2 2 2 = 8. c) c = 5 3 + 5 3 = 5 5 5 + 1 5 = 125 + 1 3 125 125,008. 2 d) d = 456 10 3 = 456 10 = 456 3 1 000 = 0,456. e) e = 17 10 4 = 17 = 0,001 7. 10 000 f) f = 5,1 10 5 = 5,1 = 0,000 051. 100 000 g) g = 4 327 000 10 6 = Corrigé de l exercice I.14 (p.17) 1 a = 3 7 3 4 = 3 7 4 = 3 3. 2 b = 9 11 9 13 = 9 11 13 = 9 2 3 c = 2 4 2 7 = 2 4 7 = 2 11. 4 d = 4 2 7 = 2 2 2 7 = 2 2+7 = 2 9 5 e = 27 3 5 = 3 3 3 5 = 3 3 5 = 3 2. 4 327 000 1 000 000 = 4,327. = 125 125 125 6 f = 100 10 3 10 7 = 10 2 10 3 10 7 = 10 2+3 7 = 10 2. Corrigé de l exercice I.15 (p.18) + 1 125 = 15625 + 1 = 15626 125 125 = 1 a = 45 4 3 = 45 3 = 4 2. 2 b = 52 5 5 = 52 ( 5) = 5 2+5 = 5 7. 3 c = 7 3 7 9 = 7 3 9 = 7 12. 4 d = 11 5 11 2 = 11 5 ( 2) = 11 5+2 = 11 3. 5 e = a2 a 3 a 4 a 5 = a2+3 4 5 = a 4. 6 f = c 2 c 3 c 6 c 4 c 5 = c 2 3 6 ( 4) ( 5) = c 11+4+5 = c 2.

32 D A E U B Année de remise à niveau 7 g = ( 5)2 5 3 5 2 = 52 5 3 5 2 = 5 3. 8 h = ( 2)5 ( 2) 3 ( 2) 8 = ( 2) 5+3 8 = ( 2) 0 = 1. 9 i = 37 3 4 3 = 37 3 4 3 = 1 37 4 1 = 3 2. 10 1 j = ( 3) 4 ( 3) = 2 ( 3)4+( 2) = ( 3) 4 2 = ( 3) 2 = 3 2. 11 k = 62 6 3 6 6 3 6 2 = 6 2 3+1 3 ( 2) = 6 5 6 = 6 1. Corrigé de l exercice I.16 (p.19) 1 a) a = 62 5 7 27 3 ; a est forcément positif. 21 4 9 2 10 a = (3 2)2 5 7 (3 3 ) 3 (3 7) 4 (3 2 ) 2 (2 5) = 32 2 2 5 7 3 3 3 3 4 7 4 3 2 2 2 1 5 1 a = 3 2+9 4 4 2 2 1 5 7 1 7 4 = 3 3 2 5 6 7 4 = 843750 2401 b) b = ( 2)7 ( 6) 5 ( 3) 10 ; si on écrivait l expression de b avec des produits, il y aurait 18 4 ( 12) 3 7 fois le nombre ( 2), 5 fois le nombre ( 6), 10 fois le nombre ( 3) et 3 fois le nombre ( 12), soit en tout 7+5+10+3 = 25 facteurs négatifs : comme il y a un nombre impairs de signes, en application de la règle des signes, b est négatif. On a donc : b = 27 6 5 3 10 = 27 (2 3) 5 3 10 18 4 12 3 (2 3 2 ) 4 (2 2 3) = 27 2 5 3 5 3 10 3 2 4 3 2 4 2 2 3 3 3 b = 2 7+5 4 6 3 5+10 8 3 = 2 2 3 4 = 324. 2 a) x = a2 b 3 a 3 b = 4 a2 3 b 3 4 = a 1 b 1. b) y = (a 2 b 3 ) 5 = a 2 5 b 3 5 = a 10 b 15. c) z = a 3 b 7 a 5 b 6 b a = a3+( 5) 1 b 7+( 6)+1 = a 3 b 2. d) t = (a 1 b 4 ) 2 = a 1 2 ( 3) b 4 2 5 = a 1 b 3 = ab 3. a 3 b 5 3 Un litre, c est 1 décimètre cube, donc 1 000cm 3 et 1 000 000mm 3. Il y a donc 45 10 5 10 6 globules rouges dans un litre de sang, et 6 45 10 5 10 6 globules rouges pour un individu. L épaisseur d un globule étant 3 10 6 m, la hauteur totale sera, en mètres : h = 3 10 6 6 45 10 5+6 = 810 10 5 = 81 000 000 mètres, soit environ 81 000 kilomètres! Corrigé de l exercice I.17 (p.20) A = x 2 + 2x + 3, B = 2x 2 + 3x 1, C = 3x 2 5x + 1. 1 P = A + B + C = (x 2 + 2x + 3) + (2x 2 + 3x 1) + (3x 2 5x + 1) P = (1 + 2 + 3)x 2 + (2 + 3 5)x + (3 1 + 1) = 6x 2 + 3. 2 Q = A + B + C = (x 2 + 2x + 3) + (2x 2 + 3x 1) + (3x 2 5x + 1) Q = ( 1 + 2 + 3)x 2 + ( 2 + 3 5)x + ( 3 1 + 1) = 4x 2 4x 3.

33 3 R = A + C B = (x 2 + 2x + 3) + (3x 2 5x + 1) (2x 2 + 3x 1) R = (1 + 3 2)x 2 + (2 5 3)x + (3 + 1 ( 1)) = 2x 2 6x + 5. 4 S = A + 2B 3C = (x 2 + 2x + 3) + 2(2x 2 + 3x 1) 3(3x 2 5x + 1) S = (1 + 2 2 3 3)x 2 + (2 + 2 3 3( 5))x + (3 + 2( 1) 3 1) = 4x 2 + 23x 2. Corrigé de l exercice I.18 (p.20) 1 A = 2x 3x 2 +1+(4x 2 3x+2) (3x 2x 2 3) = ( 3+4 ( 2))x 2 +(2 3 3)x+(1+2 ( 3) A = 3x 2 4x + 6. 2 B = 3x 2 8(2x 2 3x + 1) + 4(5x 2 4x + 3) B = (3 8 2 + 4 5)x 2 + ( 8( 3) + 4( 4))x + ( 8 1 + 4 3) B = 7x 2 +8x + 4. 3 C = a 3 +b 2 (2a 3 4ab 2 b 2 ) = a 3 +b 2 2a 3 +4ab 2 b 2 = (1 2)a 3 +(1 1)b 2 +4ab 2 = a 3 +4ab 2. ) ( 4 D = (x + x3 2 + 3x2 x 2 4 2 + 2x ) 3 5x3 6 ( ( 1 D = 2 5 )) ( 3 x 3 + 6 4 1 ) ( x 2 + 1 2 ) x 2 3 ( 3 D = 6 + 5 ) ( 3 x 3 + 6 4 2 ) ( 3 x 2 + 4 3 2 ) x = 8 3 6 x3 + 1 4 x2 + 1 3 x D = 4x3 3 + x2 4 + x 3 Corrigé de l exercice I.19 (p.21) 1 E = 5x 2 (4x 1) = 5x 2 4x + 5x 2 ( 1) = 5 4 x 2 x 1 5x 2 = 20x 2+1 5x 2 = 20x 3 5x 2. 2 F = 9x 4 (3x 3 4x 2 + 7x 5) = 9x 4 3x 3 9x 4 4x 2 + 9x 4 7x 9x 4 5 F = 27x 4+3 36x 4+2 + 63x 4+1 45x 4 = 27x 7 36x 6 + 63x 5 45x 4. 3 G = 3xy 2 (2x 2 4xy + y 3 ) = 3xy 2 2x 2 3xy 2 4xy + 3xy 2 y 3 G = 6x 3 y 2 12x 2 y 3 + 3xy 5. 4 H = (2x + 1)(3x + 2) = 2x 3x + 2x 2 + 1 3x + 1 2 = 6x 2 + 4x + 3x + 2 H = 6x 2 + 7x + 2. 5 I = (x 2) 2 = (x 2)(x 2) = x 2 x 2 2x + 2 2 = x 2 4x + 4. 6 J = (x 1) 2 + 3(2x + 3) 2 = (x 1)(x 1) + 3 [ (2x + 3)(2x + 3) ] J = (x 2 x x + 1) + 3(4x 2 + 6x + 6x + 9) = x 2 2x + 1 + 12x 2 + 36x + 27 = 13x 2 + 34x + 28. 7 K = (x 1) 2 + ( 3(2x + 3) ) 2 = x 2 2x + 1 + 3 2 (2x + 3) 2 = x 2 2x + 1 + 9(4x 2 + 6x + 6x + 9) K = x 2 2x + 1 + 36x 2 + 108x + 81 = 37x 2 + 106x + 82 8 L = (3x 2)(2x 1) 2 9(3x + 2) = (3x 2) ( (2x 1)(2x 1) ) 27x 18 L = (3x 2)(4x 2 2x 2x + 1) 27x 18 = (3x 2)(4x 2 4x + 1) 27x 18 L = 12x 3 12x 2 + 3x 8x 2 + 8x 2 27x 18 = 12x 3 20x 2 16x 20. 9 M = (6x 2 + 4x 3 + 9x)(2x 3) = 12x 3 18x 2 + 8x 4 12x 2 + 18x 2 27x = 8x 4 27x. 10 N = (x 2 + 9)(2x + 6)(3 x) = (x 2 + 9) ( (2x + 6)(3 x) ) = (x 2 + 9)(6x 2x 2 + 18 6x) N = (x 2 + 9)( 2x 2 + 18) = 2x 4 + 18x 2 18x 2 + 162 = 2x 4 + 162.

34 D A E U B Année de remise à niveau Corrigé de l exercice I.20 (p.21) 1 O = 8x3 12x 2 + 16x 4x O = 2x 2 3x + 4. 2 P = 2ax4 + 5a 2 x 3 6a 4 x 2ax 3 Q = 2abx + 3aby + abc2 2ab Q = x + 3 2 y + c2 2 Corrigé de l exercice I.21 (p.22) 1 A = 32x 3 24x = 8x(4x 2 3). = 8x3 4x 12x2 4x + 16x 4x = 2 4 x2 x 3 4 x x + 4 4x 4 x 4 x 4x = 2ax( x 3 + 5 2 ax2 3a 3 ) = x 3 + 5 2ax 2 ax2 3a 3. ( ) 2ab x + 3y + c2 2 2 = 2ab 2 B = 5x(3x 1) 4(3x 1) = (3x 1)(5x 4). 3 C = 4x(2x + 1) 6(2x + 1) = (2x + 1)(4x 6). 4 D = (2x 3) 2 x(2x 3) = (2x 3) [ (2x 3) x ] = (2x 3)(x 3). 5 E = 5(x 1) 2 4x(x 1) = (x 1) [ 5(x 1) 4x ] = (x 1)(5x 5 4x) E = (x 1)(x 5). Corrigé de l exercice I.22 (p.23) 1 A = (5x + 4)(4 3x) (3x 4)(x 3) = (5x + 4)(4 3x) + (4 3x)(x 3) A = (4 3x) [ (5x + 4) + (x 3) ] = (4 3x)(6x + 1). 2 B = (3x + 2)(1 x) + (2x 1)(x 1) = (3x + 2)(1 x) (2x 1)(1 x) B = (1 x) [ (3x + 2) (2x 1) ] = (1 x)(3x + 2 2x + 1) = (1 x)(x + 3). 3 C = (x 8)(4x 1) + (x 2 8x) = (x 8)(4x 1) + x(x 8) = (x 8) [ (4x 1) + x ] C = (x 8)(5x 1). 4 D = (5 3x)(x 1) (3x 5) 2 = (3x 5)(x 1) (3x 5)(3x 5) D = (3x 5) [ (x 1) (3x 5) ] = (3x 5)( x + 1 3x + 5) = (3x 5)( 4x + 6). Corrigé de l exercice I.23 (p.24) 1 a = 49 (x 1) 2 ; c est bien sûr la règle (I.1) p.23 qu il faut utiliser : a = 7 2 (x 1) 2 = [ 7 + (x 1) ] [ 7 (x 1) ] = (6 + x)(8 x). 2 b = (3x + 1) 2 (2x 3) 2 encore la règle (I.1) p.23 : b = [ (3x+1)+(2x 3) ] [ (3x+1) (2x 3) ] = (3x+1+2x 3)(3x+1 2x+3) = (5x 2)(x+4). 3 c = 4(2x 1) 2 9. Deux termes, un signe, ce sont des indices pour la règle (I.1) p.23 : c = 2 2 (2x 1) 2 3 2 = [ 2(2x 1) ] 3 2 = [ 2(2x 1) + 3 ][ 2(2x 1) 3 ] c = (4x 2 + 3)(4x 2 3) = (4x + 1)(4x 5). 4 d = x 2 6x + 9. Ici, il y a trois termes et un signe, ce sont des indices pour essayer d utiliser la règle (I.3) p.23 ; les carrés sont x 2 et 3 2, donc le double produit doit être égal à 2 x 3 = 6x, c est bien le terme qui apparaît dans d. d = x 2 2 x 3 + 3 2 = (x 3) 2.

35 5 e = 4x 2 +25+20x ; ici, trois termes et uniquement des +, donc on essaie d utiliser la règle (I.2) p.23, avec les carrés 4x 2 = (2x) 2 et 25 = 5 2, donc 2 2x 5 = 20x comme double produit, qui est bien ce qu on rencontre : e = (2x) 2 + 2 2x 5 + 5 2 = (2x + 5) 2. ( 6 f = x + x2 4 + 1. On essaie d utiliser la règle (I.2) p.23 ; les carrés sont 1 = 12 et x2 x ) 2 4 = ; 2 vérifions que le dernier terme est bien le double carré attendu : 2 x 1 = x, c est bon, donc : 2 ( x ) 2 x ( x ) ( x ) f = + 2 2 2 1 + 12 = 2 + 1 2 1. 7 g = x2 9 x 3 + 1 ; trois termes avec un signe, donc on pense à la règle (I.3) p.23, avec les carrés 4 x 2 ( 9 = x2 x ) ( ) 2 2 3 = 1 et 2 3 4 = 12 1 2 =, donc un double produit qui devrait être 2 x 2 3 2 1 = x, 2 3 c est bien ce qu on a donc : ( x ) 2 x g = 2 3 3 1 ( ) 2 ( 1 x 2 + = 2 3 1 ) 2. 2 8 h = 49a 2 +4+28a. C est la formule (I.2) p.23 qu on essaie d utiliser, avec les carrés 49a 2 = (7a) 2 et 4 = 2 2, donc un double produit qui doit être 2 7a 2 = 28a, c est bon, donc : h = (7a) 2 + 2 7a 2 + 2 2 = (7a + 2) 2. Corrigé de l exercice I.24 (p.25) 1 A = (2x+1)(3x 5) (x+6)(2x+1) = (2x+1) [ (3x 5) (x + 6) ] = (2x+1)(3x 5 x 6) A = (2x + 1)(2x 11). 2 B = (x + 1)(2x 3) + (3 2x)(5x + 7) ; il faut retourner un des termes (2x 3) ou (3 2x) en changeant son signe. B = (2x 3)(x + 1) (2x 3)(5x + 7) = (2x 3) [ (x + 1) (5x + 7) ] = (2x 3)(x + 1 5x 7) B = (2x 3)( 4x 6) ; on pourrait encore mettre 2 en facteur dans le dernier facteur : B = (2x 3)( 2)(2x + 3) = 2(2x 3)(2x + 3) ; 3 C = (7x + 2) 2 3x(7x + 2) = (7x + 2)(7x + 2) 3x(7x + 2) = (7x + 2) [ (7x + 2) 3x ] C = (7x + 2)(7x + 2 3x) = (7x + 2)(4x + 2) = 2(7x + 2)(2x + 1). 4 D = x 2 1 + (x 1)(7x + 3). On commence par factoriser x 2 1 avec la formule (I.1) p.23 : D = (x + 1)(x 1) + (x 1)(7x + 3) = (x 1) [ (x + 1) + (7x + 3) ] = (x 1)(8x + 4) D = 4(2x + 1)(x 1). 5 E = (1 4x) 2 (4 x) 2 ; une différence de deux carrés, donc E = [ (1 4x)+(4 x) ] [ (1 4x) (4 x) ] = (1 4x+4 x)(1 4x 4+x) = (5 5x)( 3 3x) E = ( 5)(x 1)( 3)(x + 1) = 15(x 1)(x + 1). 6 F = x 2 8x + 16 ; on applique la formule (I.3) p.23 avec les carrés x 2 et 16 = 4 2, après avoir vérifié qu on a le bon double produit : 2 x 4 = 8x, c est bon : F = x 2 2 x 4 + 4 2 = (x 4) 2. 7 G = (2x + 3)(3x + 2) 3x 2 ; on met entre parenthèses les deux derniers termes : G = (2x + 3)(3x + 2) (3x + 2) = (2x + 3)(3x + 2) 1(3x + 2) G = (3x + 2)(2x + 3 1) = (3x + 2)(2x + 2) = 2(3x + 2)(x + 1).

36 D A E U B Année de remise à niveau 8 H = 4x 2 4x + 1 + (2x 1)(x + 2). On factorise les trois premiers termes avec la formule (I.3) p.23 ; les carrés sont 4x 2 = (2x) 2 et 1 = 1 2, et 4x est bien le double produit 2 2x 1, donc H = (2x) 2 2 2x 1 + 1 2 + (2x 1)(x + 2) = (2x 1) 2 + (2x 1)(x + 2) H = (2x 1) [ (2x 1) + (x + 2) ] = (2x 1)(3x + 1). 9 I = (2x 3)(x 1) (1 x) 2 + 3(x 1)(1 3x). (1 x) = (x 1), donc (1 x) = [ (x 1) ] 2 = (x 1) 2. On a donc I = (2x 3)(x 1) (x 1) 2 + 3(x 1)(1 3x) I = (x 1) [ (2x 3) (x 1) + 3(1 3x) ] I = (x 1)(2x 3 x + 1 + 3 9x) = (x 1)( 8x + 1). 10 J = x 2 + 10x + 16. Il est naturel d essayer d utiliser la formule (I.2), p.23, avec les carrés x 2 et 16 = 4 2 ; il ne faut pas oublier de vérifier que le double produit est bien celui dont on a besoin : 2 x 4 = 8x. On constante que 10x 8x, donc cette tentative n aboutit pas. On procède différemment, en essayant d utiliser la même formule, mais en s appuyant sur le carré x 2 et le double produit 2 x 5, ce qui demande le second carré 5 2 = 25. Donc on peut écrire J = x 2 + 2 x 5 + 5 2 25 + 16 = (x + 5) 2 9 = (x + 5) 2 3 2 ; on a maintenant une différence de deux carrés : J = [ (x + 5) + 3 ] [ (x + 5) 3 ] = (x + 8)(x + 2).

37 Université de Franche-Comté Centre de Télé-Enseignement Universitaire D.A.E.U. B, année de remise à niveau 2011-2012 DEVOIR n 1 à envoyer à la correction Exercice I Simplifier les expressions suivantes (c est-à-dire supprimer crochets et parenthèses puis réduire les termes). 1 a = 2(x 3y 4) 2 [ x 3 4( 3y + x 2) ] ; 2 b = 2x + 3 [ 5 + 2x 2( x + 5) ]. Factoriser les expressions suivantes. Exercice II 1 c = (x 1)(x 2) (1 x)(5 x) + x 1 ; 2 d = 2(x 3)(x 1) + x 2 9 2(1 x)(3x 9) ; 3 e = 16x 2 + 25 40x ; 4 f = (x 7y) 2 4(2x y) 2 ; 5 g = x 2 6x + 9 (x + 1)(2x 6) ; 6 h = 2(x 2) 2 (x 2 4) + (x 2)(x 8) ; 7 i = 16a 2 9x 4 ; 8 j = 4x 2 52x + 144. Exercice III Développer et réduire les produits suivants : 1 k = (2x 2 + 5x + 1)(2x 1) ; 2 l = (2a + b 2 c) 2 ; 3 m = (2x 2 xy + y 2 )(2x + 3y) ; 4 n = (a 3 a 2 b b 3 )(a 2 + 3ab + 4b 2 ). Exercice IV Factoriser les numérateurs et les dénominateurs des fractions suivantes, afin de les simplifier au maximum. 1 o = a2 + ab a 2 ab a ; 2 p = x2 4 x 2 + 2x ; 3 q = (2a + 3)2 a 2 a 2 1

38 D A E U B Année de remise à niveau

Chapitre II Équations du premier degré II.1 Introduction II.1.1 Définition Définition II.1 Une équation à une inconnue est une égalité faisant intervenir une quantité inconnue (en général notée x). Une solution de cette équation est une valeur de x qui rend l égalité vraie. Cette définition abstraite n est pas très simple à interpréter. commençons par un exemple. Exemple 1 : Considérons les deux expressions 4x + 7 et 6x + 1. On va chercher pour quelles valeurs de x ces expressions sont égales. Faisons différents essais. x 4x + 7 6x + 1 0 7 1 1 11 7 1 3 5 2 15 13 2 5 11 3 19 19 4 23 25 Nous remarquons que lorsqu on remplace x par 3, les deux expressions prennent la même valeur numérique ; cela se traduit mathématiquement en disant que 3 est une solution de l équation 4x + 7 = 6x + 1. Le tableau ne nous permet pas de découvrir d autres solutions, mais cela ne prouve pas qu il n y en a pas d autres. L objet de ce chapitre est d étudier les équations de ce genre et de trouver toutes leurs solutions. Exercice II.1 Voici des équations et des nombres. Déterminer, pour chaque équation, si les nombres proposés sont des solutions de cette équation 1 2x + 3 = x + 2 ; 4, 1, 0, 2. 39

40 D A E U B Année de remise à niveau 2 x 2 = x + 2 ; 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. 3 x 3 + 11x = 6x 2 + 6 ; 1, 0, 1, 2, 3, 4. II.1.2 Vocabulaire Dans une équation, l expression qui figure à gauche du signe = s appelle le premier membre de l équation (ou membre de gauche). L expression qui figure à droite du signe = s appelle le second membre de l équation (ou membre de droite). Une équation a donc deux membres. Quand le second membre est nul, on dit souvent, par abus de langage, qu on a affaire à une équation sans second membre. Un nombre est une solution de l équation, si lorsqu on substitue l inconnue par ce nombre, les valeurs prises par les deux membres de l équation prennent la même valeur. II.2 Règles de transformation des équations Pour résoudre une équation, on lui applique des règles de transformation que nous allons expliciter dans ce paragraphe, jusqu à obtenir une équation évidente à résoudre. II.2.1 Illustration sur un exemple Commençons par interpréter l équation 4x + 7 = 6x + 1 en terme d équilibre d une balance : 4x + 7 = 6x + 1 On cherche quelle est donc la valeur du poids x sachant que l équilibre est réalisé. On commence par se dire qu enlever un poids de 1 de chaque côté ne change rien. 4x + 7 1 = 6x + 1 1 On a obtenu l équation 4x + 7 1 = 6x. Par rapport à l équation initiale, c est comme si on avait changé le terme 1 de membre de l équation (il est passé du second membre au premier membre) en changeant le signe qui le précédait. On a donc maintenant l équation 4x + 6 = 6x. On se dit que si on enlève 4x sur chaque plateau, on ne changera pas l équilibre : 4x 4x + 6 = 6x 4x

41 On a obtenu l équation 4x 4x+6 = 6x 4x, soit 6 = 6x 4x ; à partir de l équation 4x+6 = 6x, on a changé le terme 4x de membre de l équation (il est passé du premier membre au second) en changeant son signe. On a maintenant l équation 6 = 2x. Pour terminer, on se dit qu on ne changera pas l équilibre si on divise par deux les quantités présentes sur chaque plateau : on ne laissera que 3 poids de 1 à gauche et juste un poids inconnu x à droite : 6 2 = 2x 2 On obtient pour terminer l équation 6 = 2x, soit 3 = x, ou encore x = 3. 2 2 On a déterminé la seule valeur de x possible pour que l équilibre soit réalisé : le poids x doit valoir 3. Nous pouvons maintenant formaliser par des règles ce que nous venons d illustrer II.2.2 Règle d addition-soustraction R19 Dans une équation, si un des membres est une somme, on peut changer de membre un des termes de cette somme, à condition de changer le signe qui le précède. Plus précisément, si on change un terme précédé d un signe, il sera précédé de + après le changement de membre ; s il était précédé de + (ou sans rien devant, si c est le premier terme de la somme), il se retrouve précédé de après changement de membre. En fait, changer un terme de membre revient à l additionner (ou le soustraire) aux deux membres de l équation. II.2.3 Règle de multiplication-division R20 Dans une équation, on peut multiplier ou diviser les deux membres par le même terme non nul. II.3 II.3.1 Équations du premier degré à une inconnue Définition Définition II.2 On dit qu une équation est du premier degré à une inconnue x lorsqu elle peut être mise sous la forme ax = b (a et b désignant deux nombres) en utilisant les règles R19 et R20. C est le cas lorsque les deux membres sont des polynômes en x ne comportant pas de termes avec des puissances de x. Traitons quelques exemples.

42 D A E U B Année de remise à niveau Exemple 1 : Résoudre l équation 3x + 1 = 5 2x. On est sûr que cette équation est du premier degré, à une seule inconnue x. On passe d un seul côté tous les termes qui contiennent x, et au contraire, on met dans l autre membre tous les termes qui ne contiennent pas x (on parle des termes constants). Passons dans l autre membre le terme 2x du second membre ; il était précédé du signe, il faudra donc l écrire précédé du signe + dans le premier membre. L équation devient donc 3x + 2x + 1 = 5, soit 5x + 1 = 5. Maintenant passons dans le second membre le terme 1 du premier membre ; il était précédé de +, on l écrira donc précédé de dans le second membre. On obtient : 5x = 5 1, soit 5x = 4. C est sous la forme ax = b, avec a = 5 et b = 4, ce qui confirme bien qu il s agissait d une équation du premier degré à une inconnue. Maintenant on divise les deux membres par 5. On obtient 5x 5 = 4 5, soit x = 4 5. On a prouvé que l équation qu on étudiait (3x + 1 = 5 2x) possède une seule solution qui est 4 5 On peut, si on le souhaite, vérifier cette solution : en remplaçant x par 4 dans le membre de 5 gauche de 3x+1 = 5 2x, on obtient 3 4 +1 = 12 + 5 = 17, et en faisant le même remplacement 5 5 5 5 dans le membre de droite, on obtient 5 2 4 = 25 8 = 17 ; on trouve la même valeur dans 5 5 5 5 les deux membres, ce qui prouve bien que 4 est une solution de cette équation. 5 Exemple 2 : Résoudre l équation 2 3x + 5(x 3) = 3x + 7 4(x 1). Cette équation est aussi du premier degré, car x n est jamais multiplié par lui-même. Devant une telle équation, on commence par réduire les deux membres, en appliquant les règles vues au premier chapitre. On obtient : 2 3x+5x 15 = 3x+7 4x+4, soit 2x 13 = x+11 ; maintenant on applique la règle R19 : on passe dans le premier membre le terme x, en changeant son signe, ce qui donne 2x+x 13 = 11 ; on passe dans le second membre le terme 13 en changeant son signe : 3x = 11+13, soit 3x = 24 ; maintenant on divise les deux membres par le même nombre, 3 : 3x 3 = 24, soit x = 8. On a prouvé que 8 est la seule solution de l équation qu on devait résoudre. 3 On peut vérifier dans l équation initiale que 8 est bien solution. Exemple 3 : Résoudre l équation x 2 x 1 x 2 = x + 7 3 12 6 Cette équation est du premier degré, car x n est jamais multiplié par lui-même, et n est jamais au dénominateur. Devant une telle équation, on a souvent intérêt à commencer par supprimer tous les dénominateurs, en multipliant les deux membres par un nombre qui est un multiple commun des dénominateurs. Ici, on remarque que 12 est divisible par 2, 3 et 6, ce multiplicateur fera l affaire.

43 On multiplie donc les deux membres par 12 (règle R20) ; on obtient : ( x 12 2 x 1 x 2 ) ( ) x + 7 = 12, 3 12 6 12 x 2 12 x 1 12 x 2 = 12 x + 7, ce qui s écrit aussi 3 12 6 12 2 x 12 12 12 (x 1) (x 2) = (x + 7), donc en simplifiant les fractions 3 12 6 6x 4(x 1) (x 2) = 2(x + 7) (bien sûr, on peut, avec un peu d habitude, aller beaucoup plus vite et obtenir directement cette dernière ligne) : On applique maintenant les règles de calcul du premier chapitre et la règle R19 (p.41) : 6x 4x + 4 x + 2 = 2x + 14, soit x + 6 = 2x + 14, et donc 6 14 = 2x x (on a passé simultanément le terme 14 de droite à gauche et le terme x de gauche à droite, en pensant à changer de signe) On obtient donc 8 = x, et on a donc prouvé que 8 est la seule solution de cette équation. Exemple 4 : Résoudre l équation 5x 3 + 5 4 = 13 4 x 3 On peut appliquer la technique de l exemple 3, et multiplier les deux membres par 12 ; cependant, dans certains exemples comme celui-ci, il est plus judicieux de commencer par la règle R19, car on pourra réduire des termes analogues. L équation peut aussi s écrire 5x 3 + x 3 = 13 4 5 4, soit 5x + x = 13 5, ou encore 3 4 6x 3 = 8 et en simplifiant les fractions 2x = 2, soit, en divisant par 2 4 x = 1 Cette équation a donc 1 pour unique solution. Les inconnues ne s appellent pas forcément x ; voici deux exemples d équation où l inconnue est désignée par une autre lettre, avec en plus des ensembles de solutions surprenants. Exemple 5 : Résoudre l équation 5(t 1) 3t = 2(t + 2) 1. L inconnue est évidemment t. On développe et on réduit les deux membres ce qui donne 5t 5 3t = 2t + 4 1, soit 2t 5 = 2t + 3. On fait maintenant les transferts : 2t 2t = 3 + 5, soit 0t = 8. On ne peut pas diviser les deux membres par 0. On revient à la définition d une solution d une équation : y a-t-il des nombres t qui, multipliés par 0, donnent 8 comme résultat? Non, bien sûr. puisque la multiplication de tout nombre par zéro donne un résultat nul. Donc l équation n a pas de solution. Exemple 6 : Résoudre l équation z + 1 2z + 1 + z + 4 = z + 8 3 5 6 10 L inconnue est ici z. Commençons par éliminer les dénominateurs en utilisant le multiple commun 30 des dénominateurs. L équation devient :

44 D A E U B Année de remise à niveau 10(z + 1) 6(2z + 1) + 5(z + 4) = 3(z + 8) 10z + 10 12z 6 + 5z + 20 = 3z + 24 3z + 24 = 3z + 24, soit 3z 3z = 24 24 ou encore 0z = 0. Y a-t-il des nombres z tels que, multipliés par 0, donnent 0 comme résultat? Oui, bien sûr : n importe quel nombre z convient. L équation admet donc tout nombre réel comme solution. II.3.2 Récapitulation Nous avons constaté que toutes les équations du premier degré à une inconnue (x) pouvait finir par se mettre sous la forme ax = b Si a est non nul, alors l équation s écrit x = b et b est l unique solution. a a Si a est nul, l équation s écrit 0x = b ; Si b est lui aussi nul, l équation s écrit 0x = 0 et tout nombre est solution. Si b est non nul (alors que a =), alors l équation qui s écrit 0x = b n a pas de solution. Exercice II.2 Résoudre les équations suivantes : 1 5(3x + 1) (1 + 2x) = 3(4x + 2) ; 2 2u 3(u + 1) = 1 2u 2 3 7x 5 2 6x 5 = 3x + 7 2 ; 6 3 2x + 15 = 3 ; 6 5 4(x + 2) (x + 11) = 4x 3x + 2 3 4 7x 6 3x 1 2 ; 8 3 II.4 Équations se ramenant à des équations du premier degré Certaines équations ne sont pas du premier degré, mais leur résolution se ramène à la résolution d équations du premier degré. II.4.1 Équations produit sans second membre Si le premier membre d une équation est un produit de facteurs, et que le second membre est nul, comme on sait qu un produit de facteurs ne peut être nul que si un des facteurs au moins est nul, on peut résoudre «par morceaux» une telle équation.

45 Exemple 7 : Résoudre l équation (x 2)(4 3x) = 0. Une très mauvaise méthode serait de commencer par essayer de développer ce produit de facteurs. On obtiendrait une équation du deuxième degré, que nous n avons pas encore appris à résoudre, et même plus tard, ce n est pas la bonne méthode. On raisonne en disant que le produit (x 2)(4 3x) ne peut être nul que si un des facteurs au moins est nul, c est-à-dire (x 2) ou (4 3x) est nul. On obtient donc x 2 = 0 ou 4 3x = 0, et maintenant on sait résoudre ces deux équations du premier degré : x 2 = 0 pour x = 2 et 4 3x = 0 pour 4 = 3x, soit x = 4 3. L équation admet donc deux solutions qui sont 2 et 4 3 Exemple 8 : Résoudre l équation x 3 4x = 0. Cette équation est du troisième degré, mais heureusement on peut factoriser le membre de gauche. L équation devient : x(x 2 4) = 0, ce qui s écrit aussi x(x 2 2 2 ) = 0, soit x(x 2)(x + 2) = 0. Cette fois on exprime que ce produit est nul donc un de ses facteurs au moins est nul, soit : x = 0 ou x 2 = 0 ou x + 2 = 0 et finalement on a prouvé que l équation a trois solutions qui sont 0, 2 et 2. Exemple 9 : Résoudre l équation 4x 2 49 + (2x 7)(1 x) = 0. Nous avons appris à factoriser une expression comme le membre de gauche, au premier chapitre. L équation peut s écrire 2 2 x 2 7 2 + (2x 7)(1 x) = 0, ou encore (2x) 2 7 2 + (2x 7)(1 x) = 0, soit [ (2x 7)(2x + 7) ] + (2x 7)(1 x) = 0; maintenant on peut factoriser : (2x 7) [ (2x + 7) + (1 x) ] = 0, on réduit le contenu des crochets : (2x 7)(x + 8) = 0. On s est ramené à l étude d un produit nul, un des facteurs est donc nul, soit 2x 7 = 0 ou x + 8 = 0, c est-à-dire x = 7 ou x = 8. L équation admet deux solutions qui sont 7 et 8. 2 2 Exemple 10 : Résoudre l équation (x + 12)(x 4) = 2x(x 4). Pour se ramener à un produit nul, on transfère tout dans le même membre, l équation peut s écrire : (x + 12)(x 4) 2x(x 4) = 0, on peut maintenant factoriser, ce qui donne (x 4) [ (x + 12) 2x ] = 0, soit (x 4)( x + 12) = 0 ou encore x 4 = 0 ou x + 12 = 0. L équation possède donc deux solutions qui sont 4 et 12. Il ne fallait surtout pas «simplifier» par x 4 l équation initiale, car on n a pas le droit de diviser les deux membres d une équation par un facteur qui pourrait être nul ; en effet, x 4 s annule pour x = 4, ce n est pas un nombre non nul. Exercice II.3 Résoudre les équations 1 2x 2 + 7x = 0 ; 2 16y 2 (3y 1) 2 = 0 ;

46 D A E U B Année de remise à niveau 3 4t 2 = 25 ; 4 16x 2 56x + 49 = 0 ; 5 (3x + 1)(2x + 7) = 9x 2 1. II.4.2 Équations avec des fractions où l inconnue est au dénominateur Une telle équation n est pas du premier degré, mais on s en sort en appliquant les règles suivantes : R21 Une égalité du type a b = c peut être remplacée par les deux conditions a = c et b b 0. En pratique, on remplace une égalité a b = c (où b est un dénominateur contenant l inconnue { b a = c de l équation) par le système ; l accolade signifie que les deux conditions doivent être b 0 réalisées. R22 Une égalité du type a b = c peut être remplacée par les trois conditions ad = bc d et b 0 et d 0. En pratique, on remplace une égalité a b = c (où b et d sont des dénominateurs dont l un au d ad = bc moins contient l inconnue de l équation) par le système b 0 ; l accolade signifie que les d 0 trois conditions doivent être réalisées. De la même manière, en appliquant la règle R21, on obtient la règle suivante : R23 Une égalité du type a = 0 peut être remplacée par les deux conditions a = 0 et b b 0. (En effet, on peut écrire cette égalité sous la forme a b = 0 b ). En pratique, on remplace une égalité a b = 0 par le système { a = 0 b 0. Traitons quelques exemples : Exemple 11 : Résoudre l équation 2 + x x + 3 = 1 { 3 (2 + x) 3 = 1 (x + 3) (C 1 ) en application de la règle R22, on écrit x + 3 0 (C 2 ) (Il faudrait normalement écrire aussi une troisième condition (C 3 ) : 3 0, mais cette dernière condition étant évidemment toujours vraie, on ne l écrit pas!) Traitons d abord l équation que représente la condition (C 1 ). Elle s écrit 6 + 3x = x + 3, soit 3x x = 3 6, c est-à-dire 2x = 3, et x = 3 ; l équation (C 2 1) a pour unique solution 3 2 Cette unique solution de (C 1 ) vérifie la condition (C 2 ), puisque 3 +3 = 3 0. Donc l équation 2 2 initialement posée admet comme unique solution 3. 2 (Quand on a fini de résoudre l équation (C 1 ), il ne faut pas oublier de rédiger en montrant qu on a vérifié la condition (C 2 ). Parfois une des solutions de l équation tirée de la première

47 solution est une valeur interdite par une des conditions (C 2 ) ou (C 3 ). C est assez rare, mais nous rencontrerons de telles situations, et si on oublie de faire cette vérification, on fait au moins une erreur de méthode, même quand la solution trouvée est valable.) x 4 Exemple 12 : Résoudre l équation : 2x 3 = x + 1 2x 4 (x 4)(2x 4) = (2x 3)(x + 1) (C 1 ) Cette équation peut être remplacée par 2x 3 0 (C 2 ) 2x 4 0 (C 3 ). Occupons-nous de (C 1 ) : même en passant tout du même côté de l égalité, on ne voit pas de factorisation. On va donc essayer de tout développer, en espérant une simplification. 2x 2 8x 4x + 16 = 2x 2 3x + 2x 3, on passe maintenant tout du même côté 12x + 16 = x 3, soit 16 + 3 = x + 12x ou encore 11x = 19. L équation (C 1 ) admet donc 19 comme unique solution. 11 Comme 2 19 19 3 0 et 2 4 0, les conditions (C 11 11 2) et (C 3 ) sont aussi vérifiées par le nombre 19 19, donc l équation proposée admet bien comme unique solution la valeur 11 11 Exemple 13 : Résoudre l équation : x + 2 x 2 1 x = 2 x(x 2) Pour pouvoir appliquer la règle R21 ou la règle R22, on met le premier membre sous la forme d une fraction unique, en réduisant au même dénominateur : x + 2 x 2 1 x(x + 2) = x x(x 2) x 2 x(x + 2) (x 2) = = x2 + x + 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2) L équation à résoudre s écrit donc x2 + x + 2 2 x(x{ 2) x(x 2) x 2 + x + 2 = 2 (C 1 ) On applique la règle R21 et on obtient x(x 2) 0 (C 2 ). L équation (C 1 ) s écrit x 2 + x = 0, soit x(x + 1) = 0, elle admet donc les deux solutions 0 et 1. Mais 0 ne vérifie pas (C 2 ) (puisqu on a 0(0 2) = 0), donc 0 n est pas solution de l équation proposée. En revanche, puis que ( 1)( 1 2) 0, 1 vérifie (C 2 ). La seule solution de l équation initiale est donc 1. Exercice II.4 Résoudre les équations : 1 3x 2 x + 1 = 3 2 ; 2 7x 3 2 + x = 1 ; 3 x + 2 3 + 2x = 1 2 ; 4 1 2x 3 5 x = 3 2x 2 3x ; 5 4x 7 x + 3 = 0.

48 D A E U B Année de remise à niveau II.5 Problèmes conduisant à la résolution d équations du premier degré À partir de quelques exemples, nous allons expliquer la démarche et les principales étapes à mettre en œuvre pour résoudre par voie algébrique un tel problème. Les étapes d un tel raisonnement sont les suivantes : 1 choisir l inconnue ; 2 mettre le problème en équation ; 3 résoudre l équation obtenue ; 4 conclure en répondant à la question ; 5 éventuellement, vérifier la réponse. Exemple 14 : Une mère de 42 ans a un fils de 12 ans? Dans combien d années l âge de la mère sera-t-il le triple de celui de son fils? Choix de l inconnue : en général, ce choix est naturel dans le problème, c est le plus souvent la quantité qu on cherche à déterminer. Ici, soit x le nombre d années répondant à la question. Mise en équation : on traduit les données de l énoncé sous forme algébrique. Nous avons à exprimer que dans x années, l âge de la mère sera égal au triple de celui du fils. Dans x années, l âge de la mère sera 42+x et celui du fils sera 12+x. On obtient alors l équation : 42 + x } {{ } l âge de la mère }{{} = 3(12 + x) } {{ } est le triple de l âge du fils Résolution de l équation : on développe et on obtient 42 + x = 36 + 3x, soit 42 36 = 3x x ou encore 6 = 2x, donc x = 3. Cette équation a pour unique solution 3. Conclusion : (on vérifie que la solution trouvée a un sens, et convient au problème posé). 3 est un résultat plausible (un nombre négatif ne l aurait pas été). C est donc dans trois ans que la mère aura un âge qui sera le triple de celui de son fils. Vérification : dans 3 ans, la mère aura 45 ans et le fils 15 ans, et on a bien 45 = 3 15. L âge de la mère sera bien le triple de celui du fils. Exemple 15 : Un cycliste va de la ville A à la ville B à la vitesse de 23km/h et revient par la même route à la vitesse de 27km/h ; la durée totale du trajet est 5 heures ; quelle est la distance de A à B? Choix de l inconnue : soit d la distance, exprimée en kilomètres, de A à B (c est aussi la distance de B à A). Mise en équation : Traduisons que la durée totale est égale à 5 heures. La distance d (en km) parcourue par un véhicule roulant pendant le temps t (en heures) à la vitesse v (en km/h) est, puisque v = d t, d = v t ; on a aussi t = d v Le temps mis par le cycliste à l aller est donc d 23, tandis que le temps du retour est d 27 ; le temps total est donc d 23 + d ; l énoncé nous dit que le temps total est égal à 5 heures, donc on 27 a l équation d 23 + d 27 = 5.

49 Résolution de l équation : on multiplie par 23 27, pour faire disparaître les dénominateurs : 23 27 ( d 23 + d ) = 5 23 27, donc 27 23 27 d 23 + 23 27 d = 3 105, soit 27 27d + 23d = 3 105 et finalement 50d = 3 105. Cette équation a pour solution 3 105 = 62,1. 50 Conclusion : ce résultat est plausible, 62,1km est bien la distance entre les deux villes A et B. Vérification : à 23km/h, le cycliste met 62,1 = 2,7 heures pour faire l aller, et à 27km/h, il met 23 62,1 = 2,3 heures pour faire le retour, cela fait bien 2,7 + 2,3 = 5 heures en tout. 27 Remarque : il s agit d heures décimales, comme dans les calculs horaires sur des fiches de paie : 2,7 heures signifie 2+ 7 heures, c est-à-dire, puisqu un dixième d heure fait six minutes, 2 heures 10 et 42 minutes pour l aller, 2 heures et 3 6 = 18 minutes pour le retour, ce qui fait bien encore 5 heures en tout. Exercice II.5 Voici quelques problèmes et quelques équations. Trouvez l équation qui convient à chaque problème (puis bien sûr, résoudre l équation et le problème correspondant). Voici les problèmes 1 Pierre a dans son atelier plusieurs billes d acier identiques ; il voudrait trouver la masse d une bille, possède une balance Roberval (avec deux plateaux et une position d équilibre) mais pas de masses marquées. Il pense pouvoir s en sortir car il a un morceau de plomb de 3kg et un autre de laiton de 2,7kg. en effet, il s aperçoit qu une bille et le morceau de plomb ont ensemble la même masse que quatre billes et le morceau de laiton. Déterminez la masse d une bille. 2 Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs à sable, l un est carré et l autre est un triangle équilatéral ; le carré et le triangle ont des côtés de même mesure ; le périmètre du bac triangulaire a 2,7m de moins que celui du carré ; trouvez la mesure commune du côté du carré et du triangle. 3 Les abricots et les pêches sont au même prix sur le marché ; un enfant rapporte 2,7kg d abricots et 1kg de pêches ; les pêches ne sont pas mûres et sa mère, qui ne voulait pas d abricots le renvoie au marché. Il rapporte le tout au commerçant (compréhensif!) et pour la même somme revient avec 2,7kg de pêches mûres et 4 pamplemousses à 1e la pièce. Quel est le prix commun du kg d abricots et celui du kg de pêches? et voici les équations a) 4x 2,7 = 3x ; b) x + 3 = 4x + 2,7 ; c) 4 x = 3 2,7x ; d) 2,7x + x = 2,7x + 4.

50 D A E U B Année de remise à niveau Exercice II.6 Voici quelques problèmes et quelques équations. Trouvez l équation qui convient à chaque problème (puis bien sûr, résoudre l équation et le problème correspondant). Voici les problèmes 1 Des amis décident de se cotiser pour s acheter un objet ; s ils donnent 10e chacun, ils peuvent acheter cet objet et il restera 35e. Il décident finalement de donner 15e chacun et ils peuvent ainsi acheter exactement deux objets. Combien sont-ils? 2 Marc a 10 ans et son père a 35 ans ; ils fêtent leurs anniversaires le même jour. Dans combien d années soufflera-t-il exactement deux fois plus de bougies que son fils? 3 Je choisis un nombre, je lui ajoute 15, je double le résultat obtenu puis j enlève 35, et je retrouve le nombre choisi au début! Quel est ce nombre? et voici les équations a) 35 + x = 2(10 + x) ; b) 2(x + 15) 35 = x ; c) 10 2(x + 15) = x 35 ; d) 2(10x 35) = 15x. Revenons sur les différentes étapes de la résolution algébrique d un problème du genre de ceux qu on étudie dans ce chapitre : Le choix de l inconnue : il est nécessaire de bien identifier ce que l on cherche, ce n est souvent pas le plus difficile. La mise en équation : c est l étape difficile, car il faut traduire chaque donnée de l énoncé dans l équation qu on va écrire. Bien sûr l équation cherchée prend en compte bien sûr l inconnue que l on cherche, mais aussi toutes les données «utiles» de l énoncé. La résolution de l équation : c est la partie technique, qui normalement ne devrait pas vous poser de problème si vous avez bien compris le début du chapitre. La conclusion : on met dans une phrase la valeur de l inconnue que l on a trouvée en résolvant l équation. On vérifie au passage que la valeur trouvée est plausible, par exemple si l équation qu on a posée admet une solution négative, c est en général que le problème concret n a pas de solution ; cela peut arriver. De même, si la solution de l équation un nombre décimal ou fractionnaire non entier, alors qu on est en train de chercher un nombre entier, c est aussi que le problème est sans solution. La vérification : on reprend les termes du problème avec la valeur qu on a trouvée comme solution, et on vérifie que «ça marche». C est la deuxième étape qui est la plus délicate dans ce genre d exercice. Cela n a rien d évident de mettre en équation un problème, et il n y a malheureusement pas de méthode miracle pour y arriver. Comme dit le problème, c est en forgeant qu on devient forgeron ; entraînez-vous, faites bien tous les exercices et vous y arriverez petit à petit de mieux en mieux. Voici une méthode qui peut vous aider à y voir plus clair dans l énoncé, et à trouver plus facilement l équation qui correspond au problème posé. Il s agit de commencer par essayer un nombre plausible au hasard et de faire les calculs pour voir si on a eu «un gros coup de chance» ; en général, ce n est pas le cas, mais ensuite, on refait les mêmes calculs en remplaçant la valeur qu on avait choisie (au hasard) par la lettre qui représente l inconnue... Souvent on arrive alors à écrire très naturellement l équation qu on cherche. Voyons deux exemples de cette méthode.

51 Exemple 16 : Considérons le problème suivant : On place 7 500e à un certain taux et 2 500e à 2% de plus. Au bout d un an, les intérêts versés se montent à 200e. À quel taux étaient placés les 7 500e? Choix de l inconnue. L inconnue x est évidemment le taux d intérêt auquel on place les 7 500. Exploration Avant d essayer une mise en équation, si on a du mal à trouver ce qu il faut écrire, on choisit une valeur pour x (au hasard). Par exemple, si on prend x = 3%, a-t-on miraculeusement trouvé la solution? (1) 7 500e placés à 3% rapportent, au bout d un an : 7 500 3 = 75 3 = 225e. 100 (2) 2 500e placés à 2% de plus (que les 3%), soit à 5% rapportent, au bout d un an : 2 500 5 = 25 5 = 125e. 100 (3) Les intérêts versés au bout d un an sont donc 225 + 125 = 350, soit 350e. Conclusion provisoire : 3% n est pas la bonne réponse. Bien sûr c est un peu décevant, mais si on y réfléchit, c est aussi bien comme ça : si on avait trouvé une solution du problème, on aurait malgré tout été incapable d affirmer que c est la seule solution, que les autres valeurs ne conviennent pas aussi. Il faudrait quand même faire la mise en équation et la résolution! Mise en équation : on reprend donc la même démarche, en remplaçant tous les 3 par l inconnue x. (gardons la même numérotation). (1) 7 500e placés à x% rapportent, au bout d un an : 7 500 x = 75 x = 75x. 100 (2) 2 500e placés à 2% de plus (que les x%), soit à (x+2)% rapportent, au bout d un an : 2 500 (x + 2) = 25 (x + 2) = 25(x + 2). 100 (3) Les intérêts versés au bout d un an sont donc 75x + 25(x + 2), et on veut que ce total soit égal à 200e. On a donc obtenu l équation que nous cherchions 75x + 25(x + 2) = 200. Résolution de l équation On termine maintenant l étude de l exemple, c est facile puisqu on a l équation : 75x + 25x + 50 = 200 donc 100x + 50 = 200 ou encore 100x = 200 50 100x = 150 doncx = 150 100 = 1,5 Conclusion La somme de 7 500e a été placée à 1,5% ; cette valeur est plausible et correcte. Vérification 7 500 1,5 1,5 + 2 = 75 1,5 = 112,5 et 2 500 = 25 3,5 = 87,5, et on a bien 100 100 112,5 + 87,5 = 200.

52 D A E U B Année de remise à niveau Exemple 17 : La vitesse du son dans l air est de 340m/s et dans l eau elle est de 1 400m/s. D un bateau, on entend le bruit d une explosion sous l eau, et 10,6s plus tard, on entend le bruit de cette même explosion dans l air. À quelle distance du bateau s est produite l explosion? Choix de l inconnue : on prend comme inconnue la distance x entre le bateau et le lieu de l explosion. Exploration : recherchons si la bonne réponse est 5 000m (on prend cette distance au hasard). (1) Dans l air, pour arriver au bateau, le bruit mettrait alors (en secondes) 5 000 340 14,70 ; (2) dans l eau, pour arriver au bateau, le bruit mettrait alors (en secondes) 5 000 1 400 3,57 ; (3) la différence des temps est alors environ 14,70 3,57 11,13. 5 000m n est donc pas la bonne réponse! Mise en équation : on utilise x au lieu de 5 000, en faisant le même raisonnement. Depuis la distance x, x (1) dans l air, pour arriver au bateau, le bruit met 340 ; x (2) dans l eau, pour arriver au bateau, le bruit met 1 400 ; x (3) la différence des temps est 340 x 1 400 On doit choisir x pour que cette différence soit 10,6. On a donc l équation x 340 x 1 400 = 10,6. Résolution de l équation : On multiplie les deux membres de l équation par un multiple commun de 340 et 1 400 ; on prend 23 800. x x 23 800 23 800 = 23 800 10,6, ce qui donne 340 1 400 70x 17 = 252 280, soit 53x = 252 280 donc x = 4 760. Conclusion : l explosion s est produite à 4 760m du bateau. Vérification : 4 760 340 4 760 = 14 3,4 = 10,6. 1 400 Cette méthode pourra être utilisée pour tous les problèmes que vous rencontrerez dans la suite du cours, si vous n arrivez pas à faire immédiatement la mise en équation. Exercice II.7 Deux sommes, l une de 4 800e, l autre de 5 400e, sont placées respectivement à 5% et à 4% (intérêts simples). Soit x un nombre d années. Exprimer en fonction de x les intérêts rapportés par chaque somme en x années. Au bout de combien d années ces deux sommes, augmentées des intérêts qu elles ont chacune rapporté, seront-elles égales? Exercice II.8 Aux quatre coins d un carré de côté 4cm, on découpe 4 carrés de même côté. Calculer la longueur des côtés des quatre carrés qu on enlève pour que l aire de la croix qu on obtient soit égale à la moitié de l aire du grand carré. Exercice II.9 Un réservoir contient 850l d eau. Le premier jour, on en tire une certaine quantité d eau, puis chacun des trois jours suivants, on tire le quart de ce qu on avait tiré la veille. Pour que le réservoir soit à moitié plein, il faudrait tirer encore 170l d eau. Calculer la quantité d eau tirée le premier jour.

53 II.6 Corrigé des exercices du deuxième chapitre Corrigé de l exercice II.1 (p.39) 1 2x + 3 = x + 2 ; 4 est-elle une solution? On calcule 2( 4) + 3 et ( 4) + 2 ; on trouve 5 et 2, qui ne sont pas égaux, donc 4 n est pas une solution de 2x + 3 = x + 2. 1 est-elle une solution? On calcule 2( 1) + 3 = 1 et ( 1) + 2 = 1 ; on trouve que 2( 1) + 3 = 1 = ( 1) + 2 donc 1 est une solution de 2x + 3 = x + 2. 0 est-elle une solution? On calcule 2 0 + 3 = 3 et 0 + 2 = 2 ; 3 2, donc 0 n est pas une solution de 2x + 3 = x + 2. 2 est-elle une solution? On calcule 2 2 + 3 = 7 et 2 + 2 = 4 ; 7 4, donc 2 n est pas une solution de 2x + 3 = x + 2. 2 On doit trouver des solutions de x 2 = x + 2 ; Présentons les calculs sous forme d un tableau. x 3 2 1 0 1 2 3 x 2 9 4 1 0 1 4 9 x + 2 1 0 1 2 3 4 5 Dans ce tableau, on constate qu on trouve les mêmes valeurs l une en dessous de l autre dans les deux dernières lignes pour x = 1 (valeur commune 1) et pour x = 2 (valeur commune 4). Donc 1 et 2 sont des solutions de l équation x 2 = x + 2 et il n y en a pas d autres parmi les valeurs 3, 2, 1, 0, 1, 2 et 3. 3 Pour x 3 + 11x = 6x 2 + 6 faisons également un tableau ; x 1 0 1 2 3 4 x 3 + 11x 12 0 12 30 60 108 6x 2 + 6 12 6 12 30 60 102 Ce tableau nous montre que parmi les valeurs 1, 0, 1, 2, 3 et 4, il y a trois solutions de l équation x 3 + 11x = 6x 2 + 6 qui sont 1, 2 et 3. Corrigé de l exercice II.2 (p.44) 1 5(3x + 1) (1 + 2x) = 3(4x + 2) ; on développe tout, et on obtient : 15x + 5 1 2x = 12x + 6 ; on réduit et on a : 13x + 4 = 12x + 6 ; on passe tous les termes en x à gauche, tous les autres termes à droite : 13x 12x = 6 4, soit x = 2. 2 est la seule solution de l équation 5(3x + 1) (1 + 2x) = 3(4x + 2). 2 2u 3(u + 1) = 1 2u ; l inconnue est ici u. Commençons par tout multiplier par 2 pour ne 2 plus avoir de dénominateurs : 2 [ 2u 3(u + 1) ] = 1 2u ; maintenant, on développe : 4u 6(u + 1) = 1 2u, donc 4u 6u 6 = 1 2u. On réduit : 2u 6 = 1 2u ; on passe tous les termes en u à gauche et les autres termes à droite : 2u + 2u = 1 + 6, soit 0u = 7. Il n est pas possible de trouver un nombre u qui, multiplié par 0 donne 7. Donc l équation 2u 3(u + 1) = 1 2u 2 n a pas de solution.

54 D A E U B Année de remise à niveau 3 7x 5 6x 5 = 3x + 7 2 ; éliminons tous les dénominateurs, en multipliant les deux 2 6 3 membres par 6 : 6 7x 5 6 6x 5 = 6 3x + 7 2 6, donc 3(7x 5) (6x 5) = 2(3x + 7) 12 ; on 2 6 3 développe, on réduit, on passe tous les termes en x du même côté, et les autres termes de l autre ; ce qui donne, successivement : 21x 15 6x + 5 = 6x + 14 12 15x 10 = 6x+2 et finalement 15x 6x = 2+10, soit 9x = 12. La seule solution de l équation 7x 5 6x 5 = 3x + 7 2 est donc x = 12 2 6 3 9 = 4 3 4 7x 6 3x 1 2 6 7x 3x 1 6 6 2 2x + 15 = 3 ; même méthode, avec moins de détails, on obtient successivement : 6 2x + 15 = 6 3 6 ; 7x 3(3x 1) = 18 (2x+15) ; 7x 9x+3 = 18 2x 15 6 soit 2x+3 = 3 2x ou encore 2x+2x = 3 3, soit 0x = 0. Tout nombre x vérifie cette dernière égalité, donc l équation 7x 5 6x 5 = 3x + 7 2 admet tout nombre comme solution. 2 6 3 5 4(x + 2) (x + 11) = 4x 3x + 2 8 ; on multiplie tout par 3 : 3 3 12(x + 2) 3(x + 11) = 12x (3x + 2) 8, donc 12x + 24 3x 33 = 12x 3x 2 8 ou encore 9x 11 = 9x 10 ; on obtient 9x 9x = 10 + 11, soit 0x = 1, l équation n a pas de solution. Corrigé de l exercice II.3 (p.45) 1 2x 2 + 7x = 0 ; on factorise x, et on obtient x(2x + 7) = 0 ; un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, donc on a x = 0 ou 2x + 7 = 0, soit 2x = 7, c est-à-dire x = 7 2 L équation 2x 2 + 7x = 0 a deux solutions qui sont 0 et 7 2 2 16y 2 (3y 1) 2 = 0 ; comme 16y 2 = 4 2 y 2 = (4y) 2, on reconnaît une différence de deux carrés, ce qui nous permet de factoriser en utilisant la formule a 2 b 2 = (a b)(a + b). L équation s écrit donc [ 4y (3y 1) ] [ 4y + (3y 1) ] = 0, c est-à-dire (4y 3y + 1)(4y + 3y 1) = 0 ou encore (y + 1)(7y 1) = 0. La nullité de ce produit équivaut donc à y + 1 = 0 ou 7y 1 = 0 soit y = 1 ou y = 1 7 L équation 16y 2 (3y 1) 2 = 0 a deux solutions qui sont 1 et 1 7 3 4t 2 = 25 ; ici l inconnue est t. On passe tout du même côté de l égalité pour pouvoir factoriser et appliquer la méthode vue plus haut : l équation s écrit (2t) 2 5 2 = 0, soit (2t 5)(2t+5) = 0, ce qui revient à 2t 5 = 0 ou 2t + 5 = 0, c est-à-dire t = 5 2 ou t = 5 2 L équation 4t 2 = 25 a deux solutions qui sont 5 2 et 5 2 4 16x 2 56x + 49 = 0 ; ici, c est la formule (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 qu on va essayer d utiliser. L équation s écrit (4x) 2 56x + 7 2 = 0. Cela ressemble au carré de (4x 7), mais il faut bien vérifier que le double produit est bien celui dont on a besoin : pour a = 4x et b = 7, on a 2ab = 2(4x)7 = 56x, qui est bien le terme du milieu. L équation peut donc s écrire (4x 7) 2 = 0, ou encore (4x 7)(4x 7) = 0, c est-à-dire 4x 7 = 0 ou (est-ce bien utile de le répéter?) 4x 7 = 0, soit x = 7 4 L équation 16x 2 56x + 49 = 0 possède une seule solution qui est 7 4

55 5 (3x + 1)(2x + 7) = 9x 2 1 ; passons tout du même côté pour essayer de factoriser. On obtient (3x + 1)(2x + 7) (9x 2 1) = 0. On remarque que 9x 2 1 = (3x) 2 1 2 = (3x 1)(3x + 1), de sorte que l équation peut s écrire (3x + 1)(2x + 7) (3x + 1)(3x 1) = 0 ; cette fois on peut factoriser (3x + 1), de sorte qu on obtient (3x + 1) [ (2x + 7) (3x 1) ] = 0, ou encore (3x + 1)(2x 3x + 7 + 1) = 0, c est-à-dire (3x + 1)( x + 8) = 0. Un des facteurs est nul, donc on obtient 3x + 1 = 0 ou x + 8 = 0, soit x = 1 ou x = 8. 3 L équation (3x + 1)(2x + 7) = 9x 2 1 possède deux solutions qui sont 1 et 8. 3 Corrigé de l exercice II.4 (p.47) 1 3x 2 x + 1 = 3 ; en appliquant la règle R22 p.46, cette équation équivaut à { 2 2(3x 2) = 3(x + 1) (C 1 ) (pas besoin d écrire que 2 0, c est évident). x + 1 0 (C 2 ) Étudions la condition (C 1 ) : elle s écrit aussi 6x 4 = 3x + 3, soit 6x 3x = 3 + 4 ou encore 3x = 7, soit x = 7. 3 Cette valeur 7 vérifie la condition (C 3 2) ( 7 1), donc elle convient et on peut conclure : 3 l équation 3x 2 x + 1 = 3 2 admet une unique solution qui est 7 3 2 7x 3 2 + x = 1 ; on applique encore la règle R22 p.46 (en écrivant 1 = 1 ), on obtient donc { 1 7x 3 = 2 + x (C 1 ) 2 + x 0 (C 2 ) La condition (C 1 ) s écrit 7x x = 2 + 3, soit 6x = 5, c est-à-dire x = 5 6 Comme 5 6 + 2 0, la condition (C 2) est aussi vérifiée par cette valeur, et on peut conclure. L équation 7x 3 2 + x = 1 admet une unique solution qui est 5 6 3 x + 2 3 + 2x = 1 2 ; toujours la même méthode. Cette équation équivaut au système { 2(x + 2) = 1(3 + 2x) (C 1 ) 3 + 2x 0 (C 2 ) La condition C 1 s écrit 2x + 4 = 3 + 2x, soit 2x 2x = 3 4, c est-à-dire 0x = 1. Il n y a aucune valeur de x qui vérifie cette condition, donc l équation x + 2 3 + 2x = 1 n a pas de solution. 2 4 1 2x 3 5 x = 3 ; pour pouvoir appliquer la même méthode, on commence par 2x 2 3x réduite le membre de gauche, en mettant sur le même dénominateur : l équation s écrit : x 5(2x 3) x(2x 3) x(2x 3) = 3 ou encore, en factorisant le dénominateur du second 2x 2 3x x 5(2x 3) 3 membre et en réduisant le premier membre : = x(2x 3) x(2x 3) On { peut à présent appliquer la règle R21 p.46. L équation équivaut donc au système x 10x + 15 = 3 (C 1 ) x(2x 3) 0 (C 2 ).

56 D A E U B Année de remise à niveau On étudie la condition (C 1 ) : elle revient à 9x = 3 15, soit 9x = 12 ou encore x = 12 = 4 ; comme ( 4 9 3 3 2 4 3) 0, la condition (C 3 2 ) est aussi vérifiée, donc on conclut : 1 L équation 2x 3 5 x = 3 2x 2 3x possède une unique solution qui est 3 4 5 4x 7 = 0 ; cette fois, on applique la règle R23 p.46 : l équation équivaut au système { x + 3 4x 7 = 0 (C 1 ) x + 3 0 (C 2 ) La condition (C 1 ) a pour unique solution x = 7 et il est évident que 7 + 3 0, donc la 4 4 condition (C 2 ) est vérifiée par ce nombre. L équation 4x 7 x + 3 = 0 admet une unique solution qui est le nombre 7 4 Corrigé de l exercice II.5 (p.49) 1 L inconnue à choisir est bien sûr la masse d une bille d acier, qu on appelle x. L égalité de l équation qu on cherche à écrire provient de la phrase : «une bille et le morceau de plomb ont la même masse que quatre billes et le morceau de laiton» ; comme le morceau de plomb a une masse de 3kg et le morceau de laiton une masse de 2,7kg, on peut donc écrire x + 3 = 4x + 2,7 ; on reconnaît l équation b). On résout cette équation ; elle s écrit x 4x = 2,7 3, soit 3x = 0,3, ou encore x = 0,3 3 = 0,1. Conclusion : une bille d acier a une masse de 0,1kg. Vérification : une bille et le morceau de plomb ont ensemble une masse de 3,1kg (3 + 0,1) et quatre billes et le morceau de laiton ont ensemble une masse de 4 0,1 + 2,7 = 3,1kg. 2 L inconnue est la longueur commune x du côté du carré et du triangle équilatéral. Le carré a un périmètre de 4x, tandis que le triangle équilatéral a un périmètre de 3x ; la phrase de l énoncé qui permet d écrire l égalité de l équation est «le périmètre du bac triangulaire a 2,7m de moins que celui du carré» ; elle se traduit naturellement par 3x = 4x 2,7. On reconnaît l équation a). Résolution : l équation revient à 4x 3x = 2,7, soit x = 2,7. Conclusion : la mesure commune du côté du carré et du triangle est 2,7m Vérification : le triangle a un périmètre de 3 2,7 = 8,1m ; le carré a un périmètre de 4 2,7 = 10,8m et 10,8 2,7 = 8,1, c est bon. 3 Soit x le prix d un kg de pêches (ou d un kg d abricots). Le prix payé par l enfant la première fois est 2,7x+1x ; la deuxième fois, il doit payer 2,7x+4. L équation correspondant à ce problème est donc 2,7x + x = 2,7x + 4 ; on reconnaît l équation d). On soustrait 2,7x aux deux membres de l équation et on trouve x = 4. Le prix du kg de pêche et du kg d abricots est donc 4e. La vérification est immédiate. 4 Pour le plaisir, on va quand même résoudre l équation c) 4 x = 3 2,7x qui ne correspond à aucun de ces trois problèmes : elle s écrit aussi : x + 2,7x = 3 4 ou encore 1,7x = 1 ; on a donc x = 1 1,7 = 10 17

57 10 est la seule solution de l équation c). 17 Heureusement que cette équation ne correspondait pas à un problème, car cette valeur négative n aurait pas été une valeur plausible comme réponse à un des trois problèmes étudiés : ce ne pouvait être ni une masse, ni une longueur, ni un prix au kg. Corrigé de l exercice II.6 (p.50) 1 Soit x le nombre d amis. La première hypothèse signifie que le prix de l objet est 10x 35 ; la deuxième hypothèse signifie que deux objets coûtent 15x. On a donc l équation 2(10x 35) = 15x. On reconnaît l équation d). Résolution : l équation s écrit 20x 70 = 15x, ou encore 20x 15x = 70, soit 5x = 70 et x = 14. Conclusion : il y a 14 amis. Vérification : s ils donnent 10e chacun, cela fait 140e, et puisqu il reste 35e, c est que l objet coûte 105e. Deux objets coûtent donc 210e, et s ils donnent 15e chacun, on dispose justement de 14 15 = 210e. 2 Soit x le nombre d années que l on cherche. Dans x années, Marc aura un âge de 10 + x ans et son père 35 + x ans. On veut que le père ait un âge qui soit le double de celui de son fils ; cette condition se traduit par 35 + x = 2(10 + x) ; on reconnaît l équation a). Résolution : l équation s écrit 35 + x = 20 + 2x, soit 35 20 = 2x x, ce qui donne x = 15. Conclusion : dans 15 ans, le père aura un âge qui sera le double de celui de son fils. Vérification : dans 15 ans, le fils aura 10+1 = 5 = 25 ans, tandis que le père aura 35+15 = 50 ans, 50 est bien le double de 25. 3 Soit x le nombre que l on cherche (le nombre que «j ai choisi»). Quand on ajoute 15 à ce nombre, on obtient x + 15 ; ensuite on double le résultat obtenu, cela donne 2(x + 15) ; ensuite on enlève 35, pour obtenir 2(x + 15) 35. L énoncé dit qu on retombe sur le nombre du départ. Cette affirmation se traduit par 2(x + 15) 35 = x. On reconnaît l équation b). Résolution : l équation s écrit : 2x + 30 35 = x, soit 2x 5 = x ou encore 2x x = 5, c est-à-dire x = 5. Conclusion : le nombre choisi était 5. Vérification : on ajoute 15 à 5, on obtient 20, on double le résultat obtenu, cela donne 40, on enlève 35, on retombe bien sur 5. 4 Résolvons maintenant la dernière équation c), pour s entraîner : 10 2(x + 15) = x 35 ; cette équation s écrit : 10 2x 30 = x 35, soit 2x x = 35 + 30 10 ou encore 3x = 15, soit x = 5. L équation 10 2(x + 15) = x 35 admet 5 pour seule solution. Remarque : ce n est pas parce que l on obtient aussi la solution du troisième problème que cette équation aurait aussi pu convenir pour interpréter ce problème ; même si les nombres apparaissant dans cette équation c) sont analogues à ceux de l équation b), même si la solution est la même, cette équation n a rien à voir avec le problème posé!

58 D A E U B Année de remise à niveau Corrigé de l exercice II.7 (p.52) Prenons (arbitrairement) x = 3. Au bout de 3 ans, la somme de 4 800e, placée à 5% aura rapporté 3 5 4 800 = 3 5 48 = 720e, et on disposera de 4 800 + 720 = 5 520e. 100 Dans le même temps, la somme de 5 400e, placée à 4%, aura rapporté 3 4 5 400 = 3 4 54 = 100 624e, et on disposera de 5 400 + 624 = 6 024e. Ce n est donc pas au bout de 2 ans que les sommes augmentées des intérêts qu elles auront rapporté seront égales. Mise en équation : il suffit maintenant de remplacer 3 par x dans les calculs ci-dessus pour faire correctement la mise en équation. Au bout de x années, la somme de 4 800e, placée à 5% aura rapporté x 5 4 800 = x 5 48 = 100 240x, et on disposera de 4 800 + 240xe. Dans le même temps, toujours après x années, la somme de 5 400e, placée à 4%, aura rapporté x 4 5 400 = x 4 54 = 216x, et on disposera de 5 400 + 216xe. 100 L équation permettant de trouver le nombre d années cherché est donc 4 800+240x = 5 400+216x. Résolution : l équation s écrit 240x 216x = 5 400 4 800, donc 24x = 600, soit x = 600 24 = 25. Conclusion : c est au bout de 25 ans que les deux sommes augmentées des intérêts qu elles auront rapporté seront égales. Vérification : au bout de 25 ans, les 4 800e auront rapporté 25 5 4 800 = 25 5 48 = 6 000, 100 et on disposera donc de 4 800 + 6 000 = 10 800e ; dans le même temps, les 5 400e auront rapporté 25 4 5 400 = 25 4 54 = 5 400, et on disposera de 5 400 + 5 400 = 10 800e : c est bien la 100 même somme. Corrigé de l exercice II.8 (p.52) x x Soit x, en centimètres, le côté des carrés découpés. On n utilisera que des cm et des cm 2. Commençons les calculs en supposant que x = 0,8 (au hasard). L aire du grand carré est 16. L aire d un petit carré découpé est 0,8 2 = 0,64 ; l aire de la croix est donc 16 4 0,64 = 16 2,56 = 13,44. Ce n est pas la moitié de l aire du grand carré, puisque ce n est pas égal à 8. Nous pouvons maintenant faire la mise en équation : il suffit de reprendre les calculs en remplaçant 0,8 par x. L aire d un des petits carrés découpés est x 2 ; l aire de la croix est donc 16 4x 2. 4 L équation qui correspond à ce problème est donc 16 4x 2 = 8. Résolution : on peut écrire l équation sous la forme 16 8 = 4x 2, donc x 2 = 2. On cherche un nombre positif dont le carré vaut 2. on sait que c est le nombre 2 qui convient. Conclusion : le côté du petit carré qu on doit retirer dans chaque coin doit être égal à 2 1,414. Vérification : pour x = 2, chaque petit carré a une aire de 2 2 = 2, on enlève donc une aire de 4 2 = 8 au grand carré, et la croix a bien une aire de 8. Voici une figure correspondant à la solution :

59 2 2 4 Corrigé de l exercice II.9 (p.52) Soit x la quantité d eau qu on tire le premier jour du réservoir. Nous allons commencer en supposant que x = 100. Le premier jour, la quantité retirée du réservoir est 100 ; le second jour, on en enlève 100 4 = 25 ; le troisième jour, la quantité tirée est 25 ; le quatrième et dernier jour de l expérience, la quantité 4 d eau tirée du réservoir est 1 25 ; on a donc retiré en tout 4 4 100 + 100 4 + 1 100 4 4 + 1 ( 1 100 4 4 4 = 100 1 + 1 4 + 1 16 + 1 ) ( ) 64 + 16 + 4 + 1 100 85 = 100 = 64 64 64 ce qui fait 132,812 5l. Il reste donc 850 132,812 5 = 717,187 5, et ceci n est pas égal à la moitié du réservoir plus 170l, ce qui fait 425 + 170 = 595. Donc ce n est pas 100l qu il faut retirer le premier jour, mais on peut maintenant faire la mise en équation : Si( on retire x litres le premier jour, en quatre jours on aura retiré x 1 + 1 4 + 1 16 + 1 ) ( ) 64 + 16 + 4 + 1 = x = 85x 85x ; il reste donc 850 et on veut que cette 64 64 64 64 quantité soit égale à la moitié du réservoir plus 170, d où l équation : 850 85x 64 = 850 2 + 170. Résolution : on réduit le membre de droite, ce qui donne 850 85x = 595, soit 64 85x = 850 595 = 255. On multiplie tout par 64, ce qui donne : 85x = 64 255 = 16 320, donc 64 16 320 x = = 192. 85 Conclusion : on a retiré 192l le premier jour. Vérification : on retire 192l le premier jour, donc on retire 48l le second jour, 12l le troisième jour et 3l le quatrième et dernier jour, on a donc retiré 192 + 48 + 12 + 3 = 255l, et il reste donc 850 255 = 595l, il faut encore retirer 170l pour obtenir 595 170 = 425l, ce qui est bien la moitié des 850l initiaux.

60 D A E U B Année de remise à niveau Université de Franche-Comté Centre de Télé-Enseignement Universitaire D.A.E.U. B, année de remise à niveau 2011-2012 DEVOIR n 2 à envoyer à la correction Résoudre les équations suivantes : 1 2(x 4) 4(3x 1) = 6(2x 1) ; 2 5x 1 x + 1 = 1 x ; 2 2x 1 12 4 (2x + 7)(3x 7) = 2x + 1 ; 6 (x 5)2 = + 12 6 5 (x 1) 2 4(2x + 3) 2 = 0 ; 3 x 3 3 (x + 1)2 3 6 (2x 1)(2x 3) (1 2x)(2x + 1) = 0 ; 7 6,25 x + 1,75 = x 3 Résoudre les problèmes suivants : Exercice I ; Exercice II 1 Quel nombre faut-il retrancher au numérateur et au dénominateur de 31 39 fraction égale à 3 4? pour obtenir une 2 Un cycliste allant à une allure régulière à 15km/h et un piéton marchant régulièrement à 4km/h partent en même temps d une ville A pour aller vers une ville B où le cycliste fait demi-tour et repart immédiatement dans l autre sens à la même vitesse pour revenir vers A ; durant le retour, le cycliste croise le piéton qui est à 10km de A. Quelle est la distance entre les deux villes?

Chapitre III Résolution de systèmes 61

62 D A E U B Année de remise à niveau

Chapitre IV Équations du second degré 63

64 D A E U B Année de remise à niveau

Chapitre V Inéquations 65

66 D A E U B Année de remise à niveau

Chapitre VI Généralités sur les fonctions. Dérivation 67

68 D A E U B Année de remise à niveau

Chapitre VII Étude de fonctions élémentaires : polynômes 69

70 D A E U B Année de remise à niveau

Chapitre VIII Étude de fonctions élémentaires : fractions rationnelles 71