Chapitre : Puissances et racines I Les puissances Définition des puissances : Considérons un nombre et un nombre entier n. On a : n. se lit " puissance n" ou " eposant n" avec n " " 4 se lit " puissance 4 " ou " eposant 4" 3 se lit " au cube " ou " puissance 3 " ² se lit " au carré " ou " puissance 2 " 0 2 ² 3 3 n.. avec n " " Eemples : 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 024 9,4 0 ( 3,4 ) 3,4 0 5 00 000 c est un suivi de 5 zéros 0 5 0,000 0 c est un précédé de 5 zéros 5 2 5 5 25 0,04 n : n n n 7 4 7² 7 7 7 7 7 7 Remarque : Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations. n Eemple : ( 7 0 ) 4 8² + 2 5 ( 3 ) 4 8² + 2 5 8 64 + 2 5 8 64 + 60 77 Règles des puissances : et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a : ) m n m + n 2 ) m n m n 3 ) n y n ( y ) n 4 ) n y n ( y ) n 5 ) ( m ) n m n Remarque : Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des eemples simples. Ecriture scientifique : Tout nombre décimal peut s écrire comme le produit d un nombre n ayant qu un seul chiffre (pas égal à zéro) avant la virgule et d une puissance de di. Cette écriture s appelle une écriture scientifique. Eemples : 54 000 000,0 5,4 0 7 0,000 005 78 5,78 0 6 7 chiffres 6 zéros 0,0265 0 8 2,65 0 2 0 8 2,65 0 6 Taille d un électron : 9 0-3 m L étoile polaire est à 6 0 8 m de la Terre. (base de la petite ours, indique le nord)
II Les racines carrées Définition des racines carrées : Considérons un nombre positif. On note et on lit "racine carrée de " le nombre positif dont le carré est. Pour la calculer, on utilise la touche " " de la calculatrice. Eemples : 49 7 0 3,6 0 0 Remarques : Puisqu un carré est toujours positif, la racine carrée d un nombre négatif n eiste pas. On peut aussi dire "radical" pour "racine carrée". Les racines carrées ont le même niveau de priorité que les puissances dans les calculs. Eemple : 5 36 + ( 8² 00 ) : 9 5 36 + ( 64 0 ) : 9 5 6 + 54 : 9 30 + 6 36 D autre part on a :,44,2 car,2 ²,44 Remarque : Pour prouver que y il suffit de vérifier que y ² ² 8 ² 64 2 Penser à : la racine carrée est l inverse du carré donc faire une racine carrée puis un carré revient à ne rien faire!! On a donc ² et ( ) ² Propriété des racines carrées : et y étant des nombres positifs, on a : ) ² ( ) ² 2 ) y y 3 ) y y 4 ) ² y y Preuve : ) déjà vu. 2 ) car ( y ) ² ( ) ² ( y ) ² y et c est donc bien vérifié d après la remarque précédente. 3 ) car ( y ) ² ² y² et c est donc bien vérifié d après la remarque précédente. y 4 ) On a : ² y ² y d après 2 ) y d après ) Eemples : 3 ² 3 ( 7 ) ² 7 (2 6 ) ² 2² ( 6 ) ² 4 6 24 2 8 2 8 6 4 25 9 25 9 5 3 5 25 6 25 6 5 4 8 50 3² 2 5² 2 3 2 5 2 3 5 Remarque : On doit avoir ( 0,5 ) ² 0,5 2 donc 0,5 est un nombre dont le carré est : c est donc. On a ainsi 0,5. C est pour cette raison que des règles des racines carrées ressemblent à celles de puissance. Application à la simplification des racines : Comme les fractions, on peut simplifier les racines carrées et obtenir des racines carrées "irréductibles". Eemples : 8 3² 2 3 2 (on a utiliser la propriété 3) 5 32 5 4² 2 5 4 2 20 2 75 + 3 2 5² 3 + 3 2² 3 5 3 + 3 2 3 5 3 + 6 3 3 Eemple de développement : ( 7 + 3 ) ( 3 5 ) + 2 7 3 35 + 3² 5 3 + 2 ² 3 7 3 35 + 3 5 3 + 4 3 6 3 32
Eercice : Calcule puis vérifie tes résultats en utilisant la touche «^» ou «y» de ta calculatrice. A 2 5 B ( 4 ) ² C 4 ² D 0 6 E 400 0 F 5 G 2 2 H 0 3 I 8,36 0 3 J 50 K 0 0 L 7 M 3 ² + 4 ² N ( 3 + 4 ) ² P 0 ( 3) 3 Q 2 7 7 ² R 3 5 (4 7 ) ² + 2 3 5 S 8,0 0 4 T 7 0 3 U 9, 0 5 V 8,3 0 6 W, 0 X 6,75 0 9 Eercice 2 : Ecris avec des puissances. A 8 8 8 8 8 B ( 4 ) ( 4 ) C 4 4 4 D E 0,000 7 7 7 7 Eercice 3 : Ecris avec que des multiplications et des divisions. A 7 4 B 0 C 6 3 D 3 ² 6 5 E 7 3 5 2 F 5 4 G ( 5 ) 4 H 2 0 8 3 6 I Eercice 4 : Complète et retrouve la règle correspondante : Eemple 3 2 7 3 J 2 3 5 2 9 4 7 3 Règle m n 3 2 m n... 2 y 2 ( ) 2 y 2 ( ) ( ) ( ) n y n ( ) n y n (. ) ( 3 ) 2 ( m ) n Eercice 5 : Utilise les règles des puissances pour mettre sous la forme a n. A 7 3 7 2 B 8 5 8 2 C 5 4 5 6 D 0 3 0 7 E 20 7 5 7 F 3 ² 5 ² G ( 9 3 ) ² H 7 4 7 2 7 5 I 7 3 5 4 7 5² J 4 3 4 2 Eercice 6 : Trouve l écriture scientifique des nombres suivants (vérifier les résultats à la calculatrice). A 650 000 B 0,004 7 C 95,5 D 984 000 000 000 E 0,000 000 F 8 0 5 0 6 G 54 000 0,000 002 H 7, 0 4 2 0 6 Eercice 7 : Vue au brevet. Ecrire comme : A et B : des nombres entiers ; C : un nombre décimal ; D, E et F : en écriture scientifique. A ( 2 ) 0 3 25 ( 0 ² ) ² 50 0 5 ( 0, ) 0 3 B 6 0 5 3 0 4 24 0 3 C 3 ² ( 3) ² +0 5 0 3 3 + 0 3 D 20 0 6 5 0 5 35 0 4 E 7 0 5 8 0 8 5 0 4 F 2,5 0 3 9 0 5 5 0 4 Eercice 8 : Complète les tableau suivants Valeurs eactes Valeurs arrondies à 0, près 6 2,4 ² ² 64 25 2 8 0 35 23,4 08,7 Eercice 9 : Calcule sans calculatrice et donne le résultat en fraction irréductible. 36 A 8 ² B 36 49 C D 4,2 ² 00 E 4 7 ² 8 45 49 40 F G 8, 0 H I J 4 2 ² 20 00 80 48 ² K L 64 25 M 2 8 N 7 7 P 7 8 2 2 5 5 6 ²
Eercices pour préparer le contrôle Eercice : Eercice de préparation au brevet (7 points) Eercice 2 : On considère les epressions suivantes A 65 ( 25 5 ) 5 + 3,2 0 6 ( 7 5 ) ² B ( ) 702 ( 7 8 ) 47 + 0 24 C 6 9 6 24 D 2 ² 2 8 E 9 7 4 7 F ( 8 3 ) 5 G 35 8 7 8 H 3 6 ( 3 4 ) 5 3 6 3 4 3 7 I 0,000 000 000 00 8 J 30 000 000 000 000 a ) Calcule A et B b ) Mets de C à H sous la forme a n c ) Ecris I et J en écriture scientifique Eercice 3 : Simplifie les epressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls) 50 A 4 9² 2 ( 8 ) ² 9 B 8 36 2 8 9 C 4 32 4 D 27 3 2 E 4 45 + 8 3 20 6 5 8 F 3 6 54 + 50 5 6 + G ( 5 3 + 7 ) ( 9 3 ) 38 3 47 H ( 3 5 2 ) ² 48 + 2 5 I ( 0 9 ) ( 0 + 9 ) Eercice 2 : On considère les epressions suivantes A 65 ( 25 5 ) 5 + 3,2 0 6 ( 7 5 ) ² A 65 20 5 + 3 200 000 ( 8 ) ² A 64 3 200 000 + 3 200 000 64 A Résultats des eercices de préparation au contrôle B ( ) 702 ( 7 8 ) 47 + 0 24 B ( ) 47 + 0 B ( ) + 0 B + C 6 9 6 24 6 5 D 2 ² 2 8 2 6 E 9 7 4 7 36 7 F ( 8 3 ) 5 8 5 G 35 8 7 8 5 8 H 3 6 ( 3 4 ) 5 3 6 3 4 3 7 36 3 20 3 6 3 326 3 5 3 2 I 0,000 000 000 00 8,08 0 J 30 000 000 000 000 3, 0 4 Eercice 3 : Simplifie les epressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls) On doit trouver A B C D E F G H I qui est bien de la forme a + b c car + 0 0 A 4 9² 2 ( 8 ) ² 9 B 8 36 2 8 9 A 4 9 2 8 9 B 8 36 2 8 9 A 36 6 9 B 9 6 6 9 A B 54 4 9 50 C 4 32 4 4 50 32 4 4 25 6 4 27 D C 4 5 3 2 27 3 2 9 2 4 4 5 4 D 3 2 E 4 45 + 8 3 20 6 5 8 E 4 3² 5 + 9 3 2² 5 6 5 8 E 2 5 + 9 6 5 6 5 8 E G ( 5 3 + 7 ) ( 9 3 ) 38 3 47 G 45 3 5 3² + 63 7 3 38 3 47 G 45 3 5 + 63 7 3 38 3 47 G I ( 0 9 ) ( 0 + 9 ) 0² 9² 0 9 F 3 6 54 + 50 5 6 + F 3 6 3² 6 + 5² 6 5 6 + F 3 6 3 6 + 5 6 5 6 + F H ( 3 5 2 ) ² 48 + 2 5 H 9 5² 2 5 + 4 48 + 2 5 H 45 + 4 48 H
Devoir facultatif : racine n ième et puissance rationnelle Les nombres fractionnaires sont aussi appelés les nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s écrire m où m et n sont des nombres entiers relatifs. n Définition : Soient un nombre et n un nombre entier positif. On appelle "racine n ième de " et on note " n " le nombre positif qui à la puissance n donne. Eemple : 8 256 2 car 2 8 256 Remarques : - la "racine carrée" n est autre que la "racine 2 e " - la "racine 3 e " se dit plutôt la "racine cubique" - comme pour les racines carrées, on peut utiliser sa calculatrice pour les trouver Eercice : calcule A 4 8 B 3 8 C 5 024 D 3 2,67 E 8 On voudrait définir le nombre 3 : on doit avoir ( 3 ) 3 3 3 Donc, 3 est un nombre qui au cube donne : c est donc 3. Ainsi, 3 3 Plus généralement, on a : Définition : Soient un nombre et n un nombre entier positif. On définit n par n n Eemple : 000 3 3 000 0 Eercice 2 : calcule en réécrivant d abord l epression avec des puissances n ième A 64 3 B 287 7 C 000 000 6 D 625 0,25 E 7776 0,2 On voudrait maintenant définir le nombre m n : on doit avoir ( n ) m n m m n Définition : Soient un nombre et m, n des nombres entiers positifs. On définit m n par m n ( n ) m Eemple : 000 5 3 ( 3 000) 5 0 5 00 000 Remarque : puisque tout nombre décimal peut s écrire en écriture fractionnaire (eemple : 45 78 45,78 ), on vient donc de définir en particulier les puissances de nombres décimau. 000 Eercice 3 : calcule A 728 2 3 B 52 0 9 C 256 3 4 D 44,5 E 8 2,25 Remarques : cette généralisation de la notion de puissance n est pas vraiment terminée car il faudrait vérifier qu ainsi définie, tout est bien cohérent. Il faudrait par eemple vérifier que 3 6 2 vous savez donc combien vaut 5 4,64 mais pas encore 5 π ce qui est chose beaucoup plus délicate. Bien qu en pratique nous n utilisons quasiment que des nombres rationnels (sauf π et quelques rares autres), il se trouve que ces nombres ne représentent qu une infime partie des nombres en général (nombres réels). A vrai dire, les nombres rationnels représentent eactement 0 % des nombres réels si si, mais ça c est une autre histoire.