NOM : DS 5 TERM S le 17/01/11 Exercice 1 (7,5 points ) Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à 10-3 près. Un enfant joue avec 20 billes: 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique. 1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer l'espérance mathématique de X. 2. Un second jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les événements suivants: C 1 : «l'enfant choisit la boîte cubique», C 2 : «l'enfant choisit la boîte cylindrique», R: «l'enfant prend une bille rouge», V: «l'enfant prend une bille verte». a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce second jeu. b) Montrer que la probabilité de l'événement R est égale à c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique? 3. L'enfant reproduit n fois de suite son second jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix. b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n 0,99. Exercice 2 (7 points ) A) Résoudre 5 + 13 ln x < 0 B) QCM.Chaque bonne réponse rapporte 1,5 point ; chaque mauvaise réponse enlève 0,75 point. L absence de réponse n enlève ni ne rapporte aucun point. Le total ne peut être négatif. Chaque question comporte une seule bonne réponse. Entourer la bonne réponse. 1. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. La probabilité de n obtenir ni un as, ni un pique, est égal à :..
2. On tire au hasard et simultanément deux cartes d un jeu de 32 cartes. La probabilité de n obtenir ni un as, ni un pique, est égal à :. 3. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est de 0,15. La probabilité pour qu exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l issue de la période de garantie est égale à :.0,85 9.0,85.0,85 0,15.0,85 0,15 10 4. Un coffre-fort est muni d une serrure à code composé de cinq chiffres Combien peut-on créer de codes contenant exactement deux fois le chiffre 4?.9 10 b. 10 1 10 1 9 9 9 5. 10 1 10 1 9 9 95 2. 1 1 1 1 9 3 5 2 Exercice 3 (5,5 points ) On s intéresse aux retards dans une entreprise. La probabilité qu un individu soit en retard au moins une fois lors de son premier mois de travail est de 428/1000 Si l individu n a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est de 0,46 Si l individu a eu au moins un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est de 0,66 On note A n l évènement «l individu n a eu aucun retard le mois n» On note B n l évènement «l individu a eu au moins un retard le mois n» On note p n = P(A n ), q n =P(B n ) 1. Exprimer p n+1 en fonction de p n et q n (on pourra s aider d un arbre pondéré) 2. Montrer que pour tout entier n non nul, p n+1 = 0,2 p n + 0,66 3. Soit (U n ) définie pour tout n non nul par U n = p n 0,55 a) Démontrer que (U n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison b) Exprimer U n en fonction de n puis p n en fonction de n 4. Déterminer lim p n
NOM : DS 5 * TERM S le 17/01/11 Exercice 1 (7,5 points ) Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à 10-3 près. Un enfant joue avec 20 billes: 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique. 1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer l'espérance mathématique de X. 2. Un second jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les événements suivants: C 1 : «l'enfant choisit la boîte cubique», C 2 : «l'enfant choisit la boîte cylindrique», R: «l'enfant prend une bille rouge», V: «l'enfant prend une bille verte». a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce second jeu. b) Montrer que la probabilité de l'événement R est égale à c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique? 3. L'enfant reproduit n fois de suite son second jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix. b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n 0,99. Exercice 2 (7 points ) A) Résoudre 5 + 13 ln x < 0 B) QCM.Chaque bonne réponse rapporte 1,5 point ; chaque mauvaise réponse enlève 0,75 point. L absence de réponse n enlève ni ne rapporte aucun point. Le total ne peut être négatif. Chaque question comporte une seule bonne réponse. Entourer la bonne réponse. 1. Un coffre-fort est muni d une serrure à code composé de cinq chiffres Combien peut-on créer de codes contenant exactement deux fois le chiffre 4?. 1 1 1 1 9 3 5 2. 10 1 10 1 9 9 9 5 2 c. 10 1 10 1 9 9 9 5. 9 10
2. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est de 0,15. La probabilité pour qu exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l issue de la période de garantie est égale à :.0,85 0,15 10. 0,85 0,15. 0,85. 0,85 9 3. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. La probabilité de n obtenir ni un as, ni un pique, est égal à :.. 4. On tire au hasard et simultanément deux cartes d un jeu de 32 cartes. La probabilité de n obtenir ni un as, ni un pique, est égal à :.. Exercice 3 (5,5 points ) On s intéresse aux retards dans une entreprise. La probabilité qu un individu soit en retard au moins une fois lors de son premier mois de travail est de 428/1000 Si l individu n a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est de 0,46 Si l individu a eu au moins un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est de 0,66 On note A n l évènement «l individu n a eu aucun retard le mois n» On note B n l évènement «l individu a eu au moins un retard le mois n» On note p n = P(A n ), q n =P(B n ) 1..Exprimer p n+1 en fonction de p n et q n (on pourra s aider d un arbre pondéré) 2. Montrer que pour tout entier n non nul, p n+1 = 0,2 p n + 0,66 3. Soit (U n ) définie pour tout n non nul par U n = p n 0,55 a) Démontrer que (U n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison b) Exprimer U n en fonction de n puis p n en fonction de n 4. Déterminer lim p n