B. Graphique et proportionnalité : Introduction Fonction et graphique d une fonction Tableaux de valeurs et fonctions Lorsque les valeurs de deux grandeurs X et Y sont mises en relation on obtient une série de réponses partielles à la question : combien la grandeur B vaut-elle lorsque la grandeur A prend telle valeur? Si à chaque valeur de A correspond une valeur de B au plus, on peut exprimer B en fonction de A. La notion de fonction généralise l expression d une variable en fonction d une autre. Fonctions et graphiques Un graphique pour lequel à chaque valeur de la grandeur représentée en abscisse correspond une valeur de la grandeur représentée en ordonnée est le graphique d une fonction. Le graphique s interprète : on y lit les valeurs qui se correspondent, on lit aussi des informations concernant la variation relative des grandeurs Le graphique d une situation de proportionnalité Un changement de cadre Les points qui représentent une situation de proportionnalité sont alignés Lorsque les valeurs de deux grandeurs X et Y sont mises en relation on obtient une série de réponses partielles à la question : combien la grandeur Y vaut-elle lorsque la grandeur X prend telle valeur? Voici des renseignements sur la taille de Jonas Il n y a pas de «loi» pour prédire l évolution de la taille d un enfant, on dispose seulement de statistiques sur une population définie. Si à chaque valeur de X correspond une valeur de Y déterminée par une convention sociale, une loi physique, une relation mathématique, etc. on peut exprimer une formule reliant Y et X. Prix des croissants Y = 0,90 x X Dilatation du mercure d un thermomètre 5 x Y = X + 25 Périmètre d un rectangle de largeur 7 cm Y - 14 = 2 x X Certaines formules algébriques reliant les grandeurs X et Y peuvent être écrites, de façon équivalente, pour relier Y à X c est-à-dire à exprimer Y en fonction de X. Historiquement, les mathématiciens ont explicité la notion de fonction comme un procédé de transformation de X en Y qui reste implicite dans la formule reliant Y à X. Exemples : Prix des croissants Y = 0,90 x X La fonction est : «multiplier par 0,90» Dilatation du mercure d un thermomètre 5 x Y = X + 25 Y = X/5 + 5 La fonction est : «diviser par 5 puis ajouter 5 au résultat» Périmètre d un rectangle de largeur 7 cm Y - 14 = 2 x X Y = 2 x X + 14 La fonction est : «multiplier par 2 puis ajouter 14 au produit» Mathématiquement, une fonction se définit par deux ensembles de valeurs (celles de X et celles de Y) et la correspondance entre ces valeurs.
Un graphique pour lequel à chaque valeur de la grandeur représentée en abscisse correspond une valeur de la grandeur représentée en ordonnée est le graphique d une fonction. Le graphique s interprète : on y lit les valeurs qui se correspondent, on lit aussi des informations concernant la variation relative des grandeurs. Exemple 1 : Coût unitaire (en euro par tonne) de la distribution de carburant en fonction du nombre de dépôts Le graphique s interprète : on y lit les valeurs qui se correspondent, on lit aussi des informations concernant la variation relative des grandeurs. Exemple 2 : Julien a besoin d un seau d eau pour aller pêcher. En une minute, il a rempli le seau d une contenance de 3L. Quand il commence à le remplir, le seau est vide ; une minute après, le seau est plein et il n a jamais renversé d eau. Deux graphiques ne peuvent pas représenter le remplissage du seau, expliquer pourquoi. Les points qui représentent une situation de proportionnalité sont alignés sur une droite qui passe par l origine du repère.
Pourquoi les points sont-ils alignés avec l origine du repère? Répondre à cette question revient à traduire les propriétés «les points sont alignés» d une part et «avec l origine du repère» d autre part dans le cadre numérique. Le cas de l origine du repère se règle facilement L origine du repère est le point de coordonnées (0 ; 0). Dans un tableau de proportionnalité, la valeur Y=0 est associée à la valeur X=0 (si on achète zéro croissant, on paie zéro euro). On en déduit la propriété. L alignement des points vient du théorème de Thalès Dans la figure ci-contre : si A, D et B sont alignés A, E et C sont alignés les droites (DE) et (BC) sont parallèles alors AD/AB = AE/AC = DE/BC L alignement des points vient du théorème de Thalès Les points de coordonnées (0 ; 0) et (5 ; 4) sont alignés. Déterminons la condition pour que le point de coordonnées (x, y) soit aligné avec les deux autres. Posons par exemple x=2. Le théorème de Thalès conduit à : 2/5 = y/4 ou x/5 = y/4 On en déduit que : y = 1,6 ou y = 0,8x. On remarque que 0,8 = 4/5 Des points sont alignés avec l origine du repère si et seulement si le rapport ordonnée/abscisse est indépendant des points. Ce rapport caractérise la droite. Fonctions linéaires Fonctions linéaires Définition Considérons la droite des points alignés avec les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; a). Prenons par exemple a = 6. Déterminons la condition pour que les points de coordonnées (x, y) appartiennent à cette droite. Le théorème de Thalès conduit à : x/1 = y/6 ou x/1 = y/a On en déduit que : y = 6x ou y = a.x Propriétés Si deux points de coordonnées (x 1 ; y 1) et (x 2 ; y 2) appartiennent au graphique d une même fonction linéaire (y=a.x) alors Première propriété y 1=a.x 1 et y 2=a.x 2 ou y 1 / x 1 = y 2 / x 2 = a Deuxième propriété y 2 - y 1 = a.x 2 - a.x 1 = a(x 2 - x 1 ) donc (y 2 - y 1 ) / (x 2 -x 1 ) = a Une fonction est linéaire si elle multiplie par un nombre fixe. Le graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine du repère. Le rapport entre l ordonnée et l abscisse est constant, c est aussi le rapport entre la variation de l ordonnées et la variation de l abscisse.
Dans les petites classes (jusqu en cinquième), les principales tâches proposées aux élèves sont des conversions de représentation de données : d un tableau vers un graphique ou d un graphique vers un tableau. Dans les petites classes (jusqu en cinquième), les principales tâches proposées aux élèves sont des conversions de représentation de données : d un tableau vers un graphique ou d un graphique vers un tableau. Réussite 60% en 6e Réussite 20% en 4e Réussite 35% en 4e
Réussite 25% en 3e Réussite 22% en 5e Réussite 76% en 4e Réussite 48% en 5e