47 Développements Développe et réduis les expressions suivantes. A = (x ) = x 4 4x 4 B = (x 1) (x 1) 8x B = 4x 4x 1 4x 4x 1 8x B = C = (3t 5) (1 4t) C = (9t 30t 5) (1 8t 16t ) C = 18t 60t 50 16t 3t C = -14t 44t 48 D = (1 4y) (y 3) (1 4y)(y 3) D = 1 8y 16y (4y 1y 9) (y 3 8y 1y) D = 1 8y 16y 4y 1y 9 14y 3 8y D = 4y 18y 11 48 Factorisations Factorise les expressions suivantes. E = (x 1) (x 1) E = (x 1)(x 1 1) E = (x 1)(x ) E = (x 1)(x 1) F = 3(x 3) (x 3) F = (x 3)[3(x 3) 1] F = (x 3)(6x 10) F = (x 3)(3x 5) 49 En deux coups de cuiller a. Factorise 4x 9. 4x 9 = (x) 3 = (x 3)(x 3) b. Déduis-en une factorisation de l'expression : J = 4x 9 (x 3)(x 1). J = (x 3)(x 3) (x 3)(x 1) J = (x 3)(x 3 x 1) J = (x 3)(3x 4) c. Résous l'équation J = 0. «J = 0» équivaut à : x 3 = 0 ou 3x 4 = 0 x = - 3 ou x = 4 3-3 et 4 3. 50 Calcul mental a. Développe et réduis l'expression : K = (x 15) (x 15). K = x 30 x 5 (x 30 x 5) K = x 30 x 5 x 30 x 5 K = 60 x b. Déduis-en le résultat de 1 15 1185. 1 15 1185 = (1 00 15) (1 00 15) = 60 1 00 = 7 000 G = (x 4)(3x 4) x 4 G = (x 4)(3x 4) (x 4) G = (x 4)(3x 4 1) G = (x 4)(3x 3) G = 3(x 4)(x 1) H = (3x 7)(x 1) (x 4)( x 1) H = (3x 7)(x 1) (x 4)(x 1) H = (x 1)[(3x 7 (x 4)] H = (x 1)(x 11) 1 CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS CHAPITRE N
51 Le champ ABGF est un carré de côté b. ACDE est un carré de côté a. b A B C Un agriculteur possède le terrain BCDEFG et sait que l aire de son terrain vaut 7 00 m. Il décide un jour d aller du point C au point E en passant par B, A et F. Arrivé en F, il a déjà parcouru 10 m. Quelle distance lui reste-t-il à parcourir pour arriver en E? La première information se traduit par l'égalité : a b = 7 00 en m c'est-à-dire (a b)(a b) = 7 00 La deuxième se traduit par : a b = 10 en m Trouver la distance FE revient à trouver a b. En remplaçant a b par 10 dans la première égalité, on trouve : 10 (a b) = 7 00 d'où : a b = 700 et a b = 60. 10 Conclusion : il reste 60 mètres à parcourir. 5 Extrait du Brevet On considère l'expression : E = (x 3) (x 1)(x ). a. Développer et réduire E. F E E = (x 3) (x 1)(x ) E = x 6x 9 (x x x + ) E = x 6x 9 x + 3x E = -3x 7 b. Comment peut-on déduire, sans calculatrice, le résultat de 99 997 99 999 99 998? Le calcul à effectuer correspond à la valeur de l'expression E lorsque x vaut 100 000. Ce résultat vaut alors -3 100 000 7, c'est-à-dire : -99 993. G D a c. Factoriser l'expression : F = (4x 1) (4x 1)(7x 6). F = (4x 1)[(4x 1) (7x 6)] F = (4x 1)( 3x 7) d. Résoudre l'équation (4x 1)(7 3x) = 0. «(4x 1)(7 3x) = 0» équivaut à : 4x 1 = 0 ou 7 3x = 0 x = 1 4 ou x = 7 3-1 4 et 7 3. 53 Extrait du Brevet Soit F = (3x 5) (3x 5)(x 4). a. Développer et réduire F. F = (3x 5) (3x 5)(x 4) F = 9x 30x 5 (3x 1x 5x 0) F = 9x 30x 5 3x 7x 0 F = 6x 37x 45 b. Factoriser F. F = (3x 5)(3x 5) (3x 5)(x 4) F = (3x 5)[(3x 5) (x 4)] F = (3x 5)[3x 5 x 4] F = (3x 5)(x 9) c. Calculer F pour x = 1 puis pour x = 4,5. En choisissant la forme développée, pour x = 1 : F = 6 37 45 = 14 et pour x = 4,5 : F = (3 4,5 5)( 4,5 9 ) = 8,5 0 = 0. CHAPITRE N CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS
54 Résous les équations suivantes. a. (x 3) (x 3)(x 1) = 0 En factorisant le membre de gauche : (x 3)[(x 3) (x 1)] = 0 (x 3)( x 4) = 0, soit x 3 = 0 ou x 4 = 0 donc x = 3 ou x = 4 d'où les solutions de cette équation : -3 et 4. b. 6 x 1 7 x 4 6 x 1 x 3 = 0 7 En factorisant le membre de gauche : 6 x 1 [ x 4 x 3 ] =0 7 6 x 1 3 x 1 = 0 7 ce qui équivaut à : 6x 1 = 0 ou 3x 1 = 0 7 1 x = x = - 1 4 3 donc, les solutions de cette équation sont : - 1 3 et 1 4. 55 Un peu de géométrie Combien vaut a pour que l'aire d'un rectangle de dimensions a et 5 soit le double de l'aire d'un carré de côté a? Résoudre ce problème revient à résoudre l'équation : a,5a a = 0 5 = a avec a positif. et en factorisant : a(,5 a) = 0, ce qui équivaut à : a = 0 ou,5 a = 0 a = 0 ou a = 1,5 En éliminant le cas «a = 0» (rectangle réduit à un segment, carré réduit à un point), on trouve que a doit valoir 1,5. 56 Différence d'aires On considère l'expression : D = (4x 7)(x 3) (x 3). a. Développe et réduis D. D = (4x 7)(x 3) (x 3) = 8x 1x 14x 1 ( 4x 1x 9) = 8x 6x 1 4x 1x 9 D = 4x 14x 1 b. Factorise D. D = (4x 7)(x 3) (x 3) = (x 3)[(4x 7) (x 3)] D = (x 3)(x 4) c. Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et AEFD est un carré. On suppose, 4x 7 dans cette question, que x est un nombre supérieur à. A E B Pour quelle(s) valeur(s) de x (x ), la différence entre l aire du rectangle et l aire du carré est-elle égale à 1 cm? La différence entre l aire du rectangle et l aire du carré est de : (4x 7)(x 3) (x 3) C'est en fait l'expression D et le problème revient donc à résoudre l'équation : D = 1 ce qui donne, avec l'expression développée : 4x 14x 1 = 1 4x 14x = 0 x(x 7) = 0 ce qui équivaut à x = 0 ou x 7 = 0 x = 0 x = 3,5 mais x doit être un nombre supérieur à. Il ne reste qu'une possibilité : x vaut 3,5 cm. D F C x 3 3 CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS CHAPITRE N
C 34 57 Le programme de calcul On donne le programme de calcul suivant. Choisis un nombre. Ajoute 6. Multiplie la somme obtenue par le nombre choisi au départ. Ajoute 9 à ce produit. Écris le résultat. a. Écris les calculs intermédiaires et donne le résultat fourni lorsque le nombre choisi est. Recommence avec 5. 6 = 8 8 = 16 16 9 = 5 Résultat : 5-5 -5 6 = 1 1 (-5) = -5-5 9 = 4 Résultat : 4 b. Écris ces deux résultats sous la forme de carrés de nombres entiers. 5 = 5 et 4 =. c. Démontre que le résultat est toujours un carré, quel que soit le nombre choisi au départ. Soit n, un nombre quelconque. Si on lui applique le programme, on obtient à la fin l'expression : (n 6) n 9 c'est-à-dire, en développant : n 6 n 9 puis en factorisant : (n 3) donc, le résultat obtenu est toujours un carré. d. On souhaite que le résultat soit 16. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ? Pour que le résultat soit 16 : (n 3) = 16 En regroupant, puis en factorisant : (n 3) 16 = 0 (n 3 4)(n 3 4) = 0 (n 1)(n 7) = 0 ce qui équivaut à : n 1 = 0 ou n 7 = 0 n = 1 ou n = -7 Donc, on doit choisir 1 ou -7 au départ pour obtenir 16 à la fin. 58 Différences de carrés On considère la suite des carrés parfaits 1 ; 4 ; 9 ; 16 ;... a. Calcule 4 1, puis 9 4, puis 16 9, puis 5 16. Que constates-tu? 4 1 = 3 9 4 = 5 16 9 = 7 5 16 = 9 Il semblerait qu'on obtienne comme résultats les nombres impairs dans l'ordre, à partir de 3. b. Que peux-tu conjecturer à propos de la suite des différences de deux carrés successifs? Démontre cette propriété. On conjecture la propriété : «La suite des différences de deux carrés successifs est la suite des nombres impairs.» Soit n un nombre entier, son suivant est n 1 La différence de deux carrés successifs peut donc s'écrire : (n 1) n = n n 1 n = n 1 or, n est un multiple de, c'est-à-dire un nombre pair, donc, n 1 est un nombre impair. La différence des deux carrés suivants est : (n ) (n 1) = n 4n 4 ( n n 1) = n 4n 4 n n 1 = n 3 = (n 1) Donc, la différence suivante est bien le nombre impair suivant, ce qui démontre la propriété. c. Calcule mentalement 3. Puisque (n 1) n = n 1, alors : 3 = 1 = 45. CHAPITRE N CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS 4
59 Extrait du Brevet a. Développer les deux expressions A = (6 x) et B = (6 x)(4 x). A = (6 x) A = 36 1x x A = x 1x 36 B = (6 x)(4 x) B = 4 6x 4x x B = x 10x 4 b. Donner l écriture développée et réduite de : E = (6 x) (6 x)(4 x) (36 x ). E = x 1x 36 (x 10x 4 ) 7 x E = x 1x 36 x 10x 4 7 x E = -x x 84 c. Factoriser E. Remarqu'ons d'abord : 36 x = (6 x)(6 x) D'où E = (6 x) (6 x)(4 x) (6 x)(6 x) E = (6 x)[(6 x) (4 x) (6 x)] E = (6 x)[6 x 4 x 1 x] E = (6 x)(x 14) d. Résoudre l équation E = 0. «E = 0» équivaut à : 6 x = 0 ou x 14 = 0 x = 6 ou x = -7-7 et 6. e. Résoudre l équation E = 84. «E = 84» équivaut à : -x x 84 = 84 d'où - x = 0 ou x 1 = 0 x = 0 x = -1 -x x = 0 -x(x 1) = 0-1 et 0. 60 Extrait du Brevet a. Développer et réduire l'expression : P = (x 1)(x ). P = (x 1)(x ) = x x 1x 4 P = x 14x 4 b. Factoriser l'expression : Q = (x 7) 5. Q = (x 7) 5 = (x 7 5) (x 7 5) Q = (x )(x 1) c. ABC est un triangle rectangle en A. x désigne un nombre positif. BC = x 7 et AB = 5. Faire un schéma et montrer que : AC = x 14x 4. Puisque ABC est rectangle en A, on peut appliquer le théorème de Pythagore : A C AC = BC AB AC = (x 7) 5 AC = (x 7) 5 d'où AC = (x )(x 1) d'après le b. et AC = x 14x 4 d'après le a. 61 Calcul littéral en toutes lettres Traduis par une expression algébrique les phrases suivantes. a. A est le carré de la somme du produit de par x et de 3. A = (x 3) b. B est la différence des carrés de la différence du double de x et de 5 et de la somme de x et de 3. B = (x 5) (x 3) 5 B x 7 5 CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS CHAPITRE N
C 34 6 Le programme de calcul (bis) On donne le programme de calcul suivant. Choisis un nombre. Prends son triple. Soustrais. Prends le carré de cette différence. Soustrais 16 à ce produit. Écris le résultat. a. Applique ce programme à 1 puis à 1 3. 1 3 1 = 3 3 = 1 1 = 1 1 16 = -15 Résultat : -15-1 3 3 (- 1 3 ) = -1-1 = -3 (-3) = 9 9 16 = -7 Résultat : -7 b. Pour quel(s) nombre(s) de départ obtient-on un résultat nul? En appliquant le programme à un nombre x, on obtient l'expression : (3x ) 16, Pour résoudre l'équation (3x ) 16 = 0, on factorise le premier membre, ce qui donne : (3x 4)(3x 4) = 0 (3x 6)(3x ) = 0 ce qui équivaut à : 3x 6 = 0 ou 3x = 0 x = ou x = - 3 Donc, pour obtenir un résultat nul, il faut choisir au départ - 3 ou. 63 Calculatrice digitale Pour calculer 6 8, Jérôme a vu son professeur de mathématiques opérer de la façon suivante. Pour faire 6, avec la main droite je lève 1 doigt. Pour faire 8, avec la main gauche je lève 3 1 3 = 4. droite par le nombre de doigts baissés à gauche : 4 = 8. Le résultat est 48. a. Vérifie que cette astuce fonctionne pour 7 9 et pour 6 6 (l'éventuelle retenue de la multiplication s'ajoute à la somme des doigts levés). Pour 7 9 : Pour faire 7, avec la main droite je lève Pour faire 9, avec la main gauche je lève 4 4 = 6. droite par le nombre de doigts baissés à gauche : 3 1 = 3. Le résultat est 63. Pour 7 9, on retrouve bien «63». Pour 6 6 : Pour faire 6, avec la main droite je lève 1 Pour faire 6, avec la main gauche je lève 1 1 1 =. droite par le nombre de doigts baissés à gauche : 4 4 = 16. Le résultat est 36 (avec la retenue). Pour 6 6, on retrouve bien «36». CHAPITRE N CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS 6
b. Démontre cette méthode de calcul de a b avec les doigts pour a et b compris entre 5 et 9. Pour a b : Pour faire a, avec la main droite je lève a 5 doigt(s). Pour faire b avec la main gauche je lève b 5 doigt(s). a 5 b 5 = a b 10 c'est le nombre de dizaines, ce qui donne 10a 10b 100 unités. droite par le nombre de doigts baissés à gauche : (10 a)(10 b) = 100 10a 10b ab J'additionne le tout : 10a 10b 100 100 10a 10b ab = ab On retrouve bien «a b». 64 Factorisations (bis) Factorise les expressions suivantes. a. J = (3x 5) 6x 11 J = 9x 30x 5 6x 11 J = 9x 36x 36 J = (3x 6) b. K = 4(x 1) 8x 3 K = 4(4x 4x 1) 8x 3 K = 16x 16x 4 8x 3 K = 16x 8x 1 K = (4x 1) c. L = (x 1) 6(x 1) 9 L = [(x 1) 3] L = (x 4) L = [(x )] L = 4( x ) d. M = (3x 7) (x 5) M = [3x 7 (x 5)][3x 7 (x 5)] M = (x 1)(5x ) 7 CALCUL LITTÉRAL ET ÉQUATIONS CHAPITRE N