MATRICES I) Résolution de système Exemple : On donne trois points A( ; 6), B( ; ) et C(0 ; 2). On recherche la fonction f du second degré telle que sa courbe représentative passe par les points A, B et C. On pose : f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des nombres à déterminer Solution On résout un système de trois équations à trois inconnues. De même, pour une fonction de degré n, on recherche n + réels, donc un système à n + équations. On vérifie que les trois points ne sont pas alignés : On calcule le coefficient directeur de la droite (AB) et (BC) qui sont et donc les points ne sont pas 2 alignés. A c f a + b + c = 6 B c f 9a + b + c = C c f c = 2 On obtient a + b + c = 6 9a + b + c = c = 2 c = 2 a = 4 b 0 6b = 0 c = 2 b = 5 a = d où f(x) = x² + 5x + 2 II) Matrices Problème p 244 Définition : Un tableau de nombre ayant n lignes et p colonnes est une matrice de dimension notée «n p». Notation : a ij avec i n et j p, est le nombre du tableau se trouvant à l intersection de la ième ligne et jième colonne
Définition : Une matrice à une seule ligne est une matrice ligne Une matrice à une seule colonne est une matrice colonne Quand le nombre de lignes est égale au nombre de colonnes n, la matrice est dite carrée d ordre n. La matrice identité I d ordre n est une matrice carrée composée de 0 sauf sur la diagonale qui est composée de Exemple : 9 est une matrice est une matrice carrée 0 0 6 est une matrice colonne 2 Calculatrice : voir déclic p 265 III) Opération sur les matrices a. Addition et multiplication par un réel Définition : A et B sont deux matrices contenant le même nombre de lignes et de colonnes A + B s obtient en ajoutant chaque terme de A à ceux correspondant de B A B s obtient en soustrayant chaque terme de A à ceux correspondant de B A est l opposé de A, s obtient en remplaçant chaque terme de A par son opposé ka, où k est un réel, s obtient en multipliant chaque terme de A par k.
Exemples : A = 5 7 2 4 et B = 2 5 0 Calculer A + B, A B, A et 2A Solution : A + B = 5 + 7 + 2 + 5 2 + 0 4 + = 0 9 2 2 A B = + 5 7 2 5 2 0 4 = 2 2 5 2 5 A = 5 7 2 4 2A = 2 2 5 2 7 2 ( ) 2 2 2 ( 4) = 2 0 4 6 4 et k = 2 Propriétés : A, B et C sont trois matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes, k et k deux réels A + B = B + A l addition est commutative (A + B) + C = A + (B + C) l addition est associative k(a + B) = ka + kb (k + k )A = ka + k A k(k A) = (kk ) A Si X + A = B alors X = B A Exemple : M = 2(A + B) (A + 5B) où A et B sont des matrices ayant le même nombre de lignes et colonnes. Simplifier M Solution : M = 2A + 6B A 5B = 2A A + 6B 5B =A + B Exo 2 a-b-c) p 254 b. Produit de deux matrices Déclic Activité 4 p262 Le produit d une matrice ligne A à n éléments par une matrice colonne B à n éléments s obtient en multipliant le premier élément de A par le premier élément de B, le deuxième élément de A par le deuxième élément de B et ainsi de suite jusqu au dernier élément de A par le dernier élément de B, puis en ajoutant tous ces produits. Attention : l ordre du produit est important A B B A
Exemple : un magasin fait une promotion sur quatre articles : Café :.50 Soupe :.50 Huile : 4.20 Eau minérale : 0.65 Une association achète paquets de café, 2 soupes, 4 bouteilles d huile et 60 bouteilles d eau. Combien a dépensé l association? Solution Les quantités sont représentées par la matrice colonne : 2 4 60 Les prix sont représentés par la matrice ligne : (.5.5 4.2 0.65) La dépense totale sera donnée par le produit de : (.5.5 4.2 0.65) 2 4 60 La dépense totale est de. =.5 +.5 2 + 4.2 4 + 0.65 60 =. Définition : Le produit d une matrice A de dimension m p par une matrice B de dimension p n est une matrice C de dimension m n. L élément de C placé en ième ligne et jième colonne est le produit de la ième ligne de la matrice A et de la jième colonne de B. Exemple : Trois clients achètent les mêmes 4 articles dans deux magasins Score et Shoprite mais dans des quantités différentes. Quantités Café Soupe Huile Eau Frédéric 2 6 Antsa 2 2 Henintsoa 0 9 Prix Score Shoprite Café.50 4 Soupe.50 0.95 Huile 4.20 5.0 Eau 0.65 0.70 Calculer la dépense de ces trois clients suivant le magasin. Solution : 2 6 On traduit le tableau des quantités par la matrice 4 : 2 2 0 9 On traduit le tableau des prix par la matrice 4 2 : La matrice des dépenses se traduit par la matrice 2 :.5 4.5 0.95 4.2 5. 0.65 0.7
2 6 2 2 0 9.5 4.5 0.95 4.2 5. 0.65 0.7 =.5 + 2.5 + 4.2 + 6 0.65 4 + 2 0.95 + 5. + 6 0.7 2.5 +.5 + 4.2 + 2 0.65 2 4 + 0.95 + 5. + 2 0.7.5 + 02.5 + 4.2 + 9 0.65 4 + 0 0.95 + 5. + 9 0.7 D où le tableau des dépenses suivant Score Shoprite Frédéric 4.60 5.20 Antsa 20.50 22.45 Henintsoa 20.55 2.40 4.6 5.2 = 20.5 22.45 20.55 2.40 Propriété : Soit A, B et C trois matrices telles que les opérations suivantes existent A(BC) = (AB)C la multiplication est associative A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C (attention A B B A en général) Soit A une matrice carrée d ordre n et la matrice identité d ordre n alors : A I = I A = A Exo d à 6 p 254 Exo 2 24 et 26 à 29 p 257 Exo 5 p 262 (logique) c. Inverse d une matrice Problème 5 p 24 Définition : La matrice inverse d une matrice carrée A, si elle existe, est la matrice carrée telle que : A A - = A A = I Exemple : Trouver grâce à la calculatrice et à la main la matrice inverse de A = 9 0 0 Solution : 2 6 2 6 4 0 0
Exo à 4 p 255 Exo 0 à p 257-25 Exo 52 p 262 (logique) IV) Résolution d un système par le calcul matriciel Problème 6 p 24-249 Reprenons l exemple du début du cours. On avait obtenu le système suivant a + b + c = 6 9a + b + c = c = 2 Appelons A la matrice carrée d ordre représentant les coefficients du système : A = 9 0 0 a X la matrice colonne à lignes représentant les inconnues : X = b c 6 B la matrice colonne à lignes représentant les seconds membres : B = 2 On obtient l équation suivante : AX = B Si la matrice inverse de A existe, on obtient alors X = A B = D où f(x) = x² + 5x + 2 2 6 2 6 4 0 0 6 2 = 5 2 On généralise cette méthode au système de n équations à n inconnues Problème 7 p250 Méthode : La matrice A des coefficients du système est une matrice carrée d ordre n La matrice X des inconnues est une matrice colonne à n lignes La matrice B des seconds membres est une matrice colonne à n lignes La résolution du système de n équations à n inconnues revient à résoudre l équation : AX = B Si la matrice inverse de A, A -, existe alors le système admet une solution de la forme : X = A - B Problème 9 0 p 252-25 Exo 7 p 25 ; 4 44 p 260 ; 46 4 49 p 26-262 ; 54 p 26 ; DM : exo 55 56 p 26