Seconde Géométrie 2 : Les vecteurs Page 1 sur 6

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Seconde Géométrie 2 : Les vecteurs Page 2 sur 6 II) Vecteurs : 1) Qu est ce qu un vecteur? Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments : 1) une direction ( une droite, deux droites parallèles ont la même direction ) 2) un sens de parcours de cette direction. 3) une longueur ( appelée norme ). Exemples : 1) Le vecteur formé de la direction( ), de sens «de vers» et de longueur AB est noté. 2) Les vecteurs AB et CD ont la même direction et le même sens mais pas la même longueur 3) Les vecteurs AB et BA ont la même direction et la même longueur mais pas le même sens. Dans l activité précédente, on parle de la translation de vecteur AB. On dit que A est l origine du vecteur et que B est son extrémité. On dit que le point B est l image du point A par la translation de vecteur AB. 2) Vecteurs égaux : On dit que deux vecteurs sont égaux s ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Exemple : AB = CD signifie que : 1) AB = CD ont la même direction, c est-à-dire que les droites ( AB) et ( CD ) sont parallèles. 2) AB = CD ont le même sens, c est-à-dire que le sens est le même de A vers B que de C vers D. 3) AB = CD ont la même longueur, c est-à-dire que AB = CD 3) Notation La translation de vecteur AB transforme le point C en D, le point E en F. On a AB = CD = EF. On dit alors que AB, CD et EF sont des représentants d un même vecteur que l on peut noter génériquement u. On dit que AB est le représentant du vecteur u d origine A.

Seconde Géométrie 2 : Les vecteurs Page 3 sur 6 4) Vecteurs particuliers Soit A un point quelconque du plan. Le vecteur AA est appelé vecteur nul et noté 0. Il n a pas de direction, ni de sens et sa longueur est nulle. AB = 0 si et seulement si A et B sont confondus. Soit u un vecteur non nul. L opposé du vecteur u est le vecteur noté ayant la même direction, le sens contraire et la même norme. Représentation graphique de : L opposé du vecteur AB est le vecteur BA. On écrit donc que : BA = AB. 5) Vecteurs égaux et parallélogramme : Propriété : Soient,, et quatre points du plan distincts deux à deux. AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). On a aussi BA = CD, AD = BC et DA = CB 6) Vecteurs égaux et milieu d un segment : Propriété : Le point est le milieu du segment [ ] si et seulement si =. On a aussi =

Seconde Géométrie 2 : Les vecteurs Page 4 sur 6 III) Somme de vecteurs : 1) Somme vectorielle : Relation de Chasles : On définit la somme vectorielle AB + BC comme étant le vecteur AC. Ce vecteur somme correspond à la translation «bilan» que l on obtient en faisant successivement les translations de vecteurs AB puis de vecteur BC. «Aller de A vers B, puis de B vers C, revient à aller directement de A vers C». Plus généralement : Etant donnés deux vecteurs quelconques u et v, on définit la somme vectorielle u + v comme étant le vecteur égal à AC, où A est un point quelconque du plan et C son image par les translations successives de vecteurs respectifs u et v. Remarques : La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi. Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est commutative, c'est-à-dire u + v = v + u et u + v + w = u + v + w, ce que l on peut simplement noter u + v + w. associative, c'est-à-dire ( ) ( ) 2) Construction géométrique de + : 1 er cas : Vecteurs «bout à bout» Quels que soient les points, et, on a la relation de Chasles : + = Exemple : Voir figure précédente 2 nd cas : Vecteurs quelconques On déplace l un ou l autre ou les deux vecteurs pour se ramener à la configuration «bout à bout» précédente. Pour construire AB + CD, on place le point E tel que BE = CD. Comme : AB + CD = AB + BE, d après la relation de Chasles, AB + CD = AE. 3) Somme de vecteurs et configurations : Propriété : Parallélogramme Si ABCD est un parallélogramme alors AB + AD = AC. Démonstration : Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. On a alors AB + AD = DC + AD = AD + DC = AC. Propriété : Médiane

Seconde Géométrie 2 : Les vecteurs Page 5 sur 6 Si [AI] est la médiane issue de A dans le triangle ABC, alors AB + AC = 2AI. Propriété : Milieu I est le milieu de [AB] si et seulement si IA + IB = 0. On a aussi : AI + BI = 0 4) Différence de deux vecteurs : On appelle différence entre u et v, le vecteur noté u v u v = u + v. défini par : ( ) On retrouve le «soustraire, c est ajouter l opposé». Construction géométrique de u v Configuration : Dans un parallélogramme, les deux diagonales correspondent à la somme et la différence des vecteurs des côtés : IV) Vecteurs colinéaires : 1) Définition Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres.

Seconde Géométrie 2 : Les vecteurs Page 6 sur 6 Etant donné un vecteur u et un nombre réel k, on définit le vecteur produit comme le vecteur ayant : la même direction le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0 la longueur k u Ce vecteur produit est noté k u On définit de plus 0u = k0 = 0. Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v. 2) Application en géométrie a) Caractérisation du milieu, du symétrique par la symétrie centrale Propriété: 1 I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = AB. 2 B est le symétrique de A par rapport à O si et seulement si AB = 2 AO b) Droites ( AB) La droite est l'ensemble des points M tels que les vecteurs AB et AM soient colinéaires. ( AB) ( AB) Tout vecteur de direction est appelé vecteur directeur de la droite. Attention, il y a une infinité de vecteurs directeurs pour une même droite. On ne peut pas dire «le vecteur directeur». Propriété: Deux droites sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Théorème de Thales: Soient A, B et C trois points non alignés. Si AM = k AB et AN = k AC si et seulement si MN = k BC c) Points alignés Propriété: Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.