Exemples : I. SUITES NUMÉRIQUES 1. Voici une suite de termes numériques : 3, 17, 87, 437, 2187, ou indice 0 1 2 3 4 5 termes Exemple 3 17 87 437 2187 p n-1 n A. DÉFINITION Intuitivement, une suite est une «succession» ou une liste de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Formellement, on appelle une suite réelle toute application de (ou d une partie ), qui associe, à tout entier n, un nombre réel noté et appelé le terme général de la suite : Notation : la suite est notée : La notation est la notation indicielle, n est appelé l indice ou le rang. Dans notre exemple, on peut définir cette progression par : Où est le premier terme Donc pour connaître un terme quelconque de cette progression on a besoin de connaître le terme précédent, auquel on ajoute 2 après l avoir multiplié par 5. Ainsi, pour déterminer le terme on a besoin de connaître le terme précédent auquel il faut ajouter 2 après l avoir multiplié par 5. Et pour déterminer on a besoin de connaître le terme précédent auquel il faut ajouter 2 après l avoir multiplié par 5 Pour déterminer, on a besoin de connaître le terme précédent auquel il faut ajouter 2 après l avoir multiplié par 5. Ainsi, il faut remonter de proche en proche jusqu au 1 ier terme. 2. Voici une autre suite de termes numériques : 3, 5, 7, 9, 11, ou indice 0 1 2 3 4 5 p termes Exemple 3 5 7 9 11 n-1 n On peut définir cette suite par pour tout naturel n. LEJ Page 1
Cette dernière définition permet de trouver un terme directement. de n importe quel rang B. DÉTERMINATION D UNE SUITE Les exemples ci-dessus nous indiquent qu il y a deux façons de déterminer une suite : détermination explicite et détermination par récurrence. a) Détermination explicite Exemples Soit la suite ( définie de la manière suivante : 0 1 4 9 16 25 36 49 64 terme LEJ Page 2
Soit la suite ( définie de la manière suivante : rang 1 2 3 4 5 6 7 8 termes exemple 1 Terme Lorsque le terme général est une fonction connue de l'entier n, on dit que la suite est définie explicitement par son terme général. On a alors une relation du type = f(n) où est directement lié à n. b) Détermination par récurrence Lorsqu une suite est définie par son premier terme et par une relation qui permet de calculer tous les termes successifs de proche en proche, on dit que la suite est définie par récurrence. Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence = f ( ) ; n'est pas directement lié à n Exemple : Soit la suite ( définie de la manière suivante: Pour LEJ Page 3
Dans ce cas, il n est pas possible de calculer un terme sans connaître les termes précédents ni donc d associer une fonction à cette suite. Si n = 1 Si n = 2... Si n = 10 impossible à calculer car il faut connaître avant C. PROPRIÉTÉS Il est utile de connaître le sens de variation (croissance ou décroissance) d une suite ainsi que ses bornes éventuelles (suite majorée, suite minorée). a) Croissance ou décroissance (sens de variation) Une suite ( est croissante si et seulement si : 1 Une suite ( est strictement croissante si et seulement si : Une suite ( est décroissante si et seulement si : Une suite ( est strictement décroissante si et seulement si : Exemples : ( est croissante : ( est décroissante : ; n > 0 R Ra 1 LEJ Page 4
b) Suite majorée, suite minorée, suite bornée Une suite ( est majorée s il existe ( ) un nombre réel tel que : Exemple : Terme Ici M = 4 Une suite ( est minorée s il existe ( ) un nombre réel tel que : Exemple : est une suite minorée par m = 1 LEJ Page 5
Une suite ( est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Exemple : est une suite bornée par m = -1 et M=1 Terme II. SUITES ARITHMÉTIQUES Exemples : 1. Voici une suite de termes numériques : -7, -5, -3, 1, 3, 4, ou indice 0 1 2 3 4 5 p Termes Exemple -7-5 -3 1 3 5 n-1 n +2 +2 +2 +2 +2 +2 Constats : Pour passer d un terme au terme suivant, on ajoute 2 Le premier terme ou le terme initial est : - 7. A. DÉFINITION Une suite (ou progression) arithmétique est une suite telle que chaque terme de la suite (à partir du deuxième) est égal au précédent augmenté d un nombre constant non nul appelé raison. Exemple : Exemple : Exemple : (ici la raison vaut 2) Remarque : pour démontrer qu une suite est arithmétique, il suffit d établir que la différence des 2 termes consécutifs est indépendante de n, c est-à-dire constante. LEJ Page 6
Exemple : Montrons que la suite définie par : est une suite arithmétique. Pour cela, montrons d elle est indépendante de n en calculant la différence B. CALCUL DU N I È M E TERME Or (- 5) est indépendant de n. ou indice 0 1 2 3 4 5 p Termes Exemple -7-5 -3 1 3 5 n-1 n +r +r +r +r +r +r De manière générale : Où est le terme initial et est la raison Cette formule nous permet de calculer le terme général initial et la raison de la suite. connaissant le terme Mais il est également possible de calculer connaissant un terme quelconque et la raison.en effet, nous constatons dans notre exemple ci-dessus que 2 = 5-3 Aussi 3 = 4-1 De manière générale : est un terme quelconque LEJ Page 7
Cette formule permet de calculer le terme général quelconque et la raison. connaissant un terme La formule permet également de déterminer la raison quelconques de la suite : connaissant deux termes Exemples : a) Soit une suite arithmétique : 7, 9, 11, 13, 15, 17, Termes Exemple 7 9 11 13 15 17 +2 +2 +2 +2 +2 +r On donne =15 et la raison = 2 Calculer On utilise la formule : Ici, dans notre exemple b) Soit une suite arithmétique définie sur telle que et - Déterminer la raison Pour déterminer la raison r, on utilise la formule : Remarque : - Déterminer le premier terme Pour déterminer on utilise la formule : Soit on utilise Soit on utilise LEJ Page 8
C. SOMME DE N PREMIERS T ERMES CONSÉCUTIFS Soit une suite arithmétique S = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 (il y a 8 termes) Écrivons S en commençant par : S = 15 ; 13 ; 11 ; 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1 Additionnons les 2 membres: 2S= (1+15)+(3+13)+(5+11)+(7+9)+(9+7)+(11+5)+(13+3)+(15+1) 2S = 8*(1+15) Généralisons : Soit une suite arithmétique S: S = S = Additionnons membre à membre : 2 S = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) or ( + )= ( )= ( + ) ( + ) =( )= ( + ) ( + ) = )= ( + ) On constate que les termes extrêmes sont égaux ( + ) Donc 2 S = Nombre de termes * (premier terme + dernier),,,, terme ; Exemple : le dernier terme. Avec N le nombre de termes de la suite et le premier Calculer la somme de n premiers nombres entiers consécutifs. On a =1 Donc LEJ Page 9
Si n = 100 alors Exercice 1 : D. APPLICATIONS a) La suite est définie par Calculer les termes et Et b) On considère la suite arithmétique de premier terme et de raison r =4 Quel est le troisième terme de cette suite? Réponse: Que vaut le terme de cette suite? Que vaut le terme de cette suite? c) De combien de terme cette somme est composée? S = Réponse : 51 termes Calculer cette somme S : d) On considère la somme S = Quel est le nombre de termes de cette somme? Réponse : 11 termes (12 2 + 1 = 11) Calculer cette somme S : e) On considère la somme S = 3 + 7 + 11 + + 151 (r = 4) Quel est le nombre de termes? On utilise la formule : Donc D où n = 37 et le nombre de termes vaut 37 + 1 = 38 LEJ Page 10
f) Calculer la somme S Exercice 2 : La suite est une suite arithmétique de raison r. a) On donne Calculer ; ; On utilise la formule b) On donne Calculer la raison r, le premier terme et On utilise la formule : La raison r vaut : Le premier terme? Le terme LEJ Page 11
c) On donne Calculer le premier terme On utilise la formule :, pour déterminer r D où r = ½ Et Exercice 3 : Soit la suite définie pour tout naturel n par : Étudier le sens de variation de la suite Pour étudier le sens de variation de la suite des termes :, on étudie le signe de la différence Or Donc donc la suite ( ) est croissante. LEJ Page 12
Exercice 4 : Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est Remarque : la suite des nombres impairs peut être notée : Nous cherchons un nombre entier p tel que : Or ; ( Les sept termes sont : 43 ; 45 ; 47 ; 49 ; 51 ; 53 ; 58 III. SUITES GÉOMÉTRIQUES A. SUITES GÉOMÉTRIQUES DÉFINIES PAR RÉCURREN CE DÉFINI TION : On dit qu une suite ( est une suite géométrique lorsque chaque terme s obtient en multipliant le précédent par le même nombre réel q. Alors pour tout entier naturel n, Le nombre q est appelé la raison de la suite géométrique. B. SUITES GÉOMÉTRIQUES DÉFINIES DE MANIÈRE EXPLICITE Soit ( une suite géométrique de premier terme et de raison q. Le terme général est donné explicitement par la formule : LEJ Page 13
D où vient cette formule? (Par définition d une suite géométrique) Donc de manière générale : Remarque : Si est le premier terme alors Si on donne un terme quelconque, alors le terme général est : C. EXERCICES RÉSOLUS SUR LES S.G. (PREMIÈRE PARTIE) Exercice 1 : Soit ( une suite géométrique de premier terme et de raison q. On donne et q = -2 Calculer : Exercice 2 : Soit ( une suite géométrique de premier terme et de raison q. On donne et Calculer : Commençons par la détermination de la raison q. Utilisons la formule : Deux solutions et LEJ Page 14
Premier cas : Deuxième cas : Exercice 3 : La taille d un nénuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l étang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de l étang? Exercice 3 : Existe-il une suite telle que les 3 premiers termes progression géométrique et arithmétique? soient à la fois en LEJ Page 15
D. SOMME DES TERMES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQU E La somme de N termes consécutifs d une suite géométrique est donnée par : Où N est le nombre de termes de la suite géométrique. E. SENS DE VARIATION Soit une suite géométrique de raison q non nul et de premier terme et de signes contraires décroissante croissante CONSTANT croissante décroissante F. EXERCICES Exercice 1 : Calculer la somme S = Exercice 2 : Calculer la somme S = Exercice 3 : Calculer la somme S = et donner la valeur de S si x = 2 LEJ Page 16
Exercice 4 : Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime de 500. Il est prévu d indexer cette prime de 2%. On note Calculer la prime versée la deuxième et la troisième année. Exprimer en fonction Un ingénieur compte rester 20 ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime. Calculer la prime qu il touchera la 20 e année Calculer la somme totale S des primes versées sur les 20 années. Exercice 5 : On place un capital de 100 000 à 7% par an (intérêts composés) De combien dispose-t-on au bout de 4 ans? Au bout de 10 ans? Combien d années sont nécessaires pour voir le capital doubler? Pour le voir tripler? Exercice 6 : Deux propositions sont offertes pour placer un capital de 5 000. Le premier placement est rémunéré à intérêts simples avec un taux annuel de 5 % du capital initial. On note le capital initial et la somme totale obtenue au bout de n année. Le second placement est rémunéré à intérêts composés à un taux annuel de 4.5%. On note alors le capital initial et la somme totale obtenue au bout de n année. Déterminer en fonction de n. Quel placement choisir si l on décide d immobiliser son argent pendant 5 ans? 10 ans? LEJ Page 17
Exercice 7 : Calculer la somme S et S si S = 2 + 6 + 8 +..+ 118098 et S = 2 + LEJ Page 18
EXERCICES RÉSOLUS SUR LES SUITES GÉOMÉTRIQUES Série I a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si = 2 et q = 4 b) ( est une suite géométrique telle que = 27 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( Calculer la raison q : Calculer le premier terme Donner la forme explicite de ( c) ( est une suite géométrique telle que la raison q=-3 et. d) ( est une suite géométrique définie sur. Calculer si et q = 2 LEJ Page 19
e) Pour un bateau acheté neuf 28 000, en 2008 on estime que, chaque année, le bateau perd 8% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur de ce bateau en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur du bateau après 5 ans? Déterminer la raison q : En 2008, la valeur du bateau est Comme la valeur du bateau diminue chaque année de 8%, sa valeur en 2009 est : Où est le terme initial et 0.92 est la raison de la suite géométrique. La valeur du bateau en 2009 est : La valeur du bateau en 2010 est : La valeur du bateau en 2011 est : Quelle est la valeur du bateau après 5 ans? Série II a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si =7 et q = 3 LEJ Page 20
b) ( est une suite géométrique telle que = 64 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( Calculer la raison q Calculer le premier terme Donner la forme explicite de ( c) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer et q si = 24 et = 48 Calculer la raison Calculer le premier terme Exprimer en fonction de n d) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer et q si =72 et = 432 LEJ Page 21
Calculer la raison q Calculer le premier terme Exprimer en fonction de n e) Pour une voiture achetée neuve 38 000, en 2008 on estime que, chaque année, la voiture perd 10% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur de la voiture en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur de la voiture après 5 ans? Déterminer la raison q : En 2008, la valeur de la voiture est Comme la valeur de la voiture diminue chaque année de 10%, sa valeur en 2009 est : Où est le terme initial et 0.90 est la raison de la suite géométrique. La valeur de la voiture en 2009 est : LEJ Page 22
La valeur de la voiture en 2010 est : La valeur de la voiture en 2011 est : Quelle est la valeur de la voiture après 5 ans? Série III a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si = 5 et q = -3 b) ( est une suite géométrique telle que = - 8 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( ; ; c) Pour un GSM acheté neuf 280, en 2008 on estime que, chaque année, le GSM perd 15% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur de ce GSM en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur du GSM après 5 ans? La raison : La valeur du GSM chaque année : Exprimer en fonction de n : d) ( est une suite géométrique telle que la raison q=-2 et. LEJ Page 23
e) ( est une suite géométrique définie sur. Calculer si et Série IV a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si = 50 et q = 2 b) ( est une suite géométrique telle que = 8 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( c) Pour un PC acheté neuf 1800, en 2008 on estime que, chaque année, le PC perd 28% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur du PC en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur du PC après 5 ans? La raison : La valeur du PC chaque année : Exprimer en fonction de n : d) ( est une suite géométrique telle que la raison q = - 2 et. e) ( est une suite géométrique définie sur. Calculer si et LEJ Page 24
Série V a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si = 5 et q = - 3 b) ( est une suite géométrique telle que = - 27 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( c) Pour une maison achetée neuve 280 000, en 2008 on estime que, chaque année, la maison gagne 8% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur de la maison en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur de la maison après 10 ans? La raison : La valeur de la maison chaque année (à 1 près): Exprimer en fonction de n : d) ( est une suite géométrique telle que la raison q = - 4 et. e) ( est une suite géométrique définie sur. Calculer si et LEJ Page 25
Série VI a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si = - 10 et q = - 2 b) ( est une suite géométrique telle que = - 125 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( c) Pour un appartement acheté neuf 180 000, en 2008 on estime que, chaque année, l appartement gagne 8% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur de l appartement en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur de l appartement après 10 ans? La raison : La valeur de l appartement chaque année (à 1 près): Exprimer en fonction de n : d) ( est une suite géométrique telle que la raison q = - 4 et. e) ( est une suite géométrique définie sur. Calculer si et LEJ Page 26
Série VII a) ( est une suite géométrique de raison q. Calculer si = 15 et q = - 2 b) ( est une suite géométrique telle que = - 512 et Calculer la raison q ainsi que le premier terme de cette suite. Donner la forme explicite de ( c) Pour une moto achetée neuve 8 000, en 2008 on estime que, chaque année, la moto perd 18% de sa valeur de l année précédente. Calculer la valeur de la moto en 2009, 2010 et 2011 ; en notant sa valeur en 2008 ; sa valeur en 2009 ; sa valeur en 2010 ; sa valeur en 2011. Déterminer la raison q. Quelle est la valeur de la moto après 5 ans? La raison : La valeur de la moto chaque année (à 1 près): Exprimer en fonction de n : d) ( est une suite géométrique telle que la raison q = - 2 et. e) ( est une suite géométrique définie sur. Calculer si et LEJ Page 27