Séquence 3. Arithmétique et problèmes de codages (suite) Sommaire

Séquence 3 Arithmétique et problèmes de codages (suite) Sommaire 1. Prérequis 2. Plus grand commun diviseur (PGCD) 3. Entiers premiers entre eux 4. Retour sur les nombres premiers et application au chiffrement RSA 5. Synthèse Cette séquence fait suite à la séquence 1. En utilisant à nouveau des problèmes de codages, nous allons introduire ou approfondir des éléments d arithmétique. 1

1 Prérequis A Congruence Définition Soit n un entier naturel non nul donné, et soit x et y deux entiers relatifs quelconques. On dit que x est congru à y modulo n si la différence x y est un multiple de n. Dans ce cas, on note : x y mod n ou encore x y [ n] ou encore x y ( n) et on lit «x congru à y modulo n». Conséquences Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c est un multiple de n. Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru à 1 modulo 2. Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10. Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n. Propriété Si x y [ n] et y z [ n]alors x z [ n]. Transitivité Si x y [ n] et x y [ n] alors x + x y + y [ n], x x y y [ n] et xx yy [ n]. Compatibilités n n Si x y [ p] alors, pour tout entier naturel n, on a : x y [ p]. 3

B Calcul matriciel Définitions Une matrice de dimension n p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. A = a 11 a12 a1p a21 a22 a2p an1 an2 anp Si n= p la matrice est dite carrée. La matrice unité d ordre n est une matrice carrée à n lignes et n colonnes dont la diagonale principale est composée de 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Généralement, elle est notée I. 1 0 I2=, I3= 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1. Définitions Opérations Multiplication par un réel k d une matrice : on multiplie par k chaque coefficient. Addition de matrices de mêmes dimensions : on ajoute les coefficients correspondants. Multiplication de deux matrices A et B : lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, le produit de la ligne i de A par la colonne j de B donne le coefficient du produit AB correspondant. En général, le produit n est pas commutatif : AB B A. Puissance n-ième d une matrice carrée non nulle A : 0 A = I p et A n = A A... A si n 1. n Inverse d une matrice carrée : s il existe une matrice B telle que AB = B A= I alors A est inversible et son inverse notée A 1 est B. fois 4

Propriétés Matrices 2 2 a b Si A = c d et det( A) = ad bc 0 alors A est inversible et 1 1 d b A = A c a. det( ) C Décomposition en produit de facteurs premiers Théorème Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : α n= p 1 α p 2 α p k 1 2... k. β Alors les diviseurs de n dans Nsont les entiers naturels p 1 β p 2 β p k 1 2... k où pour tout 1 i k, 0 βi αi. Corollaire Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : α n= p 1 α p 2 α p k 1 2... k. Alors le nombre de diviseurs positifs de n est ( α1+ 1) ( α2+ 1)... ( αk + 1). 5

2 Plus A grand commun diviseur (PGCD) Objectifs du chapitre À travers des problèmes de pavages, nous allons revoir la notion de PGCD déjà vue en classe de troisième. B Pour débuter Activité 1 Carrelage (1) Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines pièces. Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur 4,54 m et de largeur 3,75 m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de 33 cm de côté. On commence la pose par un coin de la pièce, comme le suggère la figure ci-dessous : Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés. Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m. On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. a) Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385. b) Donner la liste des diviseurs communs à 455 et 385. c) Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées pour carreler cette cuisine sans découpe? 6

Activité 2 Carrelage (2) Pour le couloir, on choisit une façon originale de carreler le sol. On commence par poser des carreaux carrés dont le côté est le plus grand possible. On les pose les uns à côté des autres sans laisser d espace vide. Sur la surface restante, on pose, les uns à côté des autres sans laisser d espace vide, des carreaux carrés dont le côté est le plus grand possible. On procède ainsi jusqu à ce que le couloir soit entièrement carrelé. Voici le plan du couloir : 540 cm 140 cm a) Quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré? b) Combien peut-on en poser? c) Faire un plan du couloir à l échelle 1/20 et représenter ces carreaux de carrelage. d) Effectuer la division euclidienne de 540 par 140. a) Quelles sont les dimensions de la surface non carrelée? b) Pour carreler cette surface, quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré? c) Combien peut-on en poser? d) Représenter ces carreaux de carrelage sur le plan de la question c). e) Effectuer la division euclidienne de 140 par 120. a) Quelles sont les dimensions de la surface non carrelée? b) Pour carreler cette surface, quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré? c) Combien peut-on en poser? d) Représenter ces carreaux de carrelage sur le plan de la question c). e) Effectuer la division euclidienne de 120 par 20. f) Pourrait-on carreler tout le couloir en utilisant uniquement des carreaux carrés de cette dimension? On dit que 20 est le plus grand commun diviseur de 140 et de 540. L algorithme associé au pavage du rectangle est appelé algorithme d Euclide. 7

C Cours 1. Définition Propriété 1 et Définition 1 Soit a et b deux entiers relatifs. On suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls. Un entier qui divise a et b est appelé diviseur commun à a et b. L ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur de a et b et noté PGCD (a, b). Notation Démonstration On note D( n) l ensemble des diviseurs dans Z d un entier relatif n. L'ensemble D( a) D( b) est alors l ensemble des diviseurs communs à a et à b. On admet que toute partie non vide et finie de Z admet un plus grand élément. Intéressons-nous aux éventuels éléments communs aux deux ensembles D( a ) et D( b). Le nombre 1 divise a et divise b, 1 D( a) D( b) donc D( a) D( b) est une partie non vide de Z. Supposons a = 0 et b 0. On a D (0) = N, donc les diviseurs communs à 0 et à b sont les diviseurs de b, et le plus grand de ces diviseurs communs est b. Donc PGCD (0, b) = b. Supposons a 0 et b 0. L ensemble des diviseurs de a est fini car il est majoré par a, donc l ensemble des diviseurs communs à a et à b est lui aussi fini (c est un ensemble plus petit), donc il admet un plus grand élément. Ce plus grand élément est un diviseur à la fois de a et de b, et c est le plus grand des diviseurs communs. Propriété 2 Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. Si, dans leur décomposition en produit de facteurs premiers, a et b n ont pas de facteur premier commun, PGCD (a, b) = 1. Sinon, le PGCD de a et de b est égal au produit des facteurs premiers communs de a et de b, chacun d eux étant affecté du plus petit exposant figurant dans la décomposition de a et de b. 8

Démonstration Exemple 1 Solution α Soit a= p 1 α p 2 α p k β 1 2... k et b= q 1 β q 2 β q n 1 2... k la décomposition de a et de b en produit de facteurs premiers. Notons d = PGCD (a, b). Démontrons le premier point. Supposons que d 1. Comme d divise a et d 1, la décomposition en produit de facteurs premiers de d comporte (au moins) un des p i. Comme d divise b, on en déduit que p i divise b. Donc les décompositions en produit de facteurs premiers de a et de b admettent un facteur premier commun. Cela prouve bien par contraposition le premier point. Démontrons le second point. On suppose donc que d =PGCD( a, b) 2. Soit δ un diviseur commun à a et b tel que : δ 2. Comme δ divise a et δ 1, la décomposition en produit de facteurs premiers de δ est formée des facteurs premiers de a avec un exposant γ i tel que, pour tout 1 i k, 0 < γi αi. Comme δ divise b et d 1, la décomposition en produit de facteurs premiers de d est formée des facteurs premiers de b avec un exposant χ i tel que, pour tout 1 i n, 0 < χi βi. Ainsi, la décomposition en produit de facteurs premiers de δ est formée des facteurs premiers communs à a et à b avec un exposant λi min( βi, αi ). Réciproquement, tous les entiers naturels dont la décomposition en produit de facteurs premiers vérifie ce qui précède sont un diviseur commun à a et b. La décomposition en produit de facteurs premiers du plus grand diviseur d commun à a et b est donc formée des facteurs premiers communs à a et à b avec pour exposant min( αi, βi ). Déterminer les PGCD de 2 070 et 368. On cherche la décomposition de 2 070 et de 368 en produit de facteurs premiers : 2 4 2070= 2 3 5 23 et 368 = 2 23 donc PGCD (2070, 368) = 2 23= 46. Remarques Pour tous a, b de Z non tous deux nuls : PGCD (a, b) est un entier strictement positif ; PGCD (a, a) = a ; PGCD (a, 1) = 1 ; PGCD (a, 0) = a ; PGCD (a, b) = PGCD (b, a) = PGCD ( a, b ). D( a) D( b) D PGCD( a, b) (conséquence de la proposition 2), ce qui signifie que les diviseurs commun à a et b sont les diviseurs de leur PGCD. = ( ) 9

Conséquence Pour tous entiers relatifs a et b non tous deux nuls et tout k de N *, PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b). Démonstration Soit d le PGCD de a et de b, a'=ka, b'=kb et d le PGCD de a et de b. Comme d divise a et b, kd divise a =ka et b'=kb. Ainsi, kd divise d, le PGCD de a et de b. Donc, il existe un entier k tel que d = k (kd). Or, d divise ka et kb, donc k kd divise ka et kb. Ainsi, k d divise a et b et donc k d divise d, le PGCD de a et de b. Ainsi, k = 1 et on a d = kd soit PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b). 2. Propriétés Propriété 3 Si a divise b alors PGCD (a, b) = a. Démonstration Si a divise b, tout diviseur de a est un diviseur de b et ainsi D( a) D( b) = D( a). Comme a est le plus grand élément de D( a), PGCD (a, b) = a. Propriété 4 Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul et a = bq + r la division euclidienne de a par b. Alors : ( D( a) D( b) )= D( b) D( a bq) ( ) et donc PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a bq) et ainsi PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). Démonstration Si d divise a et b alors d divise b et a bq donc ( D( a) D( b) ) ( D( b) D( a bq) ). Si d divise b et a bq alors d divise b et (a bq)+ bq = a donc ( D( b) D( a bq) ) ( D( a) D( b) ). Ainsi ( D( b) D( a bq) )=( D( a) D( b) ). D où PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a bq). 10

Propriété 5 Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Alors PGCD (a ; b) = PGCD (a b ; b). Démonstration On raisonne comme précédemment. 3. Recherche pratique de PGCD par l algorithme d Euclide Point historique Euclide, mathématicien grec, environ 330 avant J.-C. 275 avant J.-C. Euclide est l auteur de ce qu on appelle Les Éléments d Euclide, dans lesquels il donne un exposé magistral des mathématiques de son temps : théorème de Pythagore, construction du pentagone régulier à la règle et au compas, résultats d arithmétique, démonstration de la formule donnant le volume d une pyramide. L exposé d Euclide a longtemps été considéré comme un modèle de rigueur logique : Euclide précise les propriétés qu il admet (les axiomes), cite soigneusement les théorèmes qu il utilise et détaille chacune des étapes de ses démonstrations [ ]. Les Éléments sont à la base de l enseignement de la géométrie élémentaire jusqu à ces dernières années. Cned, revue Diagonales Propriété 6 Soit a et b deux entiers tels que 0 < b a. Considérons l algorithme : Entrée : a, b Traitement : Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b Tant que r 0, a prend la valeur b et b prend la valeur r Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b Fin du Tant que Sortie : Afficher b. Cet algorithme est appelé algorithme d Euclide. En un nombre fini d étapes, il permet de calculer le PGCD de a et b. Remarque Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul obtenu dans la succession des divisions de l algorithme d Euclide. 11

Démonstration Point méthode On écrit les divisions euclidiennes successives : a= bq0+ r0 avec 0 r0 < b. Si r 0 = 0, on arrête à cette étape et PGCD (a, b) = b car b divise a. On suppose maintenant que r 0 0. L entier a prend la valeur b et b prend la valeur r 0 : b = r0q1+ r1 avec 0 r1< r 0. Si r 1 = 0, on arrête à cette étape et PGCD (b, r 0 ) = PGCD ( r 0, r 1 ) = r 0. Si r 1 0, b prend la valeur r 0 et r 0 prend la valeur r 1 : r0 = rq 1 2+ r2 avec 0 r2 < r 1. Si r 2 = 0, on arrête à cette étape et PGCD ( r0, r1) = PGCD ( r1, r2) = r 1 car r 2 =0. Si r 2 0, r 0 prend la valeur r 1 et r 1 prend la valeur r 2 : r1= r2q3+ r3 avec 0 r3 < r 2. On construit ainsi une suite de restes r0, r1, r2, r3, etc. ( ) est une suite strictement décroissante Si aucun reste n est nul, la suite r n d entiers naturels, ce qui est absurde puisqu une telle suite ne peut exister. Il existe donc un entier naturel n tel que r n+ 1 = 0 et r n 0 (car on a supposé que r 0 0 ). Comme r n+ 1 = 0, l algorithme s arrête et comporte bien un nombre fini d étapes. De plus, comme r n+ = 1 0, ( ) rn = PGCD( rn, rn+ 1)= PGCD( rn 1, rn)=... = PGCD r2, r1 = PGCD( r1, r0)= PGCD( b, r0) = PGCD( a, b). Présentation pratique de l algorithme Calculons à nouveau PGCD (2070,368). On écrit les divisions euclidiennes successives : 2070 = 5 368 + 230 ; 368 = 1 230 + 138 ; 230 = 1 138 + 92 ; 138 = 1 92+ 46 ; 92 = 2 46 + 0.// condition d arrêt 12

PGCD et calculatrice Les calculatrices disposent d une fonction permettant le calcul du PGCD : Texas instrument Casio MATH NUM gcd OPTN NUM GCD Remarque Dans le chapitre 3, l algorithme de recherche des coefficients de Bézout donne également le PGCD de deux entiers. D Exercices d apprentissage Exercice 1 Exercice 2 Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 4 512 et 4 128. En déduire leur PGCD. Écrire sous la forme d une fraction irréductible 4128 4 512. En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer le PGCD de 1071 et 1029. Exercice 3 Déterminer tous les ensembles constitués de couples entiers naturels (a ; b) dont le PGCD est 50 et dont la somme est 600. Exercice 4 Sur tableur, construire une feuille de calcul permettant d obtenir le PCGD de 1617 et 325 (sans utiliser la fonction PGCD). Exercice 5 Pour tout entier naturel n, on définit deux entiers a et b en posant : a = 4n + 1 et b = 5n + 3. On s intéresse aux valeurs du PGCD de a et de b en fonction de n. 13

Conjecture a) Sur un tableur, créer trois colonnes donnant les valeurs de n, a et b pour n variant de 0 à 100. b) Remplir la quatrième colonne avec les valeurs du PGCD de a et de b. c) Quelles semblent être les valeurs possibles de PGCD(a, b)? d) En observant les résultats obtenus sur le tableur, comment pensez-vous pouvoir caractériser les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7? Démonstrations a) Démontrer la conjecture faite au 1. c. b) En raisonnant par disjonction des cas, déterminer les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7. 14

3 Entiers A premiers entre eux Objectifs du chapitre En utilisant un nouveau système de chiffrement, nous allons étudier la notion d entiers premiers entre eux. B Pour débuter Activité 3 Chiffrement de Hill 1. Principe du chiffrement On fixe quatre entiers a, b, c et d qui constituent la clé du chiffrement. Les lettres du message sont regroupées par blocs de 2. Chaque lettre est ensuite codée par un nombre compris entre 0 et 25 suivant son ordre dans l alphabet (A 00, B 02, etc.). On obtient une suite de nombres P1, P2, P3, P4... On chiffre ensuite le bloc de deux nombres PP 12 par le bloc C 1 C 2 de la manière suivante : a b P on effectue le calcul matriciel c d 1 ; P2 en remplaçant chaque coordonnée du vecteur obtenu par son reste dans la C 1 division euclidienne par 26, on obtient C2. On procède de la même façon avec le bloc P P 34... Le texte sera chiffré par le texte où les nombres C1C2C3C4... sont remplacés par les lettres correspondant à leur rang dans l alphabet. Exemple Prenons a = 3, b = 5, c = 6 et d = 17 et chiffrons le texte MATHEMATIQUE. Compléter le tableau suivant : Lettre M A T H E M A T I Q U E Rang P i 12 0 15

a) Le premier bloc est (12 0). Indiquer les autres blocs. b) Chiffrons ce bloc. C 1 Écrivons «C2 = 3 5 6 17 12 0 (mod 26)» pour C1 = 3 12+ 5 0(mod 26) C2 = 6 12+ 17 0(mod 26) C1 = 10 On a alors :. C2 = 20 De la même façon, chiffrer les blocs suivants et compléter le tableau suivant : Rang C i 10 20 Lettre K U 2. Principe du déchiffrement Le rang PP 12 P3P4... de chaque lettre du texte clair est obtenu par le calcul matriciel suivant : P 1 1 a b C1 «(mod 26). P2 = c d» C2 1 a b On sait calculer la matrice c d. Cette égalité «(mod 26)» signifie que l on doit donc chercher, si elle existe, une matrice à coefficients entiers dont le produit matriciel avec a b c d nous donne «modulo 26», la matrice I 2. Prenons un exemple. Calculer 1 3 5 6 17 à l'aide d'une écriture utilisant des entiers. a) Compléter la table de multiplication par 21 modulo 26 ci-dessous : 21 0... (mod 26) 21 11=...... (mod 26) 21 1=...... (mod 26) 21 12 =...... (mod 26) 21 2 =...... (mod 26) 21 13 =...... (mod 26) 21 3 =...... (mod 26) 21 14 =...... (mod 26) 21 4 =...... (mod 26) 21 15 =...... (mod 26) 21 5 =...... (mod 26) 21 16 =......... (mod 26) 21 6 =...... (mod 26) 21 17 =...... (mod 26) 21 7 =...... (mod 26) 21 18 =...... (mod 26) 21 8 =...... (mod 26) 21 19 =...... (mod26) 21 9 =...... (mod 26) 21 20 =...... (mod 26) 21 10 =...... (mod 26) 16

b) En déduire «un inverse de 21 modulo 26» (c est-à-dire un entier qui, multiplié 1 3 5 par 21, est égal à 1 modulo 26 et une matrice «26 6 17 mod.» a) Compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous. Lettre chiffrée J W K T Rang C i 9 Rang P i 7 Lettre claire H P 1 17 5 C1 b) En utilisant l égalité «5 26 P2 = 6 3 C2 (mod )», compléter la troisième ligne du tableau et déchiffrer le message JWKT. 3. À l aide du tableur pour chiffrer Préparer la feuille de calcul suivante : On utilise la fonction «=CODE» du tableur pour obtenir le code ASCII d une lettre puis on soustrait 65 pour obtenir son rang dans l alphabet. (Cf. Prérequis C de la séquence 1.) Compléter la ligne 5. Compléter les cellules B6 et C6. Compléter les cellules B7. On pourra utiliser la fonction «=MOD» du tableur. Compléter les cellules B8. On pourra utiliser la syntaxe «=CAR(B7+65)» pour obtenir : Copier-glisser les formules. 17

4. À l aide du tableur pour déchiffrer Sur la même feuille de calcul, ajouter les informations suivantes : Compléter la ligne 13. Calculer l inverse de 21 modulo 26. Pour cela, effectuer le produit modulo 26 de chacun des entiers de 1 à 25 par 21. Saisir en Q3 «= MOD(O3*$Q$1;26)» et copier-glisser jusqu en Q27. Retenir celui qui donne un produit égal à 1. Saisir en R3 «=SI(Q3=1;O3;»» )» et copier-glisser jusqu en R27. Afficher l inverse de 21 modulo 26 en faisant la somme des éléments de R3 à R27. Saisir en R28 «=SOMME(R3;R27)». On obtient : Compléter les cellules B14 et C14. 18

Compléter les cellules B15 puis B16. On obtient : Copier-glisser les formules. 5. Modification de la clé Modifier la feuille de calcul précédente en prenant successivement : a) a = 3, b = 9, c = 2 et d = 20. b) a = 7, b = 8, c = 4 et d = 6. c) a = 12, b = 8, c = 4 et d = 5. d) a = 10, b = 5, c = 3 et d = 5. En regardant dans chaque cas le nombre ad bc, conjecturer une condition nécessaire pour que le calcul de l inverse modulo 26 soit possible et, ainsi, le déchiffrement du message. Activité 4 Combinaison linéaire Pour stocker des matériaux, une entreprise dispose au maximum de 9 petits conteneurs et de 6 grands conteneurs. Un petit conteneur peut contenir 10 m 3 de matériaux et un grand 15 m 3. L entreprise veut stocker 120 m 3. On note x le nombre de petits conteneurs nécessaires et y celui de grands. Justifier que x et y vérifient le système suivant : x 0 x 9 y 0 y 6 2 y x + 8 3. 19

Représenter dans un repère la zone du plan définie par le système ci-dessus. Donner la liste de toutes les solutions possibles pour l entreprise. Quelle est celle qui nécessite le moins de conteneurs? C Cours 1. Définition Définition 2 Entiers premiers entre eux Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a, b) = 1. Remarque Il ne faut pas confondre nombres premiers et nombres premiers entre eux. Propriété 7 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On note PGCD (a, b) = d et a et b les entiers tels que a = da et b = db. Alors on a PGCD (a, b ) = 1. Démonstration Supposons que PGCD( a, b ) = d 1, alors a = d a et b = d b où a et b sont des entiers. Par conséquent, a = dd a et b = dd b et ainsi dd (qui est strictement supérieur à d) est un diviseur de a et de b, ce qui contredit PGCD (a, b) = d. Donc PGCD (a, b ) = 1. 2. Théorème de Bézout a) Le théorème Point historique Étienne Bézout (1730-1783) Bézout est d une famille de magistrats de Nemours. La lecture d Euler décide Bézout à ne pas suivre la voie familiale ; ses premiers mémoires de mathématiques lui donnent accès à l Académie des sciences en 1758. C est en 1763 que la carrière de Bézout prend une nouvelle orientation. Bézout est chargé par le duc de Choiseul d être l examinateur des Gardes du pavillon et de la marine. Le poste est important : il décide de la carrière de nombreux 20

jeunes militaires. Il est lucratif : Bézout écrit son propre cours de mathématiques en 6 volumes (arithmétique, géométrie et trigonométrie, algèbre, mécanique, applications de la mécanique, traité de navigation). En 1768, Bézout accroît son influence en devenant examinateur des élèves de l artillerie. Il écrit un nouveau Cours complet de mathématiques à l usage de la marine et de l artillerie, qui aura un succès considérable. Napoléon Bonaparte a connu les livres de Bézout quand il était élève à l école de Brienne. Il continuait à les étudier dans son exil de Sainte-Hélène. Cned, revue Diagonales Théorème Théorème de Bézout Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On a PGCD (a, b) = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Remarque Démonstration La relation au + bv = 1 est appelée relation de Bézout. On rappelle que toute partie non vide de Nadmet un plus petit élément. Supposons que PGCD (a, b) = 1. Considérons l ensemble E des entiers naturels non nuls s écrivant sous la forme au + bv où U et V sont des entiers relatifs. L ensemble E est une partie non vide de N, il possède donc un plus petit élément. Notons n 0 le plus petit élément de E, n 0 est de la forme n0 = au+ bv. La division euclidienne de a par n 0 donne : a= n0 q+ r = ( au+ bv) q+ r avec 0 r < n 0. On a donc r = a ( au+ bv) q = a( 1 u) + b( vq) donc r est de la forme au + bv. Si r 0, comme r < n 0 et que r est de la forme au + bv, r est un élément de E strictement plus petit que n 0. Il y a contradiction, on en déduit que r = 0. Donc n 0 divise a. De la même façon, n 0 divise b. L entier n 0 est donc un entier naturel diviseur commun à a et à b. Ces entiers sont premiers entre eux donc n 0 = 1 et, ainsi, il existe des entiers relatifs u et v tels que 1= au + bv. Réciproque Supposons qu il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. Si d est le PGCD de a et b, il divise a et b donc d divise au + bv soit d divise 1. Ainsi d = 1 (car d est positif). On a donc PGCD (a, b) = 1, c est-à-dire que a et b sont premiers entre eux. 21

Point méthode Exemple 2 Solution Déterminer les coefficients de la relation de Bézout Par tâtonnements! Soit a = 4 et b = 7. Trouver trois couples (u, v) tels que au + bv = 1. On cherche un multiple de 4 et un multiple de 7 qui diffèrent de 1. On a 4 2= 8 et 7 1= 7donc 2 4+ ( 1) 7= 1. Ainsi, u = 2 et v = 1 conviennent. On a 4 9 = 36 et 7 5 = 35 donc 9 4+ ( 5) 7= 1. Ainsi, u = 9 et v = 5 conviennent. On a 4 5 = 20 et 7 3 = 21 donc 5 4+ 3 7= 1. Ainsi, u = 5 et v = 3 conviennent. Remarque Exemple 3 Solution Le couple (u, v) n est pas unique. À l aide d un algorithme En utilisant l algorithme d Euclide, démontrer que 392 et 33 sont premiers entre eux. En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 392u + 33v = 1. On écrit les divisions euclidiennes successives de l algorithme d Euclide : 392 = 11 33 + 29 33 = 1 29 + 4 donc PGCD(392, 33) = 1 et, ainsi, 392 et 33 sont 29 = 7 4 + 1 premiers entre eux. 4= 4 1+ 0// Pour déterminer u et v, on écrit chaque reste en repartant de la fin : 29 = 7 4 + 1 donc 1= 29 7 4, 33 = 1 29 + 4 donc 4= 33 1 29, 392 = 11 33+ 29 donc 29 = 392 11 33 ; puis on reporte chaque reste : 1= 29 7 4 ; on remplace 4 : 1= 29 7 ( 33 1 29) = 8 29 7 33 ; on remplace 29 : 1= 8 ( 392 11 33) 7 33 = 8 392 95 33. Ainsi, 1= 8 392 95 33 donc u = 8 et v = 95 conviennent. 22

b) Coefficients de la relation de Bézout et TICE Soit a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux avec a > b. On souhaite écrire un algorithme donnant un couple d entiers relatifs (u ; v) tels que au + bv = 1. Langage naturel Entrées a ; b Initialisation u prend la valeur 1, v prend la valeur 0 Traitement Tant que b >0 x prend la valeur 0, y prend la valeur 1 c prend la valeur 0, d prend la valeur 0 Fin du Tant que q prend la valeur Partie Entière (a / b) ; r prend la valeur a bq ; c prend la valeur u ; d prend la valeur v ; u prend la valeur x ; v prend la valeur y ; x prend la valeur c xq ; y prend la valeur d yq ; a prend la valeur b ; b prend la valeur r ; Sortie Afficher a, u et v 23

Calculatrice Texas Instrument Casio Exemple : 3. Théorème de Gauss a) Théorème de Gauss Point historique Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Gauss naît dans une famille très pauvre à Brunswick [en Allemagne] à 150 kilomètres de Hambourg. Il aimait à raconter des histoires de son enfance à ses 24

proches. Il avait appris à lire et compter seul vers 3 ans, questionnant les adultes autour de lui. À 7 ans, il est remarqué par son instituteur pour avoir calculé instantanément la somme des nombres de 1 à 100, expliquant qu il suffisait de grouper les nombres en 50 paquets de somme 101 : 100+1, 99+2, 98+3, etc. Il a la chance de rencontrer un jeune mathématicien qui le guide (il a une dizaine d années) dans ses premières lectures mathématiques. Le soutien financier du duc de Brunswick lui permet de continuer ses études. Les découvertes de Gauss en arithmétique se succèdent alors rapidement et Gauss publie (il a 24 ans) en 1801 ses Recherches arithmétiques (en latin). Il est impossible de décrire l ensemble de l œuvre de Gauss. Toute sa vie, Gauss poursuivra ses travaux théoriques et pratiques en mathématiques (géométrie des surfaces, arithmétique, analyse numérique), en astronomie, en statistique (loi normale et courbe en cloche), en topographie (cartographie de Hanovre), en physique et géologie (magnétisme), en économie, etc. Dans tous ces domaines, la contribution de Gauss est exceptionnelle et c est à juste titre qu on l a appelé Prince des mathématiciens. Cned, revue Diagonales Théorème 2 Théorème de Gauss Soit a, b et c des entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c. Démonstration Si a est premier avec b, d après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. En multipliant par c, on obtient : acu + cbv = c. Or, a divise acu et, comme a divise bc, a divise bcu. Ainsi, a divise acu + cbv c est-à-dire a divise c. Conséquences Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c. Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b. Démonstration Comme c est divisible par a et b, il existe des entiers k et k tels que c = ka = k b. Comme a divise c, a divise k b. Comme a et b sont premiers entre eux, d après le théorème de Gauss, a divise k, donc il existe un entier n tel que k = na. On en déduit que c = k b = nab, donc que c est divisible par ab. Soit un nombre premier p divisant un produit ab. Si p divise a, la propriété est démontrée. 25

Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux. Comme p divise le produit ab, d après le théorème de Gauss, p divise b. b) Applications Résolution d équations diophantiennes Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Équation du type ax = by d inconnues x et y appartenant à Z Exemple 4 Solution Exemple 5 Solution Déterminer les entiers x et y tels que 4x = 3y. L entier 4 divise 3y et 4 est premier avec 3. D après le théorème de Gauss, 4 divise y. Ainsi, il existe un entier k tel que y = 4k. On a donc 4x = 3 4k d où x = 3k. Réciproquement, si x = 3k et y = 4k, 4x = 4 3k = 12k et 3y = 3 4k = 12k donc on a bien 4x = 3y. Les solutions de cette équation sont les couples (3k ; 4k) avec k Z. Équation du type ax + by = c d inconnues x et y appartenant à Z Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 1. Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 5. ( ) On remarque que 2 ( 1) + 3 1= 1 donc le couple 1; 1 est solution de cette équation. De plus, 2x + 3y = 1 équivaut à 2x + 3y = 2 ( 1) + 3 1 équivaut à 2( x + 1) = 3( y + 1). Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 1 alors 3 divise 2( x + 1). Comme 3 est premier avec 2, d après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 1). Donc il existe un entier k tel que x + 1 = 3k soit x = 1+ 3 k. En reportant la valeur de x dans 2( x + 1) = 3( y + 1), on obtient 2 3k = 3( y + 1)soit y + 1= 2 k,soit y = 1 2 k. Réciproquement, si x = 1+ 3 k et y = 1 2 k, 2x + 3y = 2( 1+ 3k) + 31 ( 2k) = 2+ 6k + 3 6k on a bien 2x + 3y = 1. ( ) Z Les solutions de cette équation sont les couples + 1 3k ; 1 2k avec k. Comme 2 ( 1) + 3 1= 1,en multipliant par 5 on a : 2 ( 5) + 3 5= 5, donc le couple ( 5 ; 5) est solution de cette équation. De plus, 2x + 3y = 5 équivaut à 2x + 3y = 2 ( 5) + 3 5 équivaut à 2( x + 5) = 3( y + 5). 26

Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 5 alors 3 divise 2( x + 5). Comme 3 est premier avec 2, d après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 5). Donc il existe un entier k tel que x + 5 = 3k soit x = 5+ 3 k. En reportant la valeur de x dans 2( x + 5) = 3( y + 5), on obtient 2 3k = 3( y + 5)soit y + 5= 2 k ou encore y = 5 2 k. Réciproquement, si x = 5+ 3 k et y = 5 2 k, 2x + 3y = 2( 5+ 3k) + 3( 5 2k) = 10 + 6k + 15 6k on a bien 2x + 3y = 5. ( ) Les solutions de cette équation sont les couples 5+ 3k ; 5 2k avec k Z. Remarquons que l on aurait aussi pu raisonner comme au 1 en remarquant que (1 ; 1) était solution de cette équation diophantienne. Point historique Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat Il a vécu de 1601 à 1665. Originaire de la région de Toulouse, il a une brillante carrière de magistrat dans cette ville. Cela lui laisse peu de temps pour faire, en amateur, des recherches en mathématiques. La vie scientifique commence à s animer en France dans les années 1630 sous l impulsion du Père Mersenne qui écrit inlassablement aux uns et aux autres pour les informer de leurs recherches respectives. C est ainsi que Fermat prend contact avec les autres grands scientifiques de son époque : Descartes, Desargues, Pascal. Dans tous les domaines qu il étudie, il apporte des contributions importantes : il participe à la fondation des calculs différentiel et intégral en donnant, par exemple, une méthode nouvelle de recherche de maxima et minima et en 1654, un échange célèbre de lettres avec Blaise Pascal est à l origine du calcul des probabilités. Mais il est un domaine où personne n est capable de rivaliser avec Pierre de Fermat, c est celui de l arithmétique. Les questions qu il pose sont profondes et d une très grande difficulté. Il donnera heureusement, en 1659, un aperçu de ses méthodes. L un des problèmes que s est posé Fermat a une histoire extraordinaire : montrer qu un entier strictement positif qui est une puissance n-ième d entier ne peut être, pour n > 2, une somme de deux puissances n-ièmes d entiers strictement positifs, autrement dit, l équation a n + b n = c n n admet pas de solution en nombres entiers strictement positifs. Ce problème, Fermat a cru l avoir résolu, mais on en doute, tellement les mathématiciens des siècles suivants ont «séché» dessus. Ce n était pas toujours en pure perte, car de belles théories, utiles pour les mathématiques, ont été construites pour essayer de le résoudre. Mais le problème résistait toujours. Dans les années 1970-1980, le problème de Fermat a été réinterprété : on a montré que ce serait une conséquence d une propriété très générale. C est en 1993-1994 que le mathématicien anglais Andrew Wiles a démontré cette propriété. Du coup, le théorème de Fermat était enfin prouvé. Pour une fois, 27

tous les journaux ont parlé de mathématiques. Ce théorème a un énoncé d une grande simplicité, compréhensible par tout lycéen. A-t-il un intérêt pratique? Pour le moment aucun, mais les mathématiques qu il a contribué à développer en ont certainement un! Cned, revue Diagonales Le théorème suivant n est pas une connaissance exigible du programme. Théorème 3 Soit n un entier. p 1 Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n 1[ p]. Corollaire p Si p est un entier naturel premier et n est un entier naturel alors n n [ p ]. Démonstration La démonstration du théorème et de son corollaire font l objet de l exercice I. D Exercice 6 Exercices d apprentissage Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? 171 et 760 2635 et 4 807 Exercice 7 Déterminer les entiers x et y tels que 55x = 9y. Déterminer les entiers x et y tels que 21x = 56y. Exercice 8 Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 1. Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 78. Exercice 9 Exercice 10 7 À l aide du petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout entier n, n n est divisible par 21. On se propose de déterminer l ensemble des entiers relatifs n vérifiant le système :. n 917 [ ] n 35 [ ] 28

Recherche d un élément de On désigne par (u ; v) un couple d entiers relatifs tel que 17 u + 5 v = 1. a) Justifier l existence d un tel couple (u ; v). b) On pose n0 = 3 17u+ 9 5v. Démontrer que n 0 appartient à. c) Donner un exemple d entier n 0 appartenant à. Caractérisation des éléments de a) Soit n un entier relatif appartenant à. Démontrer que n n0 085 [ ]. b) En déduire qu un entier relatif n appartient à si, et seulement si, il peut s écrire sous la forme n = 43 + 85k où k est un entier relatif. Application Zoé sait qu elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons? Exercice 11 Le but de l exercice est d étudier certaines propriétés de divisibilité de l entier n 4 1, lorsque n est un entier naturel. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4 n est congru à 1 modulo 3. 28 Prouver, à l aide du petit théorème de Fermat, que 4 1 est divisible par 29. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4 n par 17. En déduire 4k que, pour tout entier k, le nombre 4 1 est divisible par 17. n Pour quels entiers naturels n le nombre 4 1 est-il divisible par 5? À l aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 28 4 1. 29

4 Retour A sur les nombres premiers et application au chiffrement RSA Objectifs du chapitre La notion de nombre premier est une notion de base en arithmétique. Nous allons observer quelques résultats sur la répartition des nombres premiers et une des applications des nombres premiers dans un système de chiffrement utilisé actuellement. En exercices, nous étudierons deux familles de nombres liées aux nombres premiers. B Activité 5 Pour débuter Crible de Matiiassevitch Youri Matiiassevitch, mathématicien russe, né en 1947. a) À l aide d un logiciel de géométrie, représenter dans un repère orthonormé la parabole d équation y = x 2. b) Placer tous les points de d abscisse entière n avec 7 n 7, n 0 et n 1. c) Relier par un segment les points de la parabole d abscisse entière positive aux points de la parabole d abscisse entière négative. d) Sur l axe des ordonnées, donner la liste des points vérifiant les conditions suivantes : l ordonnée est supérieure ou égale à 5 ; l ordonnée est inférieure ou égale à 25 ; qui ne sont pas point d intersection d un segment tracé à la question précédente et de l axe des ordonnées. 30

e) Quelle conjecture peut-on formuler sur l ordonnée des points de la figure précédente? Démonstration de cette conjecture. Soit m et n où m n deux entiers naturels. a) Déterminer l équation de la droite (MN) où M(m ; m 2 ) et N(n ; n 2 ). b) Que vaut l ordonnée à l origine de la droite (MN)? c) Justifier que l ordonnée des points de la liste correspond à des nombres premiers. d) Le point de l axe des ordonnées d ordonnée 22 est dans la liste. Expliquer. Remarque Activité 6 Le crible d Ératosthène (vu à la séquence 1) permet également de déterminer tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier N. Répartition des nombres premiers Cette activité peut être traitée même si la séquence du tronc commun sur la fonction logarithme n a pas encore être étudiée. a) Écrire un algorithme qui, prenant en entrée un nombre N, affiche en sortie tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à N (N 2 ). b) Modifier l algorithme précédent pour permettre l affichage des nombres premiers compris entre N et M. c) Combien y a-t-il de nombres premiers entre 50 et 60? entre 850 et 860? entre 1 850 et 1 860? entre 2 850 et 2 860? d) Les nombres premiers sont-ils répartis régulièrement? 31

Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n est noté π( n). Compléter le tableau suivant : N π( n) n ln( n) 10 4 100 25 1000 168 10 000 1 229 10 5 9 592 10 6 78 498 10 7 664 579 10 8 5 761 455 10 9 50 847 534 10 10 455 052 511 10 11 4 118 054 813 10 12 37 607 912 018 10 13 346 065 536 839 10 14 3 204 941 750 802 10 15 29 844 570 422 669 10 16 279 238 341 033 925 10 17 2 623 557 157 654 233 10 18 24 739 954 287 740 860 10 19 234 057 667 276 344 607 10 20 2 220 819 602 560 918 840 Que constate-t-on? On définit le nombre n! par n! = 1 2 3... n et on lit «factoriel n». a) Sans effectuer de calcul, justifier que chacun des nombres des deux listes suivantes n est pas premier : Liste A : 5! + 2 ; 5! + 3 ; 5! + 4 ; 5! + 5. Liste B : 6! + 2 ; 6! + 3 ; 6! + 4 ; 6! + 5 ; 6! + 6. Qu ont de particulier les quatre nombres de la liste A les uns par rapport aux autres? Qu ont de particulier les cinq nombres de la liste B les uns par rapport aux autres? b) Sur le même principe, créer une liste de 20 nombres consécutifs ne comportant aucun nombre premier. 32

C Cours Les résultats évoqués dans cette partie ne sont pas exigibles mais la sensibilisation à ces notions est au programme. 1. Répartition des nombres premiers L activité 6 a permis d émettre des conjectures sur la répartition des nombres premiers. Voici quelques résultats : il y a une infinité de nombres premiers (voir séquence 1) ; la répartition des nombres premiers est irrégulière ; il y a des listes de nombres entiers consécutifs aussi longue que l on veut qui ne contiennent pas de nombre premiers ; pour de grandes valeurs de n, le nombre π ( n) (nombre de nombres premiers n inférieurs ou égaux à n) est proche de (loi de raréfaction des nombres ln( n) premiers). 2. Utilisation des nombres premiers : chiffrement à clé publique RSA Rivest Shamir Adleman (presque toujours abrégé en RSA) est un algorithme de chiffrement très utilisé pour échanger des données confidentielles sur Internet, notamment dans le commerce électronique. Cet algorithme a été décrit en 1977 par Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman. Le fonctionnement de RSA repose sur une idée simple : il est facile de multiplier deux grands nombres premiers entre eux alors qu il est très difficile de retrouver les facteurs premiers du nombre ainsi obtenu. RSA est un algorithme de chiffrement à clé publique. Cela signifie que la clé de codage et l algorithme de calcul ne sont pas cachés : n importe quel émetteur peut envoyer un message au destinataire. Par contre, seul le destinataire peut le déchiffrer grâce à une clé de décodage privée qu il tient secrète. Le système est dit dissymétrique car les clés de codage et décodage sont différentes. 33

Le protocole du RSA repose sur le théorème suivant : Théorème 4 Théorème du RSA Soit p et q deux nombres premiers distincts et supérieurs ou égaux à 3. On pose n = pq. Si le nombre e est un entier premier avec m= ( p 1)( q 1), alors il existe un entier d strictement positif tel que ed 1 mod ( p 1)( q 1) et, pour cet entier d et un entier ed naturel A quelconque, on a : A A mod( n ). Démonstration Soit e un entier premier avec m. Montrons l'existence d un entier d strictement positif tel que ed 1mod ( p 1)( q 1). Comme e est premier avec m= ( p 1)( q 1 ), d après le théorème de Bézout, il existe un couple d entiers ( u ; v ) tel que eu + ( p 1)( q 1) v = 1. 0 0 0 0 On a eu 0 1 = (p 1)(q 1)v 0 donc eu 0 1 mod (p 1)(q 1). Mais on veut : ed 1 mod (p 1)(q 1) avec d > 0, on peut remplacer u 0 par d = u 0 + k(p 1)(q 1) où k est un entier relatif sans rien changer à la congruence modulo (p 1)(q 1) On choisit donc k de telle sorte que : d = u 0 + k(p 1)(q 1) > 0. Posons v = v0 + ke. On a alors : eu0+ ( p 1)( q 1) v0 = 1 ed ( kp ( 1)( q 1) )+( p 1)( q 1)( v+ ke) = 1 Ainsi, ed 1mod ( p 1)( q 1). ed ek( p 1)( q 1) v( p 1)( q 1) + ke( p 1)( q 1) = 1 ed v( p 1)( q 1) = 1 ed = 1 + v ( p 1)( q 1) (*). On a trouvé un entier d strictement positif qui vérifie ed 1mod ( p 1)( q 1). ed Montrons que pour tout entier naturel A, on a A A mod( n ). ed ed ed Si p divise A alors A 0mod( p)et A 0 0mod( p) donc A A mod( p ). Si p ne divise pas A, comme p est un nombre premier, p est premier avec A. p 1 On peut alors utiliser le petit théorème de Fermat et A 1mod( p). Ce qui implique : vp A ( 1 )( q 1 ) vq ( 1 1 ) mod( p ) 1mod( p). ed 1 En utilisant l égalité (*), on a A 1mod( p) et en multipliant par A, on a ed A A mod( p ). 34

Principe ed Donc, pour tout entier naturel A, on a A A mod( p ). On raisonne de la même façon avec q et on obtient, pour tout entier naturel A, ed on a A A mod( q ). ed Comme A A mod( p ) et A ed Amod( q), cela signifie que A ed A est un multiple de p et un multiple de q. Comme p et q sont deux nombres premiers, cela ed implique que A A est un multiple de pq = n et donc que A ed Amod( n). Alice, l émettrice, souhaite envoyer un message chiffré à Bob, le destinataire. Création de la clé privée Bob se donne un quadruplet de nombres (p ; q ; e ; d ) tel que : p et q sont deux nombres premiers ; e est un entier premier avec le produit ( p 1)( q 1) et d est un entier strictement positif tel que ed 1mod ( p 1)( q 1). L entier d constitue la clé privée tenue secrète par Bob. Création de la clé publique On pose n = pq. Bob rend public le couple (n ; e) qui constitue la clé publique. Codage Alice veut transmettre une information sous la forme d un nombre A à Bob avec A < n (si A n, elle transmet plusieurs nombres). Pour cela, elle calcule e B = A mod( n) et envoie le nombre B à Bob. Exemple Décodage d ed Pour décoder B, Bob calcule B A Amod( n), ce qui lui redonne A d après le théorème du RSA. Création des clés Prenons p = 31 et q = 47 donc ( p 1)( q 1 ) = 1380. Prenons e = 71. On a bien PGCD( e,( p 1)( q 1) )= 1. Prenons d = 311. On a bien ed = 22081= 16 1380 + 1 donc On a : n = 1457. ed 1mod(( p 1)( q 1)). Codage Alice veut transmettre le message «RSA» à Bob ; elle dispose de la clé (1457 ; 71). Elle transforme chaque lettre en un nombre suivant le code A --> 01, B --> 02, etc. Ainsi, elle veut transmettre le code A = 181901. Elle le coupe en deux nombres inférieurs à n, par exemple A 1 = 181 et A 2 = 901. Elle doit calculer suivant A1 e 71 mod( 1457) 181 mod( 1457). 35

En utilisant la compatibilité des congruences avec les puissances, en élevant chaque égalité au carré et en réduisant, on obtient : 2 181 707 mod( 1457) ; 4 181 98 mod( 1457) ; 181 8 862 mod( 1457 ) ; 16 181 1431mod( 1457) ; 32 181 676 mod( 1457) ; 64 181 935 mod( 1457) ; 64+ 4 puis 181 = 68 181 935 98 mod( 1457 ) 1296 mod( 1457 ) ; 68+ 2 181 = 70 181 1296 707 mod( 1457 ) 1276 mod( 1457 ) ; 70+ 1 181 = 71 181 1276 181 mod( 1457 ) 750 mod( 1457 ). 71 Donc 181 750 mod( 1457 ) ; 71 Elle procède de même avec A 2 = 901 et elle obtient 901 64 mod( 1457 ). Alice transmet le code 750 064 à Bob. Décodage Bob reçoit le code 750 064. 311 Il doit calculer 750 mod( 1457 ). En procédant comme Alice, il obtient : 2 750 98 mod( 1457) ; 4 750 862 mod( 1457) ; 8 750 143 mod( 1457) ; 16 750 676 mod( 1457) ; 32 750 935 mod( 1457) ; 64 750 25 mod( 1457) ; 128 750 625 mod( 1457) ; 256 750 149 mod( 1457) ; puis 750 256 + 32 = 750 288 149 935 mod( 1457) 900 mod( 1457) ; 750 288 + 16 = 750 304 900 676 mod( 1457) 831mod( 1457) ; 304+ 4 750 = 308 750 831 862 mod( 1457 ) 935 mod( 1457 ) ; 308+ 2 750 = 310 750 935 98 mod( 1457 ) 1296 mod( 1457 ) ; 310+ 1 750 = 311 750 1296 750 mod( 1457 ) 181 mod( 1457 ). 311 Donc 750 181 mod( 1457 ). 311 Il procède de même avec 064 et obtient : 64 911 mod( 1457 ). Le code 18 19 11 donne bien les lettres R, S et A. 36

Remarque On utilise, en réalité, de très grand nombres n, p et q. L'inviolabilité du système en dépend. La sécurité du RSA réside en la difficulté de factoriser n en produit de deux nombres premiers : si l on réussit à factoriser n, le calcul de d étant aisé, le code est facile à briser. D Exercice 12 Exercice 13 Exercices d apprentissage On se donne les entiers premiers p = 13 ; q = 31 et e = 37. Chaque lettre sera remplacée par son rang dans l alphabet (A --> 001 ; B --> 002, etc.) et on fera des blocs de trois chiffres. Calculer la clé privée du chiffrement RSA d avec 0 d n. Calculer la clé publique. Chiffrer le message «TOM». Déchiffrer le message «005 054 001». Nombres de Fermat Définition n 2 Les nombres de Fermat sont les nombres de la forme F n = 2 + 1 avec n N. Au XVII e siècle, Pierre de Fermat émit la conjecture que ces nombres étaient premiers. Partie A a) En utilisant le tableur et une liste des nombres premiers inférieurs à 100 000, écrire la liste des entiers 0 k 19 k tels que 2 + 1 soit un nombre premier. b) Émettre une conjecture. a) Pour x 1, écrire plus simplement ( x) 0 + ( x) 1 + ( x) 2 +... + ( x) k 1. b) Pour x 1, en déduire une factorisation de 1 ( x ) k. a) Pour x 1, montrer que si k est impair alors x k +1 est divisible par x + 1. b) Pour x 1, en déduire que si k n est pas une puissance de 2 alors x k +1 n est pas premier. m À quelle famille appartiennent les nombres de la forme 2 + 1 qui sont premiers? Partie B Vérifier que F0 ; F1; F2 ; F3 etf4sont des nombres premiers. Qu en est-il de F 5? Que dire de la conjecture de Fermat? 37

Partie C Vérifier que pour tout entier naturel n, Fn+ = Fn 2 1 ( 1) + 1 et en déduire que Fn+ 1 2= Fn( Fn 2). Montrer par récurrence que Fn+ 1 2 = F0 F1... Fn. Soit n < n. Montrer qu un diviseur commun de Fn et Fn divise 2. En déduire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux. Exercice 14 Nombres de Carmichael On sait, par le petit théorème de Fermat, que pour tout nombre premier p et p tout entier a, a a [ p ]. La réciproque de ce résultat, appelée test de Fermat, est fausse, c est-à-dire qu'il existe des nombres vérifiant les congruences précédentes sans qu ils soient premiers : ce sont les nombres de Carmichael. Un nombre de Carmichael est un nombre entier n (n > 1) qui n est pas premier et n 1 pour lequel a 1[ n]pour tout entier a. Soit n un nombre de carmichael. n Soit p un facteur premier de n. En utilisant p p [ n ], montrer que p 2 ne divise pas n. Le critère de Korselt permet de reconnaître un nombre de Carmichael à partir de sa décomposition en produit de facteurs premiers. On admet le théorème suivant : Théorème de Korselt Un entier n est un nombre de Carmichael si, et seulement si, n est strictement positif, non premier, sans facteur carré, et tel que pour tout premier p divisant n, p 1 divise n 1. a) Montrer que les nombres de Carmichael sont impairs. b) Montrer qu un nombre de Carmichael possède au moins trois facteurs premiers (distincts). c) Vérifier que 561 est un nombre de Carmichael. 38

5 Synthèse A Synthèse de la séquence 1. Plus grand commun diviseur Propriété et Définition Soit a et b deux entiers relatifs. On suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls. Un entier qui divise a et b est appelé diviseur commun à a et b. L ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur de a et b et noté PGCD (a, b). Notation On note D( n) l ensemble des diviseurs d un entier relatif n. L ensemble D( a) D( b) est alors l ensemble des diviseurs communs à a et à b. Propriété Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. Si, dans leur décomposition en produit de facteurs premiers, a et b n ont pas de facteur premier commun, PGCD (a, b) = 1. Sinon, le PGCD de a et de b est égal au produit des facteurs premiers communs de a et de b, chacun d eux étant affecté du plus petit exposant figurant dans la décomposition de a et de b. Remarques Pour tous a, b de Z,non tous deux nuls : PGCD (a, b) est un entier strictement positif ; PGCD (a, a) = a ; PGCD (a, 1) = 1 ; PGCD (a, 0) = a ; PGCD (a, b) = PGCD (b, a) = PGCD ( a, b ). D( a) D( b) D PGCD( a, b). = ( ) 39

Propriété Si a divise b, alors PGCD (a, b) = a. Propriété Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul et a = bq + r la division euclidienne de a par b. Alors : ( D( a) D( b) )= D( b) D( a bq) ( ) et donc PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a bq) et ainsi, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). 2. Entiers premiers entre eux Définition Entiers premiers entre eux Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a, b) = 1. Propriété Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Alors PGCD (a ; b) = PGCD (a b ; b). Propriété Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit PGCD (a, b) = d et a et b les entiers définis par a = da et b = db. Alors on a PGCD (a, b ) = 1. Théorème 1 Théorème de Bézout Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On a PGCD (a, b) = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. La relation au + bv = 1 est appelée relation de Bézout. 40

Théorème 2 Théorème de Gauss Soit a, b et c des entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Conséquences Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c. Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b. B Exercice I Exercices de synthèse Démonstration du petit théorème de Fermat Le but de cet exercice est de démontrer le théorème suivant ainsi que son corollaire. Théorème Soit n un entier. p 1 Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n 1[ p]. Corollaire p Si p est un entier naturel premier et n est un entier naturel, alors n n [ p ]. Partie A Démonstration du théorème Soit p un nombre premier. Soit n un entier non divisible par p. Soit E l ensemble E = {n ; 2n ; 3n ; ; (p 1)n }. Montrer que p ne divise aucun élément de E. Montrer que deux éléments de E ont des restes distincts dans la division euclidienne par p. En déduire que la liste non ordonnée des restes possibles dans la division euclidienne par p des éléments de l ensemble E est {1 ; 2 ; 3 ; ; p 1}. Soit M le produit des éléments de E : M = n 2n 3n... ( p 1) n. a) Montrer que M = p n p 1 ( 1)!. b) Montrer que M ( p 1)![ p]. p 1 c) En déduire que ( p 1)!( n 1) 0[ p] puis que n p 1 1[ p]. 41

Partie B Déduire le corollaire de la partie A. Exercice II Chiffrement de Hill Partie A «Inverse de 23 modulo 26» On considère l équation (E) : 23 x 26 y = 1, où x et y désignent deux entiers relatifs. Vérifier que le couple ( 9 ; 8) est solution de l équation (E). Résoudre alors l équation (E). En déduire un entier a tel que 0 a 25et 23a 1[ 26]. Partie B On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante. Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau cidessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On obtient un couple d entiers ( x1; x2 ) où x 1 correspond à la première lettre du mot et x 2 correspond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 Le couple d entiers ( x1; x2) est transformé en un couple d entiers ( y1 ; y2 ) de telle sorte que : 0 y1 25et0 y2 25; y 1 les coordonnées de sont respectivement congrues aux coordonnées y2 de 11 3 7 4 x x 1 2 modulo 26. On résume les deux conditions suivantes en écrivant : «y y 1 2 = 11 3 7 4 x x 1 2 (mod 26)». Étape 3 Le couple d entiers ( y1; y2) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l étape 1. 42

Coder le mot ST. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage. a) Déterminer l inverse de la matrice M = 11 3. 7 4 b) À l aide de la partie A, déterminer un «inverse de 23 modulo 26». x 1 16 1 y1 c) En déduire que «26 x2 = 11 5 (mod )». y2 d) Décoder le mot YJ. Exercice III Remarque Exercice IV Exercice V Problèmes des restes chinois Combien l armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats? Ce problème est tiré du livre de Sun Zi, mathématicien et astronome chinois, le Sunzi suanjing, datant du III e siècle. Il est connu sous le nom de «Problèmes des restes chinois». Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs. a) Démontrer que s il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv =1, alors les nombres a et b sont premiers entre eux. 2 2 2 b) En déduire que si ( a + ab b ) = 1, alors a et b sont premiers entre eux. On se propose de déterminer les couples d entiers strictement positifs (a ; b) tels que 2 2 2 ( a + ab b ) = 1. Un tel couple sera appelé solution. a) Déterminer a lorsque a = b. b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. 2 2 c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a b, alors ( a b ) < 0. a) Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1), alors (y x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des solutions. b) Déduire de b) trois nouvelles solutions. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs ( a n ) définie par a0 = a1= 1 et pour tout entier strictement positif n, an+ 2 = an+ 1 + an. Démontrer que pour tout entier n > 0, ( an ; an+ 1) est solution. En déduire que les nombres a n et a n+1 sont premiers entre eux. Théorème de Wilson Soit p > 5 un nombre premier et soit A = {2 ; ; p 2}. Montrer que pour tout x dans A, x 2 1n est pas divisible par p. a) Soit x dans A. Prouver qu il existe un entier u tel que xu 1mod( p). 43

b) En déduire l existence d un unique entier r de A, distinct de x, tel que xr 1mod( p). c) Établir alors que 2 3... ( p 2) 1mod( p ), puis que ( p 1)! 1 mod( p). La précédente congruence demeure-t-elle vérifiée pour les nombres premiers p = 2 et p = 3? Réciproquement, soit p > 2 tel que ( p 1)! 1 mod( p). Montrer, en utilisant le théorème de Bézout, que p est premier. En déduire le théorème de Wilson : un nombre p est premier si, et seulement si, ( p 1)! + 1 0mod( p). Exercice VI Exercice VII Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : «Étant donné deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1, alors PGCD( a 2 ; b 2 ) = 1.» n Une suite ( S n ) est définie pour n > 0 par Sn = p 3. p= 1 On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de S n et S n+1. 2 nn ( + 1) Démontrer que pour tout n > 0, on a : Sn =. 2 Étude du cas où n est pair. Soit k l entier naturel non nul tel que n = 2k. 2 2 a) Démontrer que PGCD( S2k ; S2k+ 1) = (2k + 1) PGCD k ; ( k + 1) b) Calculer PGCD (k ; k +1). c) Calculer PGCD ( S2k ; S2k+ 1). Étude du cas où n est impair. Soit k l entier naturel non nul tel que n = 2k +1. a) Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux. b) Calculer PGCD( S2k+ 1 ; S2k+ 2). Déduire des questions précédentes qu il existe une unique valeur de n, que l on déterminera, pour laquelle S n et S n+1 sont premiers entre eux. On considère l équation (E) : 17x 24y =9, où (x, y) est un couple d entiers relatifs. a) Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l équation (E). b) Résoudre l équation (E). ( 44

Dans une fête foraine, Jean s installe dans un manège circulaire représenté par le schéma ci-dessous : A E F D B H G C Il peut s installer sur l un des huit points indiqués sur le cercle. Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d une montre, à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes. Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur le dessin. À l instant t = 0, Jean part du point H en même temps que le pompon part du point A. a) On suppose qu à un certain instant t, Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. À l instant t, on note y le nombre de tours effectués depuis son premier passage en A et x le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que (x, y) est solution de l équation (E) de la question 1. b) Jean a payé pour 2 minutes. Aura-t-il le temps d attraper le pompon? c) Montrer qu en fait il n est possible d attraper le pompon qu au point A. d) Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d attraper le pompon en A avant les deux minutes? 45