Cours d électricité Associations de dipôles Transitoires et résonances Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année: 2011-2012
Un circuit RL se compose d une résistance et d une bobine montées en série. R L C R R U Le circuit est caractérisé par son impédance Z = R + jωl, et la tension est régie par une équation différentielle du premier ordre : u(t) = L di dt + Ri(t) La tension u(t) est imposée par un générateur de tension. Elle vaut 0 pour t < 0, et U, constante, pour t > 0. Nous cherchons à étudier comment i(t) varie au cours du temps. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 2 / 14
C R R Si l intensité est nulle au temps t = 0 (moment de la fermeture du circuit), la solution de l équation du circuit LC est la suivante : où τ = L R i(t) U R i(t) = U R (1 e t/τ ) est la constante de temps du circuit. La bobine a pour effet de retarder l établissement du régime continu. Il apparaît un régime transitoire, au cours duquel i(t) va tendre progressivement vers sa valeur du régime continu. La durée du régime transitoire est proportionnelle à τ. Elle croît pour les fortes valeurs de L, et décroît pour les fortes valeurs de R. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 3 / 14 t
Le circuit LC C R R Le circuit LC est constitué d une bobine d impédance L et d un condensateur de capacité C. En l absence de résistance, le circuit LC n est constitué que de composants d impédance imaginaire pure. Cette caractéristique rend possible le phénomène de résonance, lorsque l inductance et la capacité s annulent mutuellement pour une pulsation ω 0 donnée : l impédance du circuit est alors nulle ou infinie. Le circuit LC constitue alors un filtre passe-bande ou coupe-bande autour de la fréquence f = ω 0 /2π. Pour cette raison, il est notamment utilisé dans les filtres radio. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 4 / 14
Circuit Considérons un condensateur et une bobine placés en série : C L C R R U L impédance du circuit vaut : Z = Z L + Z C = jωl + 1 jωc. On peut réécrire Z = j ω2 LC 1 ωc Z s annule pour une certaine valeur de ω, notée ω 0 = obtient alors un court-circuit 1 LC. On Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 5 / 14
Circuit C R R Évolution du module du courant traversant l association, en fonction de ω : I I = U Z I = U Lω 1 ω 2 LC ω 0 À la fréquence de résonance, le courant transmis tend vers. Le circuit constitue un filtre passe-bande autour de la fréquence ω 0. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 6 / 14 ω
parallèle C R R Considérons un condensateur et une bobine placés en parallèle : U C L L impédance du circuit vaut : Z = Z L Z C Lω = j Z L + Z C 1 ω 2 LC. On 1 remarque que si ω, alors Z +. LC 1 Pour une fréquence ω 0 =, l impédance du circuit est alors LC infinie, on obtient un coupe-circuit. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 7 / 14
parallèle Évolution du module du courant traversant l association, en fonction de ω : I C R R I = U Z I = U 1 ω2 LC Lω ω 0 À la fréquence de résonance, le courant transmis à travers le montage vaut 0. Le circuit constitue un filtre coupe-bande autour de ω 0. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 8 / 14 ω
C R R En fonction des valeurs de L et de C, la résonance se déplace et le filtre obtenu est plus ou moins large. Exemple avec un filtre passe bande : I C = 0,5 F C = 1 F C = 2 F On modifie la fréquence de résonance en faisant varier L ou de C. On peut ainsi, par exemple, sélectionner une station de radio. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 9 / 14 ω
C C R R En pratique, il n existe pas de bobines pures, dont l impédance soit uniquement imaginaire. Les bobines réelles pourront être représentées comme l association d une impédance pure L s et d une résistance pure R s montées en série. Une bobine réelle est caractérisée par le rapport de son inductance par sa résistance, noté Q et nommé «facteur de qualité» : Q = L s R s Par conséquent, il n existe pas de circuit LC idéal : ce sont en réalité des circuits RLC, composés d une résistance, d une bobine et d un condensateur. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 10 / 14
R Considérons une résistance, un condensateur et une bobine placés en série : C L C R R U R L impédance du circuit vaut : Z = Z R + Z L + Z C = R + jωl + 1 jωc. On peut réécrire Z = R + j ω2 LC 1 ωc Z est minimale pour une certaine valeur de ω, notée ω 0 = obtient alors une résonance incomplète, avec Z = R 1 LC. On Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 11 / 14
Circuit R C R R Évolution du module du courant traversant l association R, en fonction de ω : I I 0 I = U Z I = U R 2 + (ω2 LC 1) 2 ω 2 C 2 ω 0 À la fréquence de résonance, le courant transmis atteint une valeur maximale I 0. Le filtre passe-bande reste centré autour de la fréquence ω 0. Plus R est faible, plus l association s approche du filtre idéal. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 12 / 14 ω
R C R R Considérons une résistance, un condensateur et une bobine placés en parallèle : U C L R L admittance du circuit vaut : Y = Y R + Y L + Y C = 1 R + 1 + jωc. On remarque que si jωl 1 ω LC, alors Y 1 R. 1 Pour une fréquence ω 0 =, l admittance du circuit atteint sa LC 1 valeur minimale : R. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 13 / 14
parallèle Évolution du module du courant traversant l association RLC parallèle, en fonction de ω : I C R R I 0 I = U Z I = U R (R RLCω2 ) 2 + ω 2 L 2 ωl ω 0 ω À la fréquence de résonance, I 0 vaut U. Le filtre est un coupe-bande R imparfait. Plus R est faible, plus on s approche d un filtre idéal. Mathieu Bardoux (IUT GTE) Cours d électricité 1 re année: 2011-2012 14 / 14