Jean Dieudonne Panorama des mathématiques pures Le choix bourbachique gaultiierviuars
Table des matières INTRODUCTION xi A I : Topologie algébrique et différentielle 1 1. Les techniques. L'homotopie. Groupes d'homotopie. Homotopie et cohomologie. Homologie et cohomologie. Anneaux de cohomologie et d'homologie. Fibrations 1 2. Les résultats. Les différentes sortes de «variétés». La conjecture de Poincaré. Le cobordisme. Immersions, plongements et théorie des nœuds. Points fixes ; espaces où opère un groupe 11 3. Rapports avec les sciences de la nature 17 4. Les initiateurs 17 A II : Variétés différentielles; géométrie différentielle 21 1. La théorie générale. Singularités des applications, différentiables. Champs de vecteurs sur les variétés différentielles 22 2. Les G-structures. Les variétés riemanniennes 24 3. La topologie des variétés différentielles 27 4. Variétés différentielles de dimension infinie 28 5. Rapports avec les sciences de la nature 29 6. Les initiateurs 29 A III : Équations différentielles. 33 1. La théorie algébrique 33 2. Les équations différentielles dans le domaine complexe.... 33 3. L'étude qualitative des équations différentielles 34 4. Le problème de classification 36 5. Problèmes aux limites 38 6. Rapports avec les sciences de la nature 38 7. Les initiateurs 38 A IV : Théorie ergodique 41 1. Le théorème ergodique 42 2. Les problèmes de classification 43 3. Rapports avec les sciences de la nature 44 4. Les initiateurs 45
VI PANORAMA DES MATHÉMATIQUES PURES A V : Équations aux dérivées partielles 47 1. L'étude locale des systèmes différentiels 47 2. Systèmes complètement intégrables et feuilletages 49 3. Équations aux dérivées partielles linéaires; théorie générale. Les techniques. Les résultats 51 4. Équations à coefficients constants. Opérateurs invariants sur les espaces homogènes. 56 5. Problèmes aux limites pour les équations linéaires : I. Théorie générale 57 6. Problèmes aux limites pour les équations linéaires : II. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques. Opérateurs elliptiques du second ordre et théorie du potentiel 58 7. Problèmes aux limites pour les équations linéaires : III. Les équations d'évolution. Équations strictement hyperboliques. Équations paraboliques 61 8. Opérateurs pseudo-différentiels sur les variétés compactes... 66 9. Équations aux dérivées partielles non linéaires 69 10. Rapports avec les sciences de la nature 69 11. Les initiateurs 70 A VI : Analyse harmonique non commutative 73 1. Les cas élémentaires : groupes compacts et groupes commutatifs.. 74 2. Les problèmes fondamentaux 75 3. L'analyse harmonique sur les groupes de Lie réductifs réels.. 77 4. L'analyse harmonique sur les groupes réductifs p-adiques... 80 5. L'analyse harmonique sur les groupes de Lie nilpotents ou résolubles 82 6. Représentations linéaires des extensions de groupes 83 7. Rapports avec les sciences de la nature 84 8. Les initiateurs 84 A VII : Formes automorphes et formes modulaires 87 1. L'aspect analytique 87 2. L'intervention des groupes de Lie 89 3. L'intervention des groupes adéliques 91 4. Applications à la théorie des nombres : a) Extensions de la théorie du corps de classes abélien. b) Courbes elliptiques et formes modulaires, c) La conjecture de Ramanujan-Petersson. d) Congruences et formes modulaires 92 5. Formes automorphes, variétés abéliennes et corps de classes.. 94 6. Relations avec la théorie arithmétique des formes quadratiques.. 94 7. Rapports avec les sciences de la nature 95 8. Les initiateurs 95
TABLE DES MATIERES VII A VIII : Géométrie analytique 99 1. Fonctions de plusieurs variables complexes et espaces analytiques. Domaines d'holomorphie et variétés de Stein. Sous-espaces analytiques et faisceaux cohérents. Problèmes de globalisation. Problèmes de prolongement. Propriétés des morphismes et des automorphismes. Singularités des espaces analytiques. Singularités des fonctions analytiques ; résidus 99 2. Espaces analytiques compacts; variétés kahleriennes. Les problèmes de classification 109 3. Variations de structures complexes et variétés de dimension infinie. 112 4. Espaces analytiques réels et p-adiques 113 5. Rapports avec les sciences de la nature 114 6. Les initiateurs 114 A IX : Géométrie algébrique 117 1. Le cadre moderne de la Géométrie algébrique 117 2. Les notions fondamentales de la théorie des schémas. A) Propriétés locales et propriétés globales. B) Modules quasi-cohérents et sousschémas. C) Relativisation et changement de base. D) Les divers types de morphismes. E) Techniques de construction et fondeurs représentables 120 3. L'étude des singularités 126 4. La théorie «transcendante» des variétés algébriques. La monodromie. Topologie des sous-variétés. Cycles algébriques. Diviseurs et variétés abéliennes. Diviseurs et fibres vectoriels. Diviseurs amples et plongements projectifs 127 5. La cohomologie des schémas. Les diverses cohomologies. Multiplicité d'intersection et homologie. Groupe fondamental et monodromie 136 6. Problèmes de classification. Les problèmes des «modules».. 140 7. Groupes algébriques. Variétés abéliennes. Groupes algébriques linéaires. Théorie des invariants 142 8. Schémas formels et groupes formels 147 9. Rapports avec les sciences de la nature 149 10. Les initiateurs 149 A X : Théorie des nombres 153 1. Le point de vue moderne en Théorie des nombres. Corps locaux, adèles et idèles. Fonctions zêta et fonctions L. Corps locaux et corps globaux ".153 2. La théorie du corps de classes. Corps de classes particuliers. Extensions galoisiennes de corps locaux et globaux 157 3. A p p r o x i m a t i o n s d i o p h a n t i e n n e s e t n o m b r e s t r a n s c e n d a n t s.... 1 6 1 4. Géométrie diophantienne. Géométrie diophantienne sur un corps fini. Variétés abéliennes définies sur des corps locaux ou globaux. Géométrie diophantienne sur un anneau d'entiers algébriques.. 164
VIII PANORAMA DES MATHÉMATIQUES PURES 5. Groupes linéaires arithmétiques. La théorie arithmétique des formes quadratiques 168 6. Rapports avec les sciences de la nature 170 7. Les initiateurs 170 B I : Algèbre homologique 175 1. Foncteurs dérivés dans les catégories abéliennes. Exemples de foncteurs dérivés 175 2. Cohomologie des groupes. Variantes. Cohomologie galoisienne.. 180 3. Cohomologie des algèbres associatives 183 4. Cohomologie des algèbres de Lie 184 5. Structures simpliciales 185 6. La K-théorie 186 7. Rapports avec les sciences de la nature 188 8. Les initiateurs 188 B II : Groupes de Lie 191 1. Les théorèmes de structure 193 2. Groupes de Lie et groupes de transformations 194 3. Topologie des groupes de Lie et des espaces homogènes.... 196 4. Rapports avec les sciences de la nature 197 5. Les initiateurs 197 B III. Groupes abstraits 201 1. Générateurs et relations 201 2. Groupes de Chevalley et systèmes de Tits 202 3. Représentations linéaires et caractères. La théorie classique. La théorie modulaire. Caractères de groupes particuliers 204 4. La recherche des groupes simples finis 206 5. Rapports avec les sciences de la nature 207 6. Les initiateurs 207 B IV : Analyse harmonique commutative 211 1. Les problèmes de convergence 213 2. Algèbres normées de l'analyse harmonique. Homomorphismes et mesures idempotentes. Ensembles d'unicité et pseudofonctions. Algèbres A(E) et synthèse harmonique. Fonctions opérant dans les algèbres... 214 3. Ensembles parfaits symétriques en Analyse harmonique : relations avec l'arithmétique 216 4. Fonctions presque périodiques et fonctions moyenne-périodiques... 217 5. Applications de l'analyse harmonique commutative 218 6. Rapports avec les sciences de la nature 218 7. Les initiateurs. 218 B V : Algèbres de von Neumann 221 1. La théorie de Tomita et les invariants de Connes 223
TABLE DES MATIÈRES IX 2. Applications aux algèbres stellaires 224 3. Rapports avec les sciences de la nature 225 4. Les initiateurs 225 B VI : Logique mathématique 227 1. Non contradiction et indécidabilité 228 2. Procédés effectifs uniformes et relations récursives 230 3. La technique des ultraproduits 231 4. Rapports avec les sciences de la nature 232 5. Les initiateurs 232 B VII : Calcul des probabilités 235 1. Fluctuations dans les suites de variables aléatoires indépendantes. 236 2. Inégalités sur les martingales 236 3. Trajectoires des processus 237 4. Processus généralisés 238 5. Variables aléatoires à valeurs dans les groupes localement compacts. 238 6. Rapports avec les sciences de la nature 239 7. Les initiateurs 239 C I : Catégories et faisceaux 243 1. Catégories et foncteurs. Catégories opposées; foncteurs contravariants. Morphismes fonctoriels 244 2. Foncteurs représentables. Exemples : objet final, produits, noyaux, limites projectives. Notions duales. Foncteurs adjoints. Structures algébriques sur les catégories 247 3. Catégories abéliennes 252 4. Faisceaux et espaces annelés. Images directes et images réciproques de faisceaux. Morphismes d'espaces annelés 253 5. Sites et topos 257 6. Rapports avec les sciences de la nature 258 7. Les initiateurs 258 C II : Algèbre commutative 261 1. Les principales notions. Localisation et globalisation. Conditions de finitude. Algèbre linéaire sur les anneaux. Graduations et filtrations. Topologies et complétions. Dimension. Clôture intégrale. Anneaux excellents. Anneaux henséliens. Valuations et valeurs absolues. Structure des anneaux locaux nœthériens complets 262 2. Problèmes de la théorie des corps. Corps quasi-algébriquement clos. Les sous-extensions d'une extension transcendante pure. Le 14 e problème de Hilbert 270 3. Rapports avec les sciences de la nature 272 4. Les initiateurs 272
X PANORAMA DES MATHEMATIQUES PURES C III : Théorie spectrale des opérateurs 275 1. La théorie de Riesz-Fredholm. Raffinements et généralisations.. 277 2. Algèbres de Banach 279 3. La théorie spectrale de Hilbert-von Neumann 284 4. Rapports avec les sciences de la nature 286 5. Les initiateurs 287 BIBLIOGRAPHIE 288 INDEX 299