Si quelque chose n est pas clair, n hésitez pas à le demander!

PHYSQ 131 LEC B1/EB1 : Mécanique Examen partiel consolidé avec EN PH 131 Nom SOLUTIONS Numéro d étudiant.e Professeur Marc de Montigny Horaire Lundi, 22 février 2010, de 19h00 à 20h30 Lieu Pavillon McMahon, local 266 Instructions Ce cahier contient 10 pages. Écrivez-y directement vos réponses. Cet examen vaut 25% de la note finale du cours. Cet examen contient 7 questions de valeurs différentes. Vous pouvez obtenir une partie des points même si votre réponse finale est erronée. Expliquez de façon claire et précise, et encadrez votre réponse finale. Cet examen est à livre fermé. Vous pouvez utiliser l aide-mémoire ci-joint (vous pouvez le détacher du cahier). Utilisez le verso des pages pour vos calculs ou la page à la fin de ce cahier. Indiquez clairement si vous voulez que je les corrige. Matériel permis: crayon ou stylo, calculatrice. Les assistants numériques (PDAs) sont interdits. Mettez votre téléphone cellulaire hors circuit. Si quelque chose n est pas clair, n hésitez pas à le demander!

Question 1. [3.0 points] Le graphique ci-dessous montre la position, x, en fonction du temps t, pour une particule en mouvement rectiligne le long de l'axe x. Pour chaque question ci-dessous, encerclez le(s) point(s) pour lequel (lesquels) chaque énoncé est vrai. (Remarque: les points P et R sont des points d'inflexion). A. Le vecteur vitesse est plus grand que zéro P Q R S B. Le vecteur vitesse est plus petit que zéro P Q R S C. Le vecteur vitesse est égal à zéro P Q R S D. La vitesse scalaire est la plus grande P Q R S E. L'accélération est positive P Q R S F. L'accélération est négative P Q R S 2

Question 2. [1.5 points] Un objet tombe, en chute libre, à partir d'une hauteur h et frappe le sol T secondes plus tard. (Pour chaque question, encerclez la réponse.) A. [0.5 point] Quand l'objet se trouve à 0.5 h du sol, le temps écoulé est-il plus petit, égal à, ou plus grand que 0.5 T? plus petit égal plus grand B. [0.5 point] Après un temps 0.5 T suivant le départ, la hauteur de l'objet est-elle plus petite, égale à, ou plus grande que 0.5 h? plus petite égale plus grande C. [0.5 point] Supposez maintenant que l'objet, lâché d'une hauteur h, frappe le sol à vitesse v 0. Au moment où cet objet est lâché, votre collègue lance un objet identique à vitesse v 0, à partir du sol et vers le haut. Les deux objets se rencontreront à une certaine hauteur. Ce point de rencontre est-il plus bas, égal à, ou plus haut que 0.5 h? plus bas égal plus haut A. On trouve que T = 2h g et t( h /2) = 1 2 2h g = 1 2 T > 1 2 T B. La hauteur à T 2 est 3 4 h > 1 2 h C. Soit 1 : objet qui descend (atteint le sol à v f = 2gh ); 2 : objet qui monte. En égalisant y 1 = h 1 2 gt 2 et y 2 = 2gh t 1 2 gt 2 on trouve qu'ils se rencontrent à 3 4 h > 1 2 h. La figure montre une interprétation graphique. 3

Question 3. [3.0 points] Le système ci-dessous contient trois blocs: A, B et C. La friction entre A et la table est assez grande pour empêcher A de glisser sur la table. Au contraire, la friction entre A et B est trop petite pour empêcher B de glisser sur A. Pour chaque question ci-dessous, indiquez clairement les directions correctes de chaque vecteur (horizontal, vertical, perpendiculaire ou parallèle au plan incliné, etc.) sur chaque diagramme. Tous les symboles qui sont dans vos diagrammes seront supposés avoir des valeurs positives. Utilisez les symboles f s et f k pour les forces de friction statique et cinétique, respectivement. L'accélération due à la gravité est dirigée vers le bas de la page ( ). A. [1.5 points] Tracez le diagramme des forces (Free-body diagram) et le diagramme de cinétique (Kinetic diagram) pour le bloc A. En traits pleins B. [1.5 points] Même question pour le bloc B. En traits hachurés 4

Question 4. [4.5 points] Une particule se déplace le long d'un axe horizontal. Son vecteur vitesse est donné par v = 15 e kx, où k est une constante, x est en mètres, et v est en m/s. À t = 1 sec, la particule passe à l'origine. (Remarque : e ax dx = 1 a eax + C ) A. [1.0 point] Si v = 10 m/s quand x = 2 m, déterminez k (indiquez les unités). B. [1.5 points] Déterminez l'accélération de la particule quand x = 3 m. C. [2.0 points] Déterminez la position de la particule quand t = 4 s. A. De 10 =15e 2k nous avons k = 1 2 ln 2, de sorte que k = 0.2027325541 0.203 m 1 3 B. De adx = vdv, nous obtenons a = v dv dx = 225k e 2kx, qui donne a x=3 = 13.5 m/s 2 C. Avec v = dx dx, nous voyons que dt = dt v = dx, que l'on intègre : kx 15e 4 dt = 1 x 1 15 ekx dx 3 = 1 15k ekx e 0 0 [ ] conduit à x = 1 k ln( 45k +1) =11.4 m 5

Question 5. [4.0 points] Vous lancez une balle à un camarade dans un corridor. La distance du sol au plafond est égale à D. Vous lancez la balle avec une vitesse initiale v 0 = 6gD, à un angle α au-dessus de l'horizontale. Quelle est la distance horizontale maximale, en termes de D, que la balle peut franchir avant de frapper le sol la première fois? Supposez que la balle soit lancée du sol. x = x 0 + v 0x t + 1 2 a xt 2 = v 0 cosα( 2T) = 6gD cosα( 2T) où T est le temps pour atteindre la hauteur maximale. L'angle α est déterminé pour que D soit la hauteur maximale, c.-à-d. v y = 0 à y = 0 : v 2 y = v 0 sinα ( ) 2 2g( y y 0 ) 0 = ( 6gD sinα) 2 2gD sinα = 1 3 Calcul du temps T requis pour atteindre le plafond : v y = v 0y gt 0 = 6gD sinα gt = 6gD 1 gt 3 qui donne T = 2D g. En substituant dans la toute première équation, nous trouvons le déplacement horizontal : x = 6gD cosα 2T ( ) = 6gD 2 3 2 2D g = 4 2D 5.66D (J'ai accepté aussi x =12Dsinα cosα = 6Dsin2α 6D, obtenu sans tenir compte de la contrainte du plafond, car la question n'était pas vraiment claire.) 6

Question 6. [4.5 points] Un particule se déplace dans le plan x - y, le long de la courbe ( ) y = cos πx où x et y sont mesurés en mètres. Au point de la courbe où x = 0.25 m, la vitesse scalaire est 3 m/s et elle augmente au taux de 2 m/s 2. A. [2.5 points] Déterminez la grandeur de l'accélération au point pour lequel x = 0.25 m. B. [2.0 points] Au même point (x = 0.25 m), déterminez l'angle entre le vecteur vitesse et le vecteur accélération. A. a = a 2 2 t + a n où a t = 2 et a n = v 2 t ρ. On a v t = 3 et on peut trouver (sans donner ici ( 1+ y'2) 3 / 2 1+ π 2 3 / 2 2 les détails) ρ = = y'' π = 2.071689314. Ceci donne 2 2 a n = 4.344280747, d'où a = 4.78 m/s 2. B. Soit φ, l'angle entre a et v. Remarquez que v pointe dans la même direction que a t, donc φ est l'angle entre a t et a, et son côté opposé est a n. Ainsi tanφ = a n = 4.344280747 a t 2, qui donne φ = 65.3. 7

Question 7. [4.5 points] Dans le système ci-dessous, la grandeur de la vitesse relative du bloc B par rapport au point A (fixé à la corde) est v B/A = 3 m/s. A. [1.5 points] Déterminez l'équation de contrainte qui relie la vitesse du point A à la vitesse du bloc B. B. [3.0 points] Déterminez les vitesses du point A et du bloc B, en donnant leurs grandeurs et de leurs directions clairement indiquées. A. Point de référence (datum) : poulie supérieure à gauche s A : du datum au point A s B : du datum au point B = s A + 4s B v A = 4v B Relation entre les grandeurs des vitesses. Le sens de v A est choisis positif vers la droite et celui de v B est positif vers le bas, à cause des définitions respectives de s A et s B. B. v BA = v B,sol + v sol,a = v B v A v 2 BA = 3 2 = v 2 A + v 2 B =16v 2 B + v 2 2 B =17v B 9 v B = = 0.728 m/s vers le haut 17 v A = 4v B = 2.91 m/s vers la droite 8