Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de

Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr

Introduction Ce que vous avez étudié jusqu à présent: Comment les agents économiques prennent-ils leurs décisions: de consommation, de production, d offre ou de demande de travail... Comment inter-agissent ils sur un marché Analyse de l équilibre offre-demande sur le marché des biens ou du travail. Raisonnement en univers certain: Chacun observe la valeur exact des quantités achetées ou vendues. Chacun connaît les conséquences de ses actions.

Introduction En réalité, la plupart des décision économiques se prennent dans un environnement incertain : les agents prennent des décisions dont les conséquences ne sont pas connues avec certitude. Exemple de l assurance: sans incertitude, pas de recours à l assurance inutile de se couvrir contre un risque qui n existe pas. Exemple des décisions d investissement: sans incertitude on choisit toujours l actif qui procure le rendement le plus haut. Exemples des OGM: doit-on autoriser leur mise en circulation? Sont concernés les décideurs publics comme privés. La formalisation des problèmes de choix en incertain est donc fondamentale en économie. Premier approche : la notion de bien contingent de Debreu (1959)

Introduction Objectifs du cours 1 Présenter une théorie des choix dans l incertain. 2 Appliquer cette théorie à des choix pour lesquels la notion d incertitude est cruciale: assurance / placements financiers. 3 Introduire les problèmes d informations liés à la présence d incertitude. 4 Introduire une théorie de l équilibre en univers incertain.

Plan de la séance : Rappels de décision en incertain Les différentes formes d incertains Introduction au risque, soit l incertain probabilisé Bibliographie: Jean-Louis Cayatte, Microéconomie de l incertitude, De Boeck Octave Jokung, Microéconomie de l incertain, Dunod Mas-Colell, Whinston et Green, Microeconomic Theory, Chapitre 3, Oxford University Press http://bos.u-paris2.fr/eii.html

Prise de décision en certain Décision en certain : Le point de départ pour tout problème de décision individuel est un ensemble des alternatives possibles à partir duquel un agent fait ses choix. Pour le moment cet ensemble peut être n importe quoi, noté E. Exemple : décision pour un métier potentiel : E = {étudier le droit, étudier l économie, apprendre à jouer de la guitard}. Dans la théorie du consommateur, E est l ensemble des choix de consommation possible.

Relations de préférences : propriétés élémentaires Approche usuelle pour modéliser le comportement pour choix individuel : Les goûts sont résumés par une relation de préférences, qui est sa principale caractéristique. Hypothèse : les agents prennent des décision rationnelles. On note la relation de préférences par. est binaire sur l ensemble des alternatives E et permet ainsi de comparer une paire d alternatives x, y E. On en déduit deux autres relations importantes : La relation de stricte préférence,, définie par x y x y mais pas y x La relation d indifférence,, définie par x y x y et y x

Relations de préférences : propriétés élémentaires L hypothèse centrale est que est une relation rationnelle. Cela suppose plusieurs hypothèses : Definition 1 La relation de préférence, est dite rationnelle si elle possède les deux propriétés suivantes : La complétude : pour tout x, y E, il suit que soit x y, soit y x ou les deux. La transitivité : pour tout x, y, z E, si x y et y z alors x z. Remarque : Si une relation est complète elle est aussi Réflexive : pour tout x E x x. Symétrique pour l indifférence : pour tout x, y E, si x y alors y x.

Relations de préférences : propriétés élémentaires On représente les préférences par une fonction d utilité. Une fonction U(x) alloue à chaque élément x E une valeur numérique, classant ainsi les éléments de E en accord avec. Definition 2 Une fonction d utilité U : X R est une fonction représentant la relation si (x, y) E, x y U(x) U(y) Elle n a pas d existence concrète, ce qui existe, ce sont les préférences, et la fonction d utilité ne fait que les représenter. D où qu une fonction d utilité n est pas la seule représentation possible de. Pour toute fonction strictement croissante f : R R, V (X) = f(u(x)) représente les mêmes préférences que U. Proposition 1 Une relation de préférence peut être représentée par une fonction d utilité seulement si est rationnelle.

Relations de préférences : propriétés élémentaires Axiome 1 (Monotonicité) La relation de préférence est monotone si (x, y) E et y i x i pour tout i {1,..., L} implique y x. Axiome 2 (Convexité) La relation sur E est convexe si pour tout x E l ensemble {y E : y x} est convexe. Autrement dit, si y x et z x alors pour tout λ ]0, 1[, λy + (1 λ)z x. L hypothèse qui assure l existence d une fonction d utilité est que la relation de préférence soit continue. Axiome 3 (Continuité) Pour toutes suites de paires {(x n, y n )} + n=1 telles que xn y n pour tout n, lim n + x n = x et lim n + y n = y, on a x y. Proposition 2 Supposons que la relation de préférence rationnelle soit continue et monotone. Alors il existe une fonction d utilité continue qui représente la relation.

Theorie de l espérance d utilité Il est naturel d étendre cette démarche aux problèmes de choix en environnement incertain beaucoup de situations économiques font intervenir de l incertitude. Il nous faut donc développer une théorie plus spécifique.

Les différentes formes d incertain On peut résumer une situation d incertitude par 3 éléments: Les états de la nature = situations qui peuvent se produire Les actions réalisables par l agent Les conséquences des actions pour un état de la nature donné Toutes les situations présentant de l incertain ne sont pas également incertaines. On distingue traditionnellement le risque de l incertitude (Knight, 1921) : Risque? Exemple : jeux de poker, risque de maladie génétique; on peut calculer les probabilités des différents évènements aléatoires. Incertitude? Exemple : faut-il ou non autoriser les OGM? : le principe de précaution est un principe de droit mais qui se justifie par certains modèles de théorie de la décision en incertain.

Les différentes formes d incertain Deux types d incertitude : on peut éventuellement utiliser des probabilités subjectives, probabilités qu on se fabrique soit même, à partir de sa propre information, observation, expérience... Ces probabilités peuvent s écarter fortement des probabilités objectives. Néanmoins, on pourra utiliser les mêmes raisonnements pour prendre ses décisions que dans les situations risquées. incertitude est totale : la situation est tellement complexe qu on ne peut même pas décrire l ensemble des conséquences possibles des évènements, et encore moins les probabiliser.

Prise de décision en incertain : matrice d information On peut résumer une situation d incertitude par 3 éléments: Les états de la nature = situations qui peuvent se produire Les actions réalisable par l agent étudié Les conséquences des actions pour un état de la nature donné

Prise de décision en incertain : matrice d information Nous supposerons que: Le décideur connaît tous les états de la nature possibles. Le décideur connaît les conséquences de ses actions dans chaque état de la nature Dans la grande majorité des cas, ces conséquences pourront se ramener à des sommes monétaires. Le décideur connaît est capable d attribuer une probabilité de réalisation à chaque état de la nature Nous sommes dans une situation de risque. Avec ces hypthèses, une situation d incertitude peut-être résumée sous la forme d une matrice d information.

Prise de décision en incertain : matrice d information N états de la nature: {s 1, s 2,..., s N } L actions: {a 1, a 2,..., a L} Il y a donc N L conséquences On note c nl la conséquence de l action l l état de la nature n Matrice d information associée: s 1 s 2... s N a 1 c 11 c 21... c N1 a 2 c 12 c 22... c N2............... a L c 1L c 2L... c NL

Prise de décision en incertain : matrice d information Exemple: Etats de la nature: accident (acc) / pas d accident (non acc) Actions: s assurer (assur) / ne pas s assurer (non assur) Conséquences (valeur de la voiture dans chacun des cas): non acc + non assur: v non acc + assur: v b acc + non assur: 0 acc + assur: z b accident pas d accident assurance z b v b pas d assurance 0 v Il manque une information pour que le décideur puisse faire son choix (choisir une action): la probabilité d occurence de chaque état de la nature.

Prise de décision en incertain : les loteries En univers risqué, on connaît la distribution de probabilité sur les états de la nature (l important n est pas que ce soit la vraie distribution mais que le décideur la croît vraie) On note p n la probabilité d occurence de l état de la nature s n. s 1 s 2... s N p 1 p 2... p N a 1 c 11 c 21... c N1 a 2 c 12 c 22... c N2............... a L c 1L c 2L... c NL

Prise de décision en incertain : les loteries Exemple (suite).: La probabilité d avoir un accident est 1/10 accident pas d accident p(acc)=1/10 p(non acc)=9/10 assurance z b v b pas d assurance 0 v Choisir une action consiste à choisir des possibilités de gain auxquelles sont associées des probabilité revient à chosir entre des loteries.

Prise de décision en incertain : les loteries Simplifions les notations en considérant une action donnée: ensemble des conséquences est C = (x 1,..., x N ) à laquelle on associe la distribution de probabilité P = (p 1,..., p N ). La loterie correspondante est notée: avec X = [(p 1,..., p N ), (x 1,..., x N )] p n 0 n = 1,..., N et N p n = 1 n=1 Dans ce cas l ensemble des conséquences est dénombrable une loterie X est une variable aléatoire (v.a.) discrète.

Prise de décision en incertain : les loteries Une v.a. discrète X est définie par sa loi de probabilité: f(x) = Prob(X = x) et sa fonction de répartition: F (x) = Prob(X x) Nous pouvons calculer son espérance: N E(X) = p 1x 1 +... + p N x N = p nx n n=1 et sa variance: N V(X) = σx 2 = p n(x n E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 n=1

Prise de décision en incertain : les loteries Dans certaine situation, l ensemble des conséquences n est pas dénombrable. Par exemple cet ensemble peut correspondre à un interval de la droite des réels: [a, b]. Dans ce cas une loterie correspond à une variable aléatoire continue X caractérisée par une fonction de densité de probabilité que nous noterons f(x), avec: b a f(x)dx = 1 ou, de façon équivalente, par une fonction de répartition: F (t) = P(X t) = t a f(x)dx

Prise de décision en incertain : les loteries Considérons la loterie X décrite par la fonction de densité f(x), nous pouvons définir: son espérance mathématique: sa variance: V(X) = σ 2 X = b a E(X) = b a xf(x)dx (x E(X)) 2 f(x)dx = E(X 2 ) (E(X)) 2

Prise de décision en incertain : les loteries Remarques: Dans le cas dénombrable, une loterie est souvent représentée sous forme d arbre. Les loteries associant une probabilité à chaque élément de l ensemble de conséquences sont appelées des loteries simples. Nous pouvons définir une loterie composée qui est une loterie dont l ensemble des conséquences sont des loteries simples. On notera X = αx 1 + (1 α)x 2 la loterie composée donnant la loterie X 1 avec une probabilité α et X 2 avec une probabilité 1 α. Une loterie composée peut toujours être ramenée à une loterie simple.

Prise de décision en incertain : les loteries Exercice 1 (Propriétés des opérateurs espérance et variance) Soit X et Y deux variables aléatoires et a et b deux réels: E(aX + b) = ae(x) + b E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) V(aX + b) = a 2 V(X)

Prise de décision en incertain : les loteries Question: Comment comparer deux loteries entre elles? Dans le cas où l ensemble des conséquences est consitué de gains monétaires, il existe une réponse intuitive: comparons les gains moyens des différentes loteries.

Prise de décision en incertain : l exemple de l assurance Reprenons l exemple précédent: Valeur de la voiture v et probabilité d accident p. En cas d accident la voiture est detruite valeur nulle. L assuré reçoit une indeminité z en échange du paiement d une prime d assurance (z v). La prime d assurance (ou prix de l assurance) est proportionnelle à l indémnité reçue: b = βz. Loterie associée: A = [(p, 1 p), ((1 β)z, v βz)] Remarque: Ici action = choix d un niveau d assurance z [0, v].

Prise de décision en incertain : l exemple de l assurance Critére de l espérance de gain l individu choisit z de façon à maximiser: 3 cas possibles: E(A) = p(1 β)z + (1 p)(v βz) = (1 p)v + (p β)z 1 p < β: espérance de richesse decroît avec z z = 0. 2 p > β: espérance de richesse croît avec z z = v. 3 p = β: espérance de richesse indépendante de z z [0, v]. Problèmes: Cas 1 et 2: tout ou rien. Cas 3: indétermination du montant assuré.

Prise de décision en incertain : l exemple de l assurance Problèmes (suite): 1 p < β pz < βz: espérance de remboursement inférieur à la prime versée rentable pour l assureur MAIS l individu ne s assure pas... 2 p > β pz > βz: l assureur fait des pertes Il n offrira pas d assurance alors même que l individu souhaite s assurer... 3 p = β pz = βz: l assureur ne fait aucun profit. Si on admet que l assurance coûte c à mettre en oeuvre (salaire de l assureur...) on a pz + c > βz, l assureur fait des pertes On se retrouve dans le cas 2.

Prise de décision en incertain : le paradoxe de Saint-Petersbourg Règle du Jeu: On tire à pile ou face et le jeu se poursuit jusqu à ce que pile apparaisse. Au 1 er lancé, le joueur gagne 2 euros, la somme gagnée est doublée à chaque lancé. La valeur de cette loterie en terme d espérance de gain est infinie. Paradoxe: Personne n est prêt à payer une somme d argent importante pour jouer à ce jeu. Pb: Quand on compare deux loteries on ne s interresse pas seulement à leurs gains espérés mais aussi à leur risque.

Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz Qui est Markovitz? Nous avons vu que l espérance de gain n était pas un critère suffisant pour évaluer une loterie. Il faut également prendre en compte le risque associé à cette loterie. Une mesure naturelle du risque associé à une variable aléatoire est sa dispersion Variance de la loterie.

Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz Ainsi, Harry Markowiz propose de mesurer l utilité d une loterie comme une fonction de l espérance de gain et de la variance de cette loterie. Considérons un individu dont la richesse totale (W ) est composé d une partie certaine ω et d une partie aléatoire X: W = ω + X L utilité que l agent retire de sa richesse est donnée par U(W ) = f(e(w ), V(W )) avec E(W ) = ω + E(X) et V(W ) = V(X)

Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz Hypothèse: U(W ) E(W ) > 0 A risque donné, l individu préférera toujours la richesse qui a l espérance de gain la plus élevée.

Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz Plusieurs attitudes vis-à-vis du risque sont possibles : L individu n aime pas le risque, ou est dit risquophobe si: U(W ) V(W ) < 0 L individu est indifférent au risque, ou neutre au risque si: U(W ) V(W ) = 0 L individu aime le risque, ou est dit risquophile si: U(W ) V(W ) > 0

Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz Spécification linéaire: U(W ) = E(W ) kv(w ) ici, k est une mesure directe de l aversion pour le risque de l individu : k > 0: individu risquophobe. k = 0: individu neutre au risque. k < 0: individu risquophile.

Prise de décision en incertain : assurance avec une fonction de Markowitz Nous reprenons notre exemple de l assurance avec une fonction d utilité de type Markowitz linéaire: On connaît l espérance E(A), il reste à déterminer la variance: V(A) = p[(1 β)z E(A)] 2 + (1 p)[v βz E(A)] 2 = p(1 p)(v z) 2 L utilité de l individu en fonction de z est donc: u(z) = (1 p)v + (p β)z k p(1 p)(v z) 2

Prise de décision en incertain : assurance avec une fonction de Markowitz On se place dans le cas où p < β L assureur fait des bénéfices. Utilité marginale d un euro de couverture en plus: u (z) = p β + 2kp(1 p)(v z) Si k 0 (individu risquophile ou neutre au risque): u/ z < 0 z = 0: pas d assurance possible. Si k > 0 (individu risquophobe): u (z) = 0 z = v β p 2kp(1 p)

Prise de décision en incertain : assurance avec une fonction de Markowitz Si les agents sont risquophobes, il peut exister un marché de l assurance. La demande d assurance possède des évolutions de bon sens par rapport aux paramètres du modèle : croissant en la valeur de la voiture v croissant avec le degré d aversion vis à vis du rique k croissant avec la probabilité de sinistre p décroissant avec le montant de la prime β

Théorie de l Espérance d Utilité : définition Le concept d espérance d utilité a été introduit par John von Neumann et Oskar Morgenstern en 1944. Qui sont von Neumann et Morgenstern? Les préférences (et donc l utilité) se définissent sur des loteries. Définition: Selon la théorie de l espérance d utilité, l utilité d une richesse aléatoire W est égal l espérance mathématique de l utilité de la richesse: U(W ) = E(u(W )) L espérance d utilité de la richesse sera alternativement noté U(W ), E(u(W )) ou parfois Eu(W).

Théorie de l Espérance d Utilité : définition Il est important de distinguer : La fonction d utilité espérée U(.) définie sur l ensemble des loteries (et donc sur des richesses aléatoires), souvent dénommé espérance d utilité VNM; La fonction d utilité u(.) (dite élémentaire) définie sur des montants monétaires certains, également áppelés fonctions de Bernouilli ou de VNM.

Théorie de l Espérance d Utilité : définition En pratique: Considérons un individu dont la fonction d utilité élémentaires est noté u(.) et considérons la loterie X = [(p 1,..., p n), (x 1,..., x N )]. A chaque élèment de l ensemble de conséquence C = (x 1,..., x N ) on peut associer un niveau d utilité: (u(x 1),..., u(x N )). L espérance d utilité correspond à l espérance mathématique de ces niveaux d utilité: U(X) = p 1u(x 1) +... + p nu(x N ) = N p iu(x i) i=1

Théorie de l Espérance d Utilité : définition Espérance d utilité dans le cas continu Prenons un individu dont les préférences sont représentées par la fonction d utilité u(.). Considérons une loterie X représentée par la fonction de densité f sur l ensemble des conséquences [a, b]. La loterie X peut être évaluée par une fonction d utilité espérée U(.) de la forme: U(X) = b a u(x)f(x)dx

Théorie de l Espérance d Utilité : définition L espérance d utilité associe une valeur numérique à chaque loterie. Permet de classer les loteries entre elles. Un individu choisira la loterie lui rapportant l utilité espérée la plus forte Il cherchera à maximiser son espérance d utilité.

Théorie de l Espérance d Utilité : neutralité vis-à-vis du risque Nous avons vu que l agent neutre vis-à-vis du risque ne s intéresse qu à l espérance de gain (ou rendement) de la loterie. Pour représenter les préférences d un individu neutre au risque il suffit donc de considérer n importe quelle fonction linéaire comme fonction d utilité: u(x) = a.x + b (avec a > 0 et b R). On aura alors: U(W ) = E(u(W )) = a.e(w ) + b

Théorie de l Espérance d Utilité : fonctions de Markowitz Considérons une loterie W et une utilité quadratique: u(x) = a.x + b.x 2 L espérance d utilité correspondante est donnée par: E(u(W )) = ae(w ) + be(w 2 ) or E(W 2 ) = V(W ) + E(W ) 2. Ce qui donne: E(u(W )) = ae(w ) + b ( V(W ) + E(W ) 2) On obtient donc une fonction de Markowitz (non linéaire)

Théorie de l Espérance d Utilité : exemple de l assurance Reprenons notre exemple de l assurance, dans le nouveau cadre de l espérance d utilité, en considérant un individu dont le fonction d utilité élémentaire est: u(x) = ln(x). La loterie à laquelle fait face l individu reste A = [(p, 1 p), ((1 β)z, v βz)] et l espérance d utilité associée à cette loterie est: U(A) = p. ln((1 β)z) + (1 p). ln(v βz) L individu cherche donc le niveau de z [0, v] qui maximise cette espérance d utilité.

Théorie de l Espérance d Utilité : exemple de l assurance Condition de premier ordre: U z (A) = 0 z = p β v Donc, si p < β: z ]0, v[ il existe un marché de l assurance.

Théorie de l Espérance d Utilité : le paradoxe de Saint-Petersbourg Considérons un individu caractérisé par la fonction d utilité élémentaire u(x) = x. Quelle somme s est-il prêt à payer pour participer au jeu? Soit X la loterie associée au jeu, on cherche s tel que: u(s) = Eu(X) Exercice 2 Soit la suite dont le nème terme est: u n = q n. La somme de ses N premiers termes s écrit: N n=1 u n = u 0q 1 qn 1 q