Swaps de volatilité et modélisation GARCH : Evaluation et application à l indice TMP du marché financier marocain Mohammed MRAOUA Ingénieur financier, actuaire Groupe OCP, Casablanca Décembre 2003 Résumé Mots-clés : Evaluation, GARCH, Swaps, TMP, Volatilité. Les swaps de volatilité et de variance sont des produits dérivés nouveaux, à la mode depuis 1998. cet article présente une solution analytique pour évaluer les swaps de volatilité, basée sur un processus GARCH1,1 et développée par Javaheri et al. 2002. Nous commençons par introduire les concepts de base des swaps de volatilité. Nous appliquons par la suite la solution analytique pour évaluer un swap de volatilité sur l indice TMP du marché financier marocain. Abstract Keywords : GARCH, Pricing, Swaps, TMP, Volatility. Volatility swaps and variance swaps are new derivative products, in fashion since 1998. This paper presents an analytical solution for pricing volatility swaps, based on a GARCH 1,1 volatility process and developed by Javaheri et al. 2002. First, we introduce the concepts of volatility swaps. Second, we apply the analytical solution to price a swap on the volatility of the TMP Moroccan index. Hay Wahda, Rue 196, N 4778, Kénitra, Maroc ; Téléphone : +212 67 15 19 67 ou +212 74 25 84 72 ; Email : mraoua@lexpress.net ou mraoua@altern.org.
1 Introduction Il est bien connu que la volatilité de la majorité des prix des actifs financiers évolue de façon imprévisible une fois que les niveaux des actifs sous-jacents changent, Heston et al. 2000. Les marchés OTC Over-The-Counter ou marchés de gré à gré ont développé le trading des swaps de volatilité. Ces derniers produits offrent un moyen simple pour traiter les opérations de trading relatives à la volatilité. Les swaps de volatilité n ont commencé à être utilisés qu à partir de l année 1998 suite à l effondrement de la société LTCM Long Term Capital Management quand les niveaux des indices dépendant de la volatilité ont flambé de façon spectaculaire et inattendue. Les fonds de couverture ont tiré avantage de cette situation en payant la variance sur les swaps et en achetant la volatilité implicite réalisée à des niveaux élevés. L objectif de cet article est de présenter la méthode d évaluation pricing des swaps de volatilité en se basant sur un modèle GARCH1,1. Dans ce cadre, nous présentons la solution analytique proposée par Javaheri et al. 2002 que nous appliquons à l indice TMP du marché interbancaire marocain. Les équations obtenues à partir de la solution analytique sont programmées en code VBA Visual Basic for Applications et implémentées sur un tableur Excel, ceci dans le but de construire un pricer de swaps de volatilité. 2 Définitions Le swap de variance ou de volatilité est un contrat à terme sur la variance annualisée dans lequel un investisseur qui paye un montant fixe K var /1 MAD comme nominal à l échéance, reçoit le montant variable σr 2 /1 MAD comme nominal. K var est le prix d exercice variance annualisée et σr 2 est la variance réalisée annualisée. La mesure de la variance réalisée qui va être adoptée est définie au début du contrat, une formule typique de cette mesure serait 1 T Si S 2 i 1 1 T 1 i=1 S i 1 où T est égale au nombre de jours travaillés jusqu à l échéance et S i représente le prix clôturé du sous-jacent. En temps continu, l équation 1 s écrit de la façon suivante σ 2 R = 1 T T 0 2 σ 2 tdt 2
Le payoff à l échéance est égale à σ 2 R K var. Donc à l échéance, le détenteur du swap de variance reçoit N dirhams pour chaque point par lequel la variance réalisée σ 2 R du sous-jacent excède le prix fixe K var σ 2 R K var N 3 Le détenteur swappe 1 ainsi une volatilité fixe K var en une volatilité future réelle ou variable σ 2 R. Le prix fixe K var ou K vol est coté comme une volatilité, par exemple 15%. Le montant notionnel est typiquement côté en dirhams par point de volatilité, par exemple N = 1 000 000 MAD/point de volatilité. 3 Méthode d évaluation 3.1 Introduction Cet article présente une solution analytique pour évaluer les swaps de volatilité, cette solution est basée sur un processus GARCH1,1 et a été développée par Javaheri et al. 2002. Dans cette section nous présentons dans un premier temps, l approche générale de construction de la solution que nous détaillons dans le cas particulier d un processus GARCH1,1, et dans un deuxième temps, nous traitons un cas pratique en évaluant un contrat de swap de volatilité sur l indice TMP du marché interbancaire marocain. Notons que les swaps de volatilité peuvent avoir comme sous-jacent une multitude de produits financiers des taux d intérêt, des taux de change, des indices boursiers, etc.. Le choix de l indice TMP 2 dans cet article n est pas fortuit. En effet ce choix répond à des considérations et contraintes qui caractérisent le marché financier marocain, dont nous citons les deux principales : Les opérations sur les swaps en général exigent qu il y ait des taux de référence variables sur le marché comme c est le cas du taux LIBOR sur la place de Londres ou le taux PIBOR sur la place de Paris. Le marché des taux au Maroc et plus particulièrement le marché interbancaire ne fournit comme taux variable officiel que le TMP qui est un taux journalier. Toutefois, il est possible qu à partir du TMP nous puissions dériver d autres taux variables dont la maturité dépasse une journée par exemple le TMP mensuel, le TMP annuel, etc. Cf. mraoua 2002. 1 C est-à-dire il y a échange de volatilités fixe contre variable, d où l origine du mot swap qui veut dire échanger en anglais. 2 TMP : Taux Moyen Pondéré, est la moyenne des taux échangés sur le marché des dépôts interbancaires au jour le jour, pondérés par les capitaux correspondants. Ce taux est publié chaque jour par Bank Al Maghreb Banque centrale marocaine. Il correspond aux transactions du jour ouvré précédent. 3
Le seul taux variable de référence que nous avons au niveau du marché interbancaire à savoir le TMP est un taux post-compté à l instar de quelques taux de référence français, tandis que la majorité des taux de référence variables sur les autres places sont pré-comptés. 3.2 Approche générale Avant d aller plus loin, Demeterifi et al. 1999 nous rappellent que pour le calcul de la volatilité réalisée il y a quelques aspects qui doivent être pris en considération : La fréquence de la source et des observations des actions ou des indices de prix. Par exemple, dans notre cas, nous avons utilisé l indice TMP. Le facteur d annualisation pour passer des observations quotidiennes à la volatilité annualisée, par exemple nous avons utilisé 261 jours travaillés par an comme facteur multiplicatif pour calculer la variance annualisée à partir des rendements quotidiens de l indice TMP. Dans un swap de variance, la variable inconnue est l espérance de la volatilité réalisée. Donc afin de l évaluer, nous utilisons dans un premier temps, une approche basée sur les équations aux dérivées partielles pour la détermination du premier et du second moment de la variance réalisée et ce dans les deux contextes discret et continu et dans un deuxième temps, nous approximons la volatilité réalisée. La variable inconnue est E[σ 2 ] = E[V ] avec σ 2 la volatilité au carré. Elle peut être retrouvée en utilisant les modèles stochastiques standard de volatilité. Le prix délivré du swap de variance est E[σ 2 ] = E[V ] car le prix de tout swap est égal à zéro à l émission. Pour le swap de volatilité, l espérance de la volatilité réalisée est E[ V ] = E[σ]. Cette mesure n est pas disponible directement à partir du processus stochastique des modèles standard. Dans ce cas, nous devons utiliser une approximation comme celle de Brckhaus et Long 3 pour la trouver, mais avant, nous devons calculer tout d abord le swap de variance. Comme il a été dit, la volatilité réalisée est la racine carrée de la variance et nous savons que l espérance de la racine carrée d une variable aléatoire est plus petite que la racine carrée de son espérance inégalité de Jensen. La différence entre le swap de volatilité et le swap de variance réside dans l ajustement convexe qui lie les deux grandeurs, ce qui donne le résultat 3 Cette approximation est un développement de Taylor d ordre 2 de la fonction racine carrée appliquée à la variable V au voisinage du point E[V 0 ]. L annexe [A] donne les aspects formels de cette approximation. 4
suivant, équation 4 avec varv 8E[V ] 3/2 E[ V ] E[V ] varv 8E[V ] 3/2 4 est l ajustement convexe. 3.3 Modèle de volatilité, cas particulier : GARCH1,1 Le modèle stochastique de la variance dans un contexte temporel continu est donné par l équation 5 dv = κθ vdt + γvdx 5 avec κ la vitesse d ajustement au tour de la valeur centrale θ, γ la volatilité du carré de la volatilité et dx un processus de Wiener. Dans le cadre de la modélisation GARCH1,1, nous pouvons écrire 4 θ = V dt κ = 1 α β dt ξ 1 γ = α dt 6 7 8 où α et β sont les paramètres du modèle GARCH1,1 : α = ARCH1, 1, β = GARCH1, 1 et ξ la kurtosis de Pearson. Soit I = T 0 vtdt 9 Pour calculer l ajustement convexe, nous avons besoin de E[I] et de var[i]. I est la variance durant toute la vie du contrat et v est la variance instantanée en chaque point de l axe temps. Plus exactement, nous devons écrire I = 1 T T 0 vtdt 10 En faisant cela, nous nous rendons compte que la volatilité va coïncider avec la volatilité instantanée et nous pouvons ainsi évaluer le swap tout au long 4 Pour la relation entre un processus GARCH1,1 et un processus stochastique, nous nous sommes inspiré de Javaheri et al. 2002, qui avec Théoret et al. 2002 constituent les articles de base pour ce papier. 5
de sa durée de vie. Toutefois et pour des raisons de simplicité, nous n allons pas en tenir compte. La formule de Feynman-Kac nous permet d écrire t + 1 2 gv2 2 v 2 + fv v + v I = 0 11 Notons F v, I, T = E[I] et Gv, I, T = E[I 2 ]. La variance de I est donnée par vari = G F 2. Dans le cas d un processus GARCH1,1, nous pouvons utiliser la formule de Feynman-Kac pour trouver F, et nous pouvons écrire F t + 1 2 γ2 v 2 2 F + κθ v F v2 v + v F I = 0 12 En résolvant l équation 12, la solution pour F v, I, T est donnée par l équation 13 e κt t 1 F v, I, T = θ T t + + 1 1 e κt t v + I 13 κ κ Gv, I, T satisfait l équation 12 avec Gv, I, T = I 2 et nous obtenons Gv, I, T = ft + gtv + htv 2 + lti + ntvi + I 2 14 avec ft = θ 2 T t 2 4θ2 γ 2 κ κγ 2 2κ 4θ 2 κ 2 γ 2 κ 2 γ 2 2κ 2θ2 γ 2 + κ γ 2 κ gt = 2θ κ T t 4θγ2 κ κ 2 γ 2 2κ + T t + e κt t 1 κ 1 e γ2 2κT t 1 e κt t + κ γ 2 2κ κt t T t e + 1 κ κ 2 e κt t 1 4θκ γ 2 κ 2 γ 2 2κ 15 1 e κt t 16 e γ2 2κT t κt e t 1 + γ 2 2κ + 4θγ2 + κ t κγ 2 T te κt κ ht = 2 κγ 2 2κ 2 κγ 2 κ e γ2 2κT t 1 e γ2 2κT t κt e t 6 17
lt = 2θ T t + e κt t 1 κ 18 nt = 2 κ 1 e κt t 19 3.4 Application numérique Nous examinons ici un cas pratique où un trader voudrait évaluer la jambe fixe d un swap de volatilité ayant comme sous-jacent la volatilité de l indice TMP du marché interbancaire marocain. Nous avons travaillé sur une série de sept années de l indice TMP du 01 janvier 1996 jusqu au 31 décembre 2002. Nous n avons pris en considération que les cinq jours travaillés de la semaine 5, ce qui nous a fait un total de 1827 observations. Echantillon 1/01/1996-12/31/2002 Observations 1827 Moyenne -0.000432 Médiane 0.000000 Maximum 0.710000 Minimum -0.490000 Ecart Type 0.065045 Skewness 0.602065 Kurtosis 23.96675 Jarque-Bera 33575.28 Probabilité 0.000000 Tab. 1 Statistiques descriptives des rendements logarithmiques du TMP L examen de l histogramme de la figure Fig. 1 montre que la distribution des rendements logarithmiques de l indice TMP est très luptokurtique. La figure Fig. 2 montre une grande volatilité de la série des rendements logarithmiques de l indice TMP ce qui nous fait penser à un effet d hétéroscédasticité conditionnelle. Une analyse économétrique approfondie, qui ne fait pas l objet de cet article, prouve cette affirmation et suggère une régression du type GARCH1,1. Les résultats de la régression GARCH1,1 coefficients α = ARCH1, 1 et 5 Notons que le TMP des samedi, dimanche et des jours fériés est celui du dernier jour travaillé. 7
Fig. 1 Histogramme des rendements logarithmiques du TMP Fig. 2 Volatilité des rendements logarithmiques du TMP β = GARCH1, 1 ainsi que l ensemble des inputs dont nous avons besoin pour évaluer notre swap de volatilité apparaissent dans le tableau Tab. 2 I est égal à 0 à la date d émission du swap. En appliquant la solution analytique proposée par Javaheri et al. 2002 et que nous avons implémentée à l aide du code VBA au niveau d un pricer Excel, nous avons trouvé les résultats présentés dans le tableau Tab. 3 6. Le graphique Fig. 4 montre que l ajustement convexe du swap de volatilité décroît avec sa maturité, cela s explique par le fait que la volatilité de la volatilité sur une longue période est faible. 6 Ces estimations sont faites pour une maturité d une année. 8
Input Description Valeur α ARCH1,1 0.2542485836 β GARCH1,1 0.0003270370 ζ Kurtosis de Pearson 23.96675 c V 1 α β 0.0042271644 1 dt 261 0.003831 V θ dt 1.1032899320 1 α β κ dt 194.5557629877 ξ 1 γ α dt 19.4689443354 v Dernière variance observée 7.00% Tab. 2 Inputs pour l évaluation du swap de volatilité Output Valeur F v, I, t = E[I] 109.7978910077% ft 268.3439513859% gt 2.2390738715% ht 0.5070767742% lt 219.5238232115% nt 1.0279829131% Gv, I, t = E[I 2 ] 268.5031712331% vari = G F 2 147.9474025357% Ajustement convexe 16.0740886945% Prix non ajusté 104.7844888367% Prix ajusté 88.7104001422% Tab. 3 Résultat de l évaluation du swap de volatilité sur TMP Fig. 3 Prix non ajusté vs Prix ajusté du swap de volatilité sur TMP 9
Fig. 4 Ajustement convexe du swap de volatilité sur TMP 4 Conclusion Dans cet article, nous avons présenté un nouveau produit financier à savoir les swaps de volatilité. Nous avons utilisé, pour leur évaluation, la solution proposée par Javaheri et al. 2002. Nous avons appliqué cette solution sur des données du marché financier marocain par l exemple de l indice TMP du marché interbancaire. Les résultats obtenus sont vraisemblables, mais il faut que des praticiens du marché financier marocain puissent les tester afin d examiner leur étendue pratique. Les mêmes modèles utilisés dans cet article ont été testés sur des données américaines S&P 500 SPX et canadiennes S&P 60 Canada index. Les résultats étaient alors satisfaisants et rejoignent ceux trouvés par Javaheri et al. 2002 pour le marché américain et Théoret et al. 2002 pour le marché canadien. Toutefois, nous tenons à signaler la très forte luptokurticité de la distribution de l indice TMP sur la période prise en compte pour l estimation des paramètres du GARCH1,1 ξ = 23.96675 3. Un intérêt particulier a été accordé dans cet article aux techniques d estimation et d implémentation des modèles GARCH, dans ce sens nous avons essayé différents outils pour l estimation des paramètres tels que Excel, EViews et RATS. Remerciements Je tiens à remercier Said Akram Office des Changes, Rabat, Mouhamadou Bamba Diop UNIDEP, Dakar et Sanaa Sabbagh Groupe OCP, Casablanca d avoir bien voulus lire le manuscrit et me faire part de leurs com- 10
mentaires. Je remercie particulièrement Alireza Javaheri Royal Bank of Canada, RBC Capital Markets, NY pour l intéressant échange de courrier que j ai eu avec lui et pour l aide qu il m a apportée au niveau de l estimation des paramètres du GARCH, ce qui m a permis de revoir et de corriger mes premières estimations. Les opinions exprimées dans cet article sont de la responsabilité de l auteur et ne reflètent en rien celles de l organisme où il travaille. 11
Références [1] Javaheri, A., Wilmott, P et Haug, E. G. 2002, GARCH and volatility swaps, Wilmott technical article, Janvier. [2] Bisière, C. 1997, La structure par terme des taux d intérêt, Puf. [3] Brockhaus, O. et Long, D. 2000, Volatility swaps made simple, Risk Magazine, Janvier. [4] Carr, P. et Corso, A. 2001, Commodity Covariance Contracting, Energy and power Risk Management, Avril. [5] Carr, P. et Madan, D. 2002, Towards a theory of volatility trading, Document de travail, NYU Courant Mathematical Institute, Janvier. [6] Chazot, C. et Claude, P. 1999, Les Swaps Concepts et Applications, Economica. [7] Demeterifi, K., Derman, E., Kamal, M. et Zou, J. 1999, More than you ever wanted to know about volatility swaps, Document de travail, Goldman Sachs, Mars. [8] Gatheral, J. 2002, Volatility and variance Swaps, Case Studies in Financial Modelling Course Notes ; NYU Courant Institute of Mathematical Sciences, Automne. [9] Gouriéroux, C. 1997, Modèles hétéroscédastiques, Encyclopédie de Marchés Financiers, Yves Simon, éd. Economica. [10] Heston, S. L. et Nandi, S. 2000, Derivatives on Volatility : Some Simple Solutions Based on Obserables, Document de travail 2000-20, Federal Reserve Bank of Atlanta, Novembre. [11] Hull, J. C. 1997, Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall. [12] Mraoua, M. 2002, Mise en place d un pricer de swaps de taux court terme au Maroc, PFE, INSEA et BMCE Capital Markets, Juin. [13] Ritchken, P. et Trevor, R. 1997, Pricing options under Generalized GARCH and Stochastic Volatility Processes, CMBF, Macquaire University, Septembre. [14] Théoret, R., Zabré, L. et Rostan, P. 2002, Pricing Volatility Swaps : Empirical Testing with Canadian Data, Document de travail 17-2002, CRG, Juillet. [15] Howison, S., Rafailidis, A. et Rasmussen, H. 2003, On the pricing and hedging of volatility derivatives, Mathematical Institute, University of Oxford et Department of Mathematics, Kings College London. 12
Annexes A Une preuve rapide de l approximation de Brockhaus et Long Nous voulons approximer la fonction F x = x 1/2 qui a la forme prise par la volatilité. Le développement de Taylor de degré deux appliqué à la fonction F x au voisinage du point x 0 donne Et sachant que F x F x 0 + F x 0 x x 0 + 1 2 F x 0 x x 0 2 F x = 1 2x 1/2 F x = 1 4x 3/2 Nous obtenons alors par substitution F x x 1/2 0 + 1 x x 0 2 x 1/2 1 8 0 x + x 0 2x 1/2 0 x x 0 2 8x 3/2 0 x x 0 2 En remplaçant x par v et x 0 par E[v], nous obtenons v 1/2 v + E[v] v E[v]2 2E[v] 1/2 8E[v] 3/2 x 3/2 0 et en appliquant l opérateur espérance E[.] des deux côtés de la formule précédente, nous obtenons Soit finalement E[ E[v] + E[v] v] 2 E[v] E [ v E[v] 2] 8E[v] 3/2 E[ v] E[v] varv 8E[v] 3/2 qui est l approximation de Brockhaus et Long. 13
B Estimation du GARCH1,1 et implémentation sur un chiffrier Excel Dans cette annexe, nous décrivons très brièvement le modèle GARCH Generalized Conditional Autoregressive Heteroscedasticity qui a été implémenté au niveau d un chiffrier Excel pour estimer les inputs de notre swap de volatilité. Pour de plus amples explication, on peut voir par exemple Gouriéroux 1997. Nous avons avec γ + α + β = 1 σ 2 t = γv + ασ 2 t 1 + βu 2 t 1 Si nous posons ω = γv, le modèle GARCH1,1 devient avec V = Ou bien avec V = ω 1 α β ω 1 α β σ 2 t = ω + ασ 2 t 1 + βu 2 t 1 σ 2 t = 1 α βv + ασ 2 t 1 + βu 2 t 1 1, 1 dans GARCH1,1 indique que σ 2 t est basée sur les observations les plus récentes de U 2 et sur la plus récente estimation de σ 2. Pour l estimation des paramètres du GARCH1,1, nous utilisons la méthode du maximum de vraisemblance, et nous cherchons les paramètres α, β et ω qui maximisent les quantités ou bien n i=1 1 2πvi exp U 2 i 2v i n i=1 lnv i U i 2 v i La maximisation peut être obtenue avec un tableur Excel en ajoutant les contraintes suivantes sur la fonction-objectif, à savoir 0 < α < 1 0 < β < 1 α + β < 1 14