Problèmes liés à l utilisation d une calculatrice Qu est-ce qu un nombre pour une calculatrice? Les calculatrices gardent en mémoire les nombres sous forme d une mantisse composé de n chiffres et d un exposant qui précise l endroit où se trouve la virgule. En général n est compris entre 0 et 5 (par exemple sous la forme 3456789034E pour,3...). L erreur relative commise lors de l approximation est donc de l ordre de 0 n, suivant les calculatrices les méthodes d arrondies diffèrent. Notons c = l égalité pour la calculatrice, on a en général 0 n + c = 0 n, car 0 n s écrit en base 0 à l aide de n chiffres.. Déterminer le n de votre calculatrice en calculant 0 k + 0 k pour différentes valeurs de k. On note n c la valeur trouvée. On doit avoir 0 nc + 0 nc c = et 0 nc + 0 nc c = 0. Représenter à l écran entre 0 et 00 la fonction : f(x) = 0 nc+ + x 0 nc+ Le résultat vous semble-t-il prévisible? Essayez de voir comment la calculatrice effectue les arrondis? 3. Représenter à l écran entre 0 et 00 la fonction : f(x) = (0 nc+ + x) (0 nc+ + x), expliquez. Comment une calculatrice trace-t-elle une courbe? Soit On rentre l expression d une fonction f, on précise l intervalle [x min,x max ] où l on veut que f soit tracée, la calculatrice détermine n points (subdivision régulière) dans l intervalle, elle calcule les valeurs correspondantes de la fonction, lorsque c est possible, puis elle place les points à l écran et en général elle les relie par un trait. Le nombre n est en général le nombre de points horizontal de l écran de la calculatrice (souvent de l ordre de 50). f(x) = ln(x) ln(x). Représenter f dans la fenêtre [0; ] [ 0,;,], puis [0; 0,] [0.5,].. A la vue des dessins précédents, que peut-on conjecturer pour la limite de la fonction f en 0? 3. Déterminer la limite de f en 0. 4. En déterminant les premières valeurs calculées par la calculatrice, expliquer d ou vient ce problème : d ou vient le fait que le dessin de la calculatrice ne permet pas de conjecturer la limite? En particulier le problème vient-il d un manque de précision dans les calculs? (n c trop petit? ).
3 Attention aux valeurs approchées de valeurs approchées A est une valeur approchée de B à α près si A B α. A est une valeur approchée de B à α près par défaut si A B A + α. En général lorsque l on cherche une valeur approchée v d un nombre x à 0 n près, on essaie de trouver pour v un nombre décimal qui s écrit en base 0 avec n décimales, il existe toujours ou 3 réels qui ont cette propriété, mais ce ne sont pas les seules valeurs approchées de x.. Soit B une valeur approchée de A à 0 près, C une valeur approchée de B à 0 près. C est une valeur approchée de A à quelle précision?. Déterminer des valeurs approchées à 0 près des réels suivants : (.),3565 (.) -,3 (.3) A tel que,54 est une valeur approchée de A à 0 3 près. (.4) A tel que,5446586 est une valeur approchée de A à 0 près par défaut. (.5) A tel que,5446586 est une valeur approchée de A à 0 près. 3. Déterminer un A tel que,5446586 est une valeur approchée de A à 0 près mais pas,54. 4 Un phénomène fréquent, source de beaucoup d erreurs On veut déterminer une valeur approchées de S = sin k k. Montrer que pour n > : n k=. En déduire que k=n+ sin k k N k= sin n n n n sin k k à 0 3 près. On note S n = 3. Déterminer N tel que S N soit une valeur approchée de S à 0 près,peut-on calculer numériquement la valeur exacte de S N? Une valeur approchée de S N à 0 près est-elle une valeur approchée de S à 0 près? 4. Peut-on déduire de S N une valeur approchée de S à 0 près? 5. Déterminer une valeur approchée de S à 0 près. 5 Petites erreurs cumulées deviendront grande L erreur relative commise par la calculatrice à chaque étape est de l ordre de 0 nc mais si on réutilise cette valeur dans un nouveau calcul, l erreur peut être multipliée par un facteur énorme et ceci dépend alors du problème mathématique plus que de la calculatrice.. Soit E l espace vectoriel de dimension 3, des suites vérifiant pour tout entier n l égalité: u n+3 = u n+ + 4u n+ 4u n. (.) Déterminer une base B de E de la forme {(r n ) n,(r n ) n,(r3 n ) n } où les r i sont des réels à déterminer. (.) Pour une suite (u n ) n de (E) qui ne s annule pas, on pose v n = u n+ u n, étudier les limites possibles de la suite (v n ) n.
(.3) Déterminer les coordonnées dans la base B de l unique suite de E vérifiant u 0 = ; u u = 5 et lim n+ n u n = 3, on note dorénavant (u n ) n la suite ainsi définie, montrer qu elle ne s annule pas déterminer la limite de la suite (v n ) n ainsi définie? (.4) Montrer que la suite (v n ) n est définie par (P ) { n N vn+ = + 4vn 4 v nv n+ v 0 = 5 v = 3 5 (.5) A l aide de votre calculatrice calculer des valeurs approchée de v 50 et de v 50. Quelle limite la suite (v n ) n semble-t-elle avoir? (.6) Comparer le résultat précédent avec la limite de la suite (v n ) n. Expliquer le phénomène en revenant à la question (.). 6 Valeur approchée d une intégrale. Déterminer à l aide d un encadrement de la fonction f(t) = t t par deux fonctions en escalier une valeur approchée de I à 0 près avec : I = 3 f(t)dt. Rappeler rapidement à l aide d un dessin pourquoi la méthode d approximation de b g(t)dt a suivante est appelée méthode des trapèzes : T n (g) = b a n ( n g(a) + k= ) g(a + k b a n ) + g(b) 3. On rappelle que si g est une fonction de classe C on a l encadrement suivant : b g(t)dt T n (g) sup g (b a)3 (x) n a x [a;b] Donner une valeur approchée de I à 0 puis à 0 3 près. 3
Utilisation d une calculatrice, programmation On ne s intéresse pas ici aux erreurs d approximations dues à la calculatrice. 7 Quelques calculs élémentaires :. Rentrer la fonction f dans votre calculatrice et déterminer une valeur approchée de f() et f(3) à 0 3 près : f(x) = x x + +x /3. u n+ = cos u n et u = 0, déterminer une valeur approchée de u 50 à 0 4 près. 3. Même question pour la suite (v n ) définie par v 0 = et : v n+ = cos(v n ) + n 4. Déterminer une valeur approchée de 00 k= ln( + k) 5. On veut connaître l ordre de grandeur de 500!, mais cet entier dépasse les capacités de nos calculatrices, en utilisant le logarithme décimal, déterminer une valeur approchée de log 500!, puis déterminer un entier n tel que 0 n 500! < 0 n+. 8 Suite récurrente d ordre Soit la suite (u n ) définie par : u n+ =. Si la suite (u n ) converge quelle est sa limite?. Calculer une valeur approchée de u 00. u nu n u n + u n u 0 = u = 4 9 Valeur approchée de la solution d une équation Le but de cet exercice est de déterminer par différentes méthodes une valeur approchée des solutions de l équation (E) : x = 4 ln x. Préliminaire : Démontrer que (E) possède exactement deux solutions m et M avec m < M, on pourra pour cela étudier une fonction.. A l aide de dessins à l écran et de zooms successifs, déterminer des valeurs approchées de M à 0 3 près. 3. A l aide du solveur de votre calculatrice, déterminer des valeurs approchées de m et M à 0 8 près. 4. Par dichotomie : On écrira un petit programme qui prendra deux valeurs, construira deux suites une croissante, une décroissante et qui s arrêtera lorsque la différence entre les termes des deux suites sera inférieur à 0 3. On partira des points 5 et 0. 4
5. En utilisant une propriété de point fixe : on pose g(x) = 4 ln x (5.) En remarquant que g est croissante et en utilisant la calculatrice, montrer que g([5; 0]) [5; 0]. On note g la restriction de g à l intervalle [5; 0]. (5.) Montrer que g 4 <. 5 (5.3) Justifier l existence d une unique suite (u n ) telle que u 0 = 5 et n N u n+ = g(u n ), puis que u n M 5 ( 4 n. 5) (5.4) Montrer que (u n ) converge vers M. Déterminer n 0 tel que u n0 0. Déterminer une valeur approchée de M à 0 prs, expliquer pourquoi le calcul de u n0 ne permet pas de déterminer une valeur approchée de M à 0 près qui s écrive avec deux décimales, déterminer une telle valeur approchée en calculant u n0 +. (5.5) Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la même méthode pour le point m, pour une méthode du même genre, on pourrait considérer la fonction définie par g(x) = x λ (x 4 ln x) pour un λ bien choisi. 6. En utilisant la méthode de Newton : On remplace la courbe par sa tangente en un point (x 0,f(x 0 )) puis on détermine le point d intersection (x,0) de cette tangente avec l axe des abscisses, enfin on réitère le procédé en partant de (x,f(x )), on écrira l équation de la tangente en (x n,f(x n )), puis on écrira une relation de récurrence entre x n+ et x n. On partira du point 5, et on calculera le 6 eme point de la suite. 0 Approximation de π par la méthode d Archimède, accélération de convergence :. Montrer que le périmètre d un polygone régulier à m cotés inscrit dans le cercle unité est m sin π ). m. On note l n la longueur d un des cotés d un polygone régulier C n à n cotés inscrit dans le cercle unité. Montrer que pour tout n > on a : l n+ = 4 l n (P ) en déduire que l n+ = l n + 4 l n (P ) 3. Expliquer qualitativement pourquoi dans les calculs à la calculatrice la formule (P ) n est pas efficace. 4. On note v n le demi périmètre de C n. En utilisant la formule (P ), calculer une valeur approchée de l 0, puis de v 0. En comparant cette dernière valeur et la valeur approchée de π donnée par votre calculatrice, quelle est la précision de l approximation? 5. facultatif : Méthode d accélération de Richardson : (5.) Montrer que : v n = n sin π n (5.) En déduire que : v n π = π3 6.4 n + O( 6 n ) 5
(5.3) Dans cette partie (v n ) est une suite telle que v n l = λh n +O(h n ) avec 0 < h < h <. avec h connu mais ni l ni λ connu, montrer que la suite définie par w n = v n h v n h converge vers l plus vite que la suite (v n ), on comparera w n l à v n l au voisinage de l infini. (5.4) Appliquer ce qui précède à la suite (v n ) des demi périmètres. Comparer w 0 et π. Un test d arrêt classique On veut évaluer la limite d une suite (u n ) pour cela on décide de calculer les termes successifs jusqu à ce que u n+ u n < ɛ. Appliquer ceci avec la suite définie en (7.), avec ɛ = 0 5. Que donnerez cette méthode pour la suite u n = ln(ln n)? Un petit problème pour s amuser un peu Déterminer l unique 4-uplet (D,d,q,r), où r est le reste de la division de D par d, et q son quotient, D et d sont des nombres qui s écrivent avec trois chiffres dans leur écriture décimale, ils s écrivent avec les même chiffres mais dans l ordre inverse l un de l autre. D autre part q = r {,,3,4,5,6,7,8,9}. Une micro bibliographie L épreuve sur dossier à l oral du CAPES de Mathématique. Analyse T. Lambre Ellipse Beaucoup de points très intéressants dans ce très bon livre d un assez bon niveau. Mathématiques et calculatrices. Premiers cycles universitaires Y. Nouazé Ellipses Un livre d un intérêt limité. Fascicules édités par T.I. en particulier Calculs approchés, calculs exacts et arithmétique. D un niveau élémentaire, des choses intéressantes. Agrégation interne de Mathématiques. Mathématiques générales A. Tissier Bréal Sous forme d exercices corrigés des résultats sur les différentes méthodes numériques classiques. 6