5.1 Extraire une racine sans pelle

5.1 Extraire une racine sans pelle Lors de Show Math, les nombres sont souvent au centre des explications. Parfois, il faut une certaine habileté pour pouvoir les manipuler, car ce n est pas toujours facile. Cette activité fait un lien entre les habiletés opératoires et la géométrie, un peu à la manière des Grecs. Elle montre qu en changeant de modèle mathématique, on peut simplifier la résolution d un problème. C est en utilisant une technique comme celle-ci qu Andrew Wiles a prouvé le théorème de Fermat. Intentions de l activité Montrer des modèles de calcul d une racine carrée Montrer les liens entre les aspects numériques et géométriques liés à ce concept Apprendre comment estimer une racine carrée sans calculatrice Forme de la production attendue Répondre à des questions Émettre des conjectures Utiliser des méthodes de calculs inconnues Concepts utilisés Racine carrée Théorème relatif à la hauteur issue du sommet de l angle droit dans un triangle rectangle Théorème de Pythagore Inéquations Ressources matérielles Instruments habituels de géométrie Présentation 5.1 Extraire une racine sans pelle

Déroulement Préparation Réactiver les connaissances portant sur la racine carrée. On pourrait ne pas placer la première démonstration dans le texte et demander plutôt aux élèves de la faire. Lire les sections de l activité qui contiennent les explications sur les différentes méthodes de calcul. Réalisation Laisser les élèves travailler en petits groupes afin de trouver d autres méthodes et d effectuer les calculs. S assurer que les élèves s aident du dessin d un carré dans leur réflexion. S assurer que les élèves complètent correctement le tableau de l algorithme de calcul de la racine. S il est évident que personne n avance réellement, faire une intervention devant le groupe pour faciliter la compréhension. Cette activité d apprentissage peut servir à développer certains aspects de deux compétences. La deuxième (déployer un raisonnement mathématique) parce que les élèves auront à émettre des conjectures et la troisième (communiquer à l aide du langage mathématique) parce qu il y a beaucoup de décodage à faire. Intégration Pistes de différenciation Demander aux élèves plus performants de trouver une méthode de calcul pour la racine cubique. Les pister en leur indiquant que cette fois ils devront travailler avec un cube. Pour les élèves qui éprouvent des difficultés, on peut se limiter à seulement une partie de l activité ou utiliser plus de temps. Discuter avec les élèves afin de savoir s ils comprennent mieux ce qu est une racine carrée et comment la calculer. S assurer que les élèves sont capables de faire le lien entre les deux algorithmes de calcul de la racine carrée. Présentation 5.1 Extraire une racine sans pelle

Nom : 5.1 Extraire une racine sans pelle Tu peux facilement calculer la racine carrée de 4, mais si je te demande la valeur de la racine carrée de 729, pourrais-tu me répondre sans utiliser ta calculatrice? Viens apprendre une méthode de calcul de la racine carrée sans calculatrice. Tu verras, la racine carrée, c est beaucoup plus intuitif qu on le pense! Lors de Show Math, l animateur effectue des calculs sans difficulté. Par contre, les calculs ne se font pas toujours aussi facilement : par méconnaissance d un concept, on peut avoir de la difficulté à effectuer certaines opérations mathématiques. Vous êtes-vous déjà questionné à propos de la racine carrée d un nombre? Avez-vous toujours trouvé facile de manipuler une racine, de la représenter et de l estimer? Comme n importe quel nombre, la racine carrée d un nombre peut être représentée géométriquement. Par exemple, on peut représenter le nombre 1 à l aide d un segment de longueur 1 et le nombre 2 par un segment deux fois plus long que celui de longueur 1. Voici une méthode qui permet de représenter géométriquement la racine carrée d un nombre. On a d abord construit un segment AB de longueur x+1. On trace un cercle dont AB est le diamètre. Au point C, placé sur AB à une distance 1 du point A, on trace une perpendiculaire à AB. La perpendiculaire coupe le cercle en D. Le segment CD ainsi créé a une longueur de x. D x A 1 x C B Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle 1

Montrez que le segment CD a une mesure de x. Complètez d abord le triangle ADB. 1. D x A 1 x C B Autre méthode À partir du triangle ci-dessous, représentez successivement 3, 4, 5, etc. 2. Chacun des triangles a une cathète égale à 1. 1 1 2 Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle

Calculer la valeur d une racine De nos jours, il est très simple de calculer la racine carrée d un nombre avec une calculatrice. Que feriez-vous si votre calculatrice était brisée et que vous deviez connaître la valeur de la racine carrée de 1 024? Voici une méthode utilisée par les Mésopotamiens 1 qui vous permettra de résoudre ce problème. On vous demande de ne pas utiliser votre calculatrice pour réaliser cette activité! Il est important de remarquer que la racine carrée d un nombre est la mesure du côté d un carré dont l aire est égale à ce nombre. Ici, 1 024 est la longueur du côté du carré dont l aire est 1 024. Cherchons donc cette longueur. Aire = 1 024 1 024 1 re étape : Nombre de chiffres de la racine carrée Trouvons d abord combien de chiffres aura la racine carrée de 1 024. Pour ce faire, il faut coincer 1 024 entre deux carrés parfaits qui sont des multiples de 10. 10 0 1 10 2 100 10 4 10 000 La racine carrée d un nombre entre 1 et 100 a une partie entière de 1 chiffre La racine carrée d un nombre entre 100 et 10 000 a une partie entière de 2 chiffres La racine carrée d un nombre entre 10 000 et 1 000 000 a une partie entière de 3 chiffres 10 6 1 000 000 Etc. 1 «Extraction d une racine carrée dans un carré», HODGSON, B.R., Accromath, Volume 1, Été-Automne 2006, p.16. Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle 3

Puisque 1 024 est plus grand que 100, mais plus petit que 10 000, on sait que sa racine carrée a une partie entière de 2 chiffres. 10 000 > 1 024 > 100 100 > 1 024 > 10 On sait donc que le nombre qu on cherche est de la forme ab, où a est le chiffre à la position des dizaines et b, le chiffre à la position des unités. Si la racine carrée avait eu trois chiffres, alors elle aurait été de la forme abc. Combien de chiffres a la racine carrée de 20 164? 3. 2 e étape On commence par chercher le chiffre à la position des dizaines, a, tel que (a0) 2 < 1 024. (a0) 2 < 1 024 (10) 2 = 100 < 1 024 (20) 2 = 400 < 1 024 (30) 2 = 900 < 1 024 On conclut que a = 3. (40) 2 = 16 00 < 1 024 On vient de trouver le plus grand carré de la forme «a0» qui entre dans le carré dont l aire est 1 024, puisqu un carré dont le côté est 40 serait trop grand. 30 900 1 024 4 Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle

3 e étape (répéter cette étape jusqu à ce qu il n y ait plus de chiffres à trouver) Il reste à trouver le chiffre suivant en utilisant l aire de la zone en blanc. Comme le carré initial a une aire de 1 024 et que le carré en gris a une aire de 900, on sait que la zone en blanc a une aire de 1 024-900 = 124. 30 900 30b 1 024 b 30b b 2 La zone en blanc est formée d un petit carré dont l aire est b 2 et de deux rectangles dont l aire est 30b. Donc, 124 = b 2 + 2 30b 124 = b 2 + 60b On cherche la valeur de b. Si b = 1, Si b = 2, 1 2 + 60 1 = 61 < 124 2 2 + 60 2 = 124 = 124 On trouve que b = 2. Comme il ne reste plus de chiffres à trouver, on a terminé. On a trouvé que 1 024 = ab = 32. Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle 5

C est à votre tour! Utilisez la même méthode pour calculer la racine carrée de 55 225. Dessinez les carrés qui représentent les étapes du processus. 4. 6 Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle

Une seconde méthode Il n y a pas si longtemps, dans les écoles, on enseignait un algorithme permettant d extraire la racine carrée d un nombre. Voici un exemple de cette méthode. On cherche la racine carrée de 1 024. On construit un tableau comme suit et on place 1 024 dans la case en haut à gauche en regroupant les chiffres du nombre par deux à partir de la droite (729 s écrirait 7 29). 10 24 On commence par regarder le groupe de gauche, ici c est 10. Quel est le plus grand carré entrant dans 10? Le plus grand carré entrant dans 10 est 9 et sa racine carrée est 3. 1. On inscrit le produit de 3 par 3 et on fait la différence entre 10 et ce résultat. Cette étape ressemble beaucoup à l algorithme de la division. 10 24 32 9 3 3 1 2. On inscrit le 3 sur cette ligne. 3. On abaisse le second groupe de deux du nombre 1024. 10 24 32 9 3 3 6_ _ 124 4. On double la valeur du chiffre obtenu à la ligne précédente et on le met à la position des dizaines. À cette étape, on cherche quel chiffre peut être placé dans les cases pour que le produit 6_ _ soit le plus près de 124, sans le dépasser. Il est important que les deux espaces de l inégalité soient complétés par le même chiffre. On commence par 1, pour continuer avec les autres nombres en ordre. 124 61 1 = 61 124 62 2 = 124 On trouve que cette valeur est 2. 6. On inscrit le produit de 62 par 2 et on fait la différence entre 124 et 124. Comme la différence est 0, notre problème est terminé. 10 24 32 9 3 3 124 6_ _ 124 62 2 0 5. On inscrit le 2 sur cette ligne à côté du 3. La racine de 1 024 est 32. Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle 7

C est à votre tour! Utilisez cet algorithme pour calculer la valeur de la racine carrée de 4 489. Laissez les traces de toutes les étapes de votre démarche. 5. Il existe des liens entre les deux méthodes étudiées pour calculer la racine carrée d un nombre. Trouvez-les et discutez-en avec vos coéquipiers. 6. 8 Cahier de l élève 5.1 Extraire une racine sans pelle

5.1 Extraire une racine sans pelle Corrigé Montrez que le segment CD a une mesure de x. On complète d abord le triangle ADB. 1. (Page 2) Le triangle ADB est rectangle parce qu un angle inscrit dans un demi cercle est un angle droit. CD est la hauteur. mcd 2 = mac mcb = 1 x = x car dans un triangle, la hauteur issue du sommet de l angle droit est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu elle détermine sur l hypoténuse. Donc la mcd = x Autre méthode À partir du triangle ci-dessous, représentez successivement 3, 4, 5, etc. Chacun des triangles a une cathète égale à 1. 2. (Page 2) 1 1 1 1 Combien de chiffres a la racine carrée de 20 164? 3. 3 (Page 4) Corrigé 5.1 Extraire une racine sans pelle 1

C est à votre tour! Utilisez la même méthode pour calculer la racine carrée de 55 225. Dessinez les carrés qui représentent les étapes du processus. 4. (Page 6) 1 e étape La racine carrée a trois chiffres puisque 1 000 000 > 55 225 > 10 000 et 10 000 = 100 2 et 1 000 000 = 1 000 2. 1 000 000 > 55 225 > 10 000 1000 > 55 225 > 100 On sait donc que le nombre qu on cherche sera de la forme abc, où a est le chiffre à la position des centaines, b est le chiffre à la position des dizaines et c est le chiffre à la position des unités. 2 e étape On cherche d abord le chiffre à la position des centaines, a, tel que. (a00) 2 < 55 225 (100) 2 = 10 000 <55 225 (200) 2 = 40 000 <55 225 On trouve que a = 2. (300) 2 = 90 000 <55 225 Dans le carré, on a trouvé le plus grand carré de la forme a00 qui entre dans le carré dont l aire de 55 225. 200 40 000 55 225 2 Corrigé 5.1 Extraire une racine sans pelle

3 e étape (répéter cette étape jusqu à ce qu il n y ait plus de chiffres à trouver) Il reste à trouver le chiffre suivant en utilisant l aire de la zone en blanc. Comme le carré initial a une aire de 55 225 et que le carré en gris a une aire de 40 000, on sait que la zone en blanc a une aire de 55 225 40 000 = 15 225. 200 40 000 200b 55 225 b 200b b 2 La zone en blanc est formée d un petit carré dont l aire est b 2 et de deux rectangles dont l aire est 200b. Donc 15 225 = b 2 + 2 200b 15 225 = b 2 + 400b On cherche la valeur maximale que peut prendre b. Si b = 1, 10 2 + 400 10 = 4100 > 15 225 Si b = 2, 20 2 + 400 20 = 8 400 > 15 225 Si b = 3, 30 2 + 400 30 = 12 900 > 15 225 Si b = 4, 40 2 + 400 40 = 641 600 > 15 225 On trouve que b = 3. Corrigé 5.1 Extraire une racine sans pelle 3

3 e étape (répéter cette étape jusqu à ce qu il n y ait plus de chiffres à trouver) Il reste à trouver la valeur de la zone hachurée. Comme la zone en blanc a une aire de 12 900 et que le carré en gris a une aire de 40 000, on sait que la zone hachurée a une aire de 55 225 52 900 = 2 325. 200 40 000 6 000 55 225 30 c 6 000 900 La zone hachurée est formée d un petit carré dont l aire est c 2 et de deux rectangles dont l aire est 230b. Donc 2 335 = c 2 + 2 230b 2 325 = c 2 + 460b On cherche la valeur de c. Si c=1, 1 2 + 460 1 = 461 < 2 325 Si c =2, 2 2 + 460 2 = 924 < 2 325 Si c =3, 3 2 + 460 3 = 1389 < 2 325 Si c =4, 4 2 + 460 4 = 1856 < 2 325 Si c =5, 5 2 + 460 5 = 2 325 = 2 325 On trouve que c = 5. Comme il ne reste plus de chiffres à trouver, on a terminé. On a trouvé que 55 255 = abc = 235 4 Corrigé 5.1 Extraire une racine sans pelle

C est à votre tour! Utilisez cet algorithme pour calculer la valeur de la racine carrée de 4489. Laissez les traces de toutes les étapes de votre démarche. 5. (Page 8) Le plus grand carré entrant dans 44 est 36. Quelle est la plus grande valeur que l on peut mettre dans 12_x_ pour obtenir une valeur plus petite ou égale à 889? 44 89 67 36 6 6 889 12_ _ 889 127 7 0 4. On double la valeur du chiffre obtenu à la ligne précédente et on le met à la position des dizaines. La racine carrée de 4 489 est 67. Il existe des liens entre les deux méthodes étudiées pour calculer la racine carrée d un nombre. Trouvez-les et discutez-en avec vos coéquipiers. 6. Étapes de calcul de la racine d un nombre (Page 8) Trouver le nombre de chiffres de la racine carrée Trouver un premier chiffre de la racine carrée Trouver la valeur à combler Trouver un autre chiffre de la racine carrée Correspondance avec les méthodes présentées Méthode avec le carré Méthode enseignée dans les écoles Comparer la racine avec des carrés parfaits formés par des puissances de 10. Trouver le plus grand carré entrant dans le carré de côté égal à la racine carrée cherchée. Faire la différence entre l aire du carré original et celle du carré trouvé. Trouver le nombre qui complète le mieux l inégalité formée par la valeur restant à combler dans le carré. Séparer les chiffres du nombre en groupes de 2. S il y a 3 groupes, alors il y a 3 chiffres dans la racine. Trouver le plus grand carré entrant dans le groupe de 2 chiffres de gauche. Faire la différence entre le carré original et le carré trouvé. Trouver le chiffre qui complète le mieux l inégalité formée par le reste et le double du chiffre précédemment trouvé. Corrigé 5.1 Extraire une racine sans pelle 5