Variables aléatoires réelles

Chapitre 9 Variables aléatoires réelles Connaître les définitions, et savoir les utiliser, en particulier les notions de variables aléatoires, univers images, loi de probabilité, système complet d événements associé à une variable aléatoire, fonction de répartition, Connaître les lois usuelles, leur espérance et leur variance, La notion d espérance et le théorème de transfert, la notion de moment et de variance, L inégalité de Bienaymé-Tchebychev. $\ CC BY: I Introduction I. Variables aléatoires Une variable aléatoire modélise le gain d une expérience aléatoire, c est-à-dire qu à chaque résultat possible de l expérience aléatoire, on asssocie un nombre. Définition. Soit (Ω, P(Ω, p un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire réelle (VAR X une fonction définie sur l univers Ω et à valeurs dans R. L ensemble des valeurs possibles de X c est-à-dire l ensemble image X(Ω est appellé univers image de la variable aléatoire X. Lorsqu on a une variable aléatoire X, et B une partie de R, on peut calculer la probabilité X soit dans B. Par exemple, B peut être un intervalle, ou juste un singleton. On considère alors l événement : { } X (B w Ω X(w B Ω C est donc l événement «le gain X est dans l ensemble B». En général, on utilise la notation X B, pour désigner l événement X (B. De même, on notera les événements : X a, X a, etc qui désignent respectivement «le gain vaut a», «le gain est inférieur ou égal à a, etc. En particulier, on a p(x B, est la probabilité de l événement «le gain X est dans l ensemble B». De la même manière, on note p(x a, p(x > a, p(x B, p(a < X B. On gardera en tête qu on mesure des ensembles de Ω.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES Exemple: Soit l expérience aléatoire de lancer deux dés. L univers est alors Ω [[, 6]]. On considère la variable aléatoire X qui a un résultat associe la somme. { [[, 6]] R X : (i, j i + j L univers images est alors [[, ]], c est l ensemble des sommes possibles. On peut calculer les valeurs des événements X 7, X > 9 etc. en utilisant la probabilité uniforme sur Ω. Remarque: Lorsque l on manipule des variables aléatoires, il est important de se demander quel est l univers image X(Ω. Il arrive parfois que l on «ajoute» artificiellement des valeurs dans X(Ω qui sont de probabilités nulles de manière à avoir un univers image plus simple à exprimer (exemple d une loi hypergéométrique. I. Loi de probabilité d une variable aléatoire Définition. Soit X une variable aléatoire, on appelle loi de probabilité de X, l application { X(Ω [0, ] f X : x p(x x. Exemple: Toujours dans le cas de la somme de deux dés, on a : f X ( 36, car c est la pobabilité du couple (,, f X (3 36, car c est la probabilité des couples (, et (,, f X ( 3 36, car c est la probabilité des couples (, 3, (, et (3,.etc.. On représente souvent la loi sous forme d histogramme. 0.8 0.6 0. 0. 0.0 0.08 0.06 0.0 0.0 0.00 3 5 6 7 8 9 0 Figure 9. histogramme associé à une somme de deux dés

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3 I.3 Système complet associé à une variable aléatoire Soit X une variable aléatoire sur un univers fini Ω, alors X : Ω X(Ω (application surjective dans ce cas, donc on a card(ω card(x(ω. En particulier X(Ω est fini. Cette remarque permet de définir : Proposition. Soit une variable aléatoire X sur un univers fini Ω, on pose X(Ω {x,..., x n }. Alors les ensembles (X x k k...n sont un système complet d événements de Ω : Ω n (X x k Il s agit du système complet d événement associé à la variable aléatoire X. k Ce système complet est intéressant car il découpe l univers Ω en région où X est constante. En fait il découpe Ω selon la valeur de X. Démonstration. On a clairement (X x i (X x j, car une éventualité de (X x i (X x j vérifieraient à la fois X(w x i et X(w x j. D un autre côté, soit w un élément de Ω (i.e. une éventualité alors, X(w est l un des x k, en choisissant pour valeur de k celle telle X(w x k, on a bien x (X x k. En conséquence importante, on a : Proposition. Pour toute VAR, on a la relation : x X(Ω p(x x x n k p(x x k x n k f X (x k, ce qui signifie que la somme des hauteurs d un histogramme d une VAR fait. Démonstration. La démonstration est évidente en utilisant le système complet d événement associé à X : on a p(ω p(x x. x X(Ω Cette relation est particulièrement utile dans le cas où la loi de la VAR X dépend d un paramètre, l équation obtenue permet alors de déterminer le paramètre. I. Fonction de répartition Définition 3. Soit X une variable aléatoire sur Ω, on appelle fonction de répartition la fonction F X de R dans [0, ], définie par F X (x p(x x. Exemple: La somme de deux dés. Déjà il est clair que F X est croissante (au sens large, car : si x x, on a clairement que l événement X x est inclus dans X x donc F X (x F X (x. En fait, on montre qu elle est constante par morceaux avec des saut égaux à p(x x k au points x k.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES Proposition 3. Si on note de la même manière que précédemment : X(Ω {x,..., x n }, en ordonnant les x i par ordre croissant, i.e. x < x < < x n. On a alors : 0 si x < x i F X (x p(x x i si x [x i, x i+ [ k si x x n. Démonstration. En effet, si x < x il est clair que l événement X < x est impossible, de même, x x n, l événement X < x est certain. si x [x i, x i+ [, alors l événement X x, se découpe selon : p(x x ( i p (X x (X x k k k p(x x k. La démonstration montre l importance du SCE associé à X. En conséquence importante, on a : la loi de f X définit la fonction de répartition F X, la fonction de répartition F X définit la loi de f X. En effet, on a : f x (x P(X x F X (x, i [[, n]], f X (x i P(X x i F X (x i F X (x i. Ce qui permet de retrouver la fonction f X à partir de F X. Proposition. On a pour tout réel a, b, avec a < b, la propriété : p(a < X b F X (b F X (a. Démonstration. On a : Ainsi : F X (b p(a < X b + F X (a. (X b (a < X b (X a union disjointe. Remarque: Les fonctions de répartition sont particulièrement utile dans le cadre de loi du maximum : on calcule la fonction répartition, on en déduit la loi. Exemple: Maximum de deux dés. Remarque: Pour un minimum on utilise p(x k. Conséquence algorithmique : simulation d une VAR sur un ensemble fini. À écrire. Application Un joueur lance deux pièces non truquées, il gagne un euro par pile et perd deux euros par face. On note X le gain. Déterminer X(Ω, la loi de probabilité de X et la fonction de répartition F X.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 5 II Espérance, variance moment II. Espérance mathématique L espérance est une mesure de la «valeur moyenne» d une variable aléatoire, les valeurs sont pondérés par leur poids, i.e. leur probabilité. Définition. Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini Ω, on appelle espérance mathématiques de la v.a.r X, le nombre noté E(X, défini par : E(X x i p(x x i xp(x x. i x X(Ω où X(Ω (x i i...n. On dit que la var X est centrée si E(X 0. Note: Dans le cas (en deuxième année, où Ω n est pas fini, il faudra remplacer la somme par une intégrale, il faut vérifier que l intégrale converge, donc toutes les var n ont pas d espérance. Dans le cas de la première année, cette définition ne pose pas de difficultés : toutes les VAR considérées en première année admettent une espérance. On appelle cela espérance, car si X représente le gain, alors l espérance représente le gain moyen. On dit ainsi qu un jeu est équilibré si la variable aléatoire du gain est centrée. Exemple: Pour le lancer de deux dés, et la var X qui représente la somme des deux dés vérifie : E(X 36 +3 36 3 36 +5 36 +6 5 36 +7 6 36 +8 5 36 +9 36 +0 3 36 + 36 + 36 7. On peut aussi déterminer si un jeu est équitable. Exemple: Un joueur lance dés, si il sort 7, il touche 5 euros, sinon il perd un euro. La variable aléatoire associe alors à un couple (i, j la valeur 5 si i + j 5, et la valeur - sinon. on espérance est : E(X 5 6 36 30 36 0. Ainsi, le jeu est équilibré. Exemple: À la roulette, on gagne deux fois la mise si on choisit la bonne couleur, sachant qu il y a 8 rouges, 8 noirs et le vert (qu on ne peut pas choisir. L espérance est alors : E(X 8 37 37. Puisque la mise est perdu de toute manière. Ainsi, le jeu est perdant. Proposition 5. Soient X et Y des var, on a alors : Si X 0, c est-à-dire : ω Ω, X(ω 0, alors E(X 0. Si X a (même sens, alors E(X a. Si X Y (même sens, alors E(X E(Y. On peut généraliser aussi au cas où X Y, sauf pour {ω,..., ω n } Ω, avec i [[, n]], p(ω i 0. Application Démontrer ces relations

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 6 II. Théorème de transfert var composée Soit X une var et U une fonction de R dans R. Alors U(X u X est aussi une variable aléatoire } { } notée Y U(X. Si X(Ω {w,..., w n. Alors U(X (Ω U(w,..., U(w n, cet ensemble n est pas forcément de cardinal n puisqu il peut exister w i et w j tel que U(w i U(w j. Notons m son cardinal, et y,..., y m les m valeurs de l ensemble { } } Y (Ω U(w,..., U(w n {y,..., y m. Pour j [[, m]], on note I j l ensemble des indices i tels que U(w i y j : I j { i [[, n]] U(w i y j }. Cela revient à découper l ensemble des indices i [[, n]] en ensembles (I j sur lesquels U vaut y j. L événement (U(x y j est alors la réunion disjointe des événements (X w i pour i I j. Ainsi, on a : P(Y y j i I j P(X w i. Cela permet donc de calculer la loi de Y en connaissant celle de X et les ensembles I j. Exemple: Un joueur lance un Dé et gagne d euros, où d est la valeur de la face obtenue. On note X le gain. On a alors : X(Ω { 3,,..., }, et x X(Ω, p(x x 6. On note Y la somme d argent échangée, ainsi Y X. On a alors : Y (Ω [[0, 3]], et p(y 0 P(X 6, p(y P(X 5 + P(X 3 6, p(y P(X 6 + P(X 6, p(y 3 P(X 6. Espérance d une composée : théorème de transfert Proposition 6. Soit X une var, et U une fonction de R dans R. On a : E(U(X U(x i p(x x i i

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 7 Démonstration. Cette formule se démontre via la loi de Y que l on a déterminée plus haut. En effet, on a : E(U(X m y j p(y y j j m y j p(x x i j i I j m U(x i p(x x i j i I j U(x i p(x x i. i La dernière égalité provient du fait que les ( I j forment une partitition de [[, n]]. Ainsi, à partir de X et de U, on a construit une nouvelle var U(X de Ω dans R, par composition. On a exprimé l espérance composée de cette nouvelle var en fonction de l espérance de X et de U, ce qui est plus simple que de calculer la loi de Y avec ce qui précède. Un corollaire important est : Proposition 7. Si a et b sont réels, et Y ax + b on a dans ce cas : E(Y ae(x + b. En particulier on voit que pour toute var, X E(X est une variable aléatoire centrée. Note: au sens où Y ax + b signifie que Y une var définie sur Ω par Y (w ax(w + b. II.3 Moments et variance Moments Définition 5. Soit r N, et X une VAR, Le moment d ordre r de X, noté m r (X est l espérance mathématique de la var X r. D après le théorème de Transfert, il s agit donc, avec les notations habituelles de : m r (X x r i p(x x i x r p(x x E(X r. i x X(Ω On utilise aussi le moment centré d ordre r, noté µ r (X qui est l espérance mathématiques de la var (X E(X r : µ r (X (x i E(X r p(x x i (x E(X r p(x x E [ (X E(X r]. i x X(Ω Par définition, le moment d ordre est l espérance de la variable aléatoire. Variance Définition 6. Soit X une var sur un univers fini, avec X(Ω (x i i...n on appelle :

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 8 variance de la var X le réel noté V (X défini par : V (X [x i E(X] p(x x i E([X E(X] i Ce nombre est positif comme somme de nombres positifs. C est donc le moment centré d ordre. écart-type le nombre noté σ(x défini par : σ(x V (X L écart type et X ont même unité. Exemple: La variance mesure combien une var s éloigne de sa moyenne : en effet toutes les var prenant deux valeurs a et a et telles que p(x a 0.5 et p(x a 0.5, sont centrées, mais elles n ont pas le même comportement : plus a est grand, moins elles sont concentrées en 0. Ici on a : V (X a (0.5 + ( a (0.5 a. Proposition 8. Si a et b sont réels, alors : V (ax + b a V (X et σ(ax + b a σ(x. ( Démonstration. On a : E ax + b ae(x + b, par linéarité de l espérance. Puis : V (X ( (ax E + b E(aX + b ( (ax E ae(x ( (a(x E E(X E (a (X E(X a V (X On dit qu une var est réduite si sa variance vaut. La proposition précédente permet d introduire la définition : Définition 7. Si X est une var, on appelle variable centrée réduite la variable aléatoire : Y X E(X, σ(x cette var est de moyenne nulle (centrée, et a une variance de (elle est réduite. Cela permet de faire un changement de variable pour ramener E(X en 0 et la variance à. Voici un autre moyen de définir la variance, très utilisé en pratique : Proposition 9. La variance peut aussi être définie comme : Cette égalité est dite de Koenig-Huygens. V (X E(X E (X.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 9 Démonstration. On a en notant m E(X : V (X (x i m p(x x i i x i p(x x i m x i p(x x i +m n p(x x i i } {{ } i } {{ } i } {{ } E(X m E(X m E(X (E(X. Autre preuve, en utilisant le résultat (admis : E(λX + µy λe(x + µe(y, si X et Y sont des VAR. Voici la preuve de l égalité de Koenig-Huygens : V (X ( (X E E(X E (X E(XX + E(X Par linéarité de l espérance. E ( X E(XE(X + E(X E ( X E(X. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Proposition 0. Soient X une var sur un univers Ω fini, m sa moyenne, et σ son écart type. Alors pour tout nombre réel strictement positif A, on a : p( X m A σ A Prenons une var centrée réduite pour fixer les idées. Alors cette inégalité s écrit : p( X A A Ainsi, la probabilité de s éloigner de 0 (la moyenne de plus de A, décroît comme A. Dans le cas général, il faut prendre en compte la variance qui mesure de combien la var peut s éloigner de la moyenne : plus la variance est grande plus une var peut s éloigner de sa moyenne. Une autre manière de voir est de considérer l événement contraire, et de remplacer A par ǫ. Dans le cas général, on a p( X m < ǫ σ ǫ Ce qui signifie que X est proche de m à epsilon près avec une probabilité σ ǫ dire qu il y a plus d une chance sur que X m soit inférieur à σ. Par exemple, on peut Démonstration. Étant donné un réel A, on découpe l univers en deux ensembles ( X m A et son complémentaire. On rappelle que : p( X m A p(x x x X(Ω x m A

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 0 On a alors : σ V (X x X(Ω(x m p(x x. En découpant selon ces deux ensembles, on a : D où le résultat. σ V (X (x m p(x x A x X(Ω x X(Ω X m A x X(Ω x m A x X(Ω x m A A p( X m A. (x m p(x x + (x m p(x x }{{} A p(x x (x m p(x x x X(Ω x m <A }{{} 0 Généralement l ingalité de Bienyamé-Tchebichez est assez grossière, la majoration obtenue est trop forte, puisque qu on a négligé toutes les valeurs de X telle que X m < A. Exemple: Considérons un dé pipé, X la variable aléatoire réelle égale au numéro de la face qui vérifie : On a alors : p(x x 0 x 3 5 6 0 E(X 0 + 0 + 3 0 + 0 + 5 0 + 6 0 3, 7 E(X 0 + 0 + 3 0 + 0 + 5 0 + 6 0 5, 7 V (X E(X (E(X, 0. Estimons alors la probabilité d être éloigné de la moyenne de plus de. On a avec l inégalité de Bienyamé-Tchebichev :, 0 p ( X 3, 7. On a donc moins d une chance sur deux que la variable aléatoire X soit éloigné de sa moyenne de plus de. Calculons maintenant la valeur exacte de cette probabilité : 0 3 0 0 0 p ( X 3, 7 p (X 5, 7 + p (X 3, 7 p(x + p(x 6 0. On a en fait seulement chance sur 0 que X soit éloigné de sa moyenne de plus de.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES En fait l inégalité de Bienyamé-Tchebichev est très peu précise, mais elle a l avantage d être universelle : quelque soit la variable aléatoire, il suffit de connaître son écart-type et sa moyenne pour connaître la probabilité d une grande déviation à la moyenne. On n a pas besoin de la loi de X pour pouvoir utiliser l inégalité de Byenaimé-Tchebichev. Refaisons la démonstration dans ce cas pour comprendre où l inégalité est trop large : On a : V (X E ((X E(X 6 (i 3, 7 p(x i i (i 3, 7 p(x i, i {,6} ici on majore la somme sur X(Ω [[, 6]] par la somme sur les éléments loin de la moyenne, c est-à-dire ceux qui vérifient i 3, 7, dans le cas présent : {, 6}. Pour ces deux éléments, on a i 3.7 donc (i 3.7. Cela donne : V (X p(x i, i {,6} (p(x + p(x 6 p ( X 3, 7. On retrouve en effet ici la probabilité de l événement p ( X 3, 7, que l on a calculé avec sa loi. on obtient au final : p ( X 3, 7 V (X. III III. Loi usuelle Loi certaine La var la plus simple qu on puisse imaginer est celle qui est constante égale à a R. Définition 8. On dit qu une VAR X suit la loi certaine, si a R, tel que : w Ω, X(w a. Cette var X vérifie : 0 si x a p(x x si x a. On a E(x a, et V (X 0. Proposition. Si X est une var de variance nulle, alors p(x m. On dit que X est presque sûrement constante. Démonstration. En effet, V (X 0 x X(Ω (X m p(x x 0 }{{} 0 x X(Ω, (X m p(x x x X(Ω, X m ou P(X x 0.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES Ainsi p(x m. Autre démonstration : on a pour tout ǫ > 0, p( X m < ǫ. En faisant tendre ǫ vers 0, on voit que p(x m 0. III. Loi uniforme Définition 9. Soit un univers fini Ω et une var, telle que X(Ω {x,..., x n }, on dit que X suit la loi uniforme si P(X x i n. En posant E X(Ω {x,..., x n }, on note alors : X U(E. On a alors : E(X x i et V (X x i n n E (X. i i On voit ici le lien entre espérance et moyenne : si toutes les valeurs sont équiprobables, alors l espérance est la moyenne de ces valeurs. Souvent on rencontre le cas où X(Ω [[, n]], dans ce cas, on note X U([[, n]] E(X n +, V (X n Note: Attention à garder en tête que ces relations ne sont valables que si X(Ω [[, n]], et ne pas les appliquer si par exemple X(Ω [[0, n]]. Application Démontrer ces relations. On utilise les formules des k et k k vues au chapitre??. L exemple le plus simple est celui qui a un lancer de deux dés associe la valeur du premier lancer. Les 6 valeurs possibles sont équiprobables. k III.3 Loi de tirages avec remise Variable aléatoires de Bernoulli et schéma de Bernoulli Définition 0. On dit qu une var X est une var de Bernoulli si elle ne prend que deux valeurs : la valeur 0 (ou échec avec probabilité p, et la valeur (ou succès avec la probabilié q p. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. On a E(X p, et V (X pq. On écrit parfois X β(, p. L exemple simple est celui d un tirage de pièce truquée ou non, avec la var qui vaut si c est pile 0 sinon. Un autre type d exemple est celui de tirage de boule noire ou blanche ou l on note si blanche. Démonstration. On montre que E(X p, et V (X pq. On a : E(X 0 q + p p, et V (X E(X (E(X (0 q + p p p( p pq. Remarque: Les variables aléatoires de Bernoulli sont très utilisées malgré leur apparente simplicité. Par exemple, si on tire m jetons dans une urnes qui contient les jetons de [[, n]], on peut utiliser les variables aléatoires X i qui valent si on tire le jeton i. On écrit alors X i plutôt que J i ou i. L avantage est alors que :

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3 le nombre de jeton tiré m est alors X i, i la sommes des valeurs des jetons tirés est alors ix i, etc. i Ces variables simplifient alors les calculs. Définition. Lorsqu une épreuve aléatoire de type Bernouilli est est répétée n fois, dans des conditions identiques. on parle de schéma de Bernoulli de paramètres n (nombre d épreuve, et p (probabilité de succès. L univers associé à un schéma de Bernoulli est du type {0, } n, c est-à-dire une suite de longueur n constitué de 0 ou (ou de Pile/Face, ou de blanche/noire. Cet ensemble à n éléments. Loi binomiale On s intéresse souvent à la variable aléatoire S qui est le nombre de succés (ou de face, ou de boule blanche au bout de n tirages. Proposition. Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, si on appelle S la var «nombre de succès dans les n tirages», alors on a : S(Ω [[0, n]], avec p(s k C k np k ( p n k Démonstration. Pour k éléments de [[, n]], notés i, i,..., i k, L événements : «succés aux places i, i,..., i k échec ailleurs. est de probabilité p k ( p n k (produit des probabilités de chaque tirage par indépendance. L événement S k est constitué de C k n événements élémentaires de ce type. Ainsi, on a p(s k C k n pk ( p n k. Définition. On dit que la variable S suit le loi binomiale de paramètres n et p, si S(Ω [[0, n]], avec p(s k C k n pk ( p n k. On note S β(n, p. On a : E(S np et V (S npq. En conséquence si on lance une pièce 00 fois, en moyenne on a 50 faces. De même si on tire 0 fois avec remise dans une urne contenant une blanche et trois noires, en moyenne on obtient 5 boules blanches. Remarque: Pour utiliser les variables aléatoires qui suivent une loi binomiale, il faut : déterminer un schéma de Bernoulli répété n fois, ces répétitions se font dans des conditions identiques, avec une probabilité p de réussite, c est alors le nombre de succès X qui suit la loi binomiale. En particulier, on voit que la variable n a pas d indication temporelle : c est le nombre de succès peut importe à quel moment ils arrivent.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES Démonstration. E(S kp(x k k0 k k k np k kp(x k k kc k n pk ( p n k n! k k!(n k! pk ( p n k n! (k!(n k! pk ( p n k (n! n (k!((n (k! pk ( p n k k (n! (k!((n (k! p(k ( p (n (k n (n! np k!((n k! pk ( p (n k k0 np. Pour calculer la variance, on a besoin de calculer E(S k p(x k On va utiliser une technique k0 (à connaître, en remplaçant k par k(k + k. On a alors : E(S k p(x k k0 d après le calcul précédent. On calcule alors : (k(k p(x k + k0 kp(x k k0 (k(k p(x k + np k0 (k(k p(x k k0 (k(k p(x k k k k k n! k(k k!(n k! pk ( p n k n! (k!(n k! pk ( p n k (n! n(n (k!((n (k! pk ( p n k n(n p n k (n! (k!((n (k! p(k ( p (n (k n n(n p (n! k!((n k! pk ( p (n k n(n p k0

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 5 0.5 0.0 0.8 0.0 0.6 0. 0.5 0. 0.0 0.0 0.08 0.06 0.05 0.0 0.0 0.00 0 3 5 6 7 8 9 0 0.00 0 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 0.6 0.5 0. 0.3 0. 0. 0.0 0 3 5 Figure 9. Histogramme d une variable aléatoire binomiale, avec les paramètres : (p 0.5, n 0, (p 0.7, n 0, puis (p 0., n 5. Ainsi, on a E(S n(n p + np, puis V (S n(n p + np (np np np np( p npq L expérience aléatoire associé à la loi binomial est de répéter plusieurs fois indépendamment et dans les mêmes conditions une expérience ayant deux issues possibles : succès ou échec et de compter le nombre de succès. Exemple: on lance 50 fois un dé on compte le nombre de 6, on tire avec remise dans une urne contenant une proportion p de boules blanches, on compte le nombre de boules blanches obtenues, on lance 00 fois une pièce et on compte le nombre de pile. Graphiquement, la loi d une VAR ressemble à une cloche : le pic est en E(X, la cloche est plus ou moins large selon la variance. Voir les figures 9..

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 6 III. Loi hypergéométrique Ces lois correspondent à un tirage sans remise : on considère une urne contenant N boules, N p blanches, N q noires, avec p la proportion de boules blanches, et q p celles de boules noires. On a donc : Np N p et Nq N q. On effectue dans cette urne un tirage de n boules sans remise, la var X représente le nombre de blanches tirées. L ensemble Ω des tirages possibles est alors constitués des parties à n éléments parmi N. On a donc : ( N Ω, n puisque rien ne permet d affirmer qu un tirage est plus probable qu un autre, on munit Ω de la probabilité uniforme. Regardons ensuite l univers image. Déjà X(Ω [[0, n]], en effet on tire n boules donc il y a au plus n boules blanches. Plus précisément : le nombre de boules blanches tirés ne peut être supérieur au nombre de boules blanches présents dans l urne soit Np, ainsi X Np. le nombre de boules noirs (qui est n X ne peut être supérieur au nombre de boules noires présents dans l urne soit Nq, ainsi n X Nq, soit X n Nq, Toutes les autres valeurs sont possibles. On obtient ainsi X(Ω [[max(0, n Nq, min(n, Np]]. Soit maintenant k X(Ω, alors pour calculer la probabilité que X k, il faut compter le nombre de tirage qui vérifie X k et diviser par card(ω. Pour construire un tirage tel que X k, il faut choisir k blanches parmi les Np, et n k noires parmi les Nq. On a donc : P(X k ( Np ( Nq k n k ( N n En posant que ( Np k est nul si k > Np, dans l idée qu il n existe pas de partie à k éléments dans un ensemble plus petit, alors cette formule est encore vrai si k [[0, n]] \ X(Ω, puisque dans ce cas la probabilité est nulle. Définition 3. On dit qu une variable aléatoire suit une loi hypergéométrique de de paramètres N, n et p si X(Ω [[0, n]], et On note alors : X H(N, n, p. p(x k Ck pn Cn k qn CN n. Note: On retrouve le fait que si k / [[max(0, n Nq, min(n, Np]], alors P (X k 0. Même si l univers image n est pas précisé (par commodité, on a mis une probabilité nulle aux éléments en dehors de l univers image. Exemple: Dans un jeu de 3 cartes on tire une main de 5 cartes. Soit X le nombre d as dans la main. On a, pour k [[0, ]] : P(X k Ck C5 k 8 C3 5.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 7 La probabilité d avoir un carré d as est donc : P(X C C 8 C3 5. Formule de Vandermonde En écrivant que la somme des probabilités fait, on a : ( ( Np Nq P(X k k n k k0 k0 ( N n Formule dite de Vandermonde, qui s écrit aussi, en notant Np N et N Nq : ( ( ( N N N + N k n k n k0 Un autre moyen pour retrouver ce résultat est de considérer un ensemble Ω constitué de deux parties disjointes : une partie A de cardinal N, et une B de cardinal N. Pour construire, une partie à n éléments de Ω, il faut choisir le nombre k [[0, n]] d éléments que l on va prendre dans A, puis une partie à k éléments de A, puis une partie à n k éléments de B. Ainsi, le nombre de parties à n élément de Ω : ( N +N ( n est égal à la somme sur k de N k (choix des éléments de A, multiplié par ( N n k (choix des éléments de B. Approximation d une loi hypergéométrique par une loi binomiale Intuitivement, si la taille de l urne dans laquelle on tire est très grande alors peut importe que les tirages se fassent avec ou sans remise. C est ce que nous allons prouver ici, en faisant tendre N vers +, à n et p constant. Soit X H(N, n, p, alors : P(X k Ck pn Cn k qn CN n (Np! (Nq! n!(n n! k!(np k! (n k!(nq n + k! N! n! (Np! Nq! (N n! k!(n k! (Np k! (Nq n + k! N! Le premier terme est la partie binomiale, montrons que le produit des trois derniers est équivalent à p k ( p n k. De même : (Np! Np(Np (Np... (Np k + (Np k! N + (Npk Nq! Nq(Nq (Nq... (Nq n k + (Nq n + k! N + (Nqn k

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 8 Et : D où : (N n! N! N(N (N... (N n + N + N n P(X k N + n! k!(n k! pk ( p n k. Ainsi, X suit presque une loi binomiale ce qui confirme l intuition. En pratique, dès que N 0n, on considérera que l on peut approcher une loi hypergéométrique par une loi binomiale. Espérance et variance Proposition 3. On a : E(X np et V (X npq N n N. La variance d une loi hypergéométrique est hors programme, elle est donc donnée à titre indicatif. Démonstration. E(X kp(x k k0 k ( N n ( N n ( N n Np ( N n Np ( N n k ( Np ( Nq k n k ( N n ( Np k k k k k k n k0 kp(x k k ( Nq n k Np! (k!(np k! ( Nq n k (Np! Np (k!((np (k! ( ( Np Nq k (n (k ( ( Np Nq k (n k ( Nq n k On utilise alors la formule de Vandermonde : ( ( ( N N N + N k n k n k0

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 9 qui donne : E(X ( Np ( ( n Np Nq N k (n k n k0 ( Np ( Np + Nq N n n ( Np ( N N n n ( Np (N! N (n!(n (n! n ( p (N! N (n!(n (n! n ( np (N! N n!(n n! n ( np ( N N n n np. III.5 Récapitulatif des lois usuelles Variables Univers Loi Modèle Espérance Variance images Certaine {A} P (X a issue certaine a 0 U([[, n]] Uniforme [[, n]] P (X k n+ n n issues équiprobables, (* sur [[, n]] lancer de dé B(, p Bernoulli {0, } P (X p, Choix binaires, p pq P (X 0 q p succés ou échec B(n, p Binomial [[0, n]] P (X k ( n k p k q n k Nombre de succés np npq dans un schéma de Bernouilli, tirage avec remise [[0, n]] P (X k (Np k ( n k Nq ( N n np H(N, n, p Hypergéométrique Nombre de blanches dans un tirage de n boules parmi N sans remise npq N n N (* La variance d un loi hypergéométrique n est pas au programme, elle n est donné ici qu à titre indicatif. La variance d une loi uniforme n est pas non plus au programme. Néanmoins on la retrouve très facilement.

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 0 Feuille d exercices Variables aléatoires BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Exercice Un dé équilibré a une face, deux faces, deux faces «3» et une face. On lance une fois ce dé et on note X le nombre sorti. Déterminer la loi de X et sa fonction de répartition, donner une représentation graphique. Calculer l espérance E(X et la variance V (X. Exercice Une urne contient deux boules marquées, deux marquées et une marquée 3. On prélève simultanément deux boules au hasard et on appelle X la somme des numéros marqués sur les deux boules. Déterminer la loi de X, son espérance X et sa variance V (X. Exercice 3 Soient a N et X une variable uniforme sur [[0, a]]. On suppose que E(X 6. Trouver a. Exercice Soient a, b N, et X une variable uniforme à valeurs dans [[, ab]] telle que p(x a b. Quelle relation y a-t-il entre a et b? On suppose, de plus, que E(X 7 ; quelles sont les valeurs de a et b? Que vaut V (X? Exercice 5 Une urne contient N boules dont r sont blanches et les autres noires. On tire successivement et sans remise toutes les boules. Soit i [[, r]]. On note X i le rang de la i-ième boule blanche. Trouver la loi de X i. Exercice 6 Un joueur tire sur une cible de 0 cm de rayon, constituée de couronnes concentriques, délimitées par des cercles de rayons,,..., 0 cm, et numérotées respectivement de 0 à. La probabilité d atteindre la couronne k est proportionnelle à l aire de cette couronne, et on suppose que le joueur atteint sa cible à chaque lancer. Soit X la var, qui à chaque lancer associe le numéro de la cible.. Quelle est la loi de probabilité de X?. Calculer E(X. 3. La joueur gagne k euros s il atteint la couronne numérotée k pour k compris entre 6 et 0, tandis qu il perd euro s il atteint l une des couronnes périphériques numérotées de à 5. Le jeu est-il favorable au joueur? Exercice 7 On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, on note Y le maximum des deux chiffres obtenus et Z le minimum. Donner les lois de Y et Z. Calculer leur espérance et leur variance. Exercice 8 Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge. On effectue des tirages successifs d une boule dans l urne selon le protocole suivant : après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l urne et on rajoute dans l urne, avant le tirage suivant, une boule de la couleur qui vient d être tirée. Pour tout entier naturel non nul n, on note X n la var égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n premiers tirages. Déterminer la loi de X, puis de X, puis de X n. Exercice 9 Deux personnes lancent une pièce équilibrée n fois de suite. On note X et Y les var définies par le nombre de faces obtenues par chaque personne.. Quelles sont les lois de probabilité de X et de Y?

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. Calculer les probabilités des événements (X Y et X < Y. Exercice 0 Une particule se déplace par sauts successifs et indépendants sur un axe orienté. On suppose qu au départ cette particule se situe en O et que la probabilité pour que son abcisse augmente de est égale à p (avec 0 < p < et donc la probabilité que son abcisse diminue de est q p. On note X n l abcisse de la particule après n sauts successifs. On note D n le nombre de sauts vers la droite sur les n premiers.. Donner la loi de D n. Donner l espérance et la variance de D n.. Exprimer X n en fonction de D n, en déduire, suivant la parité de n, la valeur de X n. Calculer l espérance et la variance de X n. Exercice On considère n urnes numérotées de à n. La première contient des boules blanches et noires, avec une proportion p de boules blanches. Les urnes suivantes contiennent chacune a boules blanches et a boules noires. On effectue n tirages de la manière suivante : on tire une boule de la première urne que l on place dans la deuxième urne, puis on tire une boule de la deuxième urne que l on place dans la troisième urne, et ainsi de suite jusqu au tirage dans la dernière urne. Pour k n, on désigne par X k la var égale à si le k-ième tirage est une boule blanche, et 0 sinon.. Déterminer les lois de probabilité de X et X, puis leur espérance et leur variance en fonction de p et a.. Démontrer qu il existe une valeur de p, pour laquelle X et X suivent la même loi de probabilité. Pour k n, on pose : p k p(x k et q k p(x k 0. 3. Démontrer qu il existe une matrice M dépendant de a, telle que pour tout k de [[, n ]], on ait : ( pk+ q k+. Calculer M n pour tout n N. En déduire la loi de probabilité de X n et déterminer lim n + p n et lim n + q n. M ( pk q k

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES Feuille d exercices Variables aléatoires (suite, rappels de probabilités BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Exercice On dispose de deux urnes : A et B. Chacune contient 7 enveloppes. Dans l urne A les 7 enveloppes sont vides, dans l urne B, 6 enveloppes sont vides mais la dernière contient 0 euros. On choisit une urne (A ou B, puis on tire 7 enveloppes dans cette urne une à une. Les 6 premières sont vides. Quelle est la probabilité que la dernière contienne les 0 euros? Exercice Tirage sans remise On considère une urne de taille N >, contenant r boules blanches et N r boules noires (0 < r < N. Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise, jusqu à obtenir toutes les boules blanches. On note X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir toutes les boules blanches. Le but de l exercice est de déterminer la loi de X, ainsi que son espérance et sa variance.. (a Traiter le cas N et r. (b Traiter le cas N et r.. Dans le cas r, et N quelconque, reconnaître la loi de X, donner son espérance. Même question dans le cas r N. 3. On traite maintenant le cas général < r < N. (a Déterminer l ensemble des valeurs prises par X. (b Soit k l une de ces valeurs. i. Déterminer la probabilité pour qu au cours des k premiers tirages, soient apparues r boules blanches (trouver une loi usuelle. ii. Vérifier que (c En déduire les valeurs des sommes : N kr ( k, puis r P(X k N kr ( k r ( N r ( k, et r N kr ( k +. r + (d Après avoir vérifié que ( ( n n n p, p p montrer que E(X r(n+ r+. (e Calculer E(X(X + en déduire V (X. Exercice 3 On lance trois fois de suite un dé non pipé et on désigne par (a, b, c les résultats respectifs au premier, au second et au troisième lancer. On forme alors le polynôme P(X ax + bx + c. Quelle est la probabilité que P ait une racine double?

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3 De même, déterminer la probabilité que la famille ( (, a, (b, c soit libre. Exercice Un cavalier a n N haies à sauter numérotées de à n, il s arrête au premier saut non réussi. On suppose que s il se présente devant la k-ième haie, la probabilité pour qu il réussisse son saut est q k ]0, [. On note X le nombre de sauts réussis, ainsi X prend la valeur 0 s il échoue à la première haie.. Déterminer la loi de X.. On suppose que pour tout k [[, n]], on a q k q (i.e. q k est constant. Déterminer la loi de X en fonction de q et p q. 3. Pour t ]0, [, on pose G X (t n k0 t k p(x k. Justifier que E(X G X (. En déduire l espérance de X ainsi que lim n + E(X. Exercice 5 Montrer qu il n est pas possible de truquer deux dés de la même manière de sorte que la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenus en lançant ces deux dés soit une variable uniforme sur [[, ]]. Exercice 6 Problème des allumettes de Banach Un joueur dispose de deux boîtes d allumettes, qui contiennent initialement n N allumettes. L une des boîtes est notée P l autre F. Il dispose aussi d une pièce de monnaie équilibrée. Il répète l expérience : Lancer la pièce. Si il obtient pile il enlève une allumette de la boîte P, sinon de la boîte F. Il s arrête lorsqu il prend la dernière allumette de l une des boîtes. On note alors X le nombre d allumettes qui restent dans l autre boîte.. Déterminer l univers image de X?. Déterminer la loi de X. 3. On change l expérience et on suppose qu il s arrête non plus lorsqu il prend la dernière allumette d une boîte, mais au moment où il doit retirer une allumette d une boîte vide. Déterminer la loi de X dans ce cas. Exercice 7 On dispose d un dé et de 6 pièces. On lance le dé, on note D le nombre obtenu. On lance ensuite D pièces et on note X le nombre de faces obtenues. Donner la loi et l espérance de X. Exercice 8 On regarde quelques aspects des probabilités appliquées à la génétique. On s intéresse à une paire de gènes particuliers ne pouvant présenter chacun que deux caractères que l on note A et a. L ordre n intervenant pas, il y a donc trois paires de génotypes possibles, désignés par AA, Aa et aa. On suppose les sexes mâle et femelle équirépartis dans la population, les accouplements aléatoires, et les générations discrètes (meurent et naissent tous en même temps. Dans une filiation, chaque enfant reçoit un gène de chaque géniteur (père et mère avec équiprobabilité, pour constituer une paire, et les transmissions de gènes sont indépendants. On note u 0, v 0, et w 0 respectivement les proportions de génotype AA, Aa et aa dans la population initiale. On a alors u 0 + v 0 + w 0. On pose de plus :. (a Que représentent p 0 et q 0? p 0 u 0 + v 0, et q 0 v 0 + w 0

CHAPITRE 9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (b i. Vérifier qu à la première génération, les proportions des génotypes AA, Aa et aa sont respectivement : u p 0, v p 0 q 0, et w q0 ii. Déterminer plus généralement les proportions u n, v n et w n des génotypes AA, Aa et aa dans la n-ième génération. Vérifier que les suites u n, v n et w n sont constantes à partir du rang.. On fait désormais l hypothèse que les individus de type aa ne peuvent pas se reproduire. On suppose donc un accouplement aléatoire seulement parmi les individus AA ou Aa. On note toujours u 0, v 0 et w 0 respectivement les proportions de génotypes AA, Aa et aa dans la population initiale. On suppose de plus que w 0. (a i. Quelle est la proportion de parents possibles dans la population totale initiale? (b ii. Déterminer en fonction de u 0 et v 0 les proportions de génotypes AA et Aa parmi les parents. iii. On pose p 0 u 0 + v 0 w 0 et q 0 v 0 w 0. Montrer qu alors le proportions des trois génotypes dans la première génération sont encore données par les mêmes formules. iv. Peut-on avoir w? i. On désigne toujours par u n, v n et w n les proportions des génotypes AA, Aa et aa dans la n-ième génération, et on pose : p n u n + v n w n et q n v n w n. Calculer les probabilités u n+, v n+ et w n+ en fonction de p n et q n. ii. Montrer alors les relations de récurrence : n N, p n+ + q n et q n+ q n + q n iii. En déduire q n puis w n en fonction de n et de q 0. (On commencera par déterminer q n, quand il est défini. iv. Déterminer lim n + w n. Interpréter.

Chapitre 0 Couples et vecteurs de variables aléatoires réelles Les buts de ce chapitre sont : Comprendre le définitions de loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle, Le théorème de transfert pour les couples de VAR, Comprendre la notion d indépendance, Covariance et coefficient de corrélation linéaire, Généralisation aux vecteurs et familles de variables aléatoires. $\ CC BY: I Introduction I. Définition : Couples de variables aléatoires Définition. On appelle couple de variables aléatoires deux var X et Y définies sur le même univers Ω. On construit alors l application : { Ω R Z : ω Z(w (X(w, Y (w, qui est donc une application de Ω dans R. On note alors l univers image Z(Ω X(Ω Y (Ω, on a : [ ] [ ] (x, y Z(Ω, Z (x, y [X x] [Y y]. On voit donc qu une var est une fonction de Ω R, alors qu un couple de var est une fonction de Ω R. Comme dans le cas d une var l univers image est très important et on fera attention de bien le déterminer. Par contre, contrairement au cas d une var certaines valeurs de l univers image ne sont l image d aucun événements. Exemple: Par exemple, si on tire des jetons, dans une urne portant des numéros ou. on note X le plus petit et X le plus grand, on a alors Z (X, X est une var. L univers images est alors 5

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 6 Z(Ω [[, ]]. Néanmoins, le couple (, n est l image par Z d aucune éventualité. Au sens strict, il ne devrait pas faire partie de l univers image, et on poserait alors { } Z(Ω (X(w, Y (w w Ω X(Ω Y (Ω Ce n est pas un problème : puisque les événements qui ne sont pas l image d éventualité sont de probabilité nulle. On gardera donc cette convention d appeler univers image Z(Ω X(Ω Y (Ω. Dans ce chapitre, on notera X(Ω {x,..., x n } et Y (Ω {y,..., y m }. On a de même que pour les var : Proposition. Les n m événements d événements. ( Z (x i, y j i [,n], j [,m]] forment un système complet Démonstration. La preuve est simple : Deux événements de ce type sont forcément disjoints, puisque Z ne peut valoir (x i, y j et (x i, y j à la fois. D autre part, si ω est une éventualité, si on note x i tel que X(ω x i et y j tel que Y (ω y j, alors ω [Z (x i, y j ]. Ainsi ces événements sont disjoints et leur réunion fait Ω. Note: On voit ici l intérêt d utiliser des systèmes complets d événement et non des partitions : on peut avoir des parties qui sont vides. Exemple: Si on lance deux dés (discernables, on note X la valeur du premier Y la valeur du second. (X, Y est alors un couple de VAR. L univers image est alors [[, 6]]. Dans une urne contenant des boules blanches et noires, on tire une première boule. On note X la variable binaire égale à si la boule est blanche, 0 sinon. Puis on tire une deuxième boule et on note X la variable binaire égale à si la boule est blanche, 0 sinon. (X, X est alors un couple de VAR. L univers images est {0, }. on lance un dé, on note D le nombre obtenu, puis on lance D pièce, on note X le nombre de face obtenu. (D, X est alors un couple de VAR. L univers image est alors [[, 6]] [[0, 6]], mais certains couples sont impossibles comme (, 6. I. Loi de probabilité d un couple de variable aléatoire : loi conjointe Définition 5. La loi du couple (X, Y, ou loi conjointe l application : X(Ω Y (Ω [0, ] ( ( (x, y p [X x] [Y y] p [Z (x, y] On note : p ij p(x x i Y y i p(z (x i, y j, p i p(x x i et p j p(y y j. On représente parfois souvent ces nombres sous la forme d une matrice de taille n m, l élément (i, j étant p ij.

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 7 Proposition 5. On a : ( p [X x i ] [Y y j ]. (i,j [,n] [,m] Autrement dit, la somme sur des éléments de la matrice qui contient les p ij fait.* [ ] Démonstration. Conséquence directe du fait que les n m événements Z (x i, y j i [,n], j [,m]] forment un système complet d événements : (i,j [,n] [,m]] p([x x i ] [Y y j ] (i,j [,n]] [,m]] p([z (x i, y j ]. Exemple: Prenons l exemple d une urne contenant des boules numérotées de à, et on tire deux boules successivement avec remise on note X et X la valeur de la première et de la deuxième boule, on construit alors le couple de VAR Z (X, max(x, X. On a facilement le tableau : I.3 Lois marginales X X Y max(x, X 6 3 6 0 8 6 6 3 0 0 3 6 6 6 6 0 0 0 Définition 6. Soit Z (X, Y une couple de VAR, les VAR X et Y sont appelées marginale de Z. La loi de X est apellée première loi marginale du couple (X, Y, tandis que la loi de Y est la seconde loi marginale. Le mot marginale signifie donc composante pour les probabilités. Proposition 6. Soit (X, Y un couple de var, on a alors : m x X(Ω, p(x x p(x x Y y j, j y Y (Ω, p(y y p(x x i Y y. i m p(x x i Y y j. i j Cela signifie que : On obtient la loi de X en faisant pour chaque ligne la somme sur les colonnes. On obtient la loi de Y en faisant pour chaque colonne la somme sur les lignes.

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 8 m Avec les notations on a : p ij, donc la somme sur toutes les cases du tableau fait. i j Ce qui veut dire qu on peut retrouver les lois marginales à partir de la loi du couple : pour trouver la loi de X, on fait la somme sur les colonnes et pour la loi de Y, on fait la somme sur les lignes. Exemple: Toujours dans le même exemple, on obtient : X Y 6 3 loi de X 6 0 8 6 6 6 6 6 3 3 0 0 6 0 0 0 loi de Y 6 3 6 5 6 7 6 Attention, le contraire n est par vrai : connaissant la loi des marginales, on ne peut pas déterminer la loi du couple. Exemple: Soit une urne contenant trois blanches et quatre rouges. On tire successivement dans l urne, et on considère les VAR X et X égale à si la boule est rouge, 0 sinon. On construit le couple de VAR (X, X. Dans le cas avec remise, on obtient facilement : Dans le cas sans remise, on a : X X 0 loi de X 0 6 9 9 loi de X 7 9 9 7 3 9 7 3 7 X X 0 loi de X 0 7 7 loi de X 7 7 7 3 7 7 3 7 Dans les deux cas, la loi de X et la loi de Y est la même, mais la loi du couple est différente. I. Loi conditionnelle De la même manière que la connaissance d une réalisation d un événement change la probabilité des autres événements, savoir qu une variable aléatoire vaut une certaine valeur donne de l information sur l autre variable.

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 9 Définition 7. Soit (X, Y un couple de var on appelle loi conditionnelle de X sachant Y y j, l application définie par : X(Ω [0, ] x i p ( X x i p ( Z (x i, y j Y y j p ( Y y j p ij p j. De la même manière, on appelle, loi conditionnelle de Y sachant X x i, l application définie par : Y (Ω [0, ] y i p ( Y y j p ( Z (x i, y j X x i p ( p ij. X x i p i Toujours dans l exemple soit une urne contenant trois blanches et quatre rouges. On tire successivement et sans remise dans l urne, et on considère les VAR X et X égale à si la boule est rouge, 0 sinon. On a : X X 0 loi de X 0 7 7 loi de X 7 7 7 3 7 7 3 7 Ainsi, on a les loi conditionnelles : Sachant X 0, Sachant X, Sachant X 0, Sachant X, x 0 p (X 0(X x x 0 p (X (X x 3 3 x 0 p (X 0(X x x 0 p (X (X x 3 3 II II. Théorème de transfert Loi d une composée Étant donné un couple de VAR (X, Y, et U une fonction U : R R, on peut définir une VAR par U(X, Y U (X, Y. Proposition 7. Pour calculer la loi de U(X, Y, il faut, pour chacun des éléments z U(X, Y (Ω, construire l ensemble I z {(i, j U(x i, y j z}.

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 30 On a alors : ( z U(X, Y (Ω, p U(X, Y z ( p (X x i (Y y j. (i,j I z Comme dans le cas d une var, les ensembles (I z z U(X,Y (Ω forment une partition de [[, n]] [[, m]]. Démonstration. L événement U(X, Y z est la réunion disjointe des événements (X x i (Y y j, d où le premier résultat. Si (i, j [[, n]] [[, m]], on pose z U(x i, y j, et (i, j I z. De plus les (I z sont disjoints. Cette preuve est donc identique au cas d une seul var. Exemple: Deux variables aléatoires uniforme, la somme. II. Théorème de transfert Il est donc difficile de calculer la loi d une composée à partir de la loi du couple. Néanmoins, il est facile de calculer l espérance de la composée à partir de la loi du couple : il suffit de pondérer les valeurs possibles de U(X, Y par leur probabilité. Proposition 8. Soit (X, Y un couple de VAR, et U une fonction R R, alors on peut définir l espérance de U(X, Y. On a alors : Démonstration. ( E U(X, Y E(U(X, Y m i j ( U(x i, y j p [X x i ] [Y y j ] (x,y X(Ω Y (Ω z U(X,Y (Ω z U(X,Y (Ω z U(X,Y (Ω (i,j [,n]] ( U(x, yp [X x] [Y y] ( zp U(X, Y z z I z p ( (X x i (Y y j I z p ( (X x i (Y y j U(x i, y i p ( (X x i (Y y j U(x i, y i Ici aussi, cette preuve est donc identique au cas d une seul var. Exemple: Somme de deux variables aléatoires uniforme.

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3 II.3 Cas particulier d une combinaison linéaire de var Proposition 9. Soit (X, Y deux var, λ et µ deux réels quelconques, alors on a : E(λX + µy λe(x + µe(y On a déjà utilisé cette propriété dans la démonstration (page 9 de l égalité de Koenig-Huygens. Démonstration. E(λX + µy λ (x,y X(Ω Y (Ω (x,y X(Ω Y (Ω (λx + µyp(x x Y y xp(x x Y y + µ Puis si on regarde le premier terme, on voit : xp(x x Y y (x,y X(Ω Y (Ω De même pour le second terme, d où : x X(Ω y Y (Ω x X(Ω x X(Ω E(X x (x,y X(Ω Y (Ω y Y (Ω xp(x x E(λX + µy λe(x + µe(y. xp(x x Y y p(x x Y y yp(x x Y y On dit que l espérance est linéaire. Application On tire deux jetons avec remise dans une urne contenant des jetons numérotés de à n, déterminer la moyenne de la somme des deux nombres obtenus. III III. Indépendance de variables aléatoires Définition Maintenant qu on a définit la loi conditionnelle, on définit la notion d indépendance : deux variables aléatoires sont indépendantes lorsque la connaissance de la valeur de l une ne donne aucune information sur la valeur de l autre. Définition 8. Soit X, Y deux var, on dit que X et Y sont indépendantes si : ( i [[, n]], j [[, m]], p (X x i (Y y j p(x x i p(y y j. Remarquons que dans ce cas : i [[, n]], p (Y yj (X x i p(x x i. Note: (Y Y j. Cela signifie que (i, j [[, n]] [[, m]], l événement (X x i est indépendant de l événement

CHAPITRE 0. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3 III. Propriétés Espérance du produit de variable aléatoires indépendantes Proposition 0. Si les var X et Y sont indépendantes, on a : E(XY E(XE(Y Démonstration. E(XY xyp((x x (Y y (x,y X(Ω Y (Ω (x,y X(Ω Y (Ω xp(x x x X(Ω y Y (Ω E(XE(Y. xyp(x xp(y y yp(y y Il sert souvent à démontrer que deux variables X et Y ne sont pas indépendantes. Attention, on peut avoir E(XY E(XE(Y sans que les var soient indépendantes (voir la partie sur la covariance et l exercice de td. Exemple: Si on tire une boule dans une urne contenant autant de noires que de blanches, on note X la var égale à si la boule est blanche et 0 sinon et Y X, alors E(X E(Y, tandis que E(XY 0. Les var X et Y ne sont pas indépendantes, ce dont on pouvait se douter. Indépendance de fonctions de var indépendantes Proposition. Soient (X, Y deux var indépendantes, et f et g deux fonctions de R dans R (ou plus généralement de X(Ω (respectivement Y (Ω dans R. Alors on a (f(x, g(y sont des var indépendantes. Démonstration. Admis (conformément au programme. Néanmoins une démonstration est simple : on constate facilement que si A et B sont des parties de R et (X, Y des vars indépendantes, on a p ( (X A (Y B p ( X A p ( Y B. Pour cela, il suffit de découper la partie A B en événements élémentaires (x i, y j. Puis : p ( (f(x, g(y (z, z p ( X f (z Y g (z p ( X f (z p ( Y g (z p ( f(x z p ( g(y z Exemple: Si (X, Y sont indépendantes, alors (X, Y aussi, de même pour (sin(x, cos(y etc.