Généralités sur les suites

1 Chapitre 3 Généralités sur les suites I. Définition, mode de génération d'une suite et représentation graphique : 1) Définition : Une suite est une fonction définie de IN ou d'une partie de IN dans IR. u : IN IR n u(n) Le nombre u(n) sera noté u n par commodité. Une suite est notée u ou (u n ) n IN. Un terme de la suite est noté u n ( sans parenthèse ). Le premier terme d'une suite est en général u 0 ou u 1. Les termes u n et u n+1 sont deux termes consécutifs. ) Mode de génération d'une suite : Une suite peut être définie de deux manières différentes : * soit par une expression donnant le terme u n en fonction de n ( forme explicite ) exemple : u n = n + 1 on a alors une relation de la forme u n = f(n). on peut, grâce à cette formule, calculer facilement n'importe quel terme. u 1 = 1 + 1 = 3 ; u 5 = 5 + 1 = 99. * soit par son premier terme ( ou un autre ) et une relation entre des termes de la suite exemple : u 1 = 1 et u n+1 = 1 u n Une relation du type u n+1 = f (u n ) est une relation de récurrence. On dit alors que la suite est définie par récurrence. On peut alors calculer n'importe quel terme de la suite u = 1 u 1 = 1 ; u 5 = 1 u 4 il faudra connaître les 4 premiers termes pour pouvoir calculer le 5 è avec la relation de récurrence.

3) Représentation graphique d'une suite : a) Suites définies de manière explicite : Soit f une fonction définie sur [ 0 ; + [ et ( u n ) n IN la suite définie par u n = f(n). Représenter graphiquement la suite (u n ), sur la droite réelle, c'est placer les points d'abscisses u n ou f(n) dans le plan c'est placer les points de coordonnées ( n ; f(n) ). Exemple : Représenter la suite définie par u n = 3n² 5n +7 pour n 0, sur la droite réelle puis dans le plan. b) Suites définies par récurrence : Soit ( u n ) n IN une suite définie par récurrence c'est-à-dire que u n+1 = g( u n ) On utilise souvent une autre manière de les représenter. On va placer sur l'axe des abscisses,dans le plan, les termes de la suite,sans les calculer. Méthode : On trace dans un repère orthonormé, la droite d'équation y = x et la courbe représentative (C ) de la fonction g. On place M 0 ( u 0 ; 0 ) sur l'axe des abscisses. On place A 0 le point de (C ) d'abscisse u 0. Sachant que u 1 = g(u 0 ), u 1 est l'ordonnée de A 0. On place sur le point B 0 d'ordonnée u 1 ( B 0 et A 0 ont la même ordonnée ) Sachant que B 0 est sur, l'abscisse de B 0 est u 1 ( car y = x sur ) On place donc pour finir M 1 ( u 1 ; 0 ) sur l'axe des abscisses. On recommence le procédé pour trouver M ( u ; 0 ) Exemple : Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses la suite ( u n ) n IN définie par u n+1 = u n + 1 et u 0 = 0,8 puis la suite ( v n ) n IN définie par v n+1 = v n + 1 et v 0 = 4. u 0 u 1 u u 3 u 4 v 3 v v 1 v 0

3 II. Comportement global, sens de variation d'une suite : 1) Définitions : On dira qu'une suite ( u n ) n IN est croissante ( respectivement strictement croissante) si, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n ( respectivement u n+1 > u n ). On dira qu'une suite ( u n ) n IN est décroissante si, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n. On dira qu'une suite ( u n ) n IN est ( strictement ) monotone si elle est ( strictement ) croissante ou ( strictement ) décroissante. Remarque : u n+1 u n u n+1 u n 0 et u n+1 u n u n+1 u n 0 ) Sens de variation d'une suite : Pour étudier le sens de variation d'une suite ( u n ) n IN il suffira d'étudier le signe de la différence u n+1 u n. Si cette différence est positive, la suite ( u n ) n IN sera croissante. Si cette différence est négative, la suite ( u n ) n IN sera décroissante. III. Suites minorées,majorées,bornées: On dira qu'une suite ( u n ) n IN est majorée par un réel M si, quelque soit l'entier naturel n, on a u n M On dira qu'une suite ( u n ) n IN est minorée par un réel M si, quelque soit l'entier naturel n, on a u n M On dira qu'une suite ( u n ) n IN est bornée si elle est majorée et minorée.

4 IV. Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques : 1) Suites arithmétiques : a) Définition: ( u n ) définie par : u 0 terme initial u n + 1 = u n + r, pour tout n entier naturel raison terme de rang n+1 terme de rang n b) Sens de variation: u n+1 u n = r donc une constante. Si la raison d'une suite arithmétique est positive, la suite sera croissante. Si la raison d'une suite arithmétique est négative, la suite sera décroissante. c) Expression de u n en fonction de n : Soit ( u n ) une suite arithmétique définie par son terme initial u 0 et sa raison r. On a alors : u n = u 0 + n r n IN ou u n = u p + ( n p ) r pour p et n entiers naturels d) Représentation graphique : Dans la représentation graphique d'une suite arithmétique, les points sont alignés. On a u n = u 0 + n r donc la fonction f associée est définie par f(x) = u 0 + x r = r x + u 0. Une telle fonction est bien une fonction affine représentée par la droite d'équation y = r x + u 0. Cette droite a pour coefficient directeur r et pour ordonnée à l'origine u 0. e) Somme des n premiers entiers. S = 1 + + 3 + +( n ) + ( n 1) + n S = n + (n 1) + ( n ) + + 3 + + 1 S = n ( n+1) donc S = 1 + + 3 + + n = n ( n+1 ) f) Somme de ( n+1) termes consécutifs d'une suite arithmétique. Si ( u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r pour n un entier naturel non nul, on a : u 0 + u 1 + u + u 3 +..+ u n = ( n + 1 ) u 0 + u n S n = ( nombre de terme de la somme ) premier terme + dernier terme

5 ) Suites géométriques : a) Définition: ( u n ) définie par : u 0 terme initial u n + 1 = u n q, pour tout n entier naturel raison terme de rang n+1 terme de rang n b) Sens de variation: Si la raison q est négative, la suite ( u n ) n IN ne sera ni croissante, ni décroissante. Si la raison q est positive, et si le premier terme est positif, alors si q >1 la suite est croissante et si 0 < q < 1 la suite est décroissante. Si la raison q est positive, et si le premier terme est négatif, alors si q >1 la suite est décroissante et si 0 < q < 1 la suite est croissante. c) Expression de u n en fonction de n : Soit ( u n ) une suite géométrique définie par son terme initial u 0 et sa raison q. On a alors : u n = u 0 q n n IN ou u n = u p q ( n p ) pour p et n entiers naturels d) Représentation graphique : Les points ne seront pas alignés. Exemples : u n = 1,3 n et v n = 0,8 n. y 4 y 3 1 1 x 0 1 3 4 5 6 7 x 0 1 3 4 5 6 7 e) Somme des ( n + 1) premières puissances d un nombre réel q non nul. S = 1 + q 1 + q + q 3 +..+ q n qs = q 1 + q + q 3 +..+ q n + q n+1 S qs = 1 q n+1 donc ( 1 q ) S = 1 q n+1 donc S = 1 qn+1 1 q pour q 1, on a : 1 + q 1 + q + q 3 +..+ q n = (1 - q n + 1 ) ( 1 - q ) pour q = 1 on a 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 = n + 1 si q 1 f) Somme de n+1 termes consécutifs d'une suite géométrique. Si ( u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q différente de 1 pour n un entier naturel non nul, on a : S n = u 0 + u 1 + u + u 3 +..+ u n = u 0 1 qn + 1 1 q = u 0 u n+1 1 q = u 0 u n q 1 q On retiendra : S n = ( premier terme de la somme ) S n = nombre de termes 1 (raison) 1 raison premier terme de la somme dernier terme de la somme raison 1 raison