«L art de prendre la valeur des Angles est une opération d un grand usage & d une grande étendue dans l Arpentage, la Navigation, la Géographie, l Astronomie, &c.» L Encyclopédie, art. Angle 1751 Enseigner les angles en 6 Arpentage et navigation 1
Problématique Les programmes : des savoir faire et capacités sans liens Comment les agencer pour en faire un enseignement porteur de sens? 2
Enseigner les angles I. Sources de réflexion II. Mise en œuvre 3
I. Sources de réflexion I.1. Qu est-ce qu un angle? I.2. Pourquoi des angles? I.3. Comment construire le chapitre? 4
I.1. Qu est-ce qu un angle? «ANGLE, s. m. (Géom.) c est l ouverture que forment deux lignes ou deux plans, ou trois plans qui se rencontrent : tel est l'angle BAC, tab. de Géom. fig. 91, formé par les lignes AB, AC, qui se rencontrent au point A. Les lignes AB, AC, sont appellées les jambes ou les côtés de l angle ; & le point d intersection A en est le sommet. Les angles se marquent quelquefois par une seule lettre, comme A, que l on met au sommet ou point angulaire, & quelquefois par trois lettres, dont celle du milieu marque la pointe ou sommet de l angle, comme BAC. La mesure d un angle, par laquelle on exprime sa quantité, est un arc tel que DE, décrit du sommet A entre les côtés AC, AB, avec un rayon pris à volonté. Voyez ARC & MESURE. D où il s ensuit que les angles se distinguent par le rapport de leurs arcs à la circonférence du cercle entier. Voyez CERCLE & CIRCONFERENCE. Ainsi l on dit qu un angle est d autant de degrés qu en contient l arc DE, qui le mesure. Voyez DEGRE. / /» Encyclopédie, 1751, p. 461-464 T TO 5
I.2. Pourquoi des angles? A. A. Arpentage Les Elemens de Geometrie de CLAIRAUT (1753) XXVII Si on ne pouvoit mesurer que deux des trois côtés du triangle ABC (FIG. 3.), les deux côtés AB, BC, par exemple ; il est clair qu avec cela seul, on ne pourroit pas déterminer un second triangle égal & semblable à ABC. Car quoiqu on eût pris DE, égal à BC, & DF égal à BA on ne sçauroit quelle position donner à celle-ci, relativement à l autre. Pour lever cette difficulté, la ressource qui se présente est simple : on fait pancher DF, de la même maniere sur DE, que AB panche sur BC ; ou, pour s exprimer comme les Géomètres, on donne à l angle FDE la même ouverture qu à l angle ABC. (FIG. 3. & 4) (L orthographe de l époque a été conservée) T Pl.III Pl.V 6
I.2. Pourquoi des angles? B. B. Navigation Rose des vents et navigation Carte marine de 1559 7
Comment construire le chapitre Regard sur des manuels anciens Nathan, (Plessier & Morlet, 1965) Chapitre 3. Angles, cercles et arcs de cercles. I. Plan. Demi-plan. Angles. II. Égalité et addition des angles. Multiples et sous multiples. III. Cercles et arcs de cercles. Chapitre 4. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. I. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. II. Calculs sur le nombre mesurant angles et arcs de cercle. III. Longueur d un arc de cercle. Longueur du cercle. Hachette, (Cahen, 1958) Chapitre 2. Angles. I. Notion d angle. II. Opérations sur les angles. III. Mesure des angles. IV. Opérations sur les mesures d angles en degrés. 8
II. Mise en œuvre Le chapitre sur les angles : un parcours en 3 moments 9
Un parcours en 3 moments 1) Comparer des angles 2) Partager des angles 3) Mesurer des angles 10
Introduction : les 3 questions 1) Quand parle-t-on d'angle? 2) Quand utilise-t-on des angles? 3) Qu'a-t-on besoin de savoir faire avec les angles? 11
Étude 1 : comparer des angles 1) Rugby : angle de tir (définition, comparaison) Cours : 1. Définitions, méthode de comparaison 2) Cerf volant et charpente (angles égaux, figures symétriques, codage) Construction de figures symétriques (programmes de construction). Cours : 1. Angles égaux et symétrie 3) Éventail et spirale Cours : 1. Addition des angles, multiple d un angle 12
Étude 2 : partager des angles 1) Rose des vents (boussole, compas de navigation) Partager en 2,4,8,12... Rapporteur "binaire". Équerres et menuiserie : demi-triangle équilatéral, demi-carré Cours : 2. Bissectrice, axes de symétrie, angles des triangles rectangle isocèle et équilatéral. 2) Le rapporteur Trisection de l angle. Partager un cercle en 360. Cours : 2. Rapporteur 3) Polygones réguliers A partir du partage du cercle et de 360 (division, diviseur, quotient exact, approché) Cours : 2. partager un angle en n parties 13
Étude 3 : mesurer des angles 1) L'aviateur : prendre le cap pour faire le tour de France (s'orienter) Cours : 3. mesurer un angle 2) Largeur d'une baie (mesurer l'inaccessible) Cours : 3. reproduire un angle de mesure donnée 3) Reproduire une figure (à l'échelle) Constructions de figures, dictées géométriques 4) Les robots : construire un trajet 5) Rose des vents et navigation 14
Sources bibliographiques ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ DES SCIENCES, DES ARTS ET DES METIERS par une société de gens de lettres ; mis en ordre et publié par M. Diderot,... et quant à la partie mathématique, par M. d Alembert, Paris : Briasson, David, Le Breton. Tome 1, 1751. gallica. 4 CD-Rom : L Encyclopédie de Diderot et d Alembert. Redon éditeur, 26740 MARSANNE. ENCYCLOPÉDIE MÉTHODIQUE MATHÉMATIQUES. Par MM. d Alembert, l Abbé Bossut, de la Lande, Le Marquis de Condorcet, &c. Tome premier, Paris : Panckoucke et Leyde : Plomteux 1784. Réédition du Bicentenaire, Paris : ACL-éditions 1987. gallica CLAIRAUT Alexis. Les Éléments de Géométrie de Clairaut Paris : Lambert et Durand, 1741. Rééd. Paris : J. Gabay, 2006. Fac simile de l édition de 1753, Laval : éd. Siloë, 1987. GAMBIN Marie-Thérèse. «Des cartes portulans à la formule d Edward Wright : l histoire des cartes à «rhumbs». M : A.T.H., MNEMOSYNE n 11. IREM de Paris VII 1996, pp. p. 31-62. Repris en partie dans L histoire des cartes à «rhumbs». In ASSP Rouen 2005, Sciences et Techniques aux 15 e et 16 e siècles, disponible en document pdf, 10 p., sur le site : http://assprouen.free.fr/publications/sciences_et_techniques.php «La cartographie dieppoise». In É. Hébert (dir.), Instruments scientifiques à travers l Histoire, Paris Ellipses 2004, p. 43-55 et 1996, p. 31-62. STOLL André. «Les spirales». In L Ouvert n 96 et 97, resp. p 1-13 p 1-15, IREM de Strasbourg 1999 et Repères IREM, n 39, Metz 2000, Topiques éditions p. 73-99. En document pdf, 27 p., sur le site Le Portail des Irem : http://www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consulter/39stoll.pdf 15 POITIERS - RENNES 16 05 09
Documentation Enseigner les mathématiques à partir des grandeurs : les Angles. IREM de Poitiers, Groupe collège, octobre 2009 (8 euros) Les angles au collège : arpentage et navigation. Jean-Paul Guichard. Chapitre 1 de l ouvrage : De grands défis mathématiques d Euclide à Condorcet. Sous la direction d Evelyne Barbin, Vuibert, janvier 2010. 16
«L art de prendre la valeur des Angles est une opération d un grand usage & d une grande étendue dans l Arpentage, la Navigation, la Géographie, l Astronomie, &c.» L Encyclopédie, art. Angle 1751 Enseigner les angles en 6 Arpentage et navigation FIN POITIERS - RENNES 16 05 09 17
Cours. Chapitre 1 ANGLES 1. Comparer des angles 1) Définition : on appelle angle l ouverture formée par deux demi droites de même origine. Cette origine s appelle le sommet de l angle et les demi droites les côtés de l angle. Illustrer To 18
Spirales - construction 1.Spirale de Théodore donnée à construire aux élèves 2.Spirale d Archimède 1) A quoi te fait penser cette figure? 2) Comment construire cette figure? Voici la méthode donnée par Archimède : On fait tourner une demi-droite autour d un point O en décrivant des angles égaux Sur le deuxième côté du premier angle on place un point A1 (près de O). Quand la demi-droite tourne, le point s éloigne de O avec pour règle : sa distance à O est égale à celle de OA1 multipliée par le nombre d angles dont on a tourné. Choisis un angle et construis une spirale d Archimède avec au moins 10 angles égaux. 19
La Rose des Vents Plusieurs instruments de mesure sont basés sur les mesures des angles, la rose des vents est l un d entre eux. La rose des vents n est pas une fleur, c est une étoile à plusieurs branches indiquant les points cardinaux. Les marins l utilisaient pour s orienter en mer. La marche d un bateau dépendant de sa position face au vent, ils identifiaient le vent dominant qui soufflait puis fixaient leur route en conséquence. Pour indiquer la direction des vents, on a dessiné sur un cadran une sorte de rosace dont les flèches rayonnent autour du centre comme les pétales d une rose. Mais ce dessin ne ressemble guère à une rose. 1. 2. 3. 4. 1) Observe bien. Combien de directions sont indiquées sur la rose des vents n 1? sur la n 2? sur la n 3? sur la boussole n 4? 2) Comment construire les flèches de la rosace? 3) Sur papier uni, construis une rose des vents à partir d un cercle de 3,5 cm de rayon. 20
Mesurer la largeur d'une baie 1. On veut connaître la distance entre la porte A et la porte C, distance inaccessible directement Les mesures du géomètre sur le terrain 1. Où se place le géomètre? Pourquoi? Que mesure-t-il? (observe la gravure) 2. Comment fonctionne l'instrument qu'il est en train d'utiliser? (Observe les gravures du graphomètre) 3. En H est représenté son mémento (ou bloc note) : c'est une feuille de papier qu'on roule (appelée à l'époque mémorial). Que note-t-il sur sa feuille? La construction du triangle en réduction À l'aide de son schéma et de ses mesures, le géomètre va construire avec soin sur un bout de terrain plat ou sur une feuille de papier un modèle réduit du triangle ABC : c'est le triangle EFG que l'on voit à droite sur la gravure. Tu vas faire son travail sur ton cahier. 4. Il dessine une échelle bien divisée en graduations égales (elle est représentée en D, en bas et au centre de la gravure). Combien de graduations faut-il prévoir? 5. Il construit le triangle EFG. Écris les étapes de sa construction. Justifie. 6. Pour tracer l'angle FEG, comment fait-il? (observe l'instrument placé en E sur la gravure) La réponse au problème --------- POITIERS - RENNES 16 05 09 TO 21
Mesurer la largeur d'une baie 2. La réponse au problème 7. Comment, avec son triangle EFG, le géomètre va-t-il trouver la distance entre la porte A et la porte C? Combien trouve-t-il? L'instrument du géomètre : le graphomètre En situation L'instrument pour reporter l'angle sur le papier : le rapporteur Son limbe est gradué de la même façon que celui du rapporteur, en 180 parties appelées degrés. La ligne 0-180 est appelée la ligne de foi. TO 22
Les robots Devoir sur feuille pour le jeudi 24 mai 2007 Le robot Sexto est programmé pour avancer de 30 cm puis tourner à gauche de 60, et continuer ainsi sans jamais s'arrêter. Il part d'un point A. Dessine avec précision son trajet (à l'échelle 1/10). Que peux-tu dire de son trajet? Explique. Le robot Quinto, lui, avance de 40 cm et tourne à droite de 72. Dessine et explique de la même façon son trajet. Le robot Spirou avance de 50 cm et tourne à gauche de 100. Dessine et explique de la même façon son trajet. Peux-tu prévoir les trajets de tous les robots que l'on pourrait inventer sur le même modèle? Pour quels angles peut-on programmer le robot pour qu'il s'arrête en A? T.él 23
Les robots (2) 24
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