Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices. Applications linéaires.

Université Denis Diderot Paris 7 (4-5) TD Maths, Agro wwwprobajussieufr/ merle Mathieu Merle : merle@mathuniv-paris-diderotfr Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices Applications linéaires Familles libres et familles liées de vecteurs de R n Préambule : On rappelle qu une famille F de p vecteurs de R n (ou plus généralement une famille de p vecteurs d un espace vectoriel E), {x,, x p } est dite libre ssi p α i x i = α i = i {,, n} i= Une famille de vecteurs qui n est pas libre et dite liée La notion de famille libre se généralise à une famille de vecteurs de cardinal quelconque Une famille F = {x i } i I est libre ssi J sous-ensemble d indices fini I, α j x j = α j = j J Les deux premiers exercices qui suivent donnent des conditions équivalentes pour déterminer si une famille finie est libre ou liée Exercice (*) On considère F = {x,, x p } une famille de vecteurs de R n, et on note A la matrice de taille n p dont les colonnes sont les vecteurs x,, x p Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes La famille F est liée j J Il existe un i {,, n} et des réels (β j ) j i tels que x i = j i β j x j 3 L équation matricielle Ay = admet au moins une solution non triviale y 4 L équation matricielle Ay = admet une infinité de solutions 5 L algorithme du pivot effectué sur la matrice A aboutit à une matrice contenant un nombre de pivots strictement inférieur à p

Notons tout d abord que 4 5 En effet, est toujours solution de l équation Ay =, et de plus cette solution est unique si et seulement si il n y a pas de variable libre, ie si et seulement si le nombre de pivots finaux est égal au nombre de variables p Montrons tout d abord 4 On suppose que la famille F est liée Ainsi il existe des coefficients non tous nuls α,, α n tels que p α i x i = Posons alors y = α α p i=, et observons que pour tout λ R, A(λy ) = p λα i x i = λ = i= Ainsi tous les vecteurs λy, λ R sont solutions de Ay =, et cette équation possède effectivement une infinité de solutions L implication 4 3 est triviale Montrons alors que 3 On suppose donc que l équation matricielle Ay = possède une solution non triviale y avec y On note y,, y n les coordonnées de y Puisque ce vecteur est non nul, ce vecteur possède au moins une coordonnée qui est non nulle, disons yi Observons alors que Ay = yx + + ynx n =, et donc y i x i = j i y j x j Puis en divisant par z i, on obtient x i = j i y j y i x j On a trouvé que x i était combinaison linéaire des {x j } j i, on a donc prouvé Montrons enfin que On suppose donc, ie qu il existe un indice i tel que x i peut s écrire comme combinaison linéaire des {x j } j i Autrement dit, il existe des rééls (β j ) j i tels que x i = β j x j j i Mais alors en posant α j = β j j i, α i = on trouve que n α i x i = i= Comme α i = on a clairement que les (α k ) k n ne sont pas tous nuls, et par définition ceci signifie que la famille F est liée

Exercice On considère F = {x,, x n } une famille de vecteurs de R n, et on note A la matrice de taille n p dont les colonnes sont les vecteurs x,, x p Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes La famille F est libre Aucun des x i, i {,, n} ne peut s écrire comme combinaison linéaire des {x j } j i 3 L équation matricielle Ay = n a que la solution triviale y = 4 L algorithme du pivot effectué sur la matrice A aboutit à une matrice contenant exactement p pivots Il suffit ici d observer que les assertions,,3,4 de cet exercice sont exactement,, 3, 4 de l exercice précédent Exercice 3 (*) On se place dans le cadre de l exercice précédent, et on suppose ici de plus que p = n Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes La famille F est libre L équation Ay = a pour unique solution la solution triviale 3 L algorithme du pivot effectué sur A aboutit à la matrice identité 4 La matrice A est inversible 5 Quelque soit b R n, l équation Ay = b admet une unique solution 6 Vect{x,, x n } = R n L équivalence a déjà été démontrée dans l exercice précédent Pour 3, on montre de façon équivalente que 3 Pour cela il suffit de remarquer que si l algorithme du pivot n aboutit pas à la matrice identité (ie il y a strictement moins de n pivots), il y a forcément au moins une variable libre (puisqu il y a n variables), et dans ce cas Ay = admet une infinité de solutions 3 est trivial, et donc à ce stade, on a déjà obtenu que 3 Pour 3 4, il suffit d appliquer l algorithme du pivot pour le calcul de la matrice inverse Pour 4 5, on observe qu en multipliant l équation par A il vient y = A b Pour 5 6, fixons b R n Il existe une solution y à l équation Ay = b Ceci signifie exactement que y x + + y n x n = b, et donc b Vect{x,, x n } Comme le raisonnement est valable pour un b R n arbitraire, on conclut que Vect{x,, x n } = R n Enfin, montrons que 3 6 Si l algorithme du pivot n aboutit pas à la matrice identité, c est qu il y a strictement moins que n pivots, en particulier la dernière ligne n est pas pivot L algorithme du pivot sur la matrice A aboutit donc (par k opérations successives sur A qui correspondent à des mutiplications à gauche successives par les matrices inversibles T, T k voir la feuille d exos supplémentaire pour plus de précisions sur l existence de telles matrices inversibles) à une matrice réduite T k T k T A dont la dernière ligne est nulle Mais alors, dès que T k T b a sa dernière coordonnée non nulle (par exemple pour b = T T k ), on obtient que l algorithme du pivot sur la matrice augmentée (A b) aboutit à une matrice dont la dernière ligne est ( ) On a montré qu il existe des 3

b R n tels que Ay = b n a aucune solution, autrement dit de tels b ne sont pas dans Vect{x,, x n }, et donc 6 est vérifiée Exercice 4 Dans chacun des cas qui suivent, déterminer si la famille F de vecteurs considérée est libre ou liée F =,,, F =,, {( ) ( ) ( )} 5 3 F =,, 8 3 3 4 F =,, 3 5 F =,, 6 F =,, 3 3 8 3 9 7 F =, 4, 7 5 4 Comme dans les exercices précédents on note systématiquement x, x p les vecteurs de F et A la matrice dont les vecteurs colonnes sont x, x p F est libre, en effet A = Id, et on utilise par exemple 3 de l exercice précédent F est liée En effet, x + x + x 3 = 3 F est forcément liée (on regarde 3(> ) vecteurs de R ) Pour trouver la relation qui lie x, x, x 3 on peut par exemple ( effectuer ) la réduction de A suivant l algorithme du /9 pivot On obtient la matrice de sorte qu on trouve que 7/9 x + 7 x 9 x 3 = (ce qui, par ailleurs, se vérifie aisément) 3/ 4 L algorithme du pivot sur A aboutit à la matrice 3/ L équation Ay = 3 admet donc une infinité de solutions, et donc la famille F est liée Par exemple 3 est une solution non triviale de Ay =, de sorte que 3 x 3 x + x 3 = 4

5 L algorithme du pivot sur A aboutit à la matrice identité D après le point 3 de l exercice précédent, ceci implique que la famille F est libre 6 L algorithme du pivot sur A aboutit à la matrice identité D après le point 3 de l exercice précédent, ceci implique que la famille F est libre 7 L algorithme du pivot sur A aboutit à la matrice D après le point 4 de l exercice on conclut que F est libre 3 5 Exercice 5 Soit A = 5 4 3 4 Observer que la troisième colonne de A est la somme des deux premières colonnes En déduire une solution non triviale de Ay = Notons x, x, x 3 les trois colonnes de A On a clairement x + x = x 3 Donc x + x x 3 = x + x + ( ) x 3 = Autrement dit est solution non triviale de Ay = Exercice 6 VRAI ou FAUX? On justifiera la réponse Lorsque F est une famille libre, tout élément de F peut être écrit comme une combinaison linéaire des autres vecteurs de F Les vecteurs colonnes d une matrice A de taille 4 5 sont forcéments liés 3 Si trois vecteurs de R 3 sont dans un même plan affine, alors ces trois vecteurs sont nécessairement liés 4 Si {u, v} est libre et {u, v, w} est liée, alors on a nécessairement que w Vect({u, v}) 5 Si une famille de vecteurs de R n compte strictement moins de n vecteurs, alors elle est libre FAUX : dans la question de l exercice précédent, la famille est liée, pourtant le vecteur ne peut être écrit comme combinaison linéaire des vecteurs, (une telle combinaison linéaire aurait forcément une première coordonnée nulle!) VRAI : lorsqu on résout l équation matricielle Ax =, il y a au moins une solution (la solution triviale) et on trouve forcément au moins une variable libre (il y a plus d inconnues que d équations) L équation possède donc une infinité de solutions et donc d après le premier exercice, la famille de vecteurs est liée FAUX : Les vecteurs de la question 5 du précédent exercice appartiennent tous au plan d équation x 3 =, et pourtant ils forment une famille libre En revanche, l assertion si trois vecteurs de R 3 sont dans un même plan contenant l origine, alors ces trois vecteurs sont nécessairement liés est, quant à elle, vraie Pourquoi? 5

VRAI : Par définition il existe α, α, α 3 non tous nuls tels que α u + α v + α 3 w = Mais on ne peut avoir α 3 =, sinon {u, v} formeraient une famille liée On peut donc diviser la relation par α 3 pour obtenir w = α u α v, α 3 α 3 de sorte qu effectivement w Vect({u, v}) FAUX (pourvu que n ) : Une famille de n vecteurs dont un élément est le vecteur nul est toujours liée En revanche l assertion une famille de strictement plus de n vecteurs de R n est toujours liée est, quant à elle, vraie Pourquoi? Exercice 7 Dans les cas qui suivent, pour quelles valeurs de h R le vecteur v est-il dans Vectv, v 3? Pour quelles valeurs de h R la famille F = {v, v, v 3 } est-elle libre? 3 5 v = 3, v = 9, v 3 = 7 6 h 3 v =, v = 7, v 3 = 4 6 h 3 6 9 3 v = 6, v = 4, v 3 = h 3 3 Comme dans les exercices précédents on note A la matrice dont les vecteurs colonnes sont v, v, v 3 On remarque que 3v + v = Ainsi quelque soit h R la famille est liée On pouvait aussi remarquer que quelque soit h, l algorithme du pivot appliqué à la matrice A ne fournit jamais la matrice identité L algorithme du pivot appliqué à la matrice A fournit 7 5 h + 38 D après les exercices précédents la famille F est donc libre si et seulement si h 38 3 L algorithme du pivot appliqué à la matrice A fournit 3 h + 8 D après les exercices précédents la famille F est donc libre si et seulement si h 8 6

Familles génératrices Préambule : On dit qu une famille F de vecteurs de R n est génératrice lorsque Vect(F) = R n Cette définition concerne une famille de cardinal quelconque On rappelle que Vect(F) (le sous-espace vectoriel engendré par F) est l ensemble des combinaisons linéaires finies d éléments de F Autrement dit { k } Vect(F) := λ i x i avec k N et i {,, k}λ i R, x i F i= La notion se généralise de la façon évidente lorsque R n est remplacé par un espace vectoriel quelconque E Exercice 8 (*) Soit F = {x,, x p } une famille de p vecteurs de R n On forme A la matrice de taille n p dont les vecteurs colonnes sont x,, x p Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes F est génératrice Tout vecteur de R n s écrit sous la forme p i= λ ix i 3 Pour tout p R n l équation Ay = b admet au moins une solution 4 L algorithme du pivot appliqué à la matrice A aboutit à une matrice contenant n pivots est simplement la définition de famille génératrice, puisque { p } Vect(F) = λ i x i : λ R,, λ p R i= Montrons 3, et commençons par fixer b R n D après il existe des réels λ,, λ p tels que p = p i= λ ix i Il suffit alors de remarquer que et donc le vecteur y = λ λ p A λ λ p = p λ i x i, i= est solution de l équation Ax = p Pour 3 4 on montre de façon équivalente 4 3 On suppose donc que l agorithme du pivot aboutit à la matrice T k T k T A qui contient strictement moins de n pivots C est donc que la dernière ligne de cette matrice est nulle Mais alors, le vecteur b = T T k e n est tel que l algorithme du pivot à la matrice augmentée aboutit à une matrice dont la dernière ligne est ( ), autrement dit, l équation Ay = b n admet aucune solution Etablissons enfin 4 Si l algorithme du pivot appliqué à A aboutit à une matrice contenant n pivots, il en est de même, quelque soit b R n, pour l algorithme appliqué à la matrice augmentée (A b) C est donc que, quelque soit b R n, l équation Ay = b admet au moins une solution 7

Une base est une famille à la fois libre et génératrice Soit B = {x,, x n } une base de R n, et A la matrice dont les colonnes sont x,, x n Fixons alors un z R n L équation Ay = z possède au moins une solution puisque B est génératrice De plus si elle possèdait deux solutions distinctes y y alors A(y y ) =, et l existence de la solution non triviale y y impliquerait que la famille B est liée, ce qui est impossible On en déduit que Ay = z possède une unique solution y, de sorte que l écriture z = n y i x i i= est unique On dit que les réels y,, y n sont les coordonnées de z dans la base B Comme on le voit, il faut connaître l ordre dans lequel on considère les éléments de la base si on veut décrire un vecteur par ses coordonnées dans cette base C est pourquoi on préfère écrire B = (x,, x n ) et (y,, y n ) les coordonnées de z dans la base B Exercice 9 (*) Soit F = {x,, x n } une famille de n vecteurs de R n On forme A la matrice carrée dont les vecteurs colonnes sont x,, x n Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes La famille F est une base La famille F est libre, et elle est maximale au sens où, x n+ R n, la famille {x,, x n+ } est liée 3 La famille F est libre 4 L équation Ay = a pour unique solution la solution triviale 5 L algorithme du pivot effectué sur A aboutit à la matrice identité 6 La matrice A est inversible 7 Quelque soit b R n, l équation Ay = b admet une unique solution 8 Vect{x,, x n } = R n 9 La famille F est génératrice La famille F est génératrice et minimale au sens où, pour tout i {,, n}, la famille F \ {x i } n est pas génératrice, 3 sont triviales On a déjà montré que 3 4 8 dans l exercice plus haut 8 9 est simplement la définition de famille génératrice Etablissons alors que 9, et commençons par fixer i {,, n} Si F = {x, x n }, on sait d après l exercice 8 que l algorithme du pivot appliqué à la matrice A aboutit à une matrice à qui contient n pivots Comme ici A est de taille n n, la matrice à est forcément Id Mais alors, l équation Ay = x i possède une unique solution (et bien sûr il s agit de y = e i ) On ne peut donc pas écrire x i comme combinaison linéaire des {x j } j i C est donc que x i / Vect({x j } j i ), ie la famille F \ {x i } n est pas génératrice De façon générale une famille de vecteurs F E est une base si elle est à la fois libre et génératrice On peut démontrer que pour un espace E donné, le cardinal d une base (un élément de N {+ }) ne dépend pas de la base choisie Ce cardinal commun est appelé la dimension de l espace E 8

Etablissons enfin, ou de manière équivalente que Si la famille F n est pas une base, deux cas sont possibles : soit elle n est pas génératrice, soit elle est génératrice mais n est pas libre ; montrons que dans les deux cas ceci entraîne Si F n est pas génératrice, alors est évidente Si F est génératrice, mais n est pas libre, alors d après l exercice, on peut trouver i {,, n} tel que x i = j i α jx j Fixons alors b R n Comme F est génératrice il existe des réels λ,, λ n tels que b = n λ j x j = λ i x i + j= j i = λ i λ j x j j i α j x j + j i = j i(λ i α j + λ j )x j, λ j x j et donc b Vect({x j } j i ) Comme le raisonnement est valable pour un b R n arbitraire on vient d établir que {x j } j i est génératrice, et donc Exercice Déterminer si les familles suivantes sont génératrices Lesquelles sont des bases? F =,,, F =,, {( ) ( ) ( )} 5 3 F =,, 8 3 3 4 F =,, 3 5 F =,, 6 F =,, 3 3 8 3 9 7 F =, 4, 7 5 4 Rappelons tout d abord que d après notre résolution de l exercice 3, seules les familles des questions, 5, 6, 7 sont libres 9

Comme dans la résolution de cet exercice on note systématiquement A la matrice dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs de F Ici A = Id D après exercice 95, la famille est une base L algorithme du pivot sur A aboutit (cf exo 3) à une matrice contenant < 3 = n pivots La famille n est donc pas génératrice 3 L algorithme du pivot sur A aboutit à une matrice contenant = n pivots La famille considérée est donc génératrice En revanche, puisqu elle n est pas libre, il ne s agit pas d une base 4 L algorithme du pivot sur A aboutit (cf exo 3) à une matrice contenant < 3 = n pivots La famille n est donc pas génératrice 5 L algorithme du pivot sur A aboutit à la matrice identité, et donc la famille considérée est une base 6 L algorithme du pivot sur A aboutit à la matrice identité, et donc la famille considérée est une base 7 Avec trois vecteurs de R 4, on ne peut pas avoir un pivot à chaque ligne, et la famille ne peut pas être génératrice Exercice VRAI ou FAUX? On justifiera la réponse Les vecteurs d une famille génératrice sont nécessairement liés Les vecteurs colonnes d une matrice A de taille 4 5 ne peuvent former une base, mais ils forment nécéssairement une famille génératrice 3 Si trois vecteurs de R 3 sont dans un même plan passant par l origine, alors la famille de ces trois vecteurs ne peut pas être génératrice 4 Si trois vecteurs de R 3 sont dans un même plan passant affine, alors la famille de ces trois vecteurs ne peut pas être génératrice 5 Si la famille F = {x, x p } de vecteurs de R n est génératrice alors toute famille G F l est également 6 Si une famille de vecteurs de R n compte strictement moins de n vecteurs, alors elle ne peut pas être génératrice 7 Si F est une famille quelconque, il existe une base B F 8 Si F est une famille génératrice, il existe une base B F FAUX : voir par exemple le de l exercice précédent FAUX : certes, 5 vecteurs de R 4 ne peuvent former une famille libre, et donc ne peuvent constituer une base ; cependant ils ne forment pas nécessairement non plus une famille génératrice de R 4 (par exemple si on prend 5 fois le vecteur nul) 3 VRAI : Si les trois vecteurs sont dans un même plan passant par l origine P, alors toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs appartient également à P L espace vectoriel engendré par les trois vecteurs est donc inclus dans P R 3, et la famille n est donc pas génératrice

4 FAUX : les vecteurs,, appartiennent tous au plan d équation x 3 =, et pourtant ils forment une famille génératrice (et même une base) 5 VRAI : Quelque soit b R n on peut écrire b comme combinaison linéaire d éléments de F, qui sont également des éléments de G, et donc Vect(G) = R n 6 VRAI : L algorithme du pivot effectué sur la matrice A correspondante (de taille n p avec p < n) aboutit à une matrice qui possède au plus p < n pivots, et on conclut d après l exercice 8 7 FAUX : il suffit par exemple de considérer le cas où F = {} 8 VRAI : Soient x,, x k les éléments de F On pose B = et on effectue l algorithme suivant : pour i allant de à k, si x i / Vect(B i ) alors B i = B {x i } sinon on pose B i = B i On va alors prouver que B k est une base de R n Pour cela, on montre que par récurrence sur que pour i {,, k} (H i ) B i est libre, et Vect(B i ) = Vect(x,, x i ) Il est évident que puisque F est génératrice, l assertion (H k ) dit exactement que B k est à la fois libre et génératrice, et on aura donc trouvé notre base L assertion (H ) est évidente Notons simplement que si x, B = {x }, tandis que si x = alors B = B = et il faut simplement rappeler que ( ) = {} par convention Supposons maintenant (H i ) avec i k et montrons (H i ) Premier cas : x i / Vect(B i ) et B i = B i {x i } Si par l absurde, B i n est pas libre, alors on peut exprimer comme une combinaison linéaire non dégénérée des éléments de B i, et on aurait = α j x j + α i x i {j:x j B i } Si α i = on obtient que B i est liée et on contredit donc (H i ) Si α i, quitte à diviser la relation ci-dessus par α i on peut exprimer x i comme combinaison linéaire des éléments de B i ce qui contredit x i / Vect(B i ) On a donc de toutes façons obtenu une contradiction et on conclut que B i est libre dans ce premier cas D autre part, toujours dans ce premier cas, en utilisant (H i ) il vient que Vect(B i ) = Vect(B i {x i }) = Vect(Vect(B i ), x i ) = Vect(x,, x i ) On a donc établi (H i ) dans ce premier cas Deuxième cas : x i Vect(B i ) et B i = B i La liberté de B i est, dans ce cas, directement donnée par (H i )

Soit b Vect(x, x i ), ie d après (H i ), on considère un b Vect(B i {x i }) On peut donc écrire b = α j x j + α i x i, {j:x j B i } où les α j sont réels Comme x i Vect(B i ) on a que x i = {j:x j B i } λ jx j, et donc b = (α j + α i λ j )x j {j:x j B i } Finalement b Vect(B i ), et on conclut que Vect(B i ) = Vect(B i ) = Vect(x,, x i ), ce qui achève la preuve de (H i ) dans ce second cas 3 Applications linéaires de R n dans R m { Préambule : Une application T : R n R m est linéaire si et seulement si x T (x) (i) T () = (ii) λ R, x R n T (λx) = λt (x) (iii) x R n y R n T (x + y) = T (x) + T (y) On pourrait noter que (ii) implique (i) (il suffit de prendre λ = ) En fait les trois assertions (i), (ii), (iii) peuvent être résumées en la seule assertion : (L) (xy) R n R n (λ, µ) R R T (λx + µy) = λt (x) + µt (y) On verra plus tard que cette notion d application linéaire se généralise au cadre d applications de E dans V, avec E, V des espaces vectoriels quelconques Exercice Soit A une matrice de taille m n On note a ij l élément de A qui se situe à la i-ième ligne et j-ième colonne On note d autre part a, a n les vecteurs colonnes de A (de sorte que a ij est la i-ième coordonnée de a j ) Montrer que l application T : { R n R m x Ax est linéaire première ligne Quelle est l image du vecteur e i = i ème ligne par l application T? n ème ligne

3 Exprimer l image par T d un vecteur quelconque y = x, x n Par définition du produit matriciel, si x = x x n y y n, y =, à l aide des vecteurs y y n sont deux vecteurs quelconques de R n et si λ, µ sont deux réels quelconques, la i-ième coordonnée de A(λx + µy) est égale à a i (λx + µy ) + + a ij (λx j + µy j ) + + a in (λx n + µy n ) = λa i x + µa i y + + λa ij x j + µa ij y j + + λa in x n + µa in y n = λ(a i x + + a in x n ) + µ(a i y + + a in y n ) Or a i x + + a in x n est la i-ième coordonnée de Ax, tandis que a i y + + a in y n est la i-ième coordonnée de Ay Comme ceci est valable pour tout i {,, n} on conclut finalement que A(λx + µy) = λax + µay On a donc vérifié la condition (L), et l application T est bien linéaire L image du vecteur e i est tout simplement égale à a i 3 On peut écrire y = n i= y ie i Par linéarité de T, on a donc ( n ) n n Ay = A y i e i = y i Ae i = y i a i i= i= i= Exercice 3 Soit T : R n R m une application linéaire On note a i = T (e i ) Soit A la matrice dont les colonnes sont a, a n Montrer que x R n Ax = T (x) D abord pour tout i {,, n} on a, par définition des a i, Ae i = a i = T (e i ) Maintenant pour un x R n quelconque on a x = n i= x ie i, et donc, par linéarité de T et définition du produit matriciel, T (x) = n x i a i = Ax i= Les exercices qui précèdent sont fondamentaux : le premier nous apprend qu à toute matrice A on peut faire correspondre une application linéaire T, qui envoie le vecteur x sur Ax 3

Le deuxième est encore plus intéressant : il nous apprend que toute application linéaire de R n dans R m peut être vue comme la multiplication à gauche par une certaine matrice A de taille m n De plus, il est très simple de déterminer A, sa j-ième colonne n est autre que l image par T de e j, le j-ième vecteur de la base canonique On dit que A est la matrice de l application linéaire T Avec un léger abus, on confondra souvent par la suite l application linéaire T et sa matrice A Exercice 4 Déterminer A, la matrice de l application linéaire T telle que Ab = c et Ab = c, dans les cas suivants ( ) ( ) ( 9 5 b =, b =, c 4 = ( ) ( ) ( 7 b =, b 3 =, c 4 = 9 ( ) ( ) ( ) 3 7 3 b =, b =, c 5 =, c = ), c = ), c = ( ) 3 5 ( ) 5 ( ) Dans ces trois cas, on dit que la matrice A obtenue est une matrice de changement de base Pouvez-vous expliquer pourquoi? Notons (a ij ) { i,j } les coefficients de la matrice A recherchée Egaliser la première coordonnée à gauche et à droite des deux relations Ab = c, Ab = c nous fournit les deux équations { 9a + a = 5 a 4a = 3 De même, en égalisant la deuxième coordonnée à gauche et à droite des deux relations Ab = c, Ab = c on obtient { 9a + a = a 4a = 5 On a donc obtenu deux systèmes de deux équations à inconnues, dont les matrices augmentées sont respectivement ( ) ( ) 9 5 9 4 3 4 5 L algorithme du pivot à chacune de ces matrices aboutit à ( ) ( ) 7/35 /35, /35 4/35 et on conclut que a = 7/35, a = /35 a = /35, a = 44/35, 7 de sorte que A = ( ) 7/35 /35 /35 44/35 4

Remarque : Si on note b, b les coordonnées de b, et on introduit des notations similaires pour les coordonnées de b, c, c, les deux matrices augmentées obtenues sont exactement ( ) ( ) b b c b b c b b c b b c ( b b Seule la dernière colonne varie, et si on note B = b b simplifier, faire directement l algorithme du pivot sur b b c c b b c c ), on aurait pu, pour D après la remarque faite à l exercice précédent, il nous suffit d appliquer l algorithme du pivot à la matrice ( ) 3 7 9, 4 5 7 on obtient ( ) 43/ 57/ et on en déduit que 9/ 5/ A = ( ) 43/ 9/ 57/ 5/ 3 Toujours par la même méthode on applique l algorithme du pivot à ( ) 3, 7 5 on obtient ( ) 5/ /, 7/ 3/ et on déduit que A = ( ) 5/ 7/ / 3/ 4 Dans chacun des 3 cas on observe que B = (b, b ) est une base de R, tout comme B = (c, c ) Ainsi la transformation linéaire de matrice A est l unique application linéaire de R dans lui-même qui transforme la base B en la base B Si on a x = α b + α b (pour un quelconque x R une telle décomposition existe puisque B est une base), alors Ax = α c + α c En particulier puisque B est une base, Ax = ssi α = α =, ie ssi x = On en déduit que l unique solution de Ax = est la solution triviale (autrement dit ker(a) = {}), et donc une matrice qui transforme une base B en une base B est nécessairement inversible 5

On notera d autre part, que dans chacun des 3 cas, la matrice A transforme également la base canonique B = (e, e ) en la base dont les vecteurs sont les colonnes de A A contrario, la matrice A envoie les vecteurs colonnes de A sur la base canonique Exercice 5 Soit T l application linéaire de matrice A = Quelle est l image par T des vecteurs,,,? 3 Trouver tous les x R 3 tels que Ax = 3 3 Trouver tous les x R 3 tels que Ax = 4 Déterminer Im(T ) = Im(A) := {Ax, x R 3 } 5 Déterminer Ker(T ) = Ker(A) := {x R 3 : Ax = } 6 Pouvez-vous décrire géométriquement ce que l application T effectue? On a De même T =, T = A = = 3 3 3 T =, T = Il n y a aucun x qui convient, en effet l équation matricielle Ax = est 3 équivalente au système linéaire de matrice augmentée, et la dernière 3 équation de ce système est impossible 3 L équation matricielle Ax = est équivalente au système linéaire de matrice 6

augmentée, dont l ensemble de solutions est x = x 3, x 3 R 4 Quelque soit x R 3 on a Ax = x a + x a + x 3 a 3, ainsi l image (abbrégé pour l ensemble des images ) Im(A) est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs colonnes de la matrice A Ici Im(A) = Vect,, = autrement dit Im(A) est le plan d équation x 3 = x x, (x, x ) R = {x : x 3 = }, 5 On doit trouver l ensemble des x tel que Ax = Cette équation matricielle est équivalente au système de matrice augmentée, dont l ensemble de solutions est x =, x 3 R x 3 6 L application T est la projection d axe Ox 3 sur le plan Ox x (autrement dit la projection orthogonale sur le plan d équation x 3 = ) 3 Exercice 6 Soit A = 3 5 et T l application linéaire de matrice A (de sorte que 7 pour tout x R, T (x) = Ax) ( ) ( ) ( ) Trouver l image par T des vecteurs,, 3 Trouver tous les x R tels que T (x) = 3 3 Trouver tous les x R tels que T (x) = 5 4 Déterminer Im(T ) = Im(A) = {Ax, x R } 5 Déterminer Ker(T ) = Ker(A) = {x R : Ax = } On procède comme dans l exercice précédent 7

On trouve T (( )) =, T (( )) =, 9 T (( )) 4 = 5 On résout le système de matrice augmentée 3 3 3 5 7 qui conduit au système équivalent de matrice augmentée 3/ /, ( ) 3/ dont l unique solution est x = / 3 On obtient cette fois un système équivalent de matrice augmentée 3/ /, 4 qui ne possède aucune solution 4 Les deux colonnes de A forment une famille libre, on a λ 3µ Im(A) = Vect ({a, a }) = x = 3λ + 5µ = {x : 8x 5x + 7x 3 = } λ + 7µ 5 On résout Ax =, on obtient cette fois un système équivalent de matrice augmentée, dont la seule solution est x =, et on conclut que Ker(A) = {} ( ) Exercice 7 Soit T l application linéaire de matrice A = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Quelle est l image par T des vecteurs,,,? ( ) Trouver tous les x R tels que Ax = 8

( ) 3 Trouver tous les x R tels que Ax = 4 Déterminer Im(T ) = Im(A) := {Ax, x R } 5 Déterminer Ker(T ) = Ker(A) := {x R : Ax = } 6 Pouvez-vous décrire géométriquement ce que l application T effectue? On trouve (( )) T = ( ), T (( )) = ( ), T 5 ( ) On trouve l unique solution x = ( ) 3 On trouve l unique solution x = 4 4 Im(A) = R 5 Ker(A) = {} (( )) = ( ), T 5 (( )) ( ) 4 4 = 3 6 L application T laisse e inchangé, en revanche elle envoie e sur 3e + e Elle envoie donc les vecteurs du carré [, ] [, ] dans le parallélogramme de sommets (, ), (, ), (3, ), (4, ) On pourrait parler de distorsion ( ) / / Exercice 8 Soit T l application linéaire de matrice A = / / ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Quelle est l image par T des vecteurs,,,? 5 ( ) Trouver tous les x R tels que Ax = ( ) 3 Trouver tous les x R tels que Ax = 4 Déterminer Im(T ) = Im(A) := {Ax, x R } 5 Déterminer Ker(T ) = Ker(A) := {x R : Ax = } 6 Pouvez-vous décrire géométriquement ce que l application T effectue? T (( )) = ( ), T (( )) ( 3 = ), T (( )) = 5 ( ) 3, T (( )) ( 4 5 = 3 ) On trouve l unique solution x = 3 On trouve l unique solution x = 4 Im(A) = R ( ) ( ) 9

5 Ker(A) = {} 6 L application T est une rotation autour de l origine d angle π/4 Les définitions d image (Im) et de noyau (Ker) d une application linéaire, données dans les quatre exercices précédents, sont en fait valables pour un T : R n R m quelconque Un vecteur de R m est dans l image si il a au moins un antécédent dans R n par T (ie si l image réciproque de b par T est non vide) Autrement dit, b Im(A) L équation Ax = b possède au moins une solution D autre part, Ax = x a + + x n a n, et donc b Im(A) b Vect({a,, a n }), ie l image de A est l espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de A Par ailleurs Le noyau est tout simplement l image réciproque de par l application T Autrement dit b Ker(A) Ab = Supposons que b Im(A), choisissons un x R n tel que Ax = b, et notons S b l ensemble des solutions de l équation Ax = b Pour tout u Ker(T ) on a A(x + u) = b Ainsi {x + u, u Ker(A)} S b Réciproquement si x est tel que Ax = b, alors A(x x ) =, et donc x x Ker(A) On conclut que S b = {x + u, u Ker(A)} Finalement, toute solution de l équation Ax = b s écrit comme la somme d une solution particulière (x ) et d une solution de l équation homogène associée (un vecteur u Ker(A) est solution de Ax = ) On dit que T est injective lorsque Ker(T ) = {}, ceci correspond au cas où tout élément de R m admet au plus un antécédent par T dans R n On dit que T est surjective lorsque Im(T ) = R m, ceci correspond au cas où tout élément de R m possède au moins un antécédent par T dans R n On dit enfin que T est bijective lorsqu elle est à la fois injective et surjective D après l exercice 9 ci-dessus, le fait que T est bijective est équivalent au fait que la matrice A de T est carrée et inversible Exercice 9 Parmi les applications linéaires définies dans les exercices 4 à 8, lesquelles sont injectives? surjectives? bijectives? La projection de l exercice 5 (en fait plus généralement, n importe quelle projection sur un sev strictement inclus dans R n ) n est ni injective (l axe de la projection s envoie sur ), ni surjective (les seules vecteurs de l image sont ceux du sous-espace sur lequel on projette) La transformation de l exercice 6 n est pas surjective puisque l image n est qu un plan de R 3 Elle est en revanche injective puisque le noyau est réduit au vecteur nul La distorsion de l exercice 7 est bijective puisque son image est R et son noyau est réduit au vecteur nul (par ailleurs il s agit clairement d une matrice qui transforme la base canonique en la base (e, 3e + e ))

La rotation de l exercice 8 est une bijection puisque son image est R et son noyau est réduit au vecteur nul (par ailleurs il s agit clairement de la matrice qui transforme la base canonique en la base ((e + e )/, ( e + e )/ ), ie fait tourner les vecteurs de la base canonique d un angle π/4 autour de l origine) Exercice (*) Montrer que l application T : R n R n, de matrice A, est bijective si et seulement si les n vecteurs images par T des vecteurs d une base B de R n forment également une base de R n Supposons A bijective, et montrons qu elle envoie une base de R n (par exemple la base canonique) sur une base de R n Notons que A envoie les vecteurs de la base canonique sur ses vecteurs colonnes a,, a n Puisque A est inversible, on peut utiliser l exercice 9 (précisément le fait que la condition 6 de cet exercice implique la condition ) pour voir que ces vecteurs forment une base de R n Supposons désormais que A envoie resp les vecteurs b,, b n (qui forment la base B de R n ) resp sur les vecteurs c, c n (qui forment quant à eux la base B de R n ) Montrons alors que Ay = admet l unique solution y = Pour cela, supposons par l absurde qu il existe une solution non triviale y Ce vecteur admet une (unique) décomposition dans la base B, ie y = λ b + + λ n b n Comme y cette décomposition ne peut pas être dégénérée Mais alors, par linéarité Ay = λ c + + λ n c n = On a trouvé une combinaison linéaire non dégénérée des c i qui fournit le vecteur nul, ce qui implique que B est liée, une contradiction On conclut que Ay = admet l unique solution y = D après l exercice 9 (précisément le fait que la condition 4 de cet exercice implique la condition 6), ceci permet de conclure que A est inversible