Exos résolus T S erm Maths Claudine RENARD Geneviève ROCHE
CONCEPTION GRAPHIQUE Couverture : Mélissa Chalot Intérieur : Karine Nayé COMPOSITION, MISE EN PAGES ET SCHÉMAS ScienTech Livre HACHETTE Livre 2015, 58, rue Jean Bleuzen, 92178 VANVES CEDEX ISBN : 978-2-01-270817-4 www.hachette-education.com Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Le code de la propriété intellectuelle, n autorisant, aux termes des articles L.122.4 et L.122.5, d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et d autre part, que «les analyses et courtes citations» dans un but d exemple et d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droits ou ayant cause, est illicite». Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur ou du Centre français de l exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.
PRÉFACE Ce volume d exercices mathématiques traite l ensemble du programme de Terminale S (spécifique et spécialité). En début d ouvrage, un sommaire détaillé vous permet d accéder rapidement au thème recherché. Le livre est organisé en 15 chapitres. Dans chacun d eux, vous trouverez un rappel du cours, des Q.C.M., des exercices d entraînement, des sujets de type Bac ainsi que tous les corrigés. Le rappel du cours donne, de manière exhaustive, toutes les notions du programme. Les Q.C.M. permettent de vérifier rapidement la bonne acquisition du cours. Les exercices d entraînement groupés par thèmes et, à l intérieur de chaque thème, par ordre de difficulté croissante, vous familiarisent avec les notions et méthodes exigibles en Terminale S. La difficulté des exercices est signalée par des pictogrammes placés en regard des énoncés de façon que chacun puisse évaluer son niveau. Le barème retenu est le suivant : exercice de base, exercice nécessitant davantage de méthode et de réflexion, exercice d approfondissement. Une durée indicative de résolution du problème figure également avant chaque exercice. Ce temps a été estimé pour un bon élève et doit donc vous permettre de situer votre niveau d entraînement. Les sujets de type Bac proposés à chaque chapitre couvrent tous les thèmes du programme. Vous pourrez les résoudre en temps limité, en vous plaçant ainsi dans les conditions de l examen. Ces sujets de type Bac vous permettent de faire un bilan de vos connaissances. L utilisation de logiciels, d outils de visualisation et de simulation, qui favorise les démarches d investigation, est fréquente et largement commentée. L algorithmique et la programmation prennent une place naturelle dans tous les chapitres. Les corrigés des exercices sont détaillés, enrichis d un rappel du cours (sur fond jaune) chaque fois que nécessaire et de commentaires (en bleu) pour faciliter la compréhension du raisonnement à tenir. Nous sommes persuadées que cet ouvrage vous apportera une aide précieuse dans votre travail durant cette année scolaire et vous préparera efficacement à l épreuve de mathématiques au baccalauréat. Il nous reste à vous souhaiter bon courage! Les auteurs 3
Sommaire Préface...3 Index des mots-clés...5 ENSEIGNEMENT SPÉCIFIQUE 4 1 Raisonnement par récurrence. Mise au point sur les suites Cours... 11 Exercices... 14 Vrai ou faux?... 14 Raisonnement par récurrence... 14 Exploration numérique et graphique... 16 Sens de variation, minoration, majoration... 18 Sujets de type Bac... 20 Corrigés des exercices... 21 2 Limite d une suite Cours... 39 Exercices... 43 Vrai ou faux?... 43 Limite des suites de référence... 43 Opérations sur les limites... 44 Encadrement, comparaison... 46 Exemples de suites récurrentes... 49 Sujet de type Bac... 50 Corrigés des exercices... 51 3 Suites et problèmes Exercices... 73 Sujet de type Bac... 78 Corrigés des exercices... 79 4 Limites d une fonction Cours... 97 Exercices... 103 Vrai ou faux?... 103 Limites à l infini... 103 Limites en un réel... 105 Règles opératoires sur les limites... 107 Mise en facteur du terme dominant... 108 Radicaux et quantités conjuguées... 109 Limites et comparaison... 109 Sujets de type Bac...110 Corrigés des exercices...111 5 Fonctions continues. Fonctions dérivables Cours...127 Exercices...132 Vrai ou faux?...132 Continuité...132 Tableaux de variation...133 Nombre de solutions d une équation... 134 Algorithme de dichotomie...136 Résolution d équations...137 Tangentes à une courbe...138 Calcul de dérivées...139 Signe d une dérivée...140 Sujet de type Bac...141 Corrigés des exercices...142 6 Fonctions sin et cos Cours...161 Exercices...165 Vrai ou faux?...165 Rappels de trigonométrie...165 Continuité, dérivabilité, tableaux de variation...166 Encadrements...167 Étude de fonctions...168 Sujet de type Bac...169 Corrigés des exercices...170 7 Fonction exponentielle Cours...183 Exercices...185 Vrai ou faux?...185 Propriétés algébriques...185 Équations. Inéquations...186 Limites...186 Dérivées...186
Études de fonctions... 187 Position de tangentes... 188 Phénomènes d évolution... 189 Suites... 190 Un encadrement polynomial... 190 Sujet de type Bac... 191 Corrigés des exercices... 192 8 Fonction logarithme népérien Cours... 209 Exercices... 212 Vrai ou faux?... 212 Propriétés algébriques... 212 Équations. Inéquations... 213 Dérivation... 214 Limites... 215 Études de fonctions... 216 Suites... 217 Logarithme décimal... 218 Sujets de type Bac... 219 Corrigés des exercices... 220 9 Fonctions et problèmes Exercices... 239 Cône de volume minimal... 239 Des aires de triangle... 240 Rectangle d aire maximale... 241 Tangente commune à deux courbes... 242 Encadrement de la solution d une équation... 243 Sujet de type Bac... 244 Corrigés des exercices... 246 10 Intégration Cours... 261 Exercices... 265 Vrai ou faux?... 265 Aires et intégrales... 265 Primitives... 267 Primitives et dérivées... 269 Calculs d intégrales... 269 Propriétés de l intégrale... 270 Valeur moyenne... 270 Calculs d aire... 271 Comparaison... 272 Encadrement... 273 Intégrales et suites... 276 Sujets de type Bac... 277 Corrigés des exercices... 279 11 Les nombres complexes Cours...309 Exercices...314 Vrai ou faux?...314 Forme algébrique...314 Équations du second degré...316 Représentation géométrique...316 Module d un nombre complexe...317 Argument d un nombre complexe non nul...318 Visualisation (conjugué, module, argument)...319 Forme trigonométrique d un complexe non nul...321 Complexes et trigonométrie...322 Sujets de type Bac...322 Corrigés des exercices...323 12 Géométrie dans l espace Cours...343 Exercices...348 Vrai ou faux?...348 Droites et plans...348 Géométrie vectorielle...350 Représentation paramétrique d une droite...352 Produit scalaire...352 Quelques systèmes d équations...353 Équation cartésienne de plan...353 Intersection de droites et de plans : point de vue analytique...354 Sujet de type Bac...355 Corrigés des exercices...356 13 Probabilités et statistique Cours...373 Exercices...377 Vrai ou faux?...377 Probabilités conditionnelles...377 Lois binomiales...380 Lois uniformes...381 Lois exponentielles...382 Lois normales...383 Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance...385 Sujet de type Bac...388 Corrigés des exercices...389 5
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 14 Arithmétique 15 Matrices et suites Cours... 419 Exercices... 423 Vrai ou faux?... 423 Divisibilité dans... 423 Division euclidienne... 424 Congruences dans... 425 PGCD de deux entiers... 428 Entiers premiers entre eux... 429 Nombres premiers... 430 Chiffrements... 430 Sujets de type Bac... 431 Corrigés des exercices... 433 Cours...455 Exercices...459 Vrai ou faux?...459 Matrices et opérations...459 Puissances d une matrice...461 Matrice inverse...462 Matrices et systèmes d équations linéaires...464 Matrice d adjacence d un graphe...466 Marche aléatoire...467 Système dynamique...468 Sujet de type Bac...470 Corrigés des exercices...471 6
INDEX DES MOTS CLÉS Affixe 311 Aire et intégrale 261 Algorithme d Euclide 421 Argument 312, 313 A Asymptote à la courbe représentative d une fonction 98, 100 Divergente (suite) 40 Diviseur 419 Divisible 419 Division euclidienne 420 Droites coplanaires 343 parallèles 343 sécantes 343 Bernoulli (épreuves de) 374 Bornée (suite) 13 Coefficients diagonaux d une matrice 455, 457 Congruence 420 Conjugué 309 Constante (suite) 13 Continuité 127 Convergente (suite) 40 Crible d Eratosthène 422 Croissante (suite) 12 Décomposition en produits de facteurs premiers 422 Décroissante (suite) 12 Densité de probabilité 374 Dérivabilité 128 B C D E Écart type 376 Entier relatif impair 419 pair 419 Entiers congrus modulo n 420 Épreuves de Bernoulli 374 Équation cartésienne d un plan 347 Espérance 374, 375, 376 Événements indépendants 373 F Fonction cosinus 164 dérivée 130 exponentielle 183 logarithme décimal 211 logarithme népérien 209 sinus 163 Format d une matrice 455 Forme algébrique 309 Forme trigonométrique 311 Formule des probabilités totales 373 Formules d addition et de duplication 162 7
Imaginaire pur 309 Intégrales 261 Intersection de droites et de plans 344 Intervalle de confiance 376 Intervalle de fluctuation asymptotique 376 Inverse d une matrice carrée 458 Limite d une suite 41 Limites de fonctions usuelles 97, 100 Loi binomiale 374 exponentielle 375 normale 375 normale centrée réduite 375 uniforme 374 I L N Nombre dérivé 129 Nombre premier 421 Notation exponentielle 313 P Partie imaginaire 309 Partie réelle 309 PGCD 420 Plans parallèles 343, 344 Plans sécants 344 Primitive d une fonction 263, 264 Probabilité conditionnelle 373 Produit scalaire 346 Q Quotient (division euclidienne) 420 8 M Majorée (suite) 13 Matrice carrée 457 Matrice carrée inversible 458 Matrice-colonne 455 Matrice diagonale 457 Matrice-ligne 455 Matrice unité 457 Minorée (suite) 13 Module 312 Monotone (suite) 13 Multiple 419 R Raisonnement par récurrence 11 Récurrence 11 Relation de Chasles 262 Représentation paramétrique d une droite 346 Reste (division euclidienne) 420 S Sens de variation d une fonction 131 d une suite 12
Suite arithmétique 11 géométrique 12 T Théorème des gendarmes fonctions 102 suites 41 Théorème de Moivre-Laplace 375 Théorème des valeurs intermédiaires 128 Tangente à la courbe représentative d une fonction 129, 130 Théorème de Bézout 421 Théorème de comparaison fonctions 102 suites 41 Théorème de la convergence monotone 42 Théorème de Gauss 421 V Valeur moyenne 262 Vecteur directeur d une droite 345, 346 Vecteur normal à un plan 347 Vecteurs coplanaires 345 Vecteurs orthogonaux 345 9