Quadrilatères H P I T R E 13 Énigme du chapitre. ombien de rectangles y-a-t-il dans cette figure? Objectifs du chapitre. onnaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. onstruire une figure simple à l aide d un logiciel de géométrie dynamique.
I/ Vocabulaire sur les quadrilatères ctivité. onstruire un quadrilatère, TIE 1. Sur la fenêtre du logiciel de géométrie dynamique GeoGebra, placer trois points, et. 2. Tracer le triangle. 3. fficher les longueurs du triangle. 4. Placer un point et construire le quadrilatère (le quadrilatère ne doit pas avoir des côtés qui se croisent). 5. fficher les angles du quadrilatère. 6. Une diagonale du quadrilatère a été tracée. Laquelle? 7. Tracer l autre diagonale du quadrilatère. Quel est le segment qui constitue l autre diagonale? 8. *** Effacer le quadrilatère sans effacer les points,, et (cliquer sur le rond vert poly1 à gauche de la fenêtre). 9. *** éplacer le point pour que le quadrilatère ne soit pas un quadrilatère non croisé. 10. *** Nommer et tracer les diagonales de ce nouveau quadrilatère? éfinition Un quadrilatère a : quatre sommets : les points,, et. quatre côtés : les segments [], [], [] et [] ; quatre angles : [, [, [ et [. deux diagonales : les segments [] et [] Remarque En pratique, le mot diagonales désigne aussi bien les segments [] et [] que les droites () et (). ompléter la figure avec le vocabulaire adapté :
Remarque Pour nommer un quadrilatère, il suffit de citer les sommets dans l ordre où ils apparaissent en parcourant, dans un sens ou dans l autre, la ligne représentant le quadrilatère. insi, le quadrilatère peut également être nommé : ou ou ou ou,... Faire les exercices 1 2 3 F 4 F
II/ Quadrilatères particuliers ctivité. Les quadrilatères particuliers Partie : Le losange 1. (a) Tracer deux quadrilatères possédant exactement deux côtés de même longueur. (b) Tracer deux quadrilatères possédant exactement trois côtés de même longueur. (c) Tracer deux quadrilatères possédant exactement quatre côtés de même longueur. (d) ans quel cas obtient-on toujours un losange? (e) Recopier et compléter la phrase suivante : «Un quadrilatère qui a : : : côtés de même longueur est un : : :.» 2. Que semble être un losange qui a quatre angles droits? 3. Reproduire en vraie grandeur le losange ci-contre. 4 cm 120 Partie : Le rectangle 1. Tracer deux quadrilatères ayant chacun un angle droit. Obtient-on des rectangles? 2. Tracer deux quadrilatères ayant chacun exactement deux angles droits. Obtient-on des rectangles? 3. Tracer deux quadrilatères ayant chacun trois angles droits. Que peut-on dire, dans chaque cas, du quatrième angle? Obtient-on des rectangles? 4. Recopier et compléter la phrase suivante : «Si un quadrilatère a : : : angles droits, alors ce quadrilatère est un : : :». 5. Que semble être un rectangle qui a quatre côtés de même longueur? éfinition Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Le quadrilatère est un losange.
éfinition Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Propriétés 1. Les côtés opposés d un rectangle sont parallèles et ont la même longueur. 2. Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle. Le quadrilatère est un rectangle : = ; =. éfinition Un carré est un quadrilatère qui a quatres angles droits et et ses quatres côtés de la même longueur. Le quadrilatère est un carré. Remarque Un carré a ses quatre angles droits : un carré est donc un rectangle. Un carré a ses quatre côtés de même longueur : un carré est donc un losange. Par conséquent, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Faire les exercices 5 6 7 8 F Faire les exercices 9 10 11 12 F
III/ Propriétés des quadrilatères particuliers ctivité. Propriétés des quadrilatères Partie : Propriétés du losange 1. (a) onstruire un losange tel que = 4 cm et = 5 cm. (b) Tracer les diagonales () et () et nommer I le point d intersection. Le point I s appelle le centre du losange. 2. (a) Justifier que la droite () est la médiatrice du segment []. (b) En déduire que ()? (). (c) Que peut-on dire des diagonales du losange? 3. Justifier que les diagonales [] et [] du losange se coupent en leur milieu. 4. Justifier que [ = [. 5. Justifier que la demi-droite [) est la bissectrice de l angle [. 6. Un peu de pliage (a) onstruire le losange de la question 1 sur une feuille à part. (b) Tracer les diagonales [] et []. (c) Plier le losange selon la diagonale []. Que remarquez-vous? (d) Plier le losange selon la diagonale []. Que remarquez-vous? On dit que les droites () et () sont des axes de symétrie du losange. Partie : Propriétés du rectangle Le quadrilatère ci-contre est un rectangle. I (d 1 ) La droite (d 1 ) est la médiatrice du segment []. La droite (d 2 ) est la médiatrice du segment []. (d 2 ) L O J Le point O est le point d intersection des droites (d 1 ) et (d 2 ). K 1. (a) Reproduire en plus grand la figure ci-contre. (b) Tracer les segments [O], [O] et [O]. 2. Que représentent les droites (d 1 ) et (d 2 ) pour le rectangle? 3. (a) Par pliage de la droite (d 1 ), que devient le segment []? (b) En déduire que : =.
(c) Que peut-on dire de la longueur des diagonale d un rectangle? 4. (a) Justifier que O = O, puis que O = O. (b) éduire des questions précédentes que : O = O. 5. (a) Justifier que OL = JO puis que : JO = JO. [ [ (b) En déduire que : OL = JO. 6. (a) Quelle est la mesure de l angle LOJ? Justifier la réponse. e plus, comme OL = JO, on peut démontrer que : LOJ = O. [ (b) En déduire que les points, O et sont alignés. 7. (a) Justifier que le point O est le milieu du segment []. e même, on peut démontrer que le point O est le milieu du segment []. (b) Que peut-on dire du point d intersection des diagonales d un rectangle? Partie : Propriétés du carré 1. onstruire un carré P LUS et tracer ses diagonales. 2. Justifier qu un carré est à la fois un rectangle et un losange. 3. (a) Écrire les propriétés des diagonales d un losange, puis celles d un rectangle. (b) En déduire les propriétés des diagonales d un carré. (c) oder sur la figures les propriétés des diagonales du carré P LUS. 1) Losange Propriétés Si un quadrilatère est un losange alors : ses angles opposés ont la même mesure ; ses diagonales se coupent en leur milieu ; ses diagonales sont perpendiculaires. On sait que : le quadrilatère EF GH est un losange. onc : ses angles opposés ont la même mesure : [HEF = [ HGF et [ EHG = [ EF G ; ses diagonales [HF ] et [EG] se coupent en leur milieu ; ses diagonales sont perpendiculaires (HF )? (EG). I est le centre du losange. E F I H G
2) Rectangle Propriétés Si un quadrilatère est un rectangle alors : ses côtés opposés ont la même longueur ; ses diagonales se coupent en leur milieu ; ses diagonales ont la même longueur. On sait que le rectangle ILMN est un rectangle. onc : J est le centre du rectangle ; ses côtés opposés ont la même longueur : IL = MN et IN = LM. ses diagonales [IM] et [LN] se coupent en leur milieu ; ses diagonales ont la même longueur : IM = LN. I N J L M 3) arré Propriétés Si un quadrilatère est un carré, alors : 1. O est le centre du carré ; 2. ses diagonales se coupent en leur milieu ; 3. ses diagonales sont perpendiculaires ; O 4. ses diagonales ont la même longueur. Faire les exercices 13 14 15 16 F Problèmes : Faire les exercices 17 F 18 F 19 F 20 F