Résolution de problèmes à l aide de matrices

3 Résolution de problèmes à l aide de matrices L E Ç O N Niveau : Terminale ES Prérequis : (définition d une matrice, opérations sur les matrices), fonction dérivée, intégrales, résolution d un système d équations, utilisation d un logiciel de calcul formel

Proposition : Mettre cette partie comme prérequis Matrices et opérations sur les matrices Définition d une matrice Définition 3 Matrice Soit n et p deux entiers naturels non nuls On appelle matrice réelle à n lignes et p colonnes la donnée d un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes composé de nombres réelles appelés coefficients de la matrice Une matrice à n lignes et p colonnes est dite matrice d ordre (n, p) ou de dimension n p L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels se note M n,p (R) Exemple 3 La matrice : A 7 4 3 π a lignes et 3 colonnes donc A M,3 (R) Le coefficient de la deuxième ligne et de la troisième colonne est a 3 π Définition 33 Quelques matrices particulières Soit A M n,p (R) On appelle matrice transposée de A, notée A T est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A Une matrice est dite carrée s il a même nombre de lignes que de colonnes L ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients réels se note M n (R) Exemple 34 Soit la matrice : Y est une matrice de dimension 3 : Y M 3, (R) Sa matrice transposée est : 3 8 Y, 5 9 4 7, Y T Y T est une matrice de dimension 3 : Y T M,3 (R) Égalité de matrices ( 3, 5 ) 4 8 9 7, Définition 35 Égalité de matrices Soit A et B deux matrices On dit que les matrices A et B sont égales si : A et B ont même dimension n p pour tous i, j tels que i n et j p, a ij b ij Exercice 36 Soient A 3x 0, B y Déterminer x et y pour que A et B soient deux matrices égales 0 y x 5 40 LEÇON 3 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L AIDE DE MATRICES

Solution 3x A B y x y 5 { x 4 y 3 Définition 37 Soient A et B deux matrices réelles de même ordre On appelle somme de matrices A et B la matrice notée A + B, de même ordre que A et B obtenue en ajoutant les coefficients situés en même position dans A et dans B Remarque 38 Une matrice A de dimension n p est nulle si, pour tout i n et j p, a ij 0 Définition 39 Produit d une matrice par un réel Soit A une matrice réelle et soit λ un nombre réel On appelle produit de la matrice A par le réel λ la matrice notée λa, de même ordre que A obtenue en multipliant chaque coefficient de A par le réel λ Dans le cas où λ, la matrice A est appelée opposée de A Propriétés 30 Soient A, B et C trois matrices de même ordr ; soit k et k deux nombres réels : a A + B B + A b (A + B) + C A + (B + C) c k(a + B) ka + kb d k(k A) k (ka) (kk )A 3 Produit de deux matrices Définition 3 Soit A une matrice d ordre n p et B une matrice d ordre p r : A M n,p (R) et B M p,r (R) On appelle produit des matrices A et B la matrice C (c ij ) i n, j r définie coefficient par coefficient par : c ij a i b j + a i b j + + a ip b pj La multiplication de deux matrices se fait selon le schéma suivant : p a ik b kj k Remarques 3 a Le produit A B n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B 3 MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 4

b Il peut arriver que le produt A B soit réalisable alors que le produit B A ne l est pas (problème de dimensions) c Le produit de deux matrices n est pas commutatif Propriétés 33 Soient A, B et C trois matrices réelles ; si ls opérations indiquées existent, alors on a les égalités : a A (B + C) A B + A C b (A + B) C A C + B C c A (B C) (A B) C 4 Le problème On réalise le jeu suivant : on lance 4 fois de suite un dé équilibré On multiple le résultat du premier lancer par 5, celui du deuxième par 0, celui du troisième par 5 et celui du quatrième par 0 Avec les valeurs obtenues, on retranche la deuxième à la première, on ajoute la troisième et on retranche la quatrième pour finir : on obtient le score pour la partie Si l on considère plusieurs joueurs, la personne qui obtient le score le plus élevé sur une série de 4 lancers est déclarée gagnante On prend une partie de 5 joueurs Construire la matrice des résultats affichés par le dé pour chacun des joueurs On placera les résultats de chaque série ordonnée de 4 lancers en colonne, par joueur Déterminer par un calcul matriciel le résultat de chacun des joueurs Qui a gagné? 3 Quel est le score minimal possible à ce jeu? Le score maximal Solution On note t ij (pour i 5 et pour j 4) le résultat du j e lancer du i e joueur On aura alors la matrice : t t t 3 t 4 t t t 3 t 4 T t 3 t 3 t 33 t 34 t 4 t 4 t 43 t 44 t 5 t 5 t 53 t 54 Pour obtenir le score de chaque joueur, on multiplie la matrice T par la matrice C de diagonale (5, 0, 5, 0) 5 0 0 0 C 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 La matrice T C sera donc de la forme : 5t 0t 5t 3 0t 4 5t 0t 5t 3 0t 4 P T C 5t 3 0t 3 5t 33 0t 34 5t 4 0t 4 5t 43 0t 44 5t 5 0t 5 5t 53 0t 54 Ensuite, pour obtenir le score final de chaque joueur, on multiplie la matrice P par la matrice-colonne (vecteur) V : V ( ) ( ) Ainsi : 5t 0t + 5t 3 0t 4 5t 0t + 5t 3 0t 4 P V 5t 3 0t 3 + 5t 33 0t 34 5t 4 0t 4 + 5t 43 0t 44 5t 5 0t 5 + 5t 53 0t 54 4 LEÇON 3 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L AIDE DE MATRICES

3 Pour obtenir le score minimal de ce jeu, il faut maximiser les deuxième et quatrième lancers et minimiser les premier et troisième lancers s min 5 0 6 + 5 0 6 5 60 + 5 0 60 Pour obtenir le score maximal de ce jeu, il faut minimiser les deuxième et quatrième lancers et maximiser les premier et troisième lancers s max 5 6 0 + 5 6 0 30 0 + 90 0 90 Résolution de systèmes d équations Le problème Un client achète chez un traiteur deux bouchées à la reine au ris de veau et trois oeufs en gelée pour 8, 70 e Le client suivant prend une bouchée à la reine au ris de veau et deux oefus en gelée pour 0, 60 e Déterminer le prix d une bouchée à la reine au riz de veau et d un oeuf en gelée La théorie Matrices inversibles Définition 34 Matrice identité La matrice I n de dimension n n définie de la manière suivante : 0 0 0 0 I n 0 0 est appelée matrice d identité d ordre n Définition 35 Matrice inversible Soit A une matrice carrée d ordre n On dit que la matrice A est inversible s il existe une matrice carrée B d ordre n telle que : A B I n Propriété 36 Soit A une matrice carrée d ordre n S il existe une matrice carrée B d ordre n telle que A B I n, alors B est unique B est appelée l inverse de la matrice A et se note A Démonstration Supposons qu il existe B et C carrées d ordre n telle que A B A C I n On a a : B B I n B (A C) (B A) C I n C C 3 RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D ÉQUATIONS 43

Résolution de systèmes Propriété 37 Tout système d équations linéaires peut s écrire sous forme matricielle a a n où A a p a pn a x + + a n x n b a p x + + a pn x n b p est la matrice du système B AX B b b p et X x x n Pour résoudre le sysètme précédent, si la matrice A est inversible, on a : AX B A (AX) A B D après l associativité du produit matriciel : A (AX) A B (A A) X A B Ainsi : I n X X A B Et finalement : X A B On détermine ainsi aisément x et y à l aide d un calcul matriciel 3 Matrices inversibles Propriété 38 Admise Soit A a b c d une matrice La matrice A est inversible si et seulement si ad bc 0 Si tel est le cas, A d b ad bc c a 3 Solution du problème Solution On cherche : x le prix d une bouchée à la reine y le prix d un œuf en gelée On doit résoudre le système matriciel suivant : 3 x AX B y 8, 70 0, 60 La matrice A est inversible car 3 et la matrice A s obtient de la manière suivant : A 3 On peut donc résoudre le système matriciel : On effectue le calcul : AX B X A B X A 8, 70 B 3 0, 60 8, 70 + 0, 60 8, 70 3 0, 60, 50 5, 60 44 LEÇON 3 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L AIDE DE MATRICES

3 Matrice de Leontief Définition 39 On considère n types de productions et ces consommations intermédiaires entre elles On appelle coefficient technique le rapport entre laconsommation intermédiaire d un produit par une branche et la production totale de la blanche Soit C la matrice des coefficients techniques C (c est une matrice carrée d ordre n) On appelle matrice de Leontief la matrice L I C Remarques 30 a Si L représente la matrice de Léontief d un secteur d activité, le terme d indice (i, j) de la matrice L est le montant dont le secteur i doit augmenter sa production pour satisfaire à une augmentation de la demande finale d une unité de la part du secteur j b Si le terme (i, j) de la matrice L est nul, cela signifie que toute augmentation d une unité de la demande du secteur n o j n influence pas la production totale du secteur n o i Exercice 3 On considère une économie fermée à deux secteurs dont on donne la matrice C des coefficients techniques, 0, 0, C 0, 3 0, 4 Calculer la demande finale correspondant à un niveau de production P ( 50 30 ) Déterminer à l aide d une matrice inverse les niveaux de production nécessaires pour répondre à une demande finale D ( 00 50 ) Démonstration La demande finale est donné par LP D F où L est la matrice de Leontief L I C D où : 0, 0, 50 0, 8 0, 50 43 D F (I C) P 0, 3 0, 4 30 0, 3 0, 6 30 33 On doit résoudre le système matriciel suivant : 00 50 0, 8 0, P 0, 3 0, 6 d inconnue P La matrice C ( 0,8 0, ) 0,3 0,6 est inversible car 0, 8 0, 6 0, 0, 3 0 D où : ( 4 ) C 3 9 On peut ainsi déterminer les niveaux de production : P ( 4 3 9 3 6 9 3 6 9 ) ( 00 300 ) 9 50 400 9 4 Courbes polynomiales D après BAC Pro Aéronautique 008 Après arrêt d un moteur turbo propulseur, l hélice d un avion continue de tourner librement jusqu à son arrêt Son mouvement est un mouvement de rotation uniformément décéléré Le nombre de tours N effectués en fonction du temps t (en secondes) est donné par N f(t) at + bt, où a et b sont des réels à déterminer et t [0, 75] 33 MATRICE DE LEONTIEF 45

Sachant que l hélice étudiée effectue 50 tours en 0 secondes et 50 tours en une minute, déterminer le système d équations d inconnues a et b correspondant à ces données Résoudre ce système à l aide d un calcul matriciel et en déduire l expression de f(t) 3 On admet que la fréquence de rotation de l hélice est donnée par la dérivée f de la fonction f Déterminer f (t) pour t [0, 75], puis déterminer le nombre de tours effectués par l hélice jusqu à son arrêt Solution Avec les données, on doit résoudre le système d équations (d inconnues a et b) suivant : { 400a + 0b 50 3600a + 60b 50 La résolution du système d équations est équivalente à la résolution du système matriciel suivant : ( 400 0 a 50 AX B 3600 60) b 50 La matrice A est inversible car 400 60 3600 0 0 et ( A 800 On a alors : X A B a b ( 400 3 40 0 400 800 3 40 0 On en déduit une expression de f(t) : f(t) 0 t + 9 t 3 La fonction dérivée de f se calcule facilement : La fréquence devient nulle quand ) ) 50 50 f (t) 0 t + 9, pour tout t [0, 75] f (t) 0 0 t + 9 0 t 90 7, 5, 4 0 9 c est-à-dire que les hélices s arrênt à t 7, 5 Le nombre de tours d hélices effectués par l hélice jusqu à son arrêt est donnée par : 7,5 7,5 f(t) dt 0 0 0 t + 9 t dt ] 7,5 [ t3 30 + 9t 7, 53 9 7, 5 + 508 4 30 4 Il faut 508 tours d hélices pour que l hélicoptère s arrête complétement 0 5 Trigonalisation de matrices Une matrice carrée d ordre n est trigonalisable s il existe une matrice carrée P d ordre n inversible et une matrice T triangulaire d ordre n telles que A P T P On considère les matrices A et P ci-dessous 0 A 6 0 5 et P 5 0 0 On admet que P est inversible 46 LEÇON 3 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L AIDE DE MATRICES

À l aide d un logiciel de calcul formel, calculer P AP Quelle est la forme de la matrice obtenue? Que peut-on déduire pour la matrice A? Pour la suite, on posera T P AP 3 Exprimer A puis A 3 en fonction de P, T et P 4 Déterminer l expression de A n (n N ) en fonction de P, T et P 5 On admet que T n (n N ) a pour expression 6n 3n(n ) T n 0 n 0 0 Déterminer les coefficients de A n en fonction de n 6 Vérifier vos résultats en remplaçant n par Solution A : [[,,],[-6,0,5],[0,,]] [[,,], [-6,0,5], [0,,]] P : [[,,0],[-,5,0],[,,]] [[,,0], [-,5,0], [,,]] inv(p) [[5/6,-/6,0], [/6,/6,0], [-,0,]] inv(p)*a*p [[,6,0], [0,,], [0,0,]] 6 0 La matrice A est trigonalisable car il existe T 0 une matrice triangulaire et P une matrice d ordre 3 telle que : 0 0 T P AP A P T P 3 On exprime A et A 3 en fonction de P, T et P : A (P T P ) P T P P T P P T T P P T P A 3 (P T P )(P T P ) P T 3 P 4 De proche en proche, on obtient : A n P T n P 5 Sur Xcas, on obtient : T : [[,6*n,3*n*(n-)],[0,,n],[0,0,]] [[,6*n,3*n*(n-)], [0,,n], [0,0,]] P * T * inv(p) [[(5+6*n+-(3*n*(n-)+n)*6)/6,(-+6*n+)/6,3*n*(n-)+n], [(-5-6*n+5-(-3*n*(n-)+5*n)*6)/6,(-6*n+5)/6,-3*n*(n-)+5*n], [(5+6*n+-(3*n*(n-)+n+)*6)/6,(-+6*n+)/6,3*n*(n-)+n+]] 35 TRIGONALISATION DE MATRICES 47

6 Pour n, n : P * T * inv(p) [[-5,,8], [-6,-,4], [-6,,9]] 48 LEÇON 3 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L AIDE DE MATRICES