SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES

SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I Suites de matrices colonnes ) Exemples : a) La suite ( U n ) définie pour tout entier naturel n par U n n n + est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériues ( u n ) et ( v n ) définies pour tout entier naturel n par u n n et v n n + b) Soit deux suites numériues couplées ( u n ) et ( v n ) définies pour tout entier naturel u n par : u, v 4 et n+ u n v n + v n+ u n + 5v n 4 On pose pour tout entier naturel n : U n On pose encore : A On a alors U 4 5 récurrence : U n+ + B u n v n et B 4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de En effet : AU n + B 5 u n v n + 4 u n v n + u n + 5v n 4 u n+ v n+ U n+ c) Soit une suite numériue ( u n ) définie par une relation de récurrence d'ordre : u, u et u n+ u n+ + u n On pose pour tout entier naturel n : U n On pose encore : A u n u n+ Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

On a alors U récurrence : U n+ En effet, AU n et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de u n u n+ u n+ u n + u n+ u n+ u n+ U n+ ) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes ( U n ) de taille p telle ue pour tout entier naturel n, on a U n+ où A est une matrice carrée de taille p Alors, pour tout entier naturel n, on a : U n A n U Démonstration : On démontre cette propriété par récurrence Initialisation : U A U car A I p Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons u'il existe un entier k tel ue la propriété soit vraie : U k A k U - Démontrons ue : La propriété est vraie au rang k + : U k + A k + U U k + AU k A( A k U ) ( AA k )U A k + U Conclusion : La propriété est vraie pour n et héréditaire à partir de ce rang D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : U n A n U Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices Vidéo https://youtube/6u4kl4oi Soit deux suites numériues couplées ( u n ) et ( v n ) définies pour tout entier naturel n par : u, v et Calculer u 6 et v 6 u n+ u n v n v n+ u n + v n On pose pour tout entier naturel n : U n On pose encore : A u n v n Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

On a alors U récurrence : U n+ et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de On alors U n A n U et donc en particulier U 6 A 6 U Soit en s'aidant de la calculatrice : U 6 6 65 66 On en déduit ue u 6 46 et v 6 46 46 46 II Convergence de suites de matrices colonnes Définitions : On dit u'une suite de matrices colonnes U n ( ) de taille p est ( ) sont convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U n convergentes La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues Dans tous les autres cas, on dit ue la suite est divergente Exemples : Vidéo https://youtube/dbpr-q_s a) La suite ( U n ) définie pour tout entier naturel n par U n car lim n + et lim n + + n + n + n n + b) La suite ( U n ) définie pour tout entier naturel n non nul par U n convergente et sa limite est la matrice colonne U est divergente n est n + n + Propriété : ( U n ) est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence U n+ + B où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes Si la suite U n ( ) est convergente alors sa limite U est une matrice colonne vérifiant l'égalité U AU + B Démonstration : lim n + U n+ U et lim n + AU n + B AU + B Par unicité des limites, on a U AU + B Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

4 Méthode : Recherche d'une suite constante vérifiant une relation de récurrence Vidéo https://youtube/c--yf-o4a Soit une suite ( U n ) de matrices colonnes définies pour tout entier naturel n par U n+ + B avec A,5 Rechercher, si elle existe, la suite U n et B ( ) constante Résolvons l'éuation matricielle U AU + B Soit U AU B soit encore ( I A)U B Et donc U ( I A) B I A,5,5 A l'aide la calculatrice, on obtient : ( I A),5 Et donc : U ( I A) B La suite ( U n ) constante cherchée est donc U n III Graphes et marches aléatoires ) Graphe Dans une éuipe de football, on étudie les passes ue se font trois attauants A, B et C Les probabilités u'un attauant passe le ballon à un autre sont représentées sur le schéma suivant Par exemple, la probabilité ue l'attauant A passe le ballon à l'attauant B est égale à Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

Un tel schéma est appelé un graphe A, B et C sont appelés les sommets du graphe 5 ) Marche aléatoire On considère la variable aléatoire X n prenant les valeurs A, B ou C à l'étape n A, B ou C s'appelle les états de X n Par exemple, X B signifie ue l'attauant B possède le ballon après la e passe La suite de variables aléatoires ( X n ) est appelée marche aléatoire sur l'ensemble des issues { A, B,C} Dans une marche aléatoire, l'état du processus à l'étape n + ne dépend ue de celui à l'état n, mais non de ses états antérieurs Ainsi, la probabilité ue l'attauant C possède le ballon ne dépend ue de la position précédente du ballon (en A ou en B) mais non de ses positions antérieures ) Probabilité de transition On considère la loi de probabilité de X n, appelée probabilité de transition, ui donne la probabilité u'un attauant possède le ballon à l'étape n (n-ième passe) On note par exemple P X X n A ( C n+ ) la probabilité ue le ballon se trouve chez l'attauant C après la n+-ième passe sachant ue c'est l'attauant A ui envoie le ballon Il s'agit d'une probabilité conditionnelle 4) Matrice de transition Définition : La matrice de transition d'une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j est la probabilité de transition du sommet j vers le sommet i Vidéo https://youtube/gmm_yf6qtli Dans l'exemple, la matrice de transition est : Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

6 On trouve par exemple à l'intersection de la première ligne et de la deuxième colonne la probabilité ue le ballon arrive chez l'attauant A sachant u'il se trouvait chez l'attauant B Remarues : - Le coefficient a de la matrice M est nul car la probabilité ue l'attauant A garde le ballon est nulle Il en est de même pour les coefficients a et a - La somme des coefficients d'une même colonne d'une matrice de transition est égale à Définition : La matrice colonne des états de la marche aléatoire après n étapes est la matrice colonne dont les coefficients sont les probabilités d'arrivée en chaue sommet après n étapes Exemple : Dans l'exemple des passeurs au football, la matrice colonne des états après la e étape donnerait les probabilités ue le ballon se trouve chez l'attauant A, chez l'attauant B et chez l'attauant C après passes L'arbre de probabilité ci-contre permet de résumer les probabilités de transition de l'étape n à l'étape n+ A l'aide de la formule des probabilités totales, on a : p n+,5 n + 4 r n n+ p + n 4 r n r n+ p +,5 n n Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

On note P n p n n étapes On a alors : P n+ MP n r n la matrice colonne des états de la marche aléatoire après n Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition M et dont la matrice colonne des états à l'étape n est P n Pour tout entier naturel n, on a : P n+ MP n et P n M n P Exemple : Vidéo https://youtube/eepx5skro Dans l'exemple précédent, on suppose l'attauant A possède le ballon à l'étape La matrice colonne des états après la e étape est égale à : P M P On a P car le ballon part de A,5 4 Avec la calculatrice, on obtient : M 4,5 Donc P M P 4 6 48 4 48 6 4 4 6 4 6 48 4 48 6 4 Ainsi par exemple, la probabilité ue l'attauant C possède le ballon après la e passe est égale à,4 Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

IV Etude asymptotiue d'une marche aléatoire 8 ) Marche aléatoire convergente Définition : On dit u'une marche aléatoire de matrice de transition M est convergente si la suite des matrices colonnes ( P n ) des états de la marche aléatoire converge Définition : Si la suite ( P n ) des états d'une marche aléatoire convergente vérifient P n+ MP n alors la limite P de cette suite définit un état stable solution de l'éuation P MP Méthode : Etudier le comportement asymptotiue d'une marche aléatoire à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel Vidéo https://youtube/vopxnftmipq On considère la marche aléatoire sur le graphe ci-dessous où l'on part de A : A l'aide de la calculatrice, déterminer l'état stable de cette marche aléatoire On admet ue la marche aléatoire est convergente,5 La matrice de transition est M,5,5,5 Pour tout entier naturel n, on a : P n+ MP n où P n des états de la marche aléatoire On a donc : P n M n P avec P car on part de A A l'aide de la calculatrice, calculons par exemple P : ( ) est la suite des matrices colonnes Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

On peut effectuer les calculs pour des puissances de M de plus en plus grande On constate ue l'état stable semble être la matrice colonne P 4 L'état stable P vérifie l'éuation P MP, en effet : Remarue : Cette méthode ne prouve pas ue la marche aléatoire est convergente En supposant u'elle l'est, elle permet seulement de déterminer l'état stable ) Cas d'un graphe à deux sommets Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition M sur un graphe à deux sommets où < p < et < < : p Alors on a M p et la suite des matrices colonnes P n marche aléatoire converge vers un état stable P tel ue P MP P ne dépend pas de l'état initial P ( ) des états de la Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

Démonstration : Pour tout entier naturel n, on note P n Comme P n+ MP n, on a : p n+ p p n n avec p + n n ( ) p n + n ( p) p n + ( p n ) ( p ) p n + Pour tout entier naturel n, on pose u n p n u n+ p n+ p + ( p ) p n + p p + ( ) p n ( p ) ( ) p n p ( p )u n p + p + et on a : p + ( u n ) est donc une suite géométriue de raison p Comme < p + <, on a p < et donc u n D'où ( p n ) converge vers p + Comme n p n, ( n ) converge vers Les limites de ( p n ) et n p p + ( ) converge vers ( ) ne dépendent donc pas de l'état initial Méthode : Etudier le comportement asymptotiue d'une marche aléatoire sur un graphe à deux sommets Vidéo https://youtube/eovtovthvs On considère la marche aléatoire sur le graphe ci-dessous : Etudier la convergence de la marche aléatoire Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr

La matrice de transition est M, 4,,6, Pour tout entier naturel n, on a : P n+ MP n où P n des états de la marche aléatoire L'état stable P p Ainsi, on a le système,6 p,,,6 p p vérifie l'éuation P MP, soit p p,4 p +,,6 p +, Comme p +, on a p p et donc p et ( ) est la suite des matrices colonnes,4,,6, L'état stable du graphe est donc P Cela signifie ue uelue soit l'état initial (départ de A ou de B), les probabilités d'être en A et en B tendent respectivement vers et p Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres ue celles prévues à l'article L -5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur wwwmaths-et-tiuesfr/indexphp/mentions-legales Yvan Monka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiuesfr