Classe : 11 ème Sciences CHAPITRE 5 SUITES NUMÉRIQUES Domaine : Sciences, Mathématiques et Technologies Compétences : Résoudre une situation problème Composantes : Diagnostiquer la situation problème, mettre à l essai des pistes de solutions et partager les informations relatives à la démarche. Manifestations : Sélectionner les données mathématiques, scientifiques et technologiques qui sont en rapport avec la situation, Ressources éducatives : Professeur, élèves, matériels didactiques Stratégies d animation : Travaux en groupe (pédagogie active). Contenu Séquence 1 : Généralités 1) Suites numériques a) Approche 1 en groupe de travail On considère la fonction de la variable entière définie par : On appelle suite numérique ou suite de nombre réels, toute fonction de dans R définie à partie d un certain rang. 2) Différentes formes d une suite numérique Les suites peuvent être définies sous diverses formes : a) Forme explicite Exemple la suite avec. définie par Cette suite est définie explicitement. b) Forme de récurrence Exemple Les suites peuvent être définies par le premier terme et une formule de récurrence exprimant en fonction de pour tous a) Calculer, b) Pour quelle valeur de on a On dit que la fonction est une suite de nombre réel ou simplement suite numérique. On note Les termes rang 0, 1, 2, 3, Attention!!! sont les termes d indice ou de À ne pas confondre la suite et le terme d indice (sans parenthèse) c'est-à-dire le terme général. b) Approche 2 en groupe de travail Soient les termes d une suite numérique :, 1) Conjecturer une formule claire vérifiée par les premiers termes connus de cette suite. 2) A l aire de cette formule obtenue, calculer c) Définition c) Forme graphique i) Représentation graphique sur un axe la suite définie par On a la représentation de cette suite sur l axe 0 1 2 3 4 5 ii) Représentation graphique dans un repère Dans un repère ; le graphique de la fonction étant tracé, la représentation graphique de la suite est formée de points isolés de cordonnées Alors les indices sont représentés sur l axe des abscisses et les termes sont représentés sur l axe des ordonnées. Par exemple, soit la suite La représentation de cette suite s obtient à l aide de la fonction affine. 5 4 3 0 1 2 3 Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 20
Les points isolés sont : représentation graphique de la suite. d) Forme en tableau de valeurs Exemple le tableau suivant :. constituent la d) 4) Représentation graphique d une suite La représentation graphique d une suite dans un repère est l ensemble des points de coordonnées Évaluation 2 n 0 1 2 3 4 5 4 6 8 10 12 14 Représenter graphiquement la suite définie par Ce tableau correspond au tableau de valeur de la suite. 3) Monotonie ou sens de variation d une suite a) Approche 3 en groupe de travail la suite définie par : a) Calculer,, et b) Comparer les deux à deux et conclure. Séquence 2 : Initiation au raisonnement par récurrence Approche 4 en groupe de travail la relation : pour tout, a) Vérifier que cette relation est vraie à l ordre b) Cette relation est-elle vraie à l ordre 20? c) Si elle est vraie à l ordre 20 et à l ordre 21, 22. On dit que la suite est une suite décroissante. On dit qu on a fait un raisonnement par récurrence. b) Définitions 1) une suite quelconque de nombres réels -La suite est croissante (respectivement strictement croissante) à partie du rang lorsque (respectivement pour tout -La suite est décroissante (respectivement strictement décroissante) à partir du rang lorsque (respectivement pout tout -La suite est stationnaire s il existe tel que pour tout. -La suite est constante lorsque pour tout du domaine de définition de. -La suite est monotone si elle est croissante ou décroissante à partir du rang. 2) Lorsque la suite est explicitement définie par, on étudie le sens de variation de la fonction sur R. Ainsi si est croissante est croissante, si est décroissante, est décroissante. Évaluation 1 Étudier la monotonie des suites suivantes : a) b) c) Méthode du raisonnement une proposition qui dépend d un entier et soit un entier fixe. Principe du raisonnement par récurrence Si la propriété la propriété est vraie et si l implication est vraie pour, est vraie pour tout entier Méthodologie du raisonnement par récurrence On effectue deux étapes successives. 1 ère Étape : Initialisation On commence par vérifier que 2 ème Étape : Hérédité est vraie. Ensuite, on montre que si est vraie est vraie. Évaluation 3 1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : 2) Prouvez que est divisible par 7 Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 21
Séquence 3 : Suites arithmétiques a) Approche 5 en groupe de travail On donne les suites de nombres entiers définies par..,,, et Quelle relation existe-t-il entre ces nombres? On dit que les termes sont les termes consécutifs d une suite arithmétique de raison 3. b) Définition Une suite est dite arithmétique lorsqu on passe de chaque terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre, c'est-à-dire pour tout indice. est appelé la raison de c) Reconnaissance d une suite arithmétique Pour montrer qu une suite est arithmétique : - On doit montrer que pour tout, - On écrit sous la forme (avec la raison) Évaluation 4 En sommant nombre par nombre, on a : Par simplification, : D où Évaluation 5 : Application de la formule à l Approche 6 une suite arithmétique de 1 er terme et de raison 2. Calculer maintenant en deux minutes. e) Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique Approche 7 en groupe de travail On considère la suite définie par Calculer rapidement en une minute la somme : Prouver que est une suite arithmétique. d) Expression du terme général d une suite arithmétique Approche 6 en groupe de travail une suite arithmétique de 1 er terme et de raison 2. Calculer en deux minutes Encore un calcul fastidieux!!! une suite arithmétique et et tels que la somme des termes consécutifs, on a : Impossible de trouver le résultat en 2 min. Un calcul fastidieux!!! peut s écrire également On doit faire recours à une formule classique. (2) une suite arithmétique de 1 er terme et de raison avec. On a : En faisant (1) + (2) On obtient : On sait que Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 22
a) Prouver que est suite arithmétique dont on précisera sa raison. Et on sait encore que : b) Étudier le sens de variation de et Séquence 4 : Suites géométriques a) Approche 8 en groupe de travail Par suite jusqu à facteurs : Dans un service, le Directeur, le Comptable, le secrétaire et le gardien ont partagé une certaine somme et chacun a reçu respectivement la somme de, puisque est une suite arithmétique de 1 er terme et 1) Calcul les rapports suivants :. de raison, on a 2) Quelles relations lient les gains de ces personnes? Évaluation 6 Donner une réponse à l approche 7 Évaluation 7 Calculer la somme -Les termes et dans cet ordre sont 3 termes consécutifs d une suite arithmétique ou progression arithmétique si et seulement si. -Si est une suite arithmétique, sa représentation est constituée de points alignés Évaluation 8 Soient les trois termes consécutifs d une suite arithmétique. Calculer ses trois termes sachant que leur somme est 9 et que la somme de leur carré est 59. f) Monotonie d une suite arithmétique une suite arithmétique de raison Si est strictement croissante Si est constante Si est strictement décroissante. Évaluation 9 On donne la suite telle que On dit que les parts G, S, C et D sont les termes consécutifs d une suite géométrique de raison 3. b) Définition Une suite est dite suite géométrique lorsqu on passe de chaque terme au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre c'est-à-dire est appelé la raison de la suite géométrique. c) Reconnaissance d une suite géométrique Pour démontrer qu une suite est géométrique, on montre que R ou on écrit sous la forme avec Évaluation 10 On définit la suite Prouver que la raison de la suite. telle que est une suite géométrique. d) Expression du terme général d une suite géométrie Approche 9 en groupe de travail L effectif du LMMS était de 3026 élèves en 2012. Cet effectif augmente de 0,75% chaque année. Quel sera l effectif en 2016? Étant donnée une suite géométrique de 1 er terme et de raison. On a : Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 23
En faisant le produit membre par nombre on a : Par simplification C'est-à-dire Évaluation 11 récurrence une suite géométrique définie par la relation de Calculer le cinquième terme. d) Somme des termes consécutifs d une suite géométrie Approche 10 en groupe de travail Calculer la somme partagée par les quatre personnes dans l Approche 8 On dit que l on a fait la somme des 4 termes consécutifs d une suite géométrique de 1 er terme 1500 et de raison une suite géométrique de raison, et deux entiers naturels et le 1 er terme. En désignant par la somme des termes consécutifs de la suite, on a : (1) Et (2) Évaluation 12 Calculer les sommes des 10 premiers termes consécutifs d une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2. Les trois termes et forment une progression géométrique ssi. e) Monotonie d une suite géométrique une suite géométrique de raison -Si strictement croissante -Si constante -Si strictement décroissante -Si Évaluation 13, on ne peut pas étudier la monotonie. Étudier la monotonie de la suite suivante : f) Suites arithmético géométriques i) Définition On nomme suite, arithmético-géométrique, une suite à la fois arithmétique et géométrique, c'est-à-dire les suites de la forme ou R. ii) Reconnaissance de suite arithmético-géométrique -Si est une suite arithmétique de raison -Si, on pose la suite définie par Évaluation 14 est une suite géométrique de raison. En faisant On considère la suite telle que Par simplification Calculer Puisque g) Problème concret utilisant les suites arithmétiques et géométriques Évaluation 15 Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 24
La population d un petit village de la région de Sikasso est de 2 041 habitants en 2012. Cette population croit chaque année de 0,7%. a) Quelle serait l effectif de la population en 2019? b) En quelle année la population aurait atteint 3000 On considère la suite définie par Pour les valeurs de de plus en plus grande, compléter le tableau suivant puis conclure. 10 20 135 1005 4000 habitants? Évaluation 16 Un propriétaire désire vendre sa maison qui comporte deux étages de 16 marches chacun. L acheteur devra payer 10 F pour 1 ère marche, 20 F pour la 2 ème marche, 40 F pour la 3 ème marche, ainsi de suite en doublant chaque fois jusqu à la dernière marche. Quel est le prix de vente de cette maison? On dit que la limite de quand tend vers plus l infinie est moins l infinie. On note Quelques limites référence Séquence 5 : Limite d une suite 1) Limite d une suite à l infini a) Approche 11 en groupe de travail On considère la suite définie par Pour les valeurs de de plus en plus grande, compléter le tableau suivant puis conclure. 10 102 1025 100000 90000000 On dit que la limite de quand tend vers plus l infinie est finie et égale à 4. On note b) Approche 12 en groupe de travail la suite définie par pour tout. Pour les valeurs de de plus en plus grande, compléter le tableau suivant puis conclure. 2 20 135 500 1012 2) Propriétés La limite d une suite en se calcule comme la limite d une fonction en quand la variable tend vers +. Les règles opératoires au voisinage de + pour les limites des suites sont les même pour les fonctions numérique. -La limite d une suite en + est égale à la limite de la suite monôme du plus haut degré. -La limite d une suite rationnelle en + est égale à la limite du rapport de la suite polynôme ayant le monôme du plus haut degré au numérateur et la suite polynôme ayant le monôme le plus haut degré du dénominateur 3) Opération sur les limites Étant données et deux suites numériques ayant une limite finie (réel ou infinie On a les limites suivantes : On dit que la limite de quand tend vers plus l infinie est plus l infinie. On note c) Approche 13 en groupe de travail Limites d une somme + + +? - -? - : Les notations «?» signifie qu il s agit d une forme indéterminée c'est-à-dire que l on ne peut pas donner un résultat. Le résultat dépendre des situations. Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 25
Limite d un produit o Si (les deux divergent également) Évaluation 18 + - - + Étudier la limite de b) Encadrement quand Les résultats dépendent de ou c'est-à-dire : ou Dans le cas ou et R Étant données réels telles que trois suites de nombres Si les suites convergent vers le réel c'est-à-dire (Théorème des gendarmes) Évaluation 19 Limite d un quotient Déterminer pour 5) Notion de comportement asymptotique d une suite numérique + 0?? - 0?? a) Suite convergente Une suite est dite convergente ou admettant de limite réel ou finie s il existe un nombre réel tel que pour tout intervalle (ouvert) de centre contient tous les termes à partir d un certain rang. On note Dans le cas ou R et Si la suite est convergente, est bornée Les formes indéterminées sont du type 1) 2) Évaluation 20 Étudier la convergence de la suite b) Convergence d une suite géométrique 3) Étant donnée une suite géométrique de raison 4) ou Évaluation 17 Déterminer les limites suivantes : 1) 2) 3) 4) 4) Théorèmes de comparaison et d encadrement a) Comparaison - diverge vers - est constante si - convergence vers 0 si - ne converge ni diverge si c) Suite divergente Une suite est divergente si elle est non convergente. En d autre terme diverge vers + lorsque tout intervalle ouvert du type ] contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Évaluation 21 Étant données deux suites telles que Étudier le caractère convergent de la suite suivante : o Si (les deux divergent. Polycopié de cours Chapitre 5 : Suites Numériques 11 ème Sciences Lycée TATA, Sikasso Page 26