I Généralités sur les suites Généralités Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel. L image par u d un entier naturel n est notée un et se lit «u indice n». un est le terme général de la suite. Modes de générations de suites Une suite peut être définie : à partir d une fonction f de la variable n : un = f(n). à partir d une relation de récurrence : (un) est alors définie par son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir d un ou plusieurs termes précédents. 1) Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = n² + n + 5. vn = f(n) avec f(x) = x² + x + 5 v0 = f(0) = 0² + 0 + 5 = 5 v1 = f(1) = 1² + 1 + 5 = 8 v100 = 100² + 100 + 5 = 10 05. ) Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, par la relation : un+1 = 3 un + 1. u1 = 3 u0 + 1 = 3 1 + 1 = 4 u = 3 4 + 1 = 13 u3 = 3 13 + 1 = 40. Avec un tableur : Pour la suite (un) définie ci-dessus, on écrit le premier terme dans la cellule B, on entre la formule = 3*B + 1 dans la cellule B3, puis on recopie vers le bas. Exemple d algorithme permettant de calculer des termes d une suite Soit (un) la suite définie par u0 = A et un+1 = un - 1 pour n. L algorithme suivant permet d obtenir le terme de rang N de la suite (un). Saisir A Saisir N U prend la valeur A Pour I variant de 1 à N U prend la valeur *U 1 Fin Pour Afficher U La valeur de u0 est entrée dans la variable A. La valeur de A est entrée dans la variable U. On calcule les termes de rang 1,, 3, N à l aide d une boucle Pour et de la relation de récurrence. A la sortie de la boucle, on affiche le terme de rang N. 1
Représentation graphique d une suite On peut placer les points de coordonnées An(n ; un) dans un repère (O ; I, J) du plan. représentation graphique des premiers termes de la suite (un), définie pour tout entier naturel n par un = -n² + 5n + 3. Comme u0 = 3, u1 = 7, u = 9, u3 = 9, u4 = 7, u5 = 3, u6 = -3, on obtient les points : A0(0 ;3), A1(1 ;7) ; A( ;9) ; A3(3 ;9), A4(4 ;7) ; A5(5 ;3), A6(6 ;-3). II Sens de variation d une suite Définitions Définitions : La suite u est croissante si, pour tout n, un+1 un. La suite u est décroissante si, pour tout n, un+1 un. La suite u est constante si, pour tout n, un+1 = un. Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante. La suite des entiers naturels pairs (0 ; ; 4 ; 6 ; 8 ;.) est une suite croissante et donc monotone. La suite des décimales de (1 ;4 ;1 ;5 ;9 ; ;.) n est pas monotone. Remarque : Lorsque la suite u est définie par une relation un = f(n), où f est une fonction monotone sur [0 ; + [, la suite u est aussi monotone et a le même sens de variation que f. III Les suites arithmétiques Une suite (un) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r, appelée raison. Pour tout entier naturel n, on a un+1 = un + r. La suite arithmétique de premier terme -3 et de raison 3 a pour termes : -3 ; 0 ; 3 ; 6 ; 9 ;.. La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
Le terme général d une suite arithmétique u de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + n r Si (un) est la suite arithmétique de raison - et de premier terme u0 = 1 alors, pour tout entier naturel n, un = 1 - n. Soit (un) une suite. S il existe deux réels a et b, tels que pour tout entier naturel n, un = a n + b, alors la suite (un) est arithmétique de raison a et de premier terme b. Les points An(n ;un) sont alignés si, et seulement si, la suite (un) est arithmétique. La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3n est arithmétique de raison 3 et de premier terme u0 = -. Les points An(n ;un) appartiennent à la droite d équation y = 3x. Pour une suite arithmétique (un), la variation absolue un+1 un est constante. La variation absolue d une suite arithmétique étant constante, on dit que l évolution est linéaire. un = 9 3n : la variation absolue est constante et négative. 3
vn = - + n : la variation absolue est constante et positive. Sens de variation des suites arithmétiques Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, la suite (un) est croissante. Si r < 0, la suite (un) est décroissante. Si r = 0, la suite (un) est constante. La suite arithmétique (un) de premier terme -5 et de raison 4 est croissante car sa raison 4 est strictement positive. La suite arithmétique (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = -3n + 5 est décroissante car (vn) est arithmétique de raison -3 strictement négative. III Les suites géométriques Une suite (un) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q, appelée la raison. Pour tout entier naturel n, un+1 = q un. La suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison a pour premiers termes : 1 ; ;4 ;8 ;16. La suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison 1 a pour premiers termes : 3 ; 3 ; 3 4 ; 3 8 ; 3 16. Le terme général d une suite géométrique u de raison q et de premier terme u0 est : un = u0 q n. Si (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = et de raison q = 3, alors pour tout entier naturel n, un = 3 n. Soit (un) une suite. S il existe deux réels a et b, a strictement positif, tels que pour tout entier naturel n, un = b a n alors la suite (un) est géométrique de raison a et de premier terme b. 4
La suite (un) définie pour tout entier naturel n, par vn = 0 1,06 n est géométrique de raison 1,06 et de premier terme u0 = 0. vn Si (un) est une suite géométrique ne s annulant pas, alors la variation relative constante. vn+1 vn vn est La variation relative d une suite géométrique étant constante, on dit que l évolution est exponentielle. un = n vn = 1 3 n Sens de variation des suites géométriques Soit q un réel strictement positif. Si q > 1, la suite géométrique de terme général q n est croissante. Si q = 1, la suite géométrique de terme général q n est constante. Si 0 < q < 1, la suite géométrique de terme général q n est décroissante. Les suites géométriques de terme général 1,5 n ; n ; 5 n sont croissantes. Les suites géométriques de terme général 3 7 n ; 0,6 n ; 1 n sont décroissantes. 5