Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance

Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance Afef Sellami To cite this version: Afef Sellami. Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance. Mathématiques [math]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 2005. Français. <tel-00011586> HAL Id: tel-00011586 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011586 Submitted on 10 Feb 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÙÔ Ò º ºÊº Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ð ÓÒ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ò Ë Ò ÖÖ Ø Ù ¾ ÚÖ Ð ¾¼¼¾µ ËÔ Ð Ø Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÔÐ ÕÙ ÈÖ ÒØ Ô Ö Ë ÄÄ ÅÁ ½¾ Ñ Ö ¾¼¼ Å Ø Ó ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð ÐØÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ò ÂÍÊ Ö Ø ÙÖ Ø Ê ÔÔÓÖØ ÙÖ ËÙ Ö ÒØ ÁÒÚ Ø ÅÓÒ ÙÖ ÐÐ È Ë ÈÖÓ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÎÁ ÅÓÒ ÙÖ ÀÙÝ Ò ÈÀ Å ÈÖÓ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÎÁÁ Å Ñ Î Ð ÒØ Ò ÆÇÆ¹ Ì ÄÇÌ ÈÖÓ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È Ö Î ÅÓÒ ÙÖ Ö ÒÓ Ä Ä Æ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ð³ÁÊÁË ¹ÁÆÊÁ Ê ÒÒ ÅÓÒ ÙÖ ÎÐ ÄÄ ÈÖÓ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Å ÖÒ ¹Ð ¹Î ÐÐ ÅÓÒ ÙÖ Ö Ø Ò ÊÇ ÊÌ ÈÖÓ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÙÔ Ò Å Ñ Ò ËÍÄ Å Ö ØÖ Ö Ö Ð³ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ

Ä³ÍÒ Ú Ö Ø Ò³ ÒØ Ò ÓÒÒ Ö ÙÙÒ ÔÔÖÓ Ø ÓÒ Ò ÑÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÜ ÓÔ Ò ÓÒ Ñ Ò Ð Ø ÓÔ Ò ÓÒ Ó Ú ÒØ ØÖ ÓÒ Ö ÓÑÑ ÔÖÓÔÖ Ð ÙÖ ÙØ ÙÖ º

Ê Ñ Ö Ñ ÒØ Å ÔÖ Ñ Ö Ö Ñ Ö Ñ ÒØ ÚÓÒØ Ñ Ô Ö ÒØ Ø Ñ Ó ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð ÙÖ ÑÓÙÖ Ø Ð ÙÖ ÓÙØ Òº Ù Ð Ø Ò Ð ÓÒØ Ù Ñ ÓÑÑÙÒ ÕÙ Ö Ð ÙÖ Ò Ö Ø Ñ Ö ÓÒÒ Ö Ð ÓÒ Ò ÕÙ Ñ Ø ÙØ Ò Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÙØ º ØÖ Ú Ð Ð ÙÖ Ø Ú ØÓÙØ Ñ Ö Ø ØÙ º ØØ Ø Ò³ ÙÖ Ø Ñ ÚÙ Ð ÓÙÖ Ò Ð ÔÖ ÙÜ Ò Ö Ñ ÒØ Ñ Ö Ø ÙÖ Ø Åº ÐÐ È Ø Åº ÀÙÝ Ò È Ñ ÕÙ ÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ Ù ØÖ ÔÓÒ Ð Ø Ð³ ÓÙØ Ñ ÒØ ÖÖÓ Ø ÓÒ º Ö Ð ÙÖ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð ÙÖ Ô Ø Ò Ø Ð ÙÖ ÓÒ Ð ØÖ Ú Ð ÔÙ ØÖ Ñ Ò ÓÙØ Ð ÙÖ Ò Ö Ñ Ö Ú Ð º Â Ö Ñ Ö Ù ÅÑ º Î Ð ÒØ Ò ÒÓÒ¹ Ø ÐÓØ Ø Åº Ö ÒÓ Ä Ð Ò ³ ÚÓ Ö ÔØ Ö ÔÔÓÖØ Ö ØÖ Ú Ðº Ä ØÖ Ú ÙÜ Åº ÎÐ ÐÐÝ ÓÒØ ÙÓÙÔ ÓÒØÖ Ù Ò Ð³ÓÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ñ Ö Ö º Â Ù Ù ÓÙÖ ³ Ù ÓÒÓÖ Ô Ö ÔÖ Ò Ô ÖÑ Ð Ñ Ñ Ö Ù ÙÖÝ Ø ÐÙ Ò Ù ØÖ Ö ÓÒÒ ÒØ º Åº Ö Ø Ò ÊÓ ÖØ ÅÑ Ò ËÙÐ Ñ Ø Åº Æ Þ Ö ÌÓÙÞ ÓÒØ Ø Ò Ø Ø ÙÖ ØØ Ø Ô Ö Ð ÙÖ ÓÙÖ Ù Å Ë ÕÙ ³ Ù Ú Ú ÙÓÙÔ ³ ÒØ Ö Ø Ù ÙÖ Ù ÕÙ³ Ð ÒØ ÔØ ³ ØÖ Ò ÑÓÒ ÙÖÝ Ø Ð Ò Ö Ñ Ö Ò Ö Ñ ÒØº Ò Ò Ñ Ö ÙÜ Ø Ö Ù ÙÖ Ù Ú Ð Ö Ø ÔÓÙÖ ØØ ÐÐ Ñ Ò Ø ØÓÙ Ð ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ô ÖØ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ Ó Ø Ö ÓÙ ³ÙÒ Ù ÓÒ Ô ÓÒÒ º Å Ö ËØ Ô Ò ÔÓÙÖ Ò Ø Ø ÓÒ Ù º ÍÒ Ö Ò Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Åº Â ÕÙ ÈÓÖØ ÕÙ ØÓÙ ÓÙÖ ÔÙ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ø ÑÔ Ö ÓÙ Ö Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ñ Ð Ö ÙÒ ÑÔÐÓ Ù Ø ÑÔ ØÖ Ö º Â Ò ÙÖ ÓÙ Ð Ö Ö Ñ Ö Ö ØÓÙ Ñ Ñ ÕÙ Ñ³ÓÒØ Ô ÙÐ ÙÖ ÒØ ÖÒ Ö ÒÒ º Å Ô Ò Ú Å ÖÓÙ Ò ÕÙ ØÓÙ ÓÙÖ Ø Ð ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Æ Ö Ò ÆÓÙÖ Ø Ï Ð ÓÒØ Ð³ Ñ Ø Ñ³ Ø ØÖ Ö ØÓÙ Ð ÙØÖ ÕÙ Ò ÙÖ ÒÓÑÑ Ö ÕÙ³ Ð ØÖÓÙÚ ÒØ Ò Ð Ò Ð Ø ÑÓ Ò Ñ ÔÖÓ ÓÒ Ö Ø ØÙ º

Ì Ð Ñ Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¼º½ ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼º½º½ Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ø ÔÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼º½º¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º½º ÙØÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾º½ Ä ÐØÖ ÓÔØ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾º¾ Ä Ñ Ø Ó ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¼º ÈÖ Ò Ô ÙÜ Ö ÙÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Á ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ¾ ½ Ö Ø ÇÖ Ö Ñ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ ÖÓÙÒ ÓÒ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ º º º º º º º º ½º¾º Ò Ö Ö Ø ÓÖ Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÇÒ Ø Ô Ö Ø ÓÖ Ö Ø Ö Ø Ú Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º¾ ÖÖÓÖ ÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÌÛÓ Ø Ô Ø Ö Ø Ú Ö Ø ÓÖ Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ ÆÙÑ Ö Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º º ÖÖÓÖ ÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ì Ó Ö ÙÐ Ö Þ Ò ÖÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÓÒÚ Ö Ò Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÆÙÑ Ö Ð ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ Ã ÐÑ Ò ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ì Ð Ñ Ø Ö ½º º¾ ÒÓÒ Ð ØÓ Ø ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ÑÓ Ð ËÎÅµ º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º ÆÙÑ Ö Ð Ø Ð ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÔÔ Ò Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔ Ò Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÔÖÓ ¾º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ë ÕÙ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º½ ÖÓ ÓÖ Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º¾ Ö Ø ÓÖ Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º È ÖØ Ð ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ë ÕÙ ÒØ Ð ÁÑÔÓÖØ Ò Ë ÑÔÐ Ò ËÁËµ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ë ÕÙ ÒØ Ð ÁÑÔÓÖØ Ò Ê ÑÔÐ Ò ÓÖ ÓÓØ ØÖ Ô ÐØ Ö ËÁÊµ º º º º ¾º º Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÑÔ Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËØ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ã ÐÑ Ò ÐØ Ö Ã µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º¾ ÒÓÒ Ð ØÓ Ø ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ÑÓ Ð ËÎÅµ º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º ÜÔÐ Ø ÒÓÒ Ð Ò Ö ÐØ Ö ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º ÆÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ËØ Ø ÓÒ ÖÝ Ù ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ê ÙÐØ Ò ÓÑÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁ ÈÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÐØÖ ½¼½ Ç ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖ ÔÖÓ Ò ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð ÐØ Ö Ò ½¼ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö Ò Ö Ø Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½ Ë ÕÙ ÒØ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º¾ ËØ Ð ØÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÑÔÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º Ü ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ø Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ º º½ Ü ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ñ Ö Ò ÓÔØ ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ö Ø ½¾½ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ò ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÐØ Ö ÔÖÓ ½¾ º º½ Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾

Ì Ð Ñ Ø Ö º º¾ Ì ÖÖÓÖ Ò ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º ÇÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ó ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÈÖ Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÐØ Ö ÔÖÓ ½ º ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ØÓÔÔ Ò ÙÒ Ö Ô ÖØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ½ º ÆÙÑ Ö Ð ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

Ì Ð Ñ Ø Ö

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¼º½ ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ä ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ñ Ø Ó Ù Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ø Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÐÐ ÓÒ Ø ÔÔÖÓ Ö ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÙÖ Ò ÙÒ Ô ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÙÖ Ò ÙÒ Ô Ö Øº Ð³ÓÖ Ò ØØ Ø Ò ÕÙ Ø ÑÓØ Ú Ô Ö Ö ÓÒ ÔÖ Ø ÕÙ ³ Ó¹ ÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÓÒ ¾¼ Ø ÚÙ Ò Ù Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ Ð Ö Ö Ö ÒØ ÓÑ Ò ÒÓØ ÑÑ ÒØ ÔÙ ÕÙ ÐÕÙ ÒÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ º Ò ØØ Ø ÓÒ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÓÔØ Ö ÙÒ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÓÐÙÑ ÒØ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÔ Ð ÒØ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÖ ÕÙ ÙØ Ð Ø Ò Ñ ØØ ÒØ Ò Ú Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ÔÐÙ Ö ÒØ º ¼º½º½ ¼º½º½º½ Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ø ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö ÇÒ ÔÐ Ò ÙÒ Ô ÔÖÓ Ð Ø (Ω, F, P) Ø ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ú Ð ÙÖ Ò R d X ÐÓ P X ÙÔÔÓ ÑÙÐ Ð º ÍÒ ÒØ Ö N N Ø ÒØ Ü ÙÒ N¹ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ h N ÔÔÐ ÕÙ ÒØ R d Ò ÙÒ Ò Ñ Ð Ò Γ = {x 1,...,x N } R d º ÈÓÙÖ Ò Ö Ñ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ h N ÓÒ Ó Ò Ô Ö Ò ÔÐÙ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ (A i ) 1 i N Ð³ Ô R d ÔÓÙÖ ÚÓ Ö h N (X) = N x i 1 A i(x). i=1 Ä N¹ÕÙ ÒØ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ô Ö Ð ÓÒÒ Γ = {x 1,...,x N } Ð Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÐÐ N ÔÔ Ð Ù Ò Ñ Ð ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÙ ÒØÖÓ ÓÙ ÒÓÖ N¹ÕÙ ÒØ ÙÖ ¹ Ó h N º ÍÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ (A i ) 1 i N Ð³ Ô R d º ÕÙ Ò Ñ Ð A i Ö Ó ÙÒ ÒØÖ x i ÕÙ Ð³ÓÒ ÙÔÔÓ Ö ØÓÙ ÓÙÖ ÔÔ ÖØ Ò Ö A i º

½¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º ½ È ÖØ Ø ÓÒ Ð³ Ô Ó ÙÒ Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÙÜ Ñ Ò ÓÒ ÉÙ Ò X L p ÓÒ Ò Ø ÙÒ N¹ÕÙ ÒØ ÙÖ L p ¹ÓÔØ Ñ Ð X Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ h N ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ð Ø ÐÐ Ð Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ N inf{ X h(x) p p, h : R d R d, ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ ØºÕº h(r d ) N}. ¼º½º½µ ³ ÔÖ Ð Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò ¾ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ h N Ò Ô Ö ÙÒ N¹ÕÙ ÒØ ÙÖ Γ N = {x1,...,x N } Ú Ö ÒØ E X h N(X) p = E min x h N (Rd ) X x p, Ø Ô Ö Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ (C i (Γ )) 1 i N Ø ÎÓÖÓÒÓ Ó Ø Ò Ñ Ð Ò ÒØ h N ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ù ÔÐÙ ÔÖÓ ÚÓ Ò ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÒØÖ (xi ) 1 i N ÚÓ Ö ÙÖ ½µº ËÓ Ø Ä ØÓÖ ÓÒ ½ ³ Ö Ø ÐÓÖ C i (Γ ) {ξ R d t.q. ξ x i = min 1 k N ξ xk }. D X,p N := X h (X) p p = min 1 i N X xi p p. ÐÐ ÓÒÚ Ö Ú Ö Þ ÖÓ ÕÙ Ò Ð Ø ÐÐ Ù ÕÙ ÒØ ÙÖ N Ø Ò Ú Ö + Ø Ú Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÒÓÒ ÓÑÑ Ù Ø ½ ÇÒ ÒÓØ Ö Ô Ö ÐÐ ÙÖ Ð³ ÖÖ ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ X h N(X) pº

ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ½½ Ì ÓÖ Ñ ¼º½º½ º ¾ µ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ R d ξ p+r P X (dξ) < + ÔÓÙÖ r > 0º ÐÓÖ lim(n p d D X,p N N ) = J p,d ϕ d, d+p Ó P X (dξ) = ϕ(ξ)λ d (dξ) + µ(dξ) µ λ d λ d Ñ ÙÖ Ä Ù ÙÖ R d µ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ q R + g q := ( g q (u)du) 1 q º Ê Ñ ÖÕÙ ¼º½º½ J p,d ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ð Ñ Ø ÔÓÙÖ Ð ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [0, 1]º ÇÒ Ø ÕÙ 1 J p,1 = 2 p (p+1) Ø ÕÙ J 2,2 = 5 18 º ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø Ô Ð Ú Ð ÙÖ 3 ØØ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÙÖ d > 2 Ñ ÓÒ J 2,d d 2πe º º ¾ µº ÆÓÙ ÔÓÙÚÓÒ Ò Ö Ö ÕÙ X h N (X) p = O(N 1 d) Ù ÚÓ Ò N + º È Ö ÐÐ ÙÖ Ð Ö ÒØ Ð ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÕÙ ÒØ ÙÖ L 2 ¹ÓÔØ Ñ ÙÜ Ú Ö ÒØ ÙÒ ÔÖÓ¹ ÔÖ Ø Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö Ø ÚÓ Ö ÕÙ E[X h N(X)] = h N(X). ¼º½º¾µ ØØ ÔÖÓÔÖ Ø Ô ÖÑ Ø ³ÙØ Ð Ö Ø ÖÑ ÓÖÖ Ø ÙÖ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ò Ð ¹ Ö ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÑÑ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ð ÚÓ Ö Ò Ð Ô Ö Ö Ô Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÙ ÔÐÙ ÐÓ Ò Ò Ð Ü ÑÔÐ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ÓÔ¹ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò ÓÙ ÐØÖ º Ô ØÖ ½µº ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ ÔÖ Ø ÕÙ Ò Ö Ð ÓÒØ ÓÒ h N ÔÓÙÖ ÙÒ Ø ÐÐ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ü N ³ Ú Ö ØÖ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Þ Ð Ø Ö ÓÙ Ö ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ò Ð ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒÒ Ðº Ò Ø ÔÓÙÖ ÔÐÙ ÙÖ ÐÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ½ Ð Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ ÖÑ ÓÙ Ñ ¹ ÖÑ ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ ÐÙÐ º ÇÒ Ø Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Æ ÛØÓÒ ÓÙ Ð ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÒØÖ ÙØÖ Ò ½ º È Ö ÐÐ ÙÖ Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö ³ÙÒ ÐÓ Ò¹ Ø ÐÓ ¹ÓÒ Ú Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ¼º½º½µ Ø ÙÒ ÕÙ ¾ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ø Ð ÕÙ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ö ÒØ ÓÙ ÐÙ Ù ÔÓ ÒØ Ü ÔÔ Ð Ù Ñ Ø Ó ÄÐÓÝ Á ¾ º Ñ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ø Ú ÒÒ ÒØ Ö Ô Ñ ÒØ Ð Ñ ØØÖ Ò ÙÚÖ Ò Ñ Ò¹ ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ ½º ³ÙÒ Ô ÖØ Ô Ö ÕÙ³ ÐÐ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÐÙÐ ³ ÒØ Ö Ð ØÖÓÔ ÓÑÔÐ Ü Ù Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ½ ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ô Ö ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ¼º½º½µ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÕÙ ÕÙ Ñ ÒÙ ÒÓÖ Ð³ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º Ò ÐÓÖ ÓÒ ÔÖ Ö ÙØ Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø ÕÙ ³ ÔÔÖ ÒØ ÓÒ ÙÖ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒº ÇÒ Ø Ö Ò ÓÒØ ÜØ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ä ÖÒ Ò Î ØÓÖ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÄÎÉ Ð ÓÖ Ø Ñµ Ù ÔÔ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÃÓ ÓÒ Ò Þ ÖÓ ÚÓ Ò Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÕÙ ¾ ÓÙ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÄÐÓÝ Á ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ¾ º ÍÒ ØÙ Ø ÐÐ Ñ Ø Ó ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÔÖÓÔÓ Ò º ÁÐ Ø ÒÓØ Ö ÕÙ ³ Ø Ð ÕÙ Ö Ø ÕÙ (p = 2) ÕÙ Ø Ð ÔÐÙ ÓÙÚ ÒØ ØÙ ÙÖ Ð ÔÐ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ Ñ Ð Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÖ ÕÙ ÓÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÔÓÙÖ p ÕÙ ÐÓÒÕÙ º

½¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÆÓÙ Ò Ø ÐÐ ÖÓÒ Ô ÔÐÙ Ú ÒØ Ø Ô Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ð Ò³ Ø Ô Ù ÒØÖ ÒÓØÖ ØÖ Ú Ðº ÆÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÖÓÒ ÔÐÙØØ Ð³ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ ÙÖ ÓÔØ Ñ ÙÜ ÔÓÙÖ Ö ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÔÖ Ø ÕÙ º Ø Ø Ð Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ³ ÒØÖÓ Ù Ö ØÓÙØ ³ ÓÖ ÙÒ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù ÕÙ ÒØ ÓÙ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ö ÒØ Ð ÒÓØ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÔÖÓ Ù º º µº Ö Ð³Ó Ø Ù ÔÖÓ Ò Ô Ö Ö Ô º ¼º½º½º¾ ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ò Ð Ö ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÙÚ ÒØ Ö ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù Ñ Ö ÓÚ Ò Ø ÑÔ Ö Ø (X k ) k 0 ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð Ý¹ Ò Ñ ÕÙ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò Ö ÔÓÙÚÓ Ö Ò ÑÙÐ Ö Ð ØÖ ØÓ Ö º ÍÒ ÔÔÖÓ ÔÓ Ð Ò Ø ÕÙ ÒØ Ö ÕÙ Ú Ö Ð X k Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ ÐÓ Ñ Ö Ò Ð ÓÒ Ô ÖÐ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð º ÈÓÙÖ Ð ÓÒ Ó Ø Ü Ö ÙÒ Ø ÐÐ Ö ÐÐ N k ÕÙ Ô Ø ÑÔ Ø ÙÒ N k ¹ÕÙ ÒØ ÙÖ L p ¹ÓÔØ Ñ Ð X k L p ÕÙ Ð³ÓÒ ÒÓØ Ö Γ k = {x 1 k,...,xn k k }º È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÎÓÖÓÒÓ µ X k Ô Ö N k ˆX k = h N k (X k ) = x i k 1 C i (Γ k )(X k ). i=1 ¼º½º µ Ä ÔÖÓ Ù Ò ÕÙ ÒØ ( ˆX k ) k 0 Ò Ú Ö ÔÐÙ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Å Ö ÓÚº Ô Ò ÒØ ÙÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÒØÖ Ö ÒØ Ø Ø ÙÜ Ø Ù¹ Ú Ö Ø ÔÓ Ð ØÖ Ú Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÓÑÔ ÒÓÒ p ij k ÔÓÙÖ i {1,...,N k} Ø j {1,...,N k+1 } Ò Ô Ö p ij k = P[X k+1 C j (Γ k+1 ) X k C i (Γ k )] = P[ ˆX k+1 = x j k+1 ˆX k = x i k ]. ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÔÓÙÖ 0 k < n i {1,...,N k } Ø f ÓÖ Ð ÒÒ Ò R d ÓÒ ÒÓØ Ö N k+1 P k f(x i k ) = E[f( ˆX k+1 ) ˆX k = x i k ] = f(x j k+1 )pij k. ÈÓÙÖ ÓÖ ÞÓÒ n Ö ÓÒÒ Ð 100µ Ð Ø ÓÒ ÔÓ Ð ÐÙÐ Ö Ø ØÓ¹ Ö Ò Ø Ð Ð Ñ ÒØ Ð Ð Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÓÑÔ ÒÓÒ º º Ð (x i k ) Ø Ð (pij k ) ÔÓÙÖ 0 k n 1 i N k Ø 1 j N k+1 º ÔÖ ¹ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÒ Ø Ó ¹Ð Ò Ô ÖÑ Ø Ñ Ò Ñ Ö Ð ÐÙÐ ³ Ú ÒØÙ Ð Ø Ñ Ø ÙÖ ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº ÍÒ Ü ÑÔÐ Ö ÐÐ ÔÓÙÖ Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ö Ù Ø Ø ÔÓÒ Ð Ø Ø Ð Ö Ð Ô ÖØ Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÔÖÓ º Ù Ùº Ö»Ô Ô Ö Ó»Ô»ÕÙ ÒØ º ØÑÐº j=1

ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ½ ¼º½º¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÑ Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ð ÐÙÐ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÒÙÑ ¹ Ö ÕÙ ³ ÒØ Ö Ð Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÒ Ñ ÙÖ ÓÒÒ º ÇÒ ÔÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð E[f(X)] ÔÓÙÖ X ÐÓ P X ÙÖ (R d, B(R d ))º Ë ˆX Ò ÙÒ N¹ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ L 2 ¹ÓÔØ Ñ Ð X ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ÒÓÙ ÓÒÒ Ö ÓÑÑ Ø Ñ Ø ÙÖ E[f( ˆX)]º ÓÑÑ ˆX Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ö Ø Ð ÐÙÐ Ø Ø Ñ Ø ÙÖ Ö ÙÑ Ö ÙÒ ÓÑÑ ÔÓÒ ¹ Ö Ò ÓÒØ Ð Ø ÖÑ ÓÒØ ÐÙ Ô ÖØ Ö Ø Ð ÔÖ ¹ ÐÙÐ º Ò Ö ÔÖ Ò ÒØ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ô Ö Ö Ô ÔÖ ÒØ ÓÒ ÔÓ E[f(X)] E[f( ˆX)] = N x i i=1 1 Ci (Γ)(x)P X (dx) = N x iˆp i, i=1 Ó ˆp i = P X (C i (Γ)) = P(X C i (Γ))º Ä ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ p i ÓÒØ Ù Ô Ö Ñ ØÖ ÓÑÔ ÒÓÒ ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÐÙÐ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ ÕÙ Ð Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Γ Ø ØÓ Ò Ø Ð Ð Ô Ò ÒØ Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒº Ä³ ÖÖ ÙÖ ³ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÓÒØÖÐ Ô Ö Ð³ ÖÖ ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ = X ˆXº Ò Ø ÕÙ Ò f Ø ÓÒØ ÒÙ Ö Ú Ð Ö Ú ÓÖÒ Ð Ü Ø ξ (X, ˆX) Ø Ð ÕÙ f(x) f( ˆX) = Df(ξ),, Ó <.,. > Ò Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ ÙÖ R d º ÓÒÒ Ð Ñ ÓÖ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ö ³ÓÖ Ö Þ ÖÓ E[f(X)] E[f( ˆX)] C 1 C 2. ¼º½º µ ÉÙ Ò f Ø ÓÒØ ÒÙ ¾ Ó Ö Ú Ð Ö Ú ÓÒ ÓÖÒ ÓÒ Ô ÙØ Ú ÐÓÔÔ Ö f ÙÒ ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò ³ Ø Ð Ö ÙÒ Ñ ÓÖ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ ³ÓÖ Ö ½º Ò Ø Ð Ü Ø ξ (X, ˆX) Ø Ð ÕÙ f(x) f( ˆX) = Df( ˆX), + 1 2 D 2 f(ξ). Ò ÓÑÑ ˆX Ú Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö Ø ¼º½º¾µ Ð Ø ÔÓ Ð ³ Ø Ð Ö E[f(X)] E[f( ˆX)] E E[f(X) f( ˆX) ˆX] CE, C 2 2. ¼º½º µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ¼º½º½ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò Ò O(N 1 d ) Ò Ð Ð³ Ò Ð Ø ¼º½º µ Ø ÑÓÝ ÒÒ ÒØ Ð³ ÝÔÓØ ÔÐÙ Ö ØÖ Ø Ú ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ f ÓÒ ÙÒ Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò ÙÜ Ó ÔÐÙ Ö Ô O(N 2 d ) Ô ÖØ Ö ¼º½º µº Ä³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ñ Ø Ó ÕÙ ³ ÔÔÖÓ Ò ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ÖÐÓ ÐÐ ³ ÔÔÙ ÙÖ ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÐÓ

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ X Ô Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ö Ø Ò ÔÓÒ Ö º Ä³ Ø Ñ Ø ÙÖ ÅÓÒØ ÖÐÓ ³ Ö Ø Ò Ø ÓÑÑ Ð ÓÑÑ ÕÙ ÔÓÒ Ö ÙÖ ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒ Ø ÐÐ M E[f(X)] 1 M M f(x i ) Ó (X 1,...,X M ) iid X 1 P X. i=1 Å Ð ÔÖ Ò Ô Ö Ø Ð Ñ Ñ Ö Ò Ö Ò Ô Ö ÒØ Ð ÙÜ Ñ Ø Ó Ä Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÐÙÐ Ó Ò Ø ØÓ Ò Ø Ð Ð Ô Ö ÔÐÙ ÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ó º Ä ÓÑ¹ ÔÐ Ü Ø Ù ÐÙÐ ÜÐÙØ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÙÖ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ø ÓÑÔØ ÙÐ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÑÑ Ø ÔÓÒ Ö Ø ÓÒº Ù ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ÖÐÓ ÙØ Ð ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ð Ô Ø ÐÙÐ Ò Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒÐ Ò ÒØ ÐÐÓÒ X i º Ä³ Ø Ñ Ø ÙÖ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ø ÙÒ Ø Ñ Ø ÙÖ Ð ØÓ Ö ÓÒØ Ð Ù Ö Ö Ö Ð Ú Ö Ò ÐÓÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÔÖÓ ÙÖ ÓÒØÖÐ Ø Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ú Ö Ò º ÓÒ ÓÔÔÓ Ð³ Ø Ñ Ø ÙÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ø Ñ Ø ÙÖ Ø ÖÑ Ò Ø º Ä Ú Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò ÐÓ µ Ø Ñ Ø ÙÖ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ø O(N 1 2) Ì Äµ Ð Ø Ò Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ò ÓÒº Ä ÐÓ Ù ÐÓ Ö Ø Ñ Ø Ö Ö Ð Ð Ú Ø log log N ÓÒÚ Ö Ò Ôº º Ò N º Ä ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø ÙÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ø ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ ÔÐÙ Ö Ô Ù ÕÙ³ Ð Ñ Ò ÓÒ 2 ÔÓÙÖ ÐÐ Ù ØÝÔ ÓÖ Ö ¼ Ø Ù ÕÙ³ Ð Ñ Ò ÓÒ 4 ÔÓÙÖ ÐÐ Ù ØÝÔ ÓÖ Ö ½º Ù Ð Ð Ñ Ø Ó ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ô ÓÑÔ Ø Ø Ú ÐÓÖ ÕÙ N + Ô Ò ÒØ ÐÐ Ö Ú Ð ÒÓÖ ØÖ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ò Ñ Ò ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ (d 10) ÐÓÖ ÕÙ N Ò³ Ø Ô ØÖ Ö Ò º ÁÐ Ø Ð Ø ÓÑÔ Ö Ö ÙÒ Ñ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑÑ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ñ Ø Ó ÓÙÖÒ ÒØ ÙÒ Ö ÙÐØ Ø Ð ØÓ Ö ÓÑÑ Ð Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ÖÐÓº Æ Ò¹ ÑÓ Ò Ð³ÓÒ Ø ÒØ Ð ÔÖ Ø ÕÙ ÙØ Ð Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÑÔ Ö Ö Ð³ Ö¹ Ö ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ Ò º ÌÝÔ ÕÙ Ñ ÒØ Ú ÙÒ Ó Ü ÕÙ Ø ³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ Ò Ö Ú ÒØ ÓÑÔ Ö Ö f(x) f( ˆX) 2 Ø 2σ f(x) N ÔÓÙÖ ˆX ÙÒ N¹ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ L 2 ¹ÓÔØ Ñ Ð Ø f Ä Ô ØÞ ÒÒ ÓÙ Ò ÔÐÙ ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑÔ Ö Ö X ˆX 2 Ø 2σ X N ÔÓÙÖ Ð Ñ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ¼ Ø X ˆX 2 2 Ø 2σ X N ÔÓÙÖ Ð Ñ ³ÓÖ Ö ½º ÁÐ Ø ÒØ Ö ÒØ ÚÓ Ö ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ü Ø Ù Ð Ö Ø ÕÙ N 0 c ÔÓÙÖ Ð Ñ ³ÓÖ Ö ¼ Ø N 1 c ÔÓÙÖ Ð Ñ ³ÓÖ Ö ½ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð N N 0 c N 1 c Ð³ ÖÖ ÙÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ò¹ Ö ÙÖ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ÖÐÓº Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÐÐ Ò º ÁÐ Ø Ô Ö ÐÐ ÙÖ ÔÓ Ð ³ ÔÔÐ ÕÙ Ö ÙÒ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÔÖ Ö ÒØ Ð Ò Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ¼º½º½ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÈÖ Ö ÒØ Ð ³ Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ô Ö Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ ÔÔÖÓ Ñ Ò Ö ÑÔ Ö ÕÙ ÙÒ Ñ ÙÖ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÑÙÐ Ö ν Ò ÙØ Ð ÒØ

ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ½ ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒ (ξ 1,...,ξ N ) ³ÙÒ ÙØÖ Ñ ÙÖ ÔÖÓ Ð Ø µ Ø ÐÓ ³ ÑÔÓÖØ Ò ÔÐÙ Ð ÑÙÐ Öº Ë³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ m Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ m Ú Ö ÒØ ν(dx) = m(x)µ(dx) Ø m(x) m, Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø ÐÓÖ ÓÒÒ Ô Ö ν 1 N N i=1 m(ξ i)δ ξi º Ë ÓÒ Ò Ô Ö p Ð Ò Ø X Ø Ô Ö q ÙÒ Ò Ø ³ ÑÔÓÖØ Ò ÕÙ Ú Ö Ö f p q C b ÓÒ ÔÓÙÖÖ ÙØ Ð Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö Ð Y Ò Ø q ÔÓÙÖ Ø Ñ Ö E[f(X)]º E[f(X)] = E[f(Y ) p(y ) ) ] E[f(Ŷ )p(ŷ q(y ) q(ŷ )], E[f(X)] E[f(Ŷ )p(ŷ ) q(ŷ )] C Y Ŷ 2. ¼º½º µ ¼º½º ÙØÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ä ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ØÓÖ ÕÙ Ñ ÒØ ÓÒÒÙ ÔÐÙ ÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ð Ø ÓÖ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ø ÓÑÔÖ ÓÒº Ô Ò ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ³ ÐÐ Ó Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð³ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ò ÒÓÙÚ ÙÜ ÓÑ Ò ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÙÒ ÐÙÐ ÒÙÑ Ö ÕÙ ³ ÒØ ¹ Ö Ð ³ Ô Ö Ò ÓÙ ³ Ô Ö Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ º Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ ÒØ Ò Ò Ò Ò Ð Ö ÑÓ Ð ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ö Ú Ó ÙÒ ÐÙÐ ³ Ô Ö Ò ÓÒ ¹ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÙÚ ÒØ ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ñ Ò Ö Ö ØÖÓ Ö Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÔÖ Ò Ô ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ º Ä ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒ ÔÖ Ò Ô ÔÖ ¹ØÖ Ø Ñ ÒØ Ø ÐÙÐ Ó ¹Ð Ò Ö ÐÐ ³ ÔØ Ò ØÝÔ ³ ÔÔÖÓ º È ÖÑ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÕÙ ³ Ò Ö Ú ÒØ Ò Ö ÓÒ Ø Ó Ø ÔÖÓÔÓ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ÓÔØ ÓÒ Ñ Ö Ò Ø ³ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÑÔ ³ ÖÖ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ð Ø ³ Ü Ö¹ Ð³ÓÔØ ÓÒ ÐÓÖ ÕÙ Ð³ Ø ÓÙ ÒØ Ù Ø ÙÒ Ù ÓÒ ÖÓÛÒ ÒÒ º ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ø Ø ÓÒÒ Ö Ô ÖÑ Ø Ò ØØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ô Ö Ð Ô ÙÒ ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÓÒÚ Ö Ò º µº È Ö ÐÐ ÙÖ È Ø È Ñ ¾ Ò ÒØ ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ö Ó¹ Ú ÒÒ ÔÖÓ Ù ÕÙ ÔÖ ÖÚ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Å Ö ÓÚ Ù ÔÖÓ Ù ÓÖ Ò Ð Ø Ô ÖÑ Ø ÔÖÓÔÓ Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØÖÐ ØÓ Ø ÕÙ ÔÔ Ö ÒØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓÖØ Ù ÐÐ º Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö ØÖÓ Ö Ø Ö Ò Ù ÔÓ Ð Ö ÙÜ Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖ ÐÙÐ º ÍÒ ÙØÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ù ÓÑ Ò Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ø ÐÐ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØÖ ÒÓÒ Ð Ò Ö º ÐÐ Ø ÒØÖÓ Ù Ø Ò ½ Ó Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÒØ ÐÐ Ö ØÖÓ Ö Ô ÖÑ ÚÓ Ö Ð³ Ø Ø ÓÖ ÕÙ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ØÓÙØ Ò Ð ÒØ ÔÓ Ð ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð ÕÙ Ø ÓÖÛ Ö º Á Ù

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐØÖ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ñ Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÖÓ Ð Ø ØÝÔ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÓÒ Ô ÙØ ÐÓÖ ÔÓ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÑÑ ÒØ ÔÓ Ø ÓÒÒ ÒØ Ð Ñ Ø Ó ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ù Ñ Ø Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ØÝÔ ÅÓÒØ ÖÐÓ È ÙØ¹ÓÒ Ò Ö ÔÖÓ ÙÖ ÔÖ ¹ØÖ Ø Ñ ÒØ ÒÓÖ ÔÐÙ Ð ÓÖ ÔÓÙÖ Ñ ¹ Ð ÓÖ Ö Ð Ö Ô Ø Ù ÐÙÐ ÓÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÐÐ ÔÖÓ ÙÖ ÙÖ Ð Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò Ð³ ÖÖ ÙÖ ³ Ø Ñ Ø ÓÒ ÌÓÙ ÓÙÖ Ò Ð Ö Ù ÐØÖ Ð Ö ÒØ Ö ÒØ ³ ØÙ Ö Ð Ô Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ØÝÔ ÓÖ Ö ½ ÓÑÑ Ð Ø Ù Ö Ò Ó Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ¹ ÔÖ Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö Ø Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ô Ù Ó¹ Ñ Ö ÙÖ ÓÙØ ÒØ ÙÒ ÓÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò º Ñ Ò ÓÒØ Ô ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò Ð³ Ø Ø Ö Ð Ñ ØØ ÒØ Ò Ù ÕÙ ÒØ Ø ÒÓÒ Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØº Ä ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÑÑ ÒØ Ò Ö Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÖ ÖÚ ÒØ Ð Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ò Ú Ò Ô Ö Ð Ô Ù Ó¹ Ñ Ò Ò Ð Ø ÒØ Ö ÒØ Ö Ð Ú Ö ÕÙ Ð ÔÓ ÒØ ÓÑÑÙÒ ØÓÙØ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ØÖÓ Ö ÔÓÙÖ Ø Ð Ö Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ð³ ÖÖ ÙÖ ÙÖ Ð Ú Ð ÙÖ Ó Ø Ò ÓÒØ ÓÒ Ð³ ÖÖ ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº È Ö Ð Ù Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ð Ú ÒØ Ò Ù Ø ÔÓ Ð Ù Ö ÙÒ Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ø ÐÐ Ö ÐÐ º Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÕÙ Ù ÐØÖ Ø ÓÑÒ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÑÓ Ð ³ Ø ÚÓÐ Ø Ð Ø ØÓ Ø ÕÙ Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø ÚÙ ÓÑÑ ÙÒ Ò Ð ÓÒØ Ð ÓÙÖ Ð³ Ø Ø Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÙ Ø º Ä ÒÓÖ ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÙØ¹ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ¹ Ð Ñ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ÓÔØ ÓÒ Ñ Ö Ò ÓÙ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÓÖØ Ù ÐÐ ¾ Ò ÙÒ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ ØÝÔ ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ ÑÓ Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø ØÓ Ø ÕÙ Ò ÒÓØÖ ØÖ Ú Ð ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒØ Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ÔÐÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ Ù ÐÙÐ Ù ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ô ÖØ Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ù ÐØÖ ³ÙÒ ÙØÖ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ Ø ÒØ Ù ÙÖ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ ØØ Ø ÒÓÙ Ý ÓÒ Ö ÖÓÒ ØÓÙØ Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ù Øº ¼º¾ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ÆÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÜ Ô Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØÖ Ø ÕÙ ÐÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÔÓÙÖ Ð Ö ÓÙ Ö º ÇÒ Ô ÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØÖ ÕÙ Ò ÓÒ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÒØ ÓÒ Ù Ø ÑÔ Ø Ö Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ù ÓÒØ ÓÒ Ò³Ó ÖÚ ÕÙ Ø Ø ÖÙ Ø º Ä ÐØÖ ³ Ò Ö Ø Ò ÙÒ ÔÔÖÓ Ý ÒÒ Ö ÓÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ð ÐÓ ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ù ÔÖÓ Ù ÙÒ Ò Ø ÒØ ÓÒÒ Ò ³ ÔÔÙÝ ÒØ ÙÖ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ù ÕÙ³ Ø Ò Ø ÒØº ÁÐ ÓÒÒ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ú Ö Ù Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ð ÓÑÑ Ò Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ ÕÙ Ò Ð Ö ÔÐÙ Ö ÒØ Ñ Ö Ò Ò Ö º Ò ÕÙ Ù Ø ÒÓÙ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ö Ð ÒÓØÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØÖ Ð ÓÒ Ø ØÙ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ú Ö ÒØ ÔÖ ÒÓØÖ

Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ½ ÑÓ Ð ³ Ø Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð Ø º È Ö ÐÐ ÙÖ ÒÓÙ Ô ÖÓÒ Ò Ö ÚÙ ÕÙ ÐÕÙ Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ÐØÖ ÕÙ ÒÓÙ ÖÚ ÖÓÒØ ÔÓ ÒØ Ô ÖØ ÒÓÙÚ ÐÐ Ñ Ø Ó ÓÙ ÔÓ ÒØ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ú ÐÐ ¹ º ¼º¾º½ Ä ÐØÖ ÓÔØ Ñ Ð ÇÒ ÔÐ Ò Ð Ö ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔ Ö Ø Ø ÓÖ ÞÓÒ Ò Ü n N º ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÔÖÓ Ù Ò Ð (X k ) Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ (Y k ) Ö Ô Ö Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù Ú ÒØ { Xk = F k (X k 1, ε k ), X 0 ÐÓ µ 0 ÓÒÒÙ ÔÖ ÓÖ ¼º¾º½µ Y k = G k (X k, η k ), k 1. Ó (ε k ) Ø (η k ) Ò ÒØ Ù Ø Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ø Ò Ô Ò¹ ÒØ X 0 º Ä Ù Ø (ε k ) 1 k n ÑÓ Ð Ð³ ÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ù (η k ) 1 k n Ö ÔÖ ÒØ Ð³ ÑÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÇÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ø Ø Ù Ý Ø Ñ ÙÒ Ø Ò Ð n Ü Ò ³ ÔÔÙÝ ÒØ ÙÖ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ù ÕÙ³ ØØ Ø º Ù Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð X n ÒØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Y 1:n = (Y 1,...,Y n ) Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð³ Ô Ö Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ E[X n Y 1:n ]. Ñ Ò Ö ÔÐÙ Ò Ö Ð Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð ÔÐÙ Ö ÔÓÒ Ð ØÖ Ú Ö Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Y 1:n Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÐÓ ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ L(X n Y 1:n )º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÙÐ Ö ØØ ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø Ñ Ò Ö Ü Ø Ò Ð Ù ÐØÖ ÓÔØ Ñ Ð ÓÙ Ñ Ò Ö ÔÔÖÓ ÓÒ Ô ÖÐ Ö Ò ÐØÖ ÓÙ ¹ÓÔØ Ñ Ðº Ä ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÜÔÐ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ Ò³ Ø Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ô ÔÓ Ð º Ò Ø Ò ÙÒ Ö Ò Ö Ð ³ Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÒ Ò Ò º Ù Ò Ú Ù ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ô Ö Ð ÔÐÙ ÓÙÚ ÒØ ÔÔÖÓ Ö Ð Ò Ø Ð ÐÓ ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ØÖ Ú Ö ÙÒ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø Ø ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ Ö Ñ Ò Ö Ò Ö ÕÙ fº ÇÒ ÓÒÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ó Ø ÐÙÐ Ö Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ ÓÙ Π y,n (dx) = P[X n dx Y 1 = y 1,...,Y n = y n ], Π y,n f = E[f(X n ) Y 1 = y 1,...,Y n = y n ]. ÁÐ Ö Ò Ù Ø ÔÓ Ð ³ ÒÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ù ÐØÖ Ð ØÓ Ö Π Y,n (dx) = P[X n dx Y 1,...,Y n ] ÓÙ Π Y,n f = E[f(X n ) Y 1,...,Y n ]. ¼º¾º½º½ ÅÓ Ð Ò Ö Ð ³ Ø Ø Ä ÔÖÓ Ù Ò Ð (X k ) Ø ÙÒ Ò Å Ö ÓÚ ÓÒØ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ø Ö Ô Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ X k = F k (X k 1, ε k ),

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó F k : R d R q R d Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ Ø (ε k ) 1<k n Ø ÙÒ Ù Ø Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ú Ð ÙÖ Ò R q Ñ Ñ ÐÓ Ò Ø pµ Ò Ô Ò ÒØ ÒØÖ ÐÐ Ø Ò Ô Ò ÒØ X 0 º Ä ÐÓ µ 0 X 0 Ø ÙÔÔÓ ÓÒÒÙ ÔÖ ÓÖ º È Ö ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ò Ô Ö P k (x, dx ) Ð ÒÓÝ Ù ØÖ Ò Ø ÓÒ X k X k+1 Ø ÓÒ ÒÓØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ f µ 0 f = f(x)µ 0 (dx) Ø P k f(x) = f(x )P k (x, dx ). Ä ÔÖÓ Ù Ó ÖÚ Ø ÓÒ (Y k ) Ó Ø Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù Ú ÒØ Y k = G k (X k, η k ), Ó G k : R d R q R d Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ Ø (η k ) ÙÒ Ù Ø Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ú Ð ÙÖ Ò R q Ò Ô Ò ÒØ σ(x 0, ε k, k 1)º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÐÓ ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ L(Y k X k ) Ø ÓÐÙÑ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð Ñ ÙÖ Ä Ù ÙÖ R d º ËÓ Ø P[Y k dy X k = x k ] = g k (x k, y)λ d (dy). ¼º¾º¾µ Ä ÐÓ Ò Ø Ð Ù Ò Ð Ø ÒØ ÔÖ ÓÖ ÓÒÒÙ ÓÒ ÔÓÙÖÖ ÙÔÔÓ Ö Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø ÕÙ Y 0 = y 0 Ü º Ä ÔÖÓ Ù (X k, Y k ) Ø ÙÒ Ò Å Ö ÓÚ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö P[(X k, Y k ) (dx, dy) X k 1, Y k 1 ] = P[Y k dy X k 1, Y k 1, X k ]P[X k dx X k 1, Y k 1 ], = g k (x, y)p k 1 (X k 1, dx)λ d (dy). Ö Ð³ Ò Ô Ò Ò ÒØÖ η k Ø (X k 1, η k 1 ) Ø ¼º¾º¾µº È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Ð ÐÓ Ó ÒØ L(X 0,...,X n, Y 0,...,Y n ) ³ Ö Ø L(X 0,...,X n, Y 0,...,Y n ) = µ 0 (dx 0 )δ y0 n k=1 g k (x k, y k )P k (x k 1, dx k )λ d (dy k ), Ø Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ý ÔÓÙÖ Ð Ú Ø ÙÖ Ð ØÓ Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ù Ø Ð ÓÖÑÙÐ Ã ÐÐ ÒÔÙÖ ËØÖ Ð ¾... f(x0:n )µ 0 (dx 0 ) n k=1 E[f(X 0:n ) Y 1:n = y 1:n ] = g k(x k, y k )P k (x k 1, dx k )... µ0 (dx 0 ) n k=1 g. k(x k, y k )P k (x k 1, dx k ) ¼º¾º µ ÈÐÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐØÖ Ú ÐÙ ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø Ø f Ô Ö Π y,n f = E[f(X n ) Y 1:n = y 1:n ] = π y,nf π y,n 1, Ó π y,n f Ø Ð ÐØÖ ÒÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ô Ö π y,n f = E[f(X n ) n g k (X k, y k )]. k=1

Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ½ Ò Ð Ù Ø ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒ y 1:n ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ü ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ö Ô Ö ÓÑ¹ ÑÓ Ø Ð Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ g k Ú Ð ÓÒØ ÓÒ ÚÖ Ñ Ð Ò Ó g k (x k ) = g k (x k, y k ), Ð Ô Ò Ò Ò y k Ö ÑÔÐ Ø ÐÓÖ ÕÙ Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ü º ¼º¾º½º¾ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Å Ö ÓÚ Ù Ò Ð (X k ) Ð Ø ÔÓ Ð ÓÑÔÓ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÐÙÐ Π y,n f Ô Ö ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ º Ò Ø Ð Ô ³ÙÒ ÐØÖ ÙÒ Ø ÒØ ÖÑ Ö 0 k n 1 Ù ÐØÖ Ð Ø Ù Ú ÒØ Ô ÙØ ØÖ Ø Ò ÙÜ Ø Ô ÓÒÒÙ ÓÙ Ð ÒÓÑ ³ Ø Ô ÔÖ Ø ÓÒ Ø Ñ ÓÙÖº ÈÖ Ø ÓÒ Π k Π k+1 k Å ÓÙÖ Π k+1. ÈÖ Ø ÓÒ ³ Ø ÙÒ Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÕÙ ÙØ Ð Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÖ ÓÖ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ðº ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ð ÔÖ Ø ÓÒ Π k+1 k (dx ) = Π k (dx)p k (x, dx ). ¼º¾º µ Å ÓÙÖ ³ Ø Ð³ Ø Ô ÓÖÖ Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ø ÓÒ ÕÙ ÙØ Ð Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙÖÒ Ô Ö Ð ÒÓÙÚ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØÓÑ Ð Ø k + 1 ÓÒ Ö º ÐÐ Ø ÒÓÒ Ð Ò Ö Ö ØÙ ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ù Ð ÓÖÑÙÐ Ý ÔÓÙÖ Ð³ Ô Ö Ò ÓÒ ¹ Ø ÓÒÒ ÐÐ º ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Π k+1 (dx) = g k+1(x)π k+1 k (dx) gk+1 (x)π k+1 k (dx). ¼º¾º µ Ä ØÖ Ò Ø ÓÒ π k π k+1 ÔÓÙÖÖ Ù ØÖ ÑÓ Ð Ô Ö Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò H y,k f(x) = E[f(X k )g k (X k, y k ) X k 1 = x], 1 k n, π y,0 f = E[f(X 0 )] = H y,0 f, π y,k f = π y,k 1 H y,k f, 1 k n. ¼º¾º µ Ò Ð Ù Ø Ð ³ Ú Ö Ö Ô Ö ÐÐ ÙÖ ØÖ ÙØ Ð ÚÓ Ö ÕÙ ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÖÛ Ö ÔÓÙÖÖ ØÖ ÒÚ Ö Ò ÙÒ Ñ Ö ØÖÓ Ö ÓÙ Û Ö ÚÓ Ö ½ µº ØØ Ò ÒÓÙ Ò ÓÒ Ð ÓÔ Ö Ø ÙÖ R y,k ÓÑÑ Ù Ø R y,n f = f, R y,k 1 f = H y,k R y,k f, 1 k n. ¼º¾º µ Ø ÓÒ Ð³ Ð Ø π y,n = µ 0 R y,0 º

¾¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¼º¾º½º Ä ÑÓ Ð ³ Ø Ø Ö Ø Ä ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ù ÐÙÐ Ù ÐØÖ Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¼º¾º µ Ø ¼º¾º µ Ö Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ò Ð Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô ³ Ø Ø Ö Øº Ò Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ 0 k n X k (Ω) = {x 1 k,...,xn k k } Ø P k = (P ij k ) Ò Ð Ñ ØÖ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ð (X k ) ÒØÖ k Ø k + 1 ³ ÔÖ Ð Ô Ö Ö Ô ÔÖ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÙÖ H y,k ³ Ö Ú ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ H y,k f(x i k 1 ) = N k j=1 f(x j k )Pij k 1 g k(x j k, y k). Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ò ÙÒ ÐÙÐ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÜÔÐ Ø Ù ÐØÖ Ô Ö Ð Ð Ö ÙÖ ÓÒ ¼º¾º µº Ò ÓÒ Ö ÒØ ÕÙ π y,k M 1,Nk (R) Ø ÕÙ H y,k M Nk 1,N k (R) ÓÒ ÓÙØ Ø Ù Ý Ø Ñ Ö ÙÖ Ñ ØÖ Ð Ù Ú ÒØ H ij y,k Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÒØ = P ij k 1 g k(x j k, y k), 0 < k n, π y,0 = µ 0, π y,k = π y,k 1 H y,k. Π i y,n = πy,k i Nn j=1 πj y,k N n Ø Π y,n f = Π i y,n f(x i n). i=1 ¼º¾º½º ÐØÖ Ã ÐÑ Ò ÉÙ Ò ÓÒ ÓÖØ Ù Ö Ö Ø ÔÖ ÒØ Ð³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ü Ø Ù ÐØÖ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¼º¾º µ Ø ¼º¾º µ Ú ÒØ ÔÐÙ Ð Ø Ö ÐÐ ÑÔÐ ÕÙ Ð ÐÙÐ Ù ³ ÒØ Ö Ð º Ä ÑÓ Ð ³ Ø Ø Ø Ã ÐÑ Ò¹ ÙÝ ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ Ö Ö ÑÓ Ð Ô ³ Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ó ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÜÔÐ Ø Ù ÐØÖ Ø ÔÓ Ð º ÇÒ Ô ÖÐ ÐØÖ Ñ Ò ÓÒ Ò ¾ º ÇÒ ÓÒ Ö X k = ρ k X k 1 + θ k ε k+1, X 0 N(m 0, Σ 0 ), Y k = X k + α k η k, ¼º¾º µ ε k et η k iid N(0, I d ), ρ k, θ k, α k M d (R). Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö (X k, Y k ) Ø ÙÒ Ù Ø Ù ÒÒ ³Ó Ð³ Ò Ù Ø ÕÙ Ð ÐØÖ Π k Ò ÕÙ Ð ÔÖ Ø ÓÒ Π k+1 k ÓÒØ Ù Ò ÐÓ Ö Ô Ø Ú N(m k, Σ k ) Ø ¾ ÐØÖ Ö Ú ÒØ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ô Ö Ñ ØÖ

Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ¾½ N(m k+1 k, Σ k+1 k )º Ä Ô Ö Ñ ØÖ m k Σ k m k+1 k Ø Σ k+1 k ÓÒØ ÓÒÒÙ Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ú ÒØ º ¾½ µ k = 1,...,n m k+1 k = ρ k m k, Σ k+1 k = ρ k Σ k ρ k + θ kθ k, m k = m k k 1 + K k ( Yk m k k 1 ), Σ k = (I K k )Σ k k 1, K k = Σ k k 1 ( Σk k 1 + α k α k) 1. ¼º¾º µ ¼º¾º½º Ä ÐØÖ ÜÔÐ Ø Ñ Ò ÓÒ Ò Ò Ò ÙÒ Ö ÔÐÙ Ò Ö Ð Ð ÑÓ Ð ³ Ø Ø Ø ÒÓÒ Ð Ò Ö ÓÙ ÒÓÒ Ù Òº Ò ÔÐÙ ÙÖ ØÖ Ú ÙÜ ÓÒØ Ø Ð ÓÖ ÔÓÙÖ Ò Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ ÚÓ Ö ÐØÖ Ñ Ò ÓÒ Ò º ÇÒ Ø Ö Ò Ò ¾ ¼ ÔÓÙÖ Ð ÐØÖ Ø ÑÔ Ö Ø Ø ½ ÔÓÙÖ Ð ÐØÖ Ø ÑÔ ÓÒØ ÒÙº Ä Ö ÙÐØ Ø ØÖ Ú ÙÜ ÑÓÒØÖ ÒØ ÕÙ³ Ò ÓÖ ÕÙ ÐÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö ½¾ ½½ ½¼ µ Ô Ù ÑÓ Ð Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ò Ö ÐØÖ Ñ Ò ÓÒ Ò º Ò Ô Ö Ö Ô ÒÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÓÒ Ù ÐØÖ ÜÔÐ Ø Ñ Ò ÓÒ Ò Ò ÒØÖÓ Ù Ø Ò ½ ½ ½¾ ÕÙ Ö Ö ÔÖ ÔÐÙ Ø Ö Ò Ð Ü ÑÔÐ ³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ö Ô ØÖ ¾µº Ä³ Ø Ò Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓ ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ø ÓÒ ¼º¾º µ Ø Ñ ÓÙÖ ¼º¾º µ Ò ÓÔØ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ÙÖ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ð P k Ø ÙÖ Ð ÚÖ Ñ Ð Ò g k º ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ñ ÐÐ (F i,θ ) i N,θ Θ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÓÒÒ Θ ÕÙ³ÓÒ Ð Ö Ø Ò ÙÒ Ñ ÐÐ F Ô Ö Ð ÑÓÝ Ò Ñ Ð Ò Ó ÒØ α = (α i ) i N Sº F = {ν = i 0 α i ν i θ, α = (α i) i N S, θ Θ, ν i θ Fi,θ }, Ó S = {α = (α i ) i N, i 0, α i 0, i 0 α i = 1}º Ä ÒØ Ö ÒØ Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ø ÐÙ Ó ÒØ Ñ Ð Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ò l N Ú Ö ÒØ α i = 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ i > l ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ò Ö ÐÓ Ô Ò ÒØ ³ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ô Ö Ñ ØÖ º Ò Ô ÖØ ÒØ ³ÙÒ Ò Ð ÐÓ Ò Ø Ð Ò F Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ð Ò Ò ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÐÓ Ù ÐØÖ Ø Ð ÔÖ Ø ÓÒ ÓÒØ Ù Ò F Ø ÓÒØ Ó ÒØ Ñ Ð Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ò º Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒØ ÐÙÐ Ð ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ º Ð ÓÖ Ø Ñ µº ¼º¾º¾ Ä Ñ Ø Ó ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÇÙØÖ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ÓÒØ Ø ÓÔØ ÔÓÙÖ ÓÙÖÒ Ö Ø Ñ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ó ÙÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÜÔÐ Ø Ò³ Ø ÓÒÒ º Ò ÕÙ ³ ÔÔÖÓ Ö ÒØ Ñ Ø Ó ³ ÔÔÙ ÒØ ØÓÙØ ÙÖ Ð ÔÖ Ò Ô

¾¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ¹ Ñ Ò ÓÒÒ ÐÐ Ð ÐÓ Ó Ø Π k º Ò ÕÙ Ù Ø ÒÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ ØÖÓ Ñ Ø Ó ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º ¼º¾º¾º½ ÐØÖ Ã ÐÑ Ò Ø Ò Ù ØØ Ñ Ø Ó Ø ÙØ Ð Ò ÑÓ Ð Ù Ò Ñ ÒÓÒ Ð Ò Ö º ÐÐ ÔÓÙÖ ÔÖ Ò Ô ÓÒ Ö Ö ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý Ø Ñ Ô ÙØ ØÖ ÔÔÖÓ Ô Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ú Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ì ÝÐÓÖ Ð³ÓÖ Ö ÙÒº ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ý Ø Ñ ÒÓÒ Ð Ò Ö { Xk+1 = F k (X k, ε k+1 ), Y k = G k (X k ) + α k η k. ¼º¾º½¼µ ÈÓÙÖ Ý Ø Ñ Ð ÔÖÓ Ù ÓÐÙØ ÓÒ (Π k ) Ò³ Ø Ô Ù Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÐÙÐ Ñ Ò Ö ÑÔÐ º Ô Ò ÒØ Ý Ø Ñ Ô ÙØ ØÖ Ð Ò Ö Ò Ô ÖÑ ØØÖ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ù ØÝÔ ¼º¾º µº Ä ÐÓ Ù ÐØÖ Π k Ò ÕÙ ÐÐ ÔÖ Ø ÓÒ Π k k 1 ÓÒØ ÐÓÖ ÔÔÖÓ Ô Ö ÐÓ Ù ÒÒ N(m k, Σ k ) Ø N(m k+1 k, Σ k+1 k )º ËÓ Ø X k+1 F k (m k, 0) + D x F k (m k, 0)(X k m k ) + D ε F k (m k, 0)ε k+1, Y k G k (m k k 1 ) + DG k (m k k 1 )(X k m k k 1 ) + α k η k. È Ö Ò ÐÓ Ù ÑÓ Ð Ð Ò Ö Ù Ò ÓÒ Ò Ø ÐÓÖ Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ m k+1 k = F k (m k, 0), Σ k+1 k = D x F k (m k, 0)Σ k D x F k (m k, 0) + D ε F k (m k, 0)D ε F k (m k, 0), m k = m k k 1 + K k ( Yk G k (m k k 1 ) ), Σ k = ( I K k DG k (m k k 1 ) ) Σ k k 1, K k = Σ k k 1 DG k (m k k 1 ) ( DG k (m k k 1 )Σ k k 1 DG k (m k k 1 ) + α k α k) 1. ¼º¾º½½µ ÒÓØÖ ÓÒÒ Ò ØØ Ñ Ø Ó Ò³ Ø Ô Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ù Ø Ò Ð Ò Ö Ð Ñ Ñ ÔÐÙ ÙÖ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ ÓÒØ Ø Ø ÔÓÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ ÓÒØ ÒÙµº ÐÐ Ö Ø ØÓÙØ Ó ØÖ ÙØ Ð Ò Ð ÔÖ Ø ÕÙ º ËÓÒ Ø Ø ØÖ Ö Ô Ö Ð³ Ü Ø Ò ÓÖØ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ø Ð³ ÑÔÖ ÓÒ Ò Ð Ô Ø ÓÒ Ð ÐÓ Ò Ø Ð Ð³ Ò Ø Ð Ø Ù Ý Ø Ñ ººº ¼º¾º¾º¾ Å Ø Ó Ö ÐÐ ØØ Ñ Ø Ó ³ ÔÔÙ ÙÖ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ö ÐÐ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÕÙ Ú ¹ Ö Ð X k Ô Ö Ú Ö Ð Ö Ø º Ò Ð Ø ÖÑ ÒØÖÓ Ù Ø Ò ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÒ Ð ³ Ø Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ú Ö Ð X k Ø Ð Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø ³ÙÒ Ø Ð³ ÙØÖ Ñ Ò Ö Ö Ú Ò Ö Ù Ù ÑÓ Ð Ö Øº Ê Ú ÒÓÒ ÙÜ Ò Ø ÓÒ

Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ ¾ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÒ Ø ÒÓÒ Ô Ö Ð ˆX k Ð N k ¹ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ X k º ÇÒ ÒÓØ Ö (A i k ) 1 i N k Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ØØ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ˆX k (Ω) = Γ k = {x 1 k,...,xn k k }º ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ ÔÔÖÓ Ö Ð ÐØÖ Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ Ò Ò ÒØ Ð³ Ø Ñ Ø ÙÖ ˆπ y,n Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ô Ö Ù ÑÓ Ð ³ Ø Ø Ö Ø ½ ½ µ Ĥ y,k f(x i k 1 ) = E[f( ˆX k )g k ( ˆX k, y k ) ˆX k 1 = x i k 1 ], = N k j=1 ˆπ y,0 f = E[f( ˆX 0 )], ˆπ y,k f = ˆπ y,k 1 Ĥ y,k f. f(x j ij k )ˆP k 1 g k(x j k, y k), Ò ÓÒ Ö ÒØ ÕÙ ˆπ y,k M 1,Nk (R) Ø ÕÙ Ĥy,k M Nk 1,N k (R) ÓÒ ÓÙØ Ø Ù Ý Ø Ñ Ö ÙÖ Ñ ØÖ Ð Ù Ú ÒØ Ĥ ij y,k = ˆπ y,0 ˆP ij k 1 g k(x j k, y k), 0 < k n, = ˆµ 0 = Ĥy,0, ˆπ y,k = ˆπ y,k 1 Ĥ y,k. Ä Ó Ü Ù ÕÙ ÒØ ÙÖ ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ð Ö ÐÐ Γ k Ø Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÖÙ Ð Ò Ð ÕÙ Ð Ø Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒº ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð Ø ÔÓ Ð ÚÓ Ö ØØ ÔÔÖÓ ÓÑÑ ÙÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð³ÓÖ Ö Þ ÖÓ ÓÔ Ö Ø ÙÖ R k Ò ¼º¾º µº ÁÐ ÓÒØ ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÔÖÓ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ R y,n f = f, R y,k 1 f = Ĥy,k R y,k f, 1 k n, ¼º¾º½¾µ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ñ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ˆπ y,n = R y,0 º Ò ½ ØØ Ò Ø ÓÒ Ö ØÖÓ Ö ¼º¾º½¾µ Ô ÖÑ Ø ³ Ø Ð Ö ÙÒ ÓÒØÖÐ Ð³ ÖÖ ÙÖ ÔÓÙÖ ÙÒ Ó Ü Ù ÙÜ Ù ÕÙ ÒØ ÙÖ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ø Ø fº Ò Ø ÙÒ Ó Ü ÕÙ ÒØ ÙÖ L 2 ¹ÓÔØ Ñ Ð ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ³ Ø Ð Ö ÙÒ Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö Þ ÖÓ Ô Ö Ð Ù Ø ÓÖ Ñ ÓÖº Ø ÔÓ Ð ØÖ Ú Ö Ð ÓÒØÖÐ Ð³ ÖÖ ÙÖ ÙÖ Ð ÐØÖ Ô Ö Ð³ ÖÖ ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¼º¾º¾ ½ ËÙÔÔÓ ÓÒ P k Ø Ä Ô ØÞ Ò Ø f Ø ÓÖÒ Ä Ô ØÞ ÒÒ ÓÒØ ÒÙ ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ (C n j (y)) 0 j n Ø ÐÐ ÕÙ π n f ˆπ n f n Cj n (y) X j ˆX j 2. j=0

¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ê Ñ ÖÕÙ ¼º¾º¾ Ä Ô Ò Ò Ò Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÐÐ Cj n (y) Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ö Ò Ù ÜÔÐ Ø º º ½ µº Ê Ñ ÖÕÙ ¼º¾º Ä Ö ÙÐØ Ø Ù Ì ÓÖ Ñ ¼º¾º¾ Ö Ò Ù Ð Ó Ü ³ÙÒ ÕÙ Ò¹ Ø ÙÖ L p ¹ÓÔØ Ñ Ð ÔÓÙÖ Ø Ð Ö ÙÒ Ø ÙÜ ÓÒÚ Ö Ò Ð³ ÖÖ ÙÖ Ú Ö Þ ÖÓº Ä Ó Ü ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø Ù Ø Ô Ö Ð Ð Ø Ö Ð Ø Ú Ù ÐÙÐ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ ¹ Ø ÓÒº ¼º¾º¾º Å Ø Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒØ Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ð Ø Ó Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø Ù Ø Ô Ö Ð ÐÓ Ö Ò ÒÓÑ Ö º Ä³ Ø ÔÖÓ Ñ Ø Ó Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ó Ð ÔÖ Ò Ô ³ ÔÔÖÓ¹ Ö Ð ÐÓ Ô Ö ÙÒ Ñ ÙÖ Ö Ø Ò Ø Ö Ø ÒÙ º ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ô Ö Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ÖÐÓ ØØ Ñ ÙÖ Ö Ø Ö Ð ÔÓ ÒØ ³ÙÒ Ò¹ Ø ÐÐÓÒ Ð ØÓ Ö ÔÔ Ð Ý Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ º Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ÐØÖ Ô ÖØ ÙÐ ³ ÔÔÙ Ò Ù Ø ÙÖ Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔ Ù Ý Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ù ³ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒ Ð ÐÓ Ò Ø Ð µ 0 º Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ð Ñ ÒØ Ö ÐØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ð ÐØÖ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÓÒ Ö ÔÔ Ð Ù ËÁË ÔÓÙÖ Ë ÕÙ ÒØ Ð ÁÑÔÓÖØ Ò Ë ÑÔÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÈÓÙÖ ÕÙ Ø ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ k ÓÒ Ò Ø Ð³ Ø Ñ Ø ÙÖ Π M k f Ô Ö Π M k f = M i=1 wk i f(xi k ) Ó Xi k L(X 0:k ) Ø wk i = g k (Xk i)wi k 1 M i=1 g. k(xk i)wi k 1 Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÚÓ Ö ÑÙÐ Ö Ð ÐÓ Ó ÒØ L(X 0:k ) ÕÙ Ð³ Ú ÒØ ÔÓÙÚÓ Ö Ö Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ Ö Ð Ò ØÙÖ Ñ Ö ÓÚ ÒÒ Ù Ò Ðº ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ ÔÖ Ø ÕÙ Ð³ ØØÖ Ø ØØ Ñ Ø Ó Ö Ò Ð ÔÓ Ð Ø ³ÙÒ Ö ØÙÖ ÕÙ ÒØ ÐÐ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¼º¾º µ Ø ¼º¾º µº Ò Ø Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ý Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ (X i 0:k ) 1 i M ÐÓÒ L(X 0:k ) Ð ÒØ ÐÐÓÒ (X i 0:k+1 ) 1 i M ÑÙÐ ÐÓÒ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ P k Ô ÖØ Ö (X i 0:k ) 1 i M ÓÒØ ÐÓÒ L(X 0:k+1 ) Ø ³ ÔÖ ¼º¾º µ ÓÒ Ò Ø Ð ÔÖ Ø ÓÒ ÑÔ Ö ÕÙ M Π M k+1 k f = wk i f(xi k+1 ). i=1 Ä³ Ø Ô ÓÖÖ Ø ÓÒ ¼º¾º µ ÒØ ÖÚ ÒØ ÙÖ Ð ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ wk i ÔÖ Ô Ö g k Ò ÕÙ ÒÓÙÚ Ù ÔÓ ÒØ ÑÙÐ Ó Ø Ô Ö Ð ÐÙÐ Ð Ú Ð ÙÖ Π M k+1 f = M i=1 g k+1(x i k+1 )wi k f(xi k+1 ) M i=1 g k+1(x i k+1 )wi k = M wk+1 i f(xi k+1 ). i=1 ÆÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ó ÓÙ Ö ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ò ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ ½ º ÈÓÙÖ Ý Ö Ñ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ð ÔÐÙ ÕÙ Ø Ð ÔÐÙ Ö Ô Ò Ù Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ

ÈÖ Ò Ô ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ¾ ÔÖÓÔÓ ³ ÓÙØ Ö ÙÒ Ø Ô Ö ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò ³ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ð³ Ô ³ Ø Ø Ô Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ ¾¾ ½ º ØÝÔ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ð Ú Ö ÒØ ÐÐÓÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ô ÖØ ÙÐ ÓÖØ ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ò Ð ÙØÖ Ð Ø Ö ØÖÓÙÚ ÓÙ ÔÐÙ¹ ÙÖ ÔÔ ÐÐ Ø ÓÒ ÐØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ ÐØÖ ÓÓØ Ö Ô ¾ ÓÙ ÐØÖ ÅÓÒØ ÖÐÓ ¼ ÓÒ Ð ÒÓØ Ö ËÁÊ ÔÓÙÖ Ë ÕÙ ÒØ Ð ÁÑÔÓÖØ Ò Ê ÑÔÐ Ò º ¹ Ö ÒØ ØÝÔ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ø Ó ÓÒØ Ø Ð Ò ½ ½ º ÁÐ Ø Ô Ò ÒØ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ö ÒØ ÐÐÓÒÒ Ô ÙØ ³ Ú Ö Ö Ò Ù ÒØ Ò ÔÐÙ ÙÖ ÔÖ Ø ÕÙ º ÁÐ ÖÖ Ú Ò Ø ÕÙ³ ÐÐ Ô ÙÚÖ Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ô ÖØ ¹ ÙÐ Ò ÓÒ ÒØÖ ÒØ Ð ÒÙ ÙÖ Ô Ù ÔÓ ÒØ º Ä Ø ÐÐ Ø Ú Ø Ò Ö Ù Ø ÓÒ Ô ÖÐ Ò Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ù ÐØÖ ËÁÊº ÇÒ Ö ÔÓÖØ Ö ½ Ø ÙÜ Ö Ö Ò ÕÙ³ Ð ÓÒØ ÒÒ ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÚÙ ÕÙ ÐÕÙ Ú Ö ÒØ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö ÓÙ Ö ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ º ¼º ÈÖ Ò Ô ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ØØ Ø ÔÖ ÒØ ÕÙ ÐÕÙ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÐØÖ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ó Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð º ÆÓÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒØ Ö ÙÜ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ÕÙ ÔÓ Ô Ö Ð Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ð³ ÖÖ ÙÖ Ò Ö ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ð¹ ØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö ÙÐØ Ø Ú Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ò º ØÖ Ú Ð ³ ÖØ ÙÐ Ò ÙÜ Ô ÖØ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÒ Ö Ð³ ÔÔÖÓ ÓÒ¹ Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ô Ö È Ø È Ñ Ò ½ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÔÔÖÓ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ô ØÖ ½µº Ä ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ØØ ÔÔÖÓ Ô Ö Ö ÐÐ Ð³ ÔÔÖÓ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÐØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ð³Ó Ø Ù Ô ØÖ ¾ Ò Ð ÕÙ Ð ØØ ØÙ Ö ØÖ Ú Ö ÔÐÙ ÙÖ ÑÓ Ð ³ Ø Ø º Ò Ð ÙÜ Ñ Ô ÖØ ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒØ Ö Ð³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ù ÐØÖ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ô Ö Ð ÑÓÝ Ò Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖ ÐÙÐ Ó Ø ØÖ Ú Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ô ÖØ Ô ØÖ µ ÓÙ ³ ÙØÖ Ô ÖØ ØÖ Ú Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ù ÐØÖ Ñ Ñ Ô ØÖ µº Ä ÙØ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÔÖÓ Ø Ø ³ Ð ÓÖ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÙÐ ÔÐÙ Ö Ô ØÓÙØ Ò Ø Ð ÒØ ÙÒ Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð³ ÖÖ ÙÖº Ä ÙÜ Ñ Ú Ø ÓÒÒ Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ÓÔØ ÓÒ Ñ Ö Ò Ò Ð Ö ³ÙÒ Ñ Ö ÚÓÐ Ø Ð Ø ØÓ Ø ÕÙ ÒÓÒ Ó ÖÚ º Ä Ô ØÖ ½ Ø ÑÓØ Ú Ô Ö Ð ØÖ Ú ÙÜ È È Ñ Ø ÈÖ ÒØ Ñ ÕÙ Ù ¹ Ö ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ñ Ø ³ÓÖ Ö ½ º Ô Ö Ö Ô ¼º½º¾ Ø ¼º½º µ ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ Ù ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº Ä³ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÖÖ Ø ÙÖ Ø ³ÓÖ Ö ½ Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÙÖ Ú ¼º¾º½¾µ ³ Ò Ô Ö ÒØ Ò Ö ÙÐØ Ø ÐÐÝ È Ø ÈÖ ÒØ Ñ Ò ÓÒÒ Ò Ò ÙÜ ÙÐØ Ô Ö ÔÓÙÖ ÓÙØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ý ÒØ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò ØÝÔ ÓÖ Ö ½º ÁÐ ÐÐ Ø ÔÖÓÔÓ Ö ÓÖÖ Ø ÙÖ ³ÙÒ Ô ÖØ Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ Ø Ð Ö ÙÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ù ØÝÔ ÓÒÚ Ö Ò º ÆÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ÙÜ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÓ Ð Ù

¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓÒ Ð ÝÔÓØ ÙÖ Ð ÑÓ Ð ³ Ø Øº ÌÝÔ ÕÙ Ñ ÒØ ÓÑÑ Ò Ð Ö Ó¹ ÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö ØÖÓ Ö Ù ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ø ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÕÙ Ð ØØ Ñ Ø Ñ Ò Ö ÕÙ ³ÓÖ Ö ÙÒ Ó Ð Ø ÖÑ ÓÖÖ Ø ÙÖ Ú ÒÒ ÒØ ³ ÓÙØ Ö ÙÜ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Þ ÖÓ Ð Ñ Ò Ö ³ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ì ÝÐÓÖº R n f = f, DR n f = Df, ) R k f = E[g k+1 (X k+1, y k+1 )( Rk+1 f(x k+1 + DR k+1 f(ˆx k+1 ), k+1 ˆX k ], 0 k n 1. ¼º º½µ Ò Ð ÙÜ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓÔÓ Ò Ð Ô ØÖ ½ ÒÓÙ Ò ÓÒ Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ DR k+1 f ÓÑÑ ÙÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Þ ÖÓ DR k f Ò Ô ÖØ ÒØ ÙÜ Ö ØÙÖ Ö ÒØ ÖÒ Öº Ä ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ³ ÔÔÙ ÙÖ ÙÒ Ò Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÓÒÒ ÒØ DR k Ò ÓÒØ ÓÒ DR k+1 Ð ÙÜ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ÙÖ ÙÒ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Ð Å ÐÐ Ú Ò DR k ÔÓÙÖ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÒØ ÓÒ R k+1 Ø ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÓ ÕÙ Ð³ÓÒ Ò Ø º µº ËÓÙ Ð ÝÔÓØ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ³ ÙØÖ ÙÖ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù Ò Ð ÒÓÙ Ø Ð ÓÒ ÕÙ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÐØÖ ˆπ y,n Ù Ø Ð Ñ Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ì ÓÖ Ñ ¼º¾º¾ Ì ÓÖ Ñ ½º º½ Ø ½º º½µº Ò Ð Ô ØÖ ¾ ÒÓÙ Ö ÓÒ ÙÒ ØÙ ÓÑÔ Ö Ø Ú Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÒÚ Ö Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ð ÐØÖ Ô ÖØ ÙÐ º ÁÐ Ø ÒØ Ö ÒØ ³Ý ÚÓ Ö Ð Ô Ö ÐÐ Ð ÕÙ Ô ÙØ ØÖ Ø ÓÒ ÔØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÒØÖ Ð ÙÜ ÔÔÖÓ º Ô ÖØ Ö Ö ÒØ Ü ÑÔÐ ÑÓ Ð ³ Ø Ø ÕÙ³ÓÒ Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ñ Ø Ó ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ Ú Ö ÒØ Ò Ø ÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ñ Ð ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù Ñ ÒØ Ò Ñ Ò ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ ½º È Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÜ Ñ Ø Ó Ô ÖØ ÙÐ ÐÐ ÓÒØ Ð³ Ú ÒØ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ù ÐØÖ Ø ³ Ú Ø Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ô Ö Ð Ú Ö Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö º Ò Ð Ô ØÖ ÒÓÙ Ø Ò ÓÒ Ð ÒÓØ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒØÖÓ¹ Ù Ø Ô Ö ÔÓÙÖ Ð ÐØÖ ÑÓ Ð ³ Ø Ø Ö Ø º Ô Ö Ö Ô ¼º¾º½º µ Ù ÐØÖ Ô ³ Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø µº Ø Ö Ò Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ð³ ÓÔØ ÓÒ Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº Ò Ø Ô Ö ÓÒ ÔÖ Ò Ô ÔÖ ¹ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ó Ò Ð ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ø ØÓ Ö Ù ÔÖ Ð Ð Ò ÔÐÙ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ù Ò Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÚÖ Ñ Ð Ò Ú ÐÙ ÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ø Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒº Ò ÔÖÓ Ø ÒØ Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÙÖ Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø Ò ÔÓ Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÒØ Ô ÒØ ÖÚ Ò Ö Ð ÐÙÐ Ð ÚÖ Ñ Ð Ò ÓÒÐ Ò Ø Ô Ö ÓÒ Õ ÙÒØ ÔÐÙ Ö Ô º Ä³ ÖÖ ÙÖ L 1 ÙÖ Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒ Ù ÐØÖ Ð ØÓ Ö Π Y,n Ø ÓÒØÖÐ Ô Ö Ð³ ÖÖ ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø Ì ÓÖ Ñ º¾º½µ Ø Ô Ö ÐÐ Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ù Ò Ð Ò Ð ÓÒØ ÒÙ Ì ÓÖ Ñ º º¾µº ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ò Ð Ð ÔÖÓ ÙÖ ÔÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ø ³ Ð ¹ Ö Ö Ð³ Ü ÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù Ñ ³ Ø Ñ Ø ÓÒº ÐÐ Ô ÖÑ Ø Ù ³ ÒÚ Ö ÙÒ ÔÖ ¹

ÈÖ Ò Ô ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ¾ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ù ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº Ø ØÙ Ò ÔÐÙ ÑÔÐ Ø Ð Ò Ð Ô ØÖ ØÖ Ú Ö ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ò Ò º ÆÓÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒØ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ÓÔØ ÓÒ Ñ Ö Ò Ò Ð Ö ³ÙÒ ÑÓ Ð Ñ Ö ÚÓÐ Ø Ð Ø ØÓ Ø ÕÙ º Ä ÚÓÐ Ø Ð Ø X k Ø ÑÓ Ð ÓÑÑ ÙÒ Ò Ð Å Ö ÓÚ Ò ÓÒØ Ð ÔÖ Ü ³ Ø Y k ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÙ Ø º ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ÙÒ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ø ÑÔ ³ ÖÖ Ø Ò Ö Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÓÑÔÐ Ø º ËÓ Ø [ τ ] u 0 = sup τ Tn Y E k=0 f(x k, Y k ) + h(x τ, Y τ ), ¼º º¾µ Ó Tn Y Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ø ÑÔ ³ ÖÖ Ø ÔØ Ð ÐØÖ Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ (Fk Y ) = (σ{y 0,...,Y k }) Ú Ð ÙÖ Ò {0,...,n}º Ò ÓÒ Ö ÒØ Ð Ú Ö Ð Z k = (Y k, Π Y,k ) ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔ ³ ÖÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ø [ τ ] u 0 = sup τ Tn Y E k=0 ˆf(Z k ) + ĥ(z τ). ¼º º µ Ó Z k Ö ÙÒ Ò Å Ö ÓÚ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ (P, (Fk Y ))º Ä Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ö ÐÐÝ Ø È Ò Ø Ò Ö Ò Ù ÔÓ Ð º ÍÒ Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ð³ ÖÖ ÙÖ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ì ÓÖ Ñ º º¾º ËÙÖ Ð ÔÐ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ Ø Ü ÑÔÐ Ø ÐÐÙ ØÖ Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ÓÔØ ÓÒ Ñ Ö Ò Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ÓÔØ ÓÒ Ò Ó ¹ ÖÚ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ ÓÒÚ Ö Ú Ö ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØÓØ Ð ÕÙ Ò Ð Ø ÐÐ ÕÙ ÒØ ÙÖ Ø Ò Ú Ö + º Ä Ô ØÖ ÔÓÖØ ÙÖ ÙÒ ÖØ Ð Ó¹ Ö Ø Ú Àº È Ñ Ø Ïº ÊÙÒ Ð Ö Ø ÔÙ Ð Ò º Ä ÙØÖ Ô ØÖ ÓÒØ Ð³Ó Ø ÔÖ ¹ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÈÖÓ ¹ Ð Ø Ø ÅÓ Ð Ð ØÓ Ö º ÌÓÙ Ð Ô ØÖ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÐÙ Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ð ÙÒ ÙØÖ Ð Ð Ø ÙÖ Ø ÔÖ ³ ÜÙ Ö Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ð Ò Ð Ò Ø ÓÒ Ø ÔÖ Ð Ñ Ò Ö º

¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ

ÈÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÐØÖ Ô Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ¾

ÔØ Ö ½ Ö Ø ÇÖ Ö Ñ ÈÖ ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÈÖÓ Ð Ø Ø ÅÓ Ð Ð ØÓ Ö Ì ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö Ò Ñ Ø Ó ½ µ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÐÚ ÒÓÒÐ Ò Ö ÐØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö Ø Ø Ñ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÁØ Ö Ð ÓÒ Ó ¹Ð Ò ÔÖ ÔÖÓ Ò Ó ÓÑ Ò Ð Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÓÖ ÐØ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ï Ú Ö Ò ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Ý Ø Ò Ú ÒØ Ó Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ ÒØ Þ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝº Ì Ý Ò Ö ÒØ Ø Ù Ó Ú Ò Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ØÓ Ö Ñ ÓÒ Ô Û Ð Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º ÓÒÚ Ö Ò Ö ÙÐØ Ö Ú Ò Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø ÕÙ ÒØ Ð ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ Ø Ó Ñ º ÆÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ö ÔÖ ÒØ ÓÖ ÓØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ð Ò Ö Ù Ò ÑÓ Ð Ò ØÓ Ø ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ÑÓ Ð º Ã Ý ÛÓÖ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÒÓÒÐ Ò Ö ÐØ Ö Ò Ó Ò ÔÖ ÔÖÓ Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ ÒØ Þ Ö ØÓ Ø ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ÑÓ Ð º ½

¾ Ö Ø ÇÖ Ö Ñ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ú Ö Ð ÒØ Ð Ø Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ö ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ý Ø Ñ Ù Ò ÒÓ Ý Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ñ º ÓÑÑÓÒ Ñ ÒÒ Ö ØÓ Ó Ø Ø Ý Ò ÔÔÖÓ Û ÓÒ ØÖÙØ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ô µ Ó Ø Ø Ø Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ØÓ ÐÐ Ø Ú Ð Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ø º ÁÒ Ø Ù Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ð Ó Ø Ã ÐÑ Ò Ã µ ¾½ ½ Ø Ö ÕÙ Ö Ô Ù Ò Ò Ý ÓÑÔÙØ Ò ÕÙ ÒØ ÐÐÝ Ø ØÛÓ Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Û Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ü ØÐÝº ËÓ Ò Ø Ò ÜÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓÚ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ü ÔØ Ò Ø ÓÖ Ò Û ÓØ Ö Ð Ø Ö Ø Ò Ø Ø Ø Ô ½ Ò ÓÑ ÓØ Ö Ñ Ü Ò Ù Ò ÑÓ ¹ Ð ½ Ø Ö Ù Ù ÐÐÝ ÒÓ ÐÓ ÜÔÖ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÙØ ÓÒº ËÓ Ñ ÒÝ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ñ Ø ÓÒ Ú Ò Ù Ø ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÔÖÓ Ù ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ô º ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ ØÛÓ Ö ÒØ ÔÔÖÓ Ò Ñ ÒØ ÓÒ ÖØ Ø Ö ÕÙ Ö Ô Ö Ô¹ Ö ÒØ ÑÔÐ Û ÛÓÙÐ ÔÖÓÚ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ò Ø Þ ÓÑ Ú ÖÝ Ð Ö ½ Ø ÒÐÙ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÓØ ØÖ Ô Ý Ò Ñ Ø Ó ¾ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ø Ò Ô ÖØ Ð ÐØ Ö º Ë ÓÒ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ô Ù Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑ ØÓ Ø Ö Ø Ò Ø º Ø Þ Ó Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÖÓÛ ØÓ Ò Ò ØÝ Ø ÓÛÒ Ø Ø Û Ò ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÔÔÖÓ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ò Ø Ø Ø Ô º À Ö Ø Ð Û ÐÐ Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÑ Û Ø Ó Ø ØÓ ÓÑ Ú Ò Ö ÔÓ ÒØ Û Ò Ò Ø Ø Ø Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒº Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Û ÐÐ ÔÔÖÓ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ô Ø Ö Þ Ø Ð Ö Öº Ì Û Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÐØ Ö ½ ½ Ù Ò Ö Ò ÓÑ ÑÔÐ ØÓ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ø Ã Ø Û Ñ Ø Ó ¾ ÓÖ Ð Ò Ö ÒÓÒ Ù Ò ÑÓ Ð Ù Ò ÔÖ Ò Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö Ò ½ Ù Ò Ó Ð Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ù Ò ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø ÔÖÓ Ö Ü ÑÔÐ Ó Ø ÔÔÖÓ º Ì Ø Ò ÕÙ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ô ÐÐÝ Ù ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ñ ÒÝ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò ØÓ ÓÑÔÙØ º ÁØ ÔÔ Ö Ò ÒØ Ñ Ø Ó ØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö Ð ÒØÓ Ò Ø Û Ø ÙÑ Û Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÖÖÓÖº Ï Ò Ò ÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò ÕÙ Ò º ÁÒ ÓÑ ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ö ÓÖ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ú Òº ÆÓÛ ÓÖ Ø Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û ØÖ Ø Ö Û Ù Ã ÐÐ ÒÔÙÖ¹ËØÖ Ð ÓÖÑÙÐ ¾ ØÓ Ö Ú ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÖÑÙÐ ÐÐÓÛ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ô Ö ÙÖ Ú ÐÝº Ä Ò ½ Ø ÔÔÖÓ Ñ ÔÓ Ð Ø Ù Ó ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ø Ô Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ º Ï Û ÐÐ ÐÐ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØÖÓ Ù Ò ½ Ø Þ ÖÓ ÓÖ Ö Ñ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ý Ö Ø ÓÖ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ð Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ ÒØ Þ Ö ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ô º Ì ÔÔÖÓ Û Ö Ø ÒØÖÓ Ù Ò ÓÖ ÓÐÚ Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÓÔÔ Ò Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ ÐÝ ÑÙÐØ ¹ Ø Ñ Ö Ò ÓÔØ ÓÒ

ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÔÖ Ò º ÁØ ÑÔÖÓÚ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ó Ø Ñ Ø Ó º ÁÒ Ö Ø Ø Ó Ø ÔÖ ÒØ ÓÖ Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÙØ Û Ø Ô Ù Ó¹ÒÙÑ Ö Ð Ñ Û ÒÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÖ Ø º ÇÙÖ Ñ Ö ØÓ ÔÖÓÔÓ ÓÔ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÖ Ö Ñ Û ÑÔÖÓÚ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ó Ø Þ ÖÓ ÓÖ Ö Ñ ÖÓÑ ÓØ Ø ÓÖ Ø Ð Ò ÔÖ Ø Ð Ú ÛÔÓ ÒØ º Ï Ö Ø ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Û Ö Û Ý Ø Ø Ò ØÙÖ Ð Ñ ÒÒ Ö ØÓ Ú Ø Ñ Ò Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ð ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø º Ì Ò Û ÓÛ ÓÛ ØÓ Ö Ú Ø ÓÖÛ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÖ Ø º Ì Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Û Ú ÓÑ Ö ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ò ÐØ Ö Ò º Ì Ø Ö Ò ÓÙÖØ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ð Û Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò Ö Ø ÓÖ Ö Ñ º ÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ø Ñ Ò Ø Ö Û Ö Ò ÓÖÛ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ò ÐÐÝ ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ º Ì Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ø ØÓ ÙÑÑ Ö Þ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ö ÙÐØ Ò ÒÐ Ö Ø Ñ ØÓ Ø Ó ÒÓÖÑ Ð Þ ÐØ Ö º Ò ÐÐÝ ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÜØ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø Ô ÖØ Ð Ñ Ø Ó ÓÖ Ú Ö Ð ÑÓ Ð º ÆÓØ Ø ÓÒ p (1, + ) Ü Ö Ð ÒÙÑ Ö. Ò. p ÒÓØ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÙÐ Ò ÒÓÖÑ ÓÒ R d Ò L p ¹ÒÓÖÑº Cb,Lip 1 Ø Ø Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ Rd R ÓÙÒ Û Ø ÓÙÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö Ú Ø Ú Ò Cb k Ø Ø Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ k¹ø Ñ ¹ Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ R d R ÓÙÒ Û Ø ÓÙÒ Ö Ú Ø Ú º Ï Û ÐÐ Ð Ó Ò f = sup x R d f(x) Ò [f] Lip = sup x x f(x) f(x ) x x º α > 0 ÒÓØ Ò Ö ÓÒ Ø ÒØ.,. Ø ÙÐ Ò ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ÓÒ R d A Ø ØÖ Ò ÔÓ Ó Ø Ö Ð Ñ ØÖ Ü Aº Ò ÐÐÝ (e i ) 1 i d Ø ÒÓÒ Ð ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ó R d º ½º¾ ½º¾º½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö Ò Ñ Ï ÓÒ Ö Ü Ö Ø ÓÖ ÞÓÒ n N Ò ÓÑ ÔÖÓ Ð ØÝ Ô (Ω, F, P)º Ò Ð ÔÖÓ Ò R d ¹Ú ÐÙ Ö Ø Ø Ñ Ò Å Ö ÓÚ Ò (X k ) 0 k n ÚÓÐÚ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ X k+1 = F k+1 (X k, ε k+1 ), 0 k n 1, ½º¾º½µ Û Ö F k : R d R q R d ÓÖ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò (ε k ) 1<k n ÕÙ Ò Ó R q ¹Ú ÐÙ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ó X 0 º Ì ØÖ ÙØ ÓÒ µ 0 Ó X 0 ÙÔÔÓ ØÓ ÒÓÛÒº ÙÖØ ÖÑÓÖ P k (x, dx ) Û ÐÐ ÒÓØ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó X k Ò µ 0 f = f(x)µ 0 (dx) and P k f(x) = f(x )P k (x, dx ). Ø Ø Ñ Ø Ô k Y k Ò R d ¹Ú ÐÙ ÒÓ Ý Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó X k Ñ º Ì ÝÒ Ñ Ó Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓ (Y k ) 0 k n Ö Ö Ú Ò Ý ÓÖ Ð ÙÒØ ÓÒ G k : R d R d R q R d

Ö Ø ÇÖ Ö Ñ Ó Ø Ø Y k = G k (Y k 1, X k, η k ), 1 k n, ½º¾º¾µ Û Ö (η k ) ÕÙ Ò Ó R q ¹Ú ÐÙ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ó σ(x 0, ε k, k 1)º Ï ÙÑ ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ø Ø Y 0 = 0 Ò Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ 1 k n Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Y k Ú Ò X k Ò Y k 1 Ñ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ô y g k (Y k 1, X k, y)º Ï ÙÔÔÓ Ò Ø ÓÒ Ø Ø g k Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ä Ô ØÞ ÙÑÔØ ÓÒ x, x R d, y, y R d g k (y, x, y ) g k (y, x, y ) [g k ] y,y Lip x x Ò max sup g k (y, x, y ) L y,y < +. 0 k n x R d Ê Ñ Ö ½º¾º½ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ü Û Û ÐÐ ÖÓÔ Ø Ô Ò ÒÝ Ó [g k ] y,y Lip Ò L y,y Ò (y, y ) ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÓÒÚ Ò Ò º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û Ñ ØÓ ÓÐÚ ØÓ ÓÑÔÙØ Π n f = E[f(X n ) Y 1 = y 1,...,Y n = y n ], ÓÖ ÒÝ Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ð ÙÒØ ÓÒ f : R d R Ò Ú Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÕÙ Ò y = (y 1,...,y n )º Í Ò Ã ÐÐ ÒÔÙÖ¹ËØÖ Ð ÓÖÑÙÐ ¾ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ù ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒÒÓÖÑ Ð Þ ÐØ Ö π n Ò Ý Ì Ò Π n f = πnf π n1 º π n f = E[f(X n ) n g k (y k 1, X k, y k )]. k=1 Ê Ñ Ö ½º¾º¾ ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ø Ô Ò ÒÝ Ó Π n Ò π n Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò ÓÑ ØØ y Ü º ÓÖ Ø Ñ Ö ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ g k (x) := g k (y k 1, x, y k ) ÓÖ 1 k n Ò g 0 := 1º Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ (H k ) 0 k n Ò ÐÓÛ ÕÙ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ¹ ÒÓÖÑ Ð Þ ÐØ Ö π n Ò Ú Òº Æ Ñ ÐÝ ÓÒ Ò ÓÖ Ú ÖÝ x R d { Hk f(x) = g k (x)e[f(x k+1 ) X k = x], 0 k n 1, ½º¾º µ Hnf(x) n = g n (x)f(x), Ø Ò Û Ú π n f = µ 0 H 0 H n nf. ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ò ÛÖ Ø ÕÙ ÒØ ÐÐÝ Ø Ö Ò Ø ÓÖÛ Ö Û Ý ½º¾º µ U 0 = µ 0 H 0, U k = U k 1 H k, 1 k n 1, ½º¾º µ

ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÓÖ Ò Ø Û Ö Û Ý Ó Ø Ø π n f = µ 0 R 0 f = U n 1 H n nfº R n = H n n, R k = H k R k+1, 0 k n 1, ½º¾º µ Ê Ñ Ö ½º¾º ÆÓØ Ø Ø G k Ô Ò ÓÒ X k 1 Ò Ø Ó X k ÓÖ 1 k n Û Ö Ð ØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ô Ó Y k Ú Ò X k 1 Ò Y k 1 º Ï Ò Ø Ò Ò Ö ÒØÐÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ H k Ó Ø Ø π n f Ø ÐÐ Ø Ý ÓÖÑ ÐÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ ½º¾º µº Æ Ñ ÐÝ { Hk f(x) = g k+1 (x)e[f(x k+1 ) X k = x], 0 k n 1, ½º¾º µ Hnf(x) n = f(x). Ì Ò Ñ ½º¾º µ Ò ½º¾º µ Û Ø Ø Ò Û Ò Ø ÓÒ Ó Ø (H k ) ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ø ÐÐ Ú Ð º Ê Ñ Ö ½º¾º Ï Ò G k Ô Ò ÓÒ ÓØ X k 1 Ò X k Û Ò Ð Ó ÔØ Ø Ñ ØÓ Ø ÑÓ R 2d ¹Ú ÐÙ Ò Ð Å Ö ÓÚ Ò Z k = (X k 1, X k ) Ò Ø Ñ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓ Y k º ÁÒ Ø Û Ò Ø Ò Û Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ Ḡ k (Y k 1, Z k, η k ) Def = G k (X k 1, Y k 1, X k, η k ). Ï Ù Ø Ò ØÓ Ö ØÓÖ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ØÝÔ ½º¾º½µ Ò ½º¾º¾µº Ì ÔÓ ÒØ Ø Ø Ò Ø Ø Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ØÛ Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒ º Ì Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÓÒ¹ ØÖ Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Û Ò Ù Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º ÖÓÑ Ø Ö ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö U k ÓÖ R k Ø ÓÑ Ð Ö Ø Ø Ø Û ÐÐ Ù ÙÐ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø X k Ý Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ˆX k Ø Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÐÙ Ò ÓÖ Ö ØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ò Ø Û Ø ÙÑ º Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑÑÓÒÐÝ ÐÐ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ò ÜØ Ò Ú ÐÝ Ù Ò Ò Ð ÔÖÓ Ò Ð ¾ µº Ì ÑÔÓÖ Ö ÐÝ Û ÙÔÔÓ Ø Ø Û Ö Ð ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ù Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ˆX k º Ï Ò Ø Ò Ù ÖÖÓÖ k := X k ˆX k º ÙÖØ Ö Ø Ð ÓÙØ Ø ÖÖÓÖ ÑÓ ÙÐÙ k p p 1 Û ÐÐ Ú Ò Ò Ø Ò ÜØ Ô Ö Ö Ô º ÁÒ ½ Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ˆX k Ö Ù ØÓ ÔÖÓ Ù Ô Û ÓÒ Ø ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó R k º ËÓ Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ý ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ò Ò ½º¾º µ ÐÓÛ ÔÔ Ö Þ ÖÓ ÓÖ Ö Ñ º ÁØ Ò ÓÐÐÓÛ Ĥ k f( ˆX k ) = g k ( ˆX k )E[f( ˆX k+1 ) ˆX k ], 0 k n 1, Ĥnf( n ˆX n ) = g n ( ˆX n )f( ˆX ½º¾º µ n ). Ò Ò ˆµ 0 Ø Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ˆX 0 Û Ú Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÛ Ö Ò Û Ö Ø Ö Ø Ú Þ ÖÓ ÓÖ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Û 0 = ˆµ 0 Ĥ 0, Û k = Û k 1 Ĥ k, 1 k n 1, ½º¾º µ

Ö Ø ÇÖ Ö Ñ Ò ˆR n = H n n, ˆR k = Ĥ k ˆRk+1, 0 k n 1, ½º¾º½¼µ Ó Ø Ø ˆπ n f = ˆµ 0 ˆR0 f = Û n 1 H n nfº ÓÖÑ ÐÐÝ Ø Ñ Ð ØÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ø ÔÖ ÒØ Ò ½ Ø Ò Ø ÓÒ Ó H k ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÒØ Ò Ù Ò Ø Ñ ØÖÙØÙÖ µº Æ Ú ÖØ Ð Ø Þ ÖÓ ÓÖ Ö ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö Ø Ñ ØÓÖ Ø Ð Ö Ñ Ò Ø Ñ º Ì ÓÖÑ Ó Ø Ñ ÐÐÓÛ ØÓ ÔÖÓ Ù Ó ØÐ ÐÝ ÓÑ ÖÖÓÖ ÓÙÒ ÓÖ Û Ö Ð Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f Ø Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ø Ð Ò ½ º Ì ÓÖ Ñ ½º¾º½ ÙÑ Ø Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ð P k Ó Ø Ò Ð Å Ö ÓÚ Ò Ö Ã¹Ä Ô ØÞ ÓÔ Ö ØÓÖ º f : R d R Ä Ô ØÞ [P k f] Lip K[f] Lip º Ì Ò ÓÖ ÒÝ f Ù Ø Ø Hnf n ÓÙÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò 0 k n Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ (C k,n j ) k j n Ù Ø Ø Ò C k,n j α(p, f)l n k Kn j+1 1 K 1 º R k f(x k ) ˆRk f( ˆX k ) p n j=k C k,n j j p ÈÖÓÓ º Ì ÔÖÓÓ Ó Ø Ö ÙÐØ ÐÝ ÔØ ÖÓÑ ½ Ý ÓÒ Ö Ò Ø Ø Ñ ½º¾º½¼µ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ ½º¾º µ Ó Ø H k ÓÔ Ö ØÓÖ º Ï ÑÔÐÝ Ø Ò ÓÒ Ö¹ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ð Ø Ø Û Û ÐÐ Ú Hnf n Ò Ø Ó fº ÓÖ Ø Ø Ö ÓÒ Ø Ä Ô ØÞ ÓÙÒ ÙÑÔØ ÓÒ Ñ ÓÒ Hnf n Ö Ø Ö Ø Ò ÓÒ fº ÓÖ Ø Ð ÔÖÓÓ ÔÔ Ò Ü ½º º º Ê Ñ Ö ½º¾º Ì Ø ØÖÙØÙÖ ½º¾º½¼µ Ó Ø Þ ÖÓ ÓÖ Ö Ñ Ò Ù ÙÐ Ò Ö ÙÐ Ö ØÝ Ò ÓÙÒ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ú ØÓ Ø Ý Hnf n Ò Ø Ó f ½ µº Ì Ò Ú ÒØ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Û Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ô g k Ó ØÓ Þ ÖÓ Ú ÖÝ Ø x + º ÓÖ Ü ÑÔÐ g n (x) = 1 2π exp( yn x 2 2 ) Hnf n Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò ÓÙÒ ÓÖ f ÓÙÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û ÐÐ ÓÖ ÒÝ Ä Ô ØÞ ÙÒØ ÓÒ f Ù Ø Ø f(x) = O(exp( α x 2 2 )) ÓÖ ÓÑ 0 < α < 1º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º¾º½ Á P k Ä Ô ØÞ Ò Hnf n ÓÙÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ (Cj n) 0 j n Ù Ø Ø n π n f ˆπ n f Cj n j p. Ä Ø Ù ÒÓÛ Ü Ñ Ò Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ k Ò ØÖÝ ØÓ Ø Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø ØÓÛ Ö ¼ Ò Û ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º¾º½ Û ÐÐ Ú ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ó Ø Þ ÖÓ ÓÖ Ö ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐØ Ö Ø Ñ Ø ÓÒº j=0

ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½º¾º¾ ÖÓÙÒ ÓÒ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ì Ñ Ó ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ø Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÐÙ Ò R d Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ò R d ¹Ú ÐÙ ÓÒ º ÁÒ Ø Ô Ö Ö Ô Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ Ù ÙÐ ØÓ ÓÙÖ ÛÓÖ ÙÖØ Ö Ø Ð Ò ÓÙÒ Ò ¾ º Ä Ø X : (Ω, F, P) R d Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ò Ð Ø P X ÒÓØ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒº ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö N Ò Ü Ð Ø h : R d R d ÓÖ Ð Ñ Ô Ù Ø Ø h(r d ) Nº Ï Ý Ø Ø h(x) N¹ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó X Ò Ø Ø h(r d ) N¹ÕÙ ÒØ Þ Öº ÓÖ ÓÒÚ ¹ Ò Ò Ø ÙÒØ ÓÒ h Ø Ð Û ÐÐ ÐÐ N¹ÕÙ ÒØ Þ Öº ÆÓÛ Û Ò X L p (Ω) Û Ñ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ò L p ¹ÓÔØ Ñ Ð N¹ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó Xº Ì Ø ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ h ÒÝ Û Ñ Ò Ñ Þ Ø L p ¹ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÖÖÓÖº Ì ÑÓÙÒØ ØÓ ÓÐÚ Ò Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ inf{ X h(x) p p, h : R d R d, ÓÖ Ð Ñ Ô ºØº h(r d ) N}. ½º¾º½½µ Ì ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð Øµ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ º ¾ µº ÒÝ Ù ÓÐÙØ ÓÒ h ÐÐ Ò L p ¹ÓÔØ Ñ Ð N¹ÕÙ ÒØ Þ Ö ÓÖ L p ¹ÓÔØ Ñ Ð N¹Ó ÓÓ µº ÙÖØ ÖÑÓÖ ÓÒ ÓÛ Ø Ø L p ¹ÓÔØ Ñ Ð N¹ÕÙ ÒØ Þ Ö Ú ÙÐÐ Þ º h (R d ) = N Ò Û ÒÓØ Γ := h (R d ) = {x 1,...,x N }º ÁØ Ð Ö Ø Ø Ò Ø h Û ÐÐ Ò Ö ÐÝ ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Ö Ø Ò ÓÖ ÖÙÐ ÓÒ Γ º Æ Ñ ÐÝ h (ξ) = N x i 1 Ci (Γ )(ξ) i=1 ½º¾º½¾µ Û Ö (C i (Γ )) 1 i N ÐÐ Ø ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñ Ó Γ Ñ ÙÔ ÓÖ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó R d Ø Ý Ò C i (Γ ) {ξ R d s.t. ξ x i = min 1 k N ξ xk }. ÓÒ ÕÙ Ò Ø Ò Ù L p ¹Ñ Ò ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ ÓÖ L p ¹ ØÓÖØ ÓÒµ Ö D X,p N := X h (X) p p = min 1 i N X xi p p. ÓÖ Ò ØÓ ¾ D X,p N ØÖ ØÐÝµ Ö Ò ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ò ØÓ ¼ Û Ò N + º ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø Ö Ø Ó ÓÒÚ Ö Ò Ó D X,p N ØÓÛ Ö ¼ ÖÙÐ Ý ÓÖ³ Ì ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½º¾º¾ ¾ µ ÙÑ Ø Ø R d ξ p+η P X (dξ) < + ÓÖ ÓÑ η > 0º Ì Ò lim N (N p d D X,p N ) = J p,d ϕ d d+p Û Ö P X (dξ) = φ(ξ)λ d (dξ) + µ(dξ) µ λ d λ d Ä Ù Ñ ÙÖ ÓÒ R d µ Ò ÓÖ Ú ÖÝ q R + g q := ( g q (u)du) 1 q º

Ö Ø ÇÖ Ö Ñ Ì Ø ÓÖ Ñ ÓÑ Ò Û Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º¾º½ Ø Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Þ ÖÓ ÓÖ Ö Ñ ½º¾º µº ÆÓÛ Ð Ø Ù ÒØÖÓ Ù Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÕÙ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ ÒØ Þ Ö ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾º½ ËØ Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ ÒØ Þ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝµ Á ˆX L 2 ¹ÓÔØ Ñ Ð N¹ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó X Ø Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ ÒØ Þ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ Ú Ö º Æ Ñ ÐÝ E[X ˆX] = ˆX. ½º¾º½ µ Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ö Ø ÐÔ ØÓ ÔÔÖ Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó ÓÑ Ø Ñ Ø ÓÒ º Ì ÓÛÒ Ò ÙÖØ Ö Ø Ð Ò ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ØÓÔÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º ÌÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÔÓ ÒØ Ý ÓÖØ Ü ÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò f(x) Ý f( ˆX) Û Ò f Cb 2 º Ï Ú ÓÖ ÓÑ ξ (X, ˆX) f(x) f( ˆX) = Df( ˆX), + 1 2 D 2 f(ξ). ËÓ ˆX Ø Ø ÓÒ ÖÝ N¹ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó X Û Ú E[f(X) ˆX] f( ˆX) = Df( ˆX), E[ ˆX] + 1 2 E[ D 2 f(ξ) ˆX] E[f(X) ˆX] f( ˆX) p 1 2 D2 f, p 1 2 D2 f 2 2p Ï Ø Ø ÓÛ Ò ØÓ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ ÒØ Þ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ ½º¾º½ µ Û Ù ØÓ Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ØÐ ÐÝº ØÓ ÓÙÖ ÐØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò ÕÙ ÒØ Þ Ò Ø Å Ö ÓÚ Ò (X k ) 0 k n º Ï ÑÙ Ø ØØÐ Ø Ø Ô 0 k n ÕÙ ÒØ Þ Ö Þ N k Ò Ò L p ¹ÓÔØ Ñ Ð N k ¹ ÕÙ ÒØ Þ Ö Ó X k ÒÓØ Γ k = {x 1 k,...,xn k k }º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ò ( ˆX k ) Ò L p ¹ÓÔØ Ñ Ð (N k )¹ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ (X k ) Ý N k ˆX k = x i k 1 C i (Γ k )(X k ), for 0 k n. i=1 ½º¾º½ µ Ø Ö ÙÐØ Ò ÔÖÓ ( ˆX k ) 0 k n ÒÓ ÐÓÒ Ö Å Ö ÓÚ Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ ÐÐ Ñ Ö Ò Ð ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ½ Ó Ø ÔÖÓ (X k )º Æ Ú ÖØ Ð Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ð P k Ó Ø Ò ÔÖÓÚ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÖÑ p ij k = P[ ˆX k+1 = x j k+1 ˆX k = x i k ], i {1,...,N k} Ò j {1,...,N k+1 }. ÓÖ 0 k < n Ò i {1,...,N k } Û Û ÐÐ ÒÓØ N k+1 P k f(x i k ) = E[f( ˆX k+1 ) ˆX k = x i k ] = ½ ÅÓÖ Ø Ð ÓÒ ÔÖÓ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ò ½ º j=1 f(x j k+1 )pij k.