Modélisation des moteurs à aimant permanent avec saturation magnétique

Modélisation des moteurs à aimant permanent avec saturation magnétique Al-Kassem Jebai 1 Philippe Martin 1 Pierre Rouchon 1 François Malrait 2 1 Mines ParisTech Centre Automatique et Systèmes prenom.nom@mines-paristech.fr 2 Schneider Toshiba Inverter Europe francois.malrait@schneider-electric.com 23 juin 2011 Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 1 / 22

Plan 1 Modèle linéaire 2 Modèle de saturation Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 2 / 22

Introduction Moteur synchrone à aimant permanant MSAP - PMSM. Variation de vitesse. Contrôle sans capteur de position à basse vitesse. Problème d observabilité autour de vitesse nulle. Estimation de position par l ajout des signaux hautes fréquences. Saturation magnétique et contrôle du moteur à basse vitesse. Modèle paramétrique de saturation avec validation expérimentale. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 3 / 22

1 Modèle linéaire 2 Modèle de saturation Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 4 / 22

Principe de fonctionnement du PMSM Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 5 / 22

Equations du PMSM dans le repère fixe (α, β) Changement de repère : i a + i b + i c = 0 Courant et flux complex [ i α i β ] = C[ i a i b i c ] i = i α + ji β, φ = 1 2 (L d + L q )i 1 2 (L q L d )i e 2jθ + ϕ m e jθ Equations dynamiques dφ dt J dω n p dt dθ dt = u Ri = n p I (φ i) τ L = ω, Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 6 / 22

Equations du PMSM dans le repère du rotor (d, q) [ i d i q ] = R(θ)[ i α i β ] φ d = L d i d, φ q = L q i q Equations dynamiques q b L d di d dt = u d Ri d + ωl q i q di q L q = u q Ri q ωl d i d ωϕ m dt J dω ( ) = n p ϕ m i q (L q L d )i d i q τ L n p dt dθ = ω dt q rotor d repère fixe Pas d observabilité autour de ω = 0 au premier ordre dans le repère (α, β). w a Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 7 / 22

Injection d une tension haute fréquence Ajout d une tension haute fréquence dans le repère (α, β) u = u + ũf (Ωt). u est la tension de commande du moteur. ũ est l amplitude de la tension HF. f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R L d. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 8 / 22

Injection d une tension haute fréquence Ajout d une tension haute fréquence dans le repère (α, β) u = u + ũf (Ωt). u est la tension de commande du moteur. ũ est l amplitude de la tension HF. f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R L d. Ainsi, d après l équation de tension : dφ dt = u + ũf (Ωt) Ri Le flux totale φ est la somme des deux composantes φ = φ + φ. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 8 / 22

Expression du flux haute fréquence La moyennisation de second ordre permet de séparer la partie haute fréquence et la partie basse fréquence d un signal. Ce qui permet d établir dφ dt d φ dt Finalement, le flux s écrit par = u Ri = ũf (Ωt) φ = φ + ũ Ω F (Ωt) + O( 1 Ω 2 ) F est l intégral de f, elle est triangulaire et de moyenne nulle. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 9 / 22

Estimation de position par les tensions HF A partir de la relation courant-flux φ = 1 2 (L d + L q )i 1 2 (L q L d )i e 2jθ + ϕ m e jθ, on établit que i = i + ĩf(ωt) + O( 1 Ω 2 ) Amplitudes des courants ĩ α = ĩ β = ũ ( 2ΩL d L Lq q + L d + (L q L d ) cos 2θ ) ũ 2ΩL d L q (L q L d ) sin 2θ où ĩ = ĩα + jĩβ. L information de position est multipliée par (L q L d ). L d et L q ne sont pas constantes à cause de la saturation magnétique. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 10 / 22

1 Modèle linéaire 2 Modèle de saturation Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 11 / 22

Modèle générale du PMSM dans (d, q) Equations de tension dφ d = u d Ri d + ωφ q dt dφ q = u q Ri q ω(φ d + ϕ m ) dt Les courants s expriment d une façon non linéaire i d = I d (φ d, φ q ) i q = I q (φ d, φ q ) Les fonctions I d et I q doivent respecter l égalité suivante I d φ q = I q φ d Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 12 / 22

Principe énergétique Énergie magnétique Soit H(φ d, φ q ) l énergie magnétique total du moteur i d = H φ d (φ d, φ q ), i q = H φ q (φ d, φ q ). Cas linéaire H l (φ d, φ q ) = 1 2L d φ 2 d + 1 2L q φ 2 q i d = H (φ d, φ q ) = φ d φ d L d i q = H (φ d, φ q ) = φ q φ q L q Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 13 / 22

Modèle de saturation Énergie avec saturation : développement limitée à l ordre 4 H(φ d, φ q ) = H l (φ d, φ q ) + 3 i=0 α 3 i,i φ 3 i d φ i q + 4 i=0 α 4 i,i φ 4 i d φ i q. C est un modèle paramétrique de perturbation avec des termes d ordre supérieur qui corrigent le terme dominant H l. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 14 / 22

Modèle de saturation Énergie avec saturation : développement limitée à l ordre 4 H(φ d, φ q ) = H l (φ d, φ q ) + 3 i=0 α 3 i,i φ 3 i d φ i q + 4 i=0 α 4 i,i φ 4 i d φ i q. C est un modèle paramétrique de perturbation avec des termes d ordre supérieur qui corrigent le terme dominant H l. On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l axe d H(φ d, φ q ) = H(φ d, φ q ) Énergie magnétique avec 5 paramètres q H(φ d, φ q ) = 1 2L d φ 2 d + 1 2L q φ 2 q +α 3,0 φ 3 d +α 1,2φ d φ 2 q+α 4,0 φ 4 d +α 2,2φ 2 d φ2 q+α 0,4 φ 4 q. d Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 14 / 22

Expressions des courant i d = H (φ d, φ q ) = φ d φ L d d + 3α 3,0 φ 2 d + α 1,2φ 2 q + 4α 4,0 φ 3 d + 2α 2,2φ d φ 2 q i q = H (φ d, φ q ) = φq φ L q + 2α 1,2 φ d φ q + 2α 2,2 φ 2 d φ q + 4α 0,4 φ 3 q q Energie magnétique totale 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Flux Linéaire Saturé φq in mwb 300 200 100 0 100 200 300 i = 1 d i d =0 i d =1.5 i d =2.5 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 i q in A Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 15 / 22

Principe d estimation des paramètres de saturation (1) Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué u d (t) = u d + ũ d f (Ωt), u q (t) = u q + ũ q f (Ωt), Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre) φ d = φ d + ũd Ω F(Ωt) + O( 1 Ω 2 ), φ q = φ q + ũq Ω F(Ωt) + O( 1 Ω 2 ) Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 16 / 22

Principe d estimation des paramètres de saturation (1) Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué u d (t) = u d + ũ d f (Ωt), u q (t) = u q + ũ q f (Ωt), Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre) φ d = φ d + ũd Ω F(Ωt) + O( 1 Ω 2 ), φ q = φ q + ũq Ω F(Ωt) + O( 1 Ω 2 ) Le courant de l axe d devient ) i d = I d (φ d, φ q ) = I d (φ d + ũd Ω F(Ωt)+O( 1 ), φ Ω 2 q + ũq Ω F(Ωt)+O( 1 ) Ω 2 Développement à l ordre 2 en 1 Ω i d = i d + ĩdf(ωt) = i d + F(Ωt) (ũd + 6α 3,0 φ Ω L d ũ d + 2α 1,2 φ q ũ q d ) + 12α 4,0 φ 2 dũd + 2α 2,2 (2φ d φ q ũ q + φ 2 qũd) +O( 1 ) Ω 2 Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 16 / 22

Principe d estimation des paramètres de saturation (2) Amplitude du courant de l axe d ĩ d = 1 ) (ũd +6α 3,0 φ Ω L d ũ d +2α 1,2 φ q ũ q +12α 4,0 φ 2 dũd+2α 2,2 (2φ d φ q ũ q +φ 2 qũd) d La relation flux-courant en première ordre en α i,j φ d = L d i d + O( α i,j ), φ q = L q i q + O( α i,j ) Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 17 / 22

Principe d estimation des paramètres de saturation (2) Amplitude du courant de l axe d ĩ d = 1 ) (ũd +6α 3,0 φ Ω L d ũ d +2α 1,2 φ q ũ q +12α 4,0 φ 2 dũd+2α 2,2 (2φ d φ q ũ q +φ 2 qũd) d La relation flux-courant en première ordre en α i,j φ d = L d i d + O( α i,j ), φ q = L q i q + O( α i,j ) Amplitudes des courants en fonction des paramètres de saturation ĩ d = 1 L Ω(ũd d + 2α 2,2 L q i q (2L d i d ũ q + L q i q ũ d ) + 12α 4,0 L 2 di 2 dũd ) + 6α 3,0 L d i d ũ d + 2α 1,2 L q i q ũ q ( ũq ĩ q = 1 Ω L q + 2α 2,2 L d i d (2L q i q ũ d + L d i d ũ q ) + 12α 0,4 L 2 qi 2 qũq ) + 2α 1,2 (L d i d ũ q + L q i q ũ d ) Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 17 / 22

Procédure d estimation par moindre carré linéaire Estimation des inductances : i d = i q = 0, ũ d 0 et ũ q 0 L d = 1 ũ d Ω, ĩ d L q = 1 ũ q Ω ĩ q Estimation des α 3,0 et α 4,0 : i d 0, i q = 0, ũ d 0 et ũ q = 0 ( ) ĩ d = ũd 1 Ω L d + 6α 3,0 L d i d + 12α 4,0 L 2 d i2 d Estimation des α 1,2 et α 2,2 : i d = 0, i q 0, ũ d 0 et ũ q = 0 ( ) ĩ d = ũd 1 Ω L d + 2α 2,2 L 2 qi 2 q, ĩ q = 2ũ d Ω α 1,2L q i q Estimation de α 0,4 : i d = 0, i q 0, ũ d = 0 et ũ q 0 ( ) ĩ q = ũq 1 Ω L + 12α q 0,4L 2 qi 2 q. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 18 / 22

Résultats expérimentaux - estimation 800 700 Measured value Estimated value 80 60 40 Measured value Estimated value ĩd in ma 600 500 400 300 ĩq in ma 20 0 20 40 60 200 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 ī d in A 80 6 4 2 0 2 4 6 ī q in A Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 19 / 22

Résultats expérimentaux - validation 3 ĩd in ma 600 550 500 450 Measured value Estimated value i d in in A 2.5 2 1.5 1 0.5 0 Measured value Simulation value with saturation Simulation value without saturation 400 0 1 2 3 4 5 i in A 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time in s ĩq in ma 100 80 60 40 20 0 Measured value Estimated value φd in mwb 550 500 450 400 350 20 0 1 2 3 4 5 i in A u d = 1 2 u et u q = 3 2 u 300 250 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 i d in A Measured flux Estimated flux with saturation model Linear flux Echelons de tension Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 20 / 22

Ouverture sur le moteur asynchrone Pas de saillance géométrique (L d = L q ). Estimation de la position du flux par la saillance magnétique. Modélisation de cette saillance magnétique par une fonction d énergie. 1400 1200 i=1 i=1.5 i=2.8 i=4 i=0 1000 I d in ma 800 600 400 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ in degre Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 21 / 22

Conclusion Modèle paramétrique de saturation des moteurs PMSM basée sur une fonction d énergie. Estimation des paramètres du modèle par l injection des tensions hautes fréquences. Validation expérimentale sur un moteur synchrone. Verification par échelon de tension. Le but est d utiliser ce modèle pour trouver une méthode robuste d estimation de la position à basse vitesse. On poursuit le travail sur le moteur asynchrone qui n a pas de saillance géométrique. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 22 / 22