V quadripôle V 2 Cristian PEER & Pascal MASSON V 0 2 3 V 2 (cristian.peter@unice.fr pascal.masson@unice.fr) Edition 2008-2009 I I 2 I I 2 Q V V V 2 V V 2 V 2 Q Q École Polytecnique Universitaire de Nice Sopia-Antipolis Cycle Initial Polytecnique 645 route des Lucioles, 0640 BIO
Sommaire I. Généralités II. Le quadripôle en représentation impédance II.. II.2. II.3. II.4. Les paramètres impédances Grandeurs fondamentales Scéma équivalent Association en série III. IV. Le quadripôle en représentation admittance Le quadripôle en représentation ybride V. Le quadripôle en représentation transfert VI. Lien entre tous les paramètres 2
I. Généralités I.. Définition Un quadripôle est un composant ou un circuit (ensemble de composants) à deux entrées et deux sorties qui permet le transfert d énergie entre deux dipôles. Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente (tension, courant, puissance) On distingue deux types de quadripôles : actifs et passifs I.2. Représentation Par convention, on donne le sens positif aux courants qui pénètrent V quadripôle V 2 dans le quadripôle I.3. Origine On doit les premières études sur les quadripôles au matématicien Allemand Franz BREISIG (868 934) dans les années 920. 3
I. Généralités I.4. Intérêt de la représentation quadripôle La représentation quadripôle a pour principal intérêt de considérablement simplifier l étude des circuits électroniques. Exemples : le filtre sélectif passe bas du 5 ème ordre C C R R R R R V E C C 2 C 2 V S 4
5 I.5. Rappel sur les matrices 2 2 Multiplication 2 2 X X. d c b a + + 2 2 2 d.x c.x b.x a.x Inversion 2 2 2. a c b d b.c a.d. d c b a X X 0 b.c.d a avec + + + + d. c.f d.g c.e b. a.f b.g a.e g f e. d c b a! Ce produit n est pas commutatif. I. Généralités
II. Représentation impédance II.. Les paramètres impédances Définition On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments de la matrice ont la dimension d impédances (résistances). V quadripôle V 2 Représentation matricielle V V2 2 2I. 22I2 V V2.I 2.I + 2.I2 + 22.I2 6
II. Représentation impédance II.. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile ( ère métode) 0 R R 3 R 2 V V 2 V 2 2 V V 2 2 22 Détermination de : Si 0 alors V. V R + R2 I I2 0 Détermination de 2 : Si 0 alors V 2 2. 2 V2 I I2 0 7
II. Représentation impédance II.. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile ( ère métode) 0 R R 3 R 2 V V V 2 2 V V 2 2 22 Détermination de 2 : Si 0 alors V 2. 2 V I2 I 0 Détermination de 22 : Si 0 alors V 2 22. 22 V2 I2 I 0 8
II. Représentation impédance II.. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile ( ère métode) R R 3 R 2 V V 2 2 V V 2 2 22 + Écriture de la matrice : 2 2 22 R + R2 R2 R2 R + 2 R3 9
II. Représentation impédance II.. Les paramètres impédances Exemple : association de résistances en étoile (2 ème métode) R R 3 R 2 V V 2 2 2 V V 2 2 22 + Autre métode : on écrit la loi des mailles en entrée et en sortie: 2 V V2 R.I + R2. ( I + I ) ( R + R ) 2 2.I + R2.I2.I + 2.I2 0
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Générateur Carge R G E G V quadripôle V 2 R C Quand le quadripôle est attaqué par un générateur (E G, R G ) et qu il est fermé sur une carge (R C ), il existe un état électrique du quadripôle qui dépend du générateur et de la carge. Il est possible de définir des grandeurs caractéristiques comme l impédance d entrée, l impédance de sortie, les gains en courant, tension et puissance.
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Impédance d entrée R E R E R G E G V quadripôle V 2 R C R E est l impédance vue en entrée quand la sortie est cargée par une impédance R C. La matrice impédance permet d écrire : V V2.I + 2.I2 2.I + 22.I2 RC.I2 RE V I 2.2 22 + RC Si le quadripôle n est pas cargé (R C ) alors R E. 2
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Impédance de sortie R S R S R G E G V quadripôle V 2 R C R S est l impédance vue en sortie quand l entrée est fermée par l impédance du générateur R G. La matrice impédance permet d écrire : V.I + 2.I2 V2 2.I + 22.I2 RG.I RS V2 I2 3
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain en courant A i R G E G V R E V 2 R C I V2 2.I + 22.I2 RC.I2 A 2 i I 4
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain en tension A V R G E G V R E V 2 R C Av V2 V 5
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain composite en tension A VG R G E G V R E V 2 R C Avg V2 EG V2 V V. EG R A E v. RE + RG Si le quadripôle n est pas cargé (R C ) alors : Avg RE RE + RG 2 6
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales Gain composite en courant A ig I G R G V R E V 2 R C Aig I2 IG I2 I I. IG R A G i. RG + RE Ce gain n a de sens que si la carge est présente : 0 7
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales R G R GS E G V R E E G S V 2 R C Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a : V V2.I + 2. 2.I + 22.I2 V V2 EG RG.I EGS + RGS.I2 V avec : V 2.I + 2. EG 2.I 2 2. + RG EG RG.I + 2 22.I2 + RG.EG + 22 2.2 + RG.I2 8
II. Représentation impédance II.2. Les grandeurs fondamentales R G R GS E G V R E E G S V 2 R C Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a : 2. R 2 E 22 + RC 2. R 2 GS RS 22 + RG E 2 GS.EG Avg.EG + RG 9
II.3. Scéma équivalent II. Représentation impédance Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son scéma équivalent donné par la matrice du quadripôle. La connaissance de ce scéma équivalent est particulièrement utile lorsque le réseau réel n est pas connu et que la détermination des paramètres résulte de mesures. 22 2 V V 2 2 22 V V 2 2. 2. 20
II.3. Scéma équivalent II. Représentation impédance Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son scéma équivalent donné par la matrice du quadripôle. La connaissance de ce scéma équivalent est particulièrement utile lorsque le réseau réel n est pas connu et que la détermination des paramètres résulte de mesures. Scéma équivalent en étoile (en ) uniquement si 2 2 R R 3 R 2 V V 2 + avec : 2 2 22 R + R2 R2 R2 R + 2 R3 2
II.4. Association série II. Représentation impédance On utilise les matrices impédances [ ] et [ ] des deux quadripôles associés. V ' ' 2' I'. V2' 2' 22' I2' I I I 2 V V 2 Q V V 2 et V '' V2'' '' 2'' 2'' I''. '' 22 I2'' Q Q V V 2 I I' I'' Comme et I2 I2' I2'' V V2 V ' + V '' V2' + V2'' alors : V V2 V ' V2' + V '' V2'' I ' I2' I '' I2'' I I2 I I2 [ ' ]. + [ '' ]. ([ ' ] + [ '' ]). [ ]. 22
III. Représentation admittance III.. Les paramètres admittances Définition On exprime les courants en fonction des tensions. Les éléments de la matrice ont la dimension d admittances. V quadripôle V 2 Représentation matricielle I I2 2 2V. 22V2 I I2.V 2.V + + 2.V2 22.V2 23
III. Représentation admittance III.. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle ( ère métode) 2 V 3 V 2 0 2 V V 2 2 22 Détermination de : Si V 2 0 alors.v I + 2 V V2 0 Détermination de 2 : Si V 2 0 alors 2.V 2 I2 V V2 0 24
III. Représentation admittance III.. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle ( ère métode) V 0 2 3 V 2 2 V V 2 2 22 Détermination de 2 : Si V 0 alors 2.V 2 2 I V2 V 0 Détermination de 22 : Si V 0 alors 22.V 2 22 I2 V2 V 0 25
III. Représentation admittance III.. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle ( ère métode) 2 V 3 V 2 2 V V 2 2 22 Écriture de la matrice : 2 2 22 + 2 2 2 + 3 2 26
III. Représentation admittance III.. Les paramètres admittances Exemple : association de résistances en triangle (2 ème métode) 2 2 V 3 V 2 2 V V 2 2 22 Autre métode : on écrit la loi des noeuds en entrée et en sortie: 2 I I2.V + 2. ( V V ) ( + ) 2 2.V 2.V2.V + 2.V2 27
III.2. Scéma équivalent III. Représentation admittance Scéma équivalent avec admittances et sources de courant 2 V V 2 2 22 22 V V 2 2.V 2 2.V Scéma équivalent en triangle (en π) uniquement si 2 2. avec : 2 V 3 V 2 2 2 22 + 2 2 2 + 3 2 28
III.3. Association parallèle III. Représentation admittance On utilise les matrices admittances [ ] et [ ] des deux quadripôles associés. I I 2 Q V V I' I2' ' 2' 2' V '. ' 22V2' V V 2 et I'' I2'' '' 2'' 2'' V ''. '' 22 V2'' Q V Q V 2 I I' + I'' Comme et I2 I2' + I2'' V V2 V ' V2' V '' V2'' alors : I I2 I' I2' + I'' I2'' V ' V2' V '' V2'' V V2 V V2 [ ' ]. + [ '' ]. ([ ' ] + [ '' ]). [ ]. 29
III. Représentation admittance III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances Pour des raisons de simplicité, la détermination de la matrice admittance peut passer par la détermination de la matrice impédance. V V2 2 2I. 22I2 I I2 2 2V. 22V2 2 2 V. 22 V2 avec 2 2 22.22 2.2 22. 2 2 30
III. Représentation admittance III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances Exemple : association de résistances en étoile V /R 3 /R 3 2 /R 2 V 2 0 2 V V 2 2 22 + Détermination de : Si V 2 0 alors.v I V V2 0 ( + ) 2 + 3. 2 + 3 Détermination de 2 : Si V 2 0 alors 2.V I 2 2 V V2 0 R.R2 R2 + R3 + R.R3 + R2.R3 3
III. Représentation admittance III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances Exemple : association de résistances en étoile V /R 3 /R 3 V 2 /R 2 V 2 2 V V 2 2 22 + La matrice admittance s obtient plus rapidement à partir de la matrice impédance (plus simple à déterminer) : 2 2 22 R + R2 R2 R2 R + 2 R3 R.R2 + R.R3 + R2.R3 R2. + R3 R2 R2 R + R2 32
IV.. Les paramètres ybrides IV. Représentation ybride Définition On exprime le courant de sortie et la tension d entrée en fonction du courant d entrée et de la tension de sortie. C est une représentation utilisée pour l étude des transistors. V quadripôle V 2 Représentation matricielle V I2 2 2 I. 22V2 V.I + 2.V2 I2 2.I + 22.V2 est une impédance, 22 une admittance, 2 et 2 sont des nombres. 33
IV.. Les paramètres ybrides IV. Représentation ybride Exemple : association de résistances en triangle ( ère métode) R 2 V R R 3 V 2 0 2 V V 2 2 22 Détermination de : Si V 2 0 alors V. V I V2 0 R.R2 R + R2 Détermination de 2 (gain en courant): Si V 2 0 alors 2. 2 I2 I V2 0 34
IV.. Les paramètres ybrides IV. Représentation ybride Exemple : association de résistances en triangle ( ère métode) 0 R 2 V R R 3 V 2 2 V V 2 2 22 Détermination de 2 (gain en tension inverse): Si 0 alors V 2.V 2 2 V V2 I 0 Détermination de 22 : Si 0 alors 22.V 2 22 I2 V2 I 0 35
IV.. Les paramètres ybrides IV. Représentation ybride Exemple : association de résistances en triangle ( ère métode) R 2 V R R 3 V 2 2 V V 2 2 22 Écriture de la matrice : 2 2 22 R.R2 R + R2 R R + R2 R R R + R2 + R + R 2 3 ( ) R + R.R 2 3 36
IV.. Les paramètres ybrides IV. Représentation ybride Exemple : association de résistances en triangle (2 ème métode) 2 R 2 V R R 3 V 2 2 V V 2 2 22 On écrit la loi des mailles en entrée et des noeuds en sortie: 2 V + 2 V V R. I R2 37
IV.2. Les grandeurs fondamentales Impédance d entrée R E IV. Représentation ybride R E R G E G V quadripôle V 2 R C R E est l impédance vue en entrée quand la sortie est cargée par une impédance R C. La matrice impédance permet d écrire : V I 2.I 2.I + + 2.V2 22.V2 V2 RC RE V I 2.2 22 + RC 38
IV.2. Les grandeurs fondamentales Impédance de sortie R S IV. Représentation ybride R S R G E G V quadripôle V 2 R C R S est l impédance vue en sortie quand l entrée est fermée par l impédance du générateur R G. La matrice impédance permet d écrire : V.I + 2.V2 I2 2.I + 22.V2 RG.I RS V2 I2 39
IV.2. Les grandeurs fondamentales Gain en courant A i IV. Représentation ybride R G E G V R E V 2 R C I2 2.I + 22.V2 2.I 22.RC. I2 Ai I2 I + 2 22.RC 40
IV. Représentation ybride IV.2. Les grandeurs fondamentales Gain en tension A V R G E G V R E V 2 R C Av V2 V 4
IV.3. Scéma équivalent IV. Représentation ybride 2 V V 2 2 22 V 22 V 2 2.V 2 2. Le circuit équivalent est composé d une impédance ( ), d une admittance ( 22 ), d une source de tension ( 2.V 2 ) et d une source de courant ( 2. ). 42
IV. Représentation ybride IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires Les composants actifs utilisés en électronique sont très souvent non linéaire. C est le cas notamment des transistors bipolaires et MOS. Les valeurs des éléments de la matrice du quadripôle équivalent ne sont valables que pour le point de fonctionnement : ils dépendent des potentiels et courants en entrée du quadripôle. Le quadripôle équivalent n est utilisable qu en régime petit signal (petit signal alternatif ajouté à la polarisation continue). On obtient les paramètres de la matrice par la connaissance des équations qui régissent le fonctionnement du composant ou par l utilisation des caractéristiques (courbes) de ce composant. 43
IV. Représentation ybride IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal I B + i B I C + i C i B i C C V BE + v BE B E V CE + v CE v BE 22 v CE 2.v CE 2.i B i et v correspondent à de petites variations de I et V La matrice ybride s écrit : v BE i B 2 2 22 i C v CE vbe ic.ib 2.iB + + 2.vCE 22.vCE 44
IV. Représentation ybride IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal On détermine le paramètre à partir de la courbe I B (V BE ) qui correspond ici à la caractéristique d une diode. V CE est considéré comme constant. I B I B-P 0 V BE-P V BE est égale à l inverse de la pente de cette courbe au point de polarisation : VBE IB V BE V BE_ P 45
IV.5. Association série parallèle IV. Représentation ybride On utilise les matrices ybrides [ ] et [ ] des deux quadripôles associés. Q V V 2 V ' I2' ' 2' 2' I'. ' 22V2' I V I V 2 et V '' I2'' '' 2'' 2'' I''. '' 22 V2'' Q V Q V 2 I I' I'' Comme et V2 V2' V2'' V V ' + V '' I2 I2' + I2'' alors : V I2 V ' I2' + V '' I2'' I ' V2' I '' V2'' I V2 I V2 [ ' ]. + [ '' ]. ([ ' ] + [ '' ]). [ ]. 46
V.. Les paramètres transferts V. Représentation transfert Définition On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d entrée V quadripôle V 2 Représentation matricielle V I 2 2 2 2 V. 22 I V2.V 2.I I2 2.V 22.I 2 est une impédance, 2 une admittance, et 22 sont des nombres. 47
V.. Les paramètres transferts V. Représentation transfert Exemple : association de résistances en étoile 0 R R 3 R 2 V V 2 2 V V 2 2 22 + Détermination de (gain en tension) : Si 0 alors V 2.V V2 V I 0 R2 + R3 R2 Détermination de 2 : Si 0 alors 2.V 2 I2 V I 0 48
V.. Les paramètres transferts V. Représentation transfert Exemple : association de résistances en étoile V 0 R R 3 R 2 V 2 2 V V 2 2 22 + Détermination de 2 : Si V 0 alors V 2 2. 2 V2 I V 0 Détermination de 22 (gain en courant) : Si V 0 alors 22. 22 I2 I V 0 49
V.. Les paramètres transferts V. Représentation transfert Exemple : association de résistances en étoile R R 3 R 2 V V 2 2 V V 2 2 22 + Écriture de la matrice : 2 2 22 R + 3 R 2 R2 R + R2 + R +.R3 R 2 R R2 50
V. Représentation transfert V.. Association en cascade (en caîne) I I 2 I I 2 Q V V V 2 V V 2 V 2 Q On utilise les matrices de transfert [ ] et [ ] des deux quadripôles associés. V I2 2' ' ' 2' 2' V '. 22' I' et V2 I2 '' '' Q '' 2'' 2'' V ''. 22'' I'' Comme V V 2 et alors : V I 2 2 '' 2'' 2'' V2'. 22'' I2' '' 2'' 2'' '. 22'' 2' 2' V. 22' I La matrice de transfert du quadripôle équivalent est donc égale au produit de la deuxième matrice, [ ], par la première, [ ]. 5
V. Représentation transfert V.2. Association en cascade (en caîne) Exemple : association de résistances en étoile 2 3 V R R 3 R 2 + V 2 2 V V 2 2 22 On décompose l association de résistances en étoile en 3 quadripôles : [ ] [ ] 2 [ ] 3 52
53 22 2 22 22 22 2 22 22 2 22 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 22 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 VI. Lien entre tous les paramètres