CHAPITRE 0 Cinématique de Solides en Contact 0. CINÉMATIQUE DE DEUX SOLIDES EN CONTACT 0.. Solides en contact ponctuel. Glissement Soient deux solides (S ) et (S ) en contact ponctuel, à la date t, au point M (figure 0.). Si les solides restent en contact ponctuel pendant un intervalle de temps donné, le point M a, pendant cet intervalle, une trajectoire C () (M) tracée sur la surface (Σ ) limitant le solide (S ) et une trajectoire C () (M) tracée sur la surface (Σ ) limitant le solide (S ). Le mouvement du solide (S ) par rapport au solide (S ) est caractérisé par le (S ) C () (M) M (Σ ) (Σ ) C () (M) (S ) FIGURE 0.. Solides en contact ponctuel.
38 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact torseur cinématique { () V } de résultante () ω qui est le vecteur rotation instantané du mouvement. Le point M étant mobile par rapport aux solides (S ) et (S ), nous obtenons par analogie avec la relation (9.00): () ( ) () { v ( M, t) = v ( M, t) + M M V }, (0.) où les vecteurs () v ( M, t) et v ( ) ( M, t) sont les vecteurs vitesses du point de contact M respectivement par rapport au solide (S ) et par rapport au solide (S ). () Le moment en M du torseur cinématique { V } intervenant dans l'expression précédente est appelé vecteur vitesse de glissement du solide (S ) sur le solide (S ) au point de contact M à la date t. Soit : () () { v g ( M, t ) = M M V }. (0.) D'après (0.), nous avons : () () ( ) vg( M, t) = v ( M, t) v ( M, t). (0.3) Cette relation montre que le vecteur vitesse de glissement est une direction du plan de vecteurs directeurs () v ( M, t) et v ( ) ( M, t), confondu avec le plan (T) tangent en M aux deux surfaces (Σ ) et (Σ ) (figure 0.). Si le vecteur vitesse de glissement n'est pas nul, on dit que le solide (S ) glisse sur le solide (S ) au point M et à la date t. Si par contre ce vecteur est nul, on dit que le solide (S ) ne glisse pas sur le solide (S ) au point M et à la date t. 0.. Pivotement et roulement Lorsque les deux solides (S ) et (S ) sont tangents au point M il est usuel de () décomposer le vecteur rotation ω en la somme de deux vecteurs rotation : (S ) () ω n () ω () ω t M () v g ( M, t ) plan tangent (S ) FIGURE 0.. Glissement, roulement et pivotement.
0. Cinématique de deux solides en contact 39 () un vecteur ω t de direction contenue dans le plan (T) tangent à (Σ ) et à (Σ ) ; () un vecteur ω n de direction orthogonale au plan (T) donc aux directions () ( ) v ( M, t) et v ( M, t). Soit : () () () ω = ωt + ωn. (0.4) () Ces vecteurs sont appelés vecteur rotation de roulement ω t et vecteur rotation () de pivotement ω n. Si n est le vecteur unitaire directeur de la normale en M au plan tangent : () ( ) v ( M, t) v ( M, t) n = (), (0.5) ( ) v ( M, t) v ( M, t) nous avons : () () ( ωt = n ω n), () () ( (0.6) ωn = ω n) n. Si le vecteur rotation de roulement (ou/et de pivotement) n'est pas nul, on dit que le solide (S ) roule (ou/et pivote) sur le solide (S ), au point M à la date t. Si par contre ce vecteur est nul, on dit que le solide (S ) ne roule pas (ou/et ne pivote pas). 0..3 Conclusions Si deux solides (S ) et (S ) sont en contact au point M à la date t, le mouvement de (S ) par rapport à (S ) est caractérisé par les éléments de réduction en M du () torseur cinématique { V } : R = ω M = ( ) { ( ) } V () () { } M V vg, vecteur rotation instantané ; ( M, t), vecteur vitesse de glissement en M dans le mouvement de ( S ) sur ( S ). (0.7) Le vecteur rotation est ensuite décomposé en deux vecteurs : () ω t : vecteur rotation de roulement, de direction contenue dans le plan tangent en M aux solides (S ) et (S ) ; () ω n : vecteur rotation de pivotement, de direction orthogonale au plan tangent en M. La nullité ou non de ces vecteurs caractérise alors le type de mouvement du solide (S ) par rapport au solide (S ) au point M, conformément au tableau 0..
40 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact TABLEAU 0. Glissement, roulement et pivotement en un point de contact entre deux solides (S ) et (S ). () ω t roulement Si à un instant donné () ω n pivotement MM () { V } glissement on dit que 0 0 0 (S ) roule, pivote et glisse par rapport à (S ). 0 0 = 0 (S) roule et pivote sans glisser. 0 = 0 = 0 (S) roule sans glisser, ni pivoter. = 0 0 = 0 (S) pivote sans glisser, ni rouler. = 0 = 0 0 (S) glisse sans rouler, ni pivoter. = 0 0 0 (S) pivote et glisse sans rouler. 0 = 0 0 (S) roule et glisse sans pivoter. 0..4 Solides en contact en plusieurs points Les considérations précédentes peuvent être reprises en chaque point de contact, dans le cas où deux solides sont en contact en plusieurs points. En particulier : Si deux solides (S ) et (S ) sont en contact en deux points et si le vecteur () vitesse de glissement est nul en ces deux points, le vecteur rotation ω est vecteur directeur de la droite passant par ces deux points. Si deux solides (S ) et (S ) sont en contact en plus de deux points et si le glissement est nul en tous ces points, ils sont nécessairement alignés. 0. TRANSMISSION D'UN MOUVEMENT DE ROTATION 0.. Généralités Deux solides (S ) et (S ) ont des mouvements de rotation d'axes respectifs ( O, k ) et (, ) O k liés à un bâti (T). Le problème de la transmission des mouvements de rotation consiste à trouver des mécanismes qui permettent de transformer un mouvement de rotation de (S ) par rapport au bâti (T) en un mouvement de rotation de (S ) par rapport au bâti et tels que si le mouvement de (S )
0. Transmission d'un mouvement de rotation 4 est uniforme, le mouvement de (S ) le soit aussi. Le mouvement du solide (S ) par rapport au bâti (T) est caractérisé par le ( ) torseur cinématique { V T } de résultante : ( T ) ω = ω k. (0.8) Le mouvement du solide (S ) par rapport à (T) est caractérisé par le torseur ( ) cinématique { V T } de résultante : ( T ) ω = ω k. (0.9) Le mouvement de (S ) par rapport à (S ) est donc caractérisé par le torseur () cinématique { V } tel que : () { ( ) } T T = ( ) V { V } { V }. (0.0) Le vecteur rotation instantané du mouvement de (S ) par rapport à (S ) est : () ω = ω k ω k. (0.) Les axes ( O, k ) et (, ) () ω O k étant les axes de rotation liés au bâti (T), le vecteur est un vecteur indépendant du temps par rapport à une base du repère (T). 0.. Transmission par friction Dans le cas de la transmission des mouvements de rotation par friction, la transmission se fait par contact direct entre les deux solides (S ) et (S ), sans qu'il y ait glissement aux points de contact. Il résulte du paragraphe 0..4 que les solides doivent être en contact suivant un segment de droite, qui est l'axe de rotation instantané du mouvement de (S ) par rapport à (S ) et dont () ω est vecteur directeur. On montre que cet axe ( ) est fixe dans le repère (T). Les surfaces des solides venant en contact sont les surfaces engendrées par la rotation de ( ) autour de l'axe ( O, k ) pour le solide (S ) et par la rotation de ( ) autour de l'axe ( O, k ) pour le solide (S ). Ces surfaces de contact qui sont les surfaces axoïdes sont donc des surfaces de révolution. Ce sont des cylindres de révolution si les axes ( O, k ) et ( O, k ) sont parallèles, des cônes de révolution s'ils sont concourants, des hyperboloïdes de révolution s'ils ne sont pas dans un même plan. En un point M de contact, l'expression (0.0) conduit à : () () ( ) ( ) { (, ) } { T } { T v g M t = MMV = MM V MM V }. (0.) La condition de non glissement au point M s'écrit donc : ( ) ( ) { T } { T M M } = M V V. (0.3) M 0
4 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact 0... Roues cylindriques Dans le cas de roues cylindriques (figure 0.3), les axes sont parallèles et les surfaces de contact sont des cylindres de révolution. Les axes étant parallèles, nous avons : k = k = k. (0.4) Et la condition de non glissement (0.) s'écrit : ωk OM ωk OM = 0, (0.5) ou k ( ω O M ω O M) =. (0.6) 0 D'où la relation entre les vitesses angulaires : ωom = ωom. (0.7) Cette relation s'écrit : ω R =±, (0.8) ω R avec le signe si le contact se fait à l'extérieur des cylindres, et le signe + si le contact se fait à l'intérieur d'un des cylindres. 0... Roues coniques Dans le cas de roues coniques (figure 0.4), les axes sont concourants au point O et les surfaces de contact sont des cônes de révolution. Comme origines des axes nous pouvons choisir le point O : les points O et O sont confondus avec O. Si M est un point de contact, la condition (0.3) de non glissement s'écrit : ω k OM ω k OM =. (0.9) 0 (S ) ω R O R M O (S ) ω FIGURE 0.3. Transmission par roues cylindriques.
0. Transmission d'un mouvement de rotation 43 O k k α α (S ) (S ) ω ω FIGURE 0.4. Transmission par roues coniques. Soit : ( ω k ωk) OM = 0. (0.0) Cette expression montre que ω k ωk est un vecteur colinéaire àom, soit : ω k ωk= λom, (0.) ou en multipliant scalairement par le vecteur u orthogonal au vecteur OM : ω k u ω k u =. (0.) 0 En introduisant les angles α et α (figure 0.4), nous obtenons finalement : ω sinα + ω sinα = 0. (0.3) Dans le cas fréquent où les axes sont orthogonaux (figure 0.5), nous avons α + α = et la relation précédente s'écrit : 90 ω = tanα. (0.4) ω Si R et R (figure 0.5) sont les rayons moyens, nous obtenons : ω R =. (0.5) ω R 0...3 Variateur de vitesse Le schéma d'un variateur de vitesse est donné sur la figure 0.6. L'axe moteur ( ) est solidaire d'un plateau (S ), en contact avec un galet (S ) qui peut se
44 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact ω O α α R ω R FIGURE 0.5. Transmission par roues coniques d'axes orthogonaux. déplacer suivant un rayon du plateau. La vitesse angulaire de sortie est celle de l'axe du galet. Si x est la distance du point de contact au centre du plateau et si r est le rayon du galet, on obtient sans difficulté la relation : ω x = ω. (0.6) r La translation du galet permet donc de faire varier ω pour une vitesses angulaire ω donnée. translation (S ) (S ) r M ω x ( ) ω FIGURE 0.6. Variateur de vitesse.
0. Transmission d'un mouvement de rotation 45 0..3 Transmission par engrenages 0..3. Notion d'engrenages L'entraînement par friction est utilisé dans le cas où la puissance mécanique à transmettre est faible. Ce type d'entraînement de réalisation facile et donc peu coûteuse, de fonctionnement silencieux, est toutefois limité lorsque la puissance à transmettre est élevée. Il présente alors les inconvénients suivants : fonctionnement avec glissement (notamment à la mise en marche), usure des garnitures, flexion des arbres résultant de la nécessité d'exercer une pression de contact pour diminuer la tendance au glissement. Pour remédier à ces inconvénients, on taille sur les surfaces de contact des dents qui permettent un entraînement par obstacle ; on réalise ainsi des engrenages. Au lieu d'être lisse la surface de chaque engrenage comporte des creux et des saillies qui restent constamment en contact avec des saillies et des creux de l'autre engrenage (figure 0.7). L'entraînement se fait donc par obstacle : par poussée d'une dent de la roue motrice sur une dent de la roue réceptrice. La transmission du mouvement est alors possible d'une façon continue si les dents présentent des profils dits conjugués. Les surfaces axoïdes correspondent aux surfaces de contact pour l'entraînement par friction. Pour les engrenages, les surfaces axoïdes s'appellent les surfaces primitives. Si (R ) est la roue motrice et (R ) la roue réceptrice, on dit que : (R ) engrène sur (R ), (R ) est la roue menante, (R ) est la roue menée. Si n et n sont les nombres de dents des roues (R ) et (R ), les expressions (0.8) et (0.5) s'écrivent : pour des engrenages cylindriques : ω n ω = ± n, (0.7) avec un signe + ou suivant que le contact est intérieur ou extérieur, FIGURE 0.7. Transmission par engrenages.
46 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact pour des engrenages coniques d'axes orthogonaux : ω n ω = n. (0.8) 0..3. Trains d'engrenages. Raison d'un train d'engrenages Un train d'engrenages est symbolisé sur la figure 0.8. Les axes ( ), ( ),... ( p ) des diverses roues sont fixes par rapport à un bâti (T). Chaque axe intermédiaire ( ), ( 3 ),... ( p ) comporte une roue menante (R i ) et une roue menée ( R ). i La roue (R ) est une roue menante et la roue ( R p ) est une roue menée. Les engrenages sont soit cylindriques, soit coniques. On trouve sans difficulté que : ω p nn... np =±, (0.9) ω nn... n 3 avec le signe + ou suivant le nombre de contacts extérieurs et suivant le nombre ω p d'engrenages coniques. Le rapport = r est appelé la raison du train d'engrenages. ω. Trains épicycloïdaux Les trains épicycloïdaux sont des trains d'engrenages tels que ceux décrits précédemment, mais dont les axes sont reliés à un bâti (B) qui est lui même animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire Ω autour d'un axe ( ) lié à un repère (T). Le train épicycloïdal est schématisé sur la figure 0.9. Si r est la raison du train d'engrenages, on a : p p ω r ω =, (0.30) où ω p et ω sont les vitesses angulaires de la dernière roue menée et de la première roue menante par rapport au bâti (B). Soit Ω p et Ω les vitesses ( R ) ( ) ( R ) ( ) ( R ) ( 3) ( R 3) ( 4) ( R 3) ( R 4) FIGURE 0.8. Train d'engrenages.
0. Transmission d'un mouvement de rotation 47 ( ) ( ) (B) ( ) ( ) 3 FIGURE 0.9. Train épicycloïdal. angulaires de rotation par rapport au repère (T). La loi (0.) de composition des vecteurs de rotation conduit dans le cas où les axes ( ), ( p ) et ( ) sont parallèles aux relations : ω = Ω Ω, ω = Ω Ω. p p D'où l'expression de la raison du train d'engrenages : Ω p Ω r =. (0.3) Ω Ω Cette relation est appelée formule de Willis. 3. Application au différentiel d'automobile Dans une ligne droite les deux roues d'une automobile tournent à la même vitesse angulaire de rotation. Dans un virage, la distance parcourue par la roue extérieure est plus grande que celle parcourue par le roue intérieure : il en résulte que la roue extérieure doit tourner plus vite que la roue intérieure. Ce processus est obtenu à l'aide d'un différentiel, dont le schéma de principe est donné sur la figure 0.0. Un pignon lié à l'arbre de sortie de la boîte de vitesse fait tourner une roue dentée liée à une cage. Sur la cage est monté un satellite (S) qui engrène avec deux roues motrices (R ) et (R ). La raison du train d'engrenages (de la roue (R ) à la roue (R )) est r =, et la formule de Willis s'écrit : Ω Ω = ou Ω + Ω = Ω, (0.3) Ω Ω où Ω est la vitesse angulaire de rotation de la cage. Dans un virage la roue intérieure (la roue (R ) par exemple) peut tourner à une vitesse inférieure à celle de la roue extérieure. En ligne droite les vitesses sont égales Ω = Ω = Ω.
48 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact arbre de sortie de la boîte cage (R ) (S) (R ) FIGURE 0.0. Schéma d'un différentiel d'automobile. 0..3 Transmission par courroie La transmission par courroie est utilisée lorsque les solides, entre lesquels on doit transmettre le mouvement de rotation, son éloignés. On utilise alors des courroies en contact avec des poulies solidaires des axes de rotation. 0..3. Courroie droite Dans le cas d'une courroie droite (figure 0.), les axes ( O, k ) et ( O, k ) sont parallèles : k = k = k. La condition de non glissement de la courroie sur les poulies s'écrit : ω R ω = R. (0.33) En fait il existe toujours un glissement, dû notamment à la déformation de la courroie, ce qui conduit à une variation du rapport précédent de l'ordre de à 3%. ω (S ) (S ) O O R R ω FIGURE 0. Transmission par courroie droite.
0. Transmission d'un mouvement de rotation 49 ω (S ) O O R R (S ) ω 0..3. Courroie croisée FIGURE 0.. Transmission par courroie croisée. Dans le cas d'une courroie croisée (figure 0.) les vitesses angulaires de rotation sont opposées : ω R =. (0.34) ω R 0..3.3 Ensemble de courroies et poulies Dans le cas d'un ensemble de courroies et poulies (figure 0.3), chaque axe intermédiaire comporte une poulie menante (S i ) de rayon R i et une poulie menée ( S i ) de rayon R. i Si l'ensemble comporte p axes, on établit sans difficultés que : ω p RR... Rp =±, (0.35) ω R R3... R p avec le signe + si le nombre de courroies croisées est pair, et le signe si ce nombre est impair. Remarque. Pour annuler le glissement des courroies sur les poulies, on remplace les poulies par des roues à dents et les courroies par des chaînes. Par exemple, la relation (0.33) est alors remplacée par : ω n ω = n, (0.36) où n et n sont respectivement le nombre de dents des roues () et (). ω ( S ) ω (S ) (S ) ( S 3) ω 3 FIGURE 0.3. Ensemble de courroies et poulies.
50 Chapitre 0 Cinématique de solides en contact EXERCICES 0. Une roue (S) se déplace sur une droite (D) en restant dans un même plan et en contact avec la droite (D) au point I (figure 0.4). 0... Faire l'étude cinématique dans le cas général du glissement et roulement de la roue (S) sur la droite (D). 0... Exprimer le vecteur vitesse de glissement au point I. En déduire la condition de non glissement. 0. Un cylindre (S) se déplace à l'intérieur d'un cylindre (T) de manière que les deux cylindres restent en contact suivant une génératrice commune (figure 0.5). 0... Faire l'étude cinématique dans le cas général du glissement et roulement du cylindre (S) sur le cylindre (T). 0... Exprimer le vecteur vitesse de glissement au point I. En déduire la condition de non glissement. 0.3 Étudier les conditions de non glissement et non pivotement dans le cas du mouvement d'un cylindre sur un plan, étudié dans l'exercice 9.. (S) a (D) I FIGURE 0.4. Mouvement d'une roue sur une droite. (T) b (S) a I FIGURE 0.5. Mouvement d'un cylindre à l'intérieur d'un cylindre.
Commentaires 5 COMMENTAIRES La cinématique de solides en contact se traite d'abord de manière classique en utilisant les concepts de la cinématique des solides considérés au chapitre précédent. Ayant déterminé le torseur cinématique relatif au mouvement de deux solides en contact, son moment en un point de contact permet d'obtenir le vecteur vitesse de glissement en ce point de contact et donc d'analyser les conditions de non glissement. Le vecteur rotation instantané (résultante du torseur cinématique) permet ensuite d'analyser les conditions de pivotement et de roulement.