Bibliographie: Introduction - Lecoutre J.P. (2003) Statistiques et probabilités, Manuel et exercices corrigés, Dunod 2nd édition - Lombardot E. (2007) Probabilités, cours et exercices corrigés, archétype 4 thèmes: Calcul de probabilité - Dénombrement - Propriétés de la Théorie de Thomas Distribution de loi de probabilité - Variable - Série de Variable Lois classiques (probabilité discrètes et continues) - Epreuve de Bernouilli - Loi Binomiale - Loi de Poisson - Loi Géométrique - Loi Hyper-géométrique Loi Uniforme - Loi de Pareto - Loi exponentielle - Loi Normale - Loi log-normale - Autres lois issues de la loi Normale Echantillonage - Population - Echantillon 1
Chapitre 1 : Notions, Propriétés et règles Le chapitre comporte 3 sections : Définitions de la notion de probabilité, Probabilité totales, Fonction de probabilité conditionnelles et Notion d'indépendance. 1) Définition usuelle I Définition de la notion de probabilité La probabilité est usuellement visualisée comme le degré de confiance que l'on place dans la réalisation d'un événement. Ainsi, si la probabilité d'un événement est nulle, cela signifie que la réalisation de celui-ci est impossible et si elle est de 1 alors sa réalisation est certaine. La probabilité est ce degré de certitude ou de doute de réalisation. 2) Définition statistique classique Pascal définit la probabilité comme le rapport du nombre de cas favorable sur le nombre de cas possible. Exemple: Nombre de trèfle dans un jeu de 32 cartes: Cette définition est limité au niveau du dominateur, car elle sous-entend le nombre de carte possible équiprobable sans l'affirmer. 3) Définition classique amendé La probabilité d'un événement est le nombre de cas favorable sur le nombre de cas équiprobable. Cette définition perdure jusque dans les années 50 où Kolmogorov bouleverse probabilité statistiques. la notion de 4) La loi des grands nombres La loi des grands nombres est une définition fréquentiste de la probabilité. On suppose ainsi, que la fréquence d'un événement mesuré sur une série répété d'expériences indépendantes converge, lorsque la série s'accroît indéfiniment, vers la probabilité de cet événement. Eléments de combinatoire C'est l'art de dénombrer les cas distant qui soient possible ou favorable. Une combinatoire permet ainsi de résoudre un certain nombre concret de probabilité. Le nombre de façons différentes de tirer "p" boules distinctes dans une urne contenant "n" boules peut se calculer de 4 manières distinctes : 2
Avec (Répétition) Remise Sans (Répétition) Remise Avec Ordre (Arrangement) Boules Distinctes Sans Ordre (Combinaison) Boules Identiques Sans Exclusions Avec Exclusions Propriétés: - - - - Formule du Binôme de Newton II Axiomatique des probabilités totales L'axiomatique de Kolmogorov définit la probabilité comme une fonction associant, a chacun des événements résultant d'une expérience aléatoire, un nombre qui mesure le degrés de certitude de sa réalisation. A. Algèbre des événements a) Expérience Aléatoire, Ensemble des résultats possible et Evénements Expérience Aléatoire Une expérience est dite aléatoire s'il existe une incertitude sur le résultat de l'expérience Ensemble des possibles L'ensemble des possible, l'univers des possibles ou encore ensemble fondamentale est l'ensemble noté Ω de toutes les issues différentes possibles d'une expérience aléatoire. 3
Exemple: L'expérience "lancer une pièce de monnaie" a pour univers Ω l'ensemble des événements "Pile" et "Face" tel que De même, l'expérience aléatoire "combien d'étudiant vont manger au restaurant universitaire" a pour ensemble fondamentale Ω', l'ensemble des événements c'est à dire Enfin, l'expérience "lancer une pièce autant de fois nécessaire pour obtenir face", a pour ensemble des possibles On constate ici uniquement des espaces dénombrables et finis, à l'exception du dernier qui est infinis. Tous ces univers étant dénombrables, ils sont alors des univers discrets. Notion d'événement Une issue possible d'une expérience aléatoire est un événement E. Tout événement est inclus dans ou égal à l'univers de l'expérience. Remarque: P (Ω) est l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'univers Ω et le sous ensemble événement E de Ω est alors une partie du sous ensemble P (Ω). Ainsi P (Ω) contient l'ensemble des événements simples ou complexes pouvant être définis comme une issue de l'expérience aléatoire. Le sous ensemble vide noté ø est l'événement nul. L'événement E tel que «E = Ω,» est un événement certain, car le débouché de l'expérience est certain. Tandis que l'événement E est tel que «E = ø», est un événement dit impossible, car il ne peut exister. Relations entre Evénements Il existe deux notions relationnelles importantes: l'incompatibilité et l'implication. Soit deux événements E 1 et E 2 incompatible, c'est à dire que si l'un survient l'autre ne peut se réaliser, les événements ne peuvent survenir simultanément. Si la réalisation de l'événement E 1 implique l'élément E 2, on parle d'implication. C'est à dire, la réalisation d'un élément engendre la réalisation d'un autre. 4
b) Opération sur les événements Il existe trois opérateurs: - La complémentation "non" est pour exemple complément de - L'intersection "Et" noté - Et l'union "Ou" noté Exemples: Soit trois événement tel que: L'événement : "Il pleuvra et il fera froid" est l'intersection (jaune) des cercles rouge et vert. L'événement "il fera froid, mais ne pleuvra pas" : l'espace orange. est L'événement "Il pleuvra, ventera et fera froid": l'intersection violette des trois cercles est L'événement "il pleuvra ou fera froid ou ventera" : l'espace violet. est L'événement "il ne pleuvra pas et ne fera pas froid et ne ventera pas" est l'espace violet, c'est à dire La règle de Morgan: Enfin, un dernier exemple: L'événement "un seul des événements se produira": est l'espace violet présenté. 5
Nota Bene: Le sous ensemble vide ø est un élément absorbant de l'intersection. C'est à dire que si associé par intersection avec un autre ensemble, il prévaut. C'est à dire: Cependant, L'univers Ω est un élément absorbant de l'union : Quel que soit Cependant, B. Axiomatique de la fonction de probabilité a) Définition Soit, l'ensemble des possibles Ω, l'ensemble de ses sous-ensembles P (Ω) et une probabilité P Une fonction de probabilité est une application de P (Ω) dans l'ensemble des réels qui satisfait trois axiomes dans IR: - Quel que soit élément de est toujours supérieur ou égal à 0. - La probabilité P de l'ensemble Ω est 1 - Quel que soit distinct (l'intersection égal à l'ensemble vide ø), la probabilité de leur union est égale à la somme de leurs probabilités respectives b) Théorème notables Théorème 1 : Quel que soit E, la somme des probabilités de l'événement E et de son complément est égal à celle de l'univers des possible Ω, c'est à dire 1. Théorème 2 : La probabilité du sous ensemble vide ø de Ω est nulle. Théorème 3 : Si un événement est inclus ou égal à l élément, alors la probabilité de Théorème 4 : Quel que soit un événement E de P (Ω), P(E) est comprise entre 0 et 1 6
Théorème 5 : Quel que soit, la probabilité de l'intersection entre le complément de et de l'événement est équivalent à la différence entre la probabilité de et de l'intersection de Théorème 6 : Quel que soit, la probabilité de leur union est égal à la différence de la somme de leurs probabilité et la probabilité de leur intersection. Théorème 7 : Formule de Poincaré ou Généralisation des probabilités d'union d'événement Démontrons c) Démonstration des théorèmes 1 à 6 E et incompatible implique la probabilité de l'union égal à la somme des probabilités de E et Or, l'union de E et se son complément, c'est à dire Ω est égale à l'ensemble des possible 1. C'est à dire Ainsi, Démontrons On sait : Démontrons inclus ou égal à induit Théorème 3: D où Conséquence: Quel que soit 7
Théorème 4: Quel que soit E appartenant à tel que: Or sont incompatibles, Donc: Théorème 6: Quel que soit Sont incompatibles: D'où: Théorème 7: III Les probabilités conditionnelles Contrairement à la fonction de probabilité totale, la fonction de probabilité conditionnelle repose sur une information partielle sur le résultat. 1) Définition Axiomatique L'information nouvelle selon laquelle l'événement A s'est produit doit normalement nous amener a réviser notre jugement de probabilité sur l'ensemble des autres événements. La probabilité que l'événement E se produise sachant A, est définie dans le cadre axiomatique suivant: Tous les théorèmes valables pour la fonction de probabilité totale citée précédemment, sont également respecter pour la fonction de probabilité conditionnelle, car ils respectent les trois axiomes de Kolmogorov: 8
La probabilité conditionnelle est la conséquence d'une définition plus générale des probabilités. Ici, le nombre de cas favorables sur le nombre possible équiprobable s'applique au cas où l'univers des possibles Ω se réduit à l'événement A, et si le nombre de cas favorable correspond au cas où A et E sont simultanément réalisés. 2) Théorèmes relatifs aux probabilités conditionnelles. Théorème 8: Théorème 9 : Théorème 10 : Lorsque des événements se produisent simultanément, les probabilités peuvent se multiplier. Théorème 11: Théorème de probabilités enchainées Le théorème des probabilités enchainées permet de probabilité les phénomènes séquentiels concernant les événements non indépendants. Théorème 12: Théorème des probabilités conditionnelles réciproques Théorème 13: Multiplicateur des probabilités Soit deux événements A et B, quel que soit un troisième événement e, on peut toujours écrire: Théorème 14: Théorème de Bayles ou des partitions Une partition est l'union des éléments qui forment l'univers des possible Ω. - - Quel que soit j, 9
Exemples : Soit une chance sur deux de réussir un examen, et une chance sur quatre une fois admis d'obtenir un mention Quel est la probabilité d'être reçu avec mention? Soit A " être reçu" et E "avoir une mention" On sait, d'où Tirons au hasard trois cartes sans remise. Dans un jeu de 32 cartes, quel est la probabilité d'obtenir trois trèfles De combien augmenterait votre probabilité de souffrir d un cancer du poumon quand vous passez de la situation de non-fumeur à celle de grand fumeur? E : «Souffrir du cancer du poumon» A : «être non-fumeur» B : «être un grand fumeur» La proportion de non-fumeur dans la population = La proportion de grands fumeurs dans la population = La proportion de grands fumeurs sachant qu on a un cancer = La proportion de non-fumeur sachant qu on a un cancer = Exemple : Théorème de Bayles : plusieurs usages. 1) Usage instrumental Supposons que nous possédons 2 dés (un pipé et un normal). La probabilité de sortir un 6 pour un dé normal = La probabilité de sortir un 6 pour un dé pipé = Soit et - et On a donc - 10
2) Usage pragmatique Un nouveau test de dépistage VIH a été élaboré par un labo pharmaceutique. Il est fiable à 95%. Il est positif dans 95% des cas chez les personnes malades, et négatif dans 95% des cas chez les personnes non malades. On considère que le taux de prévalence de la maladie est de 1%. Quelle est la probabilité qu une personne prise au hasard dont le test se révèle positif soit réellement affectée par le VIH. Quelle est la probabilité que le test soit réellement fiable? La plupart des agents interrogés répondront 95%. On a donc : La probabilité qu une personne dont le test est positif soit réellement infectée est 16%. La confusion entre la précision intrinsèque et extrinsèque : Supposons Exemple : Supposons que 95% des étudiants qui travaillent bien réussissent leurs exams, et que 5% des étudiants ne travaillant pas réussissent leurs exams. Si l exam est passé par une population de 99% de fainéants, quelle est la proportion de fainéants qui seraient reçu? IV L indépendance Lorsque la réalisation d un événement n influe aucunement sur la réalisation d autres événement, on dit que ces événement sont indépendants. La plupart des phénomènes sont régis par cette propriété. 1) Définition Deux événements sont indépendants si la réalisation de l un n implique en rien la probabilité de réalisation de l autre. 11
Théorème 15 : A et B sont indépendant, si et seulement si : - A et sont indépendant - le sont - et B également Remarque : La confusion indépendance et incompatibilité : L incompatibilité implique la dépendance, tandis que la dépendance implique l incompatibilité. 2) L indépendance dans une suite d événement Indépendance mutuelle Soit une suite d événement Cette suite est formée d événements mutuellement indépendants (indépendant 2 à 2), si la probabilité de réalisation de l un (quelconque) de ces événements n est pas modifiée par la réalisation des autres événements de la suite. C est-à-dire Indépendance totale Soit une suite d événement. Cette suite est formée d événement totalement indépendant, si la probabilité de réalisation de l un (quelconque) de ces événements n est pas modifiée par la réalisation d une série quelconque des autres événements de la suite. En posant I = La notation d indépendance totale est très difficile à démontrer, car il faut prouver qu il y a indépendance mutuelle 2 à 2, puis 3 à 3, En général, la notation d indépendance est postulée. Ex : Evénement 1 : «le lecteur du roman fume» et événement 2 : «l auteur du roman fume» 12
Théorème 16 : Soit les événements une suite d événement totalement indépendant. Toute suite d événement formée à partir de la suite initiale est également une suite d événement totalement indépendant. 13