1 EXAMEN D'AUTOMATIQUE Durée : 2 h 30 ; durées conseillées : exercices : 30 mn ; problème 2 h. Barème : partie A : 8 points : partie B : 12 points. Choix : partie A : ex. E2 ou E3 ; partie B : questions I et III ou question II Documents manuscrits et photocopies de transparents autorisés. REMARQUES PRELIMINAIRES : rappelons quelques péchés mortels pour des ingénieurs : - omettre de vérifier l'homogénéité des formules littérales, - omettre de s'assurer de la vraisemblance des ordres de grandeur (et des signes) des résultats numériques, - omettre de faire des approximations évidentes, - se lancer dans des calculs abracadabrants sans réfléchir (comme les années précédentes, aucune question de ce problème ne nécessite plus de quatre ou cinq lignes de calcul une fois que les équations sont correctement posées). L'examen n'est pas une course de vitesse. Faites le maximum de ce que vous pouvez faire bien. PARTIE A : EXERCICES E1 On a mesuré la réponse fréquentielle d'un processus à différentes fréquences, et l on a obtenu le diagramme de Bode représenté sur la Figure E 1. 1. Estimer la marge de gain et la marge de phase. 2. On fait un bouclage à retour unitaire sur ce processus. Évaluer l'erreur stationnaire en réponse à un échelon. 3. Trouver une expression de la fonction de transfert du processus valable dans la gamme de fréquence considérée. Choix : exercice E2 ou exercice E3 E2 Un processus commandé numériquement, à une fréquence d échantillonnage de 1 seconde, a pour fonction de transfert H( z) = K 0,015 z 3 z 0,985 ( ) 1. Est-il stable? 2. Une partie de l image du cercle de rayon unité dans le diagramme de Nyquist est représentée sur la Figure E 2, pour K = 6,7. Indiquer sur le diagramme les points correspondant à ω = π et ω = π/2. 3. L image de tout le cercle de rayon unité (de ω = 0 + à ω = 2π) est représentée sur la Figure E 3 ; compléter le diagramme en représentant l image du cercle de rayon infini et l image de l axe des réels. Ce dernier a-t-il une influence sur la prédiction de la stabilité par le critère de Nyquist?
2 Figure E 1 4. Si l'on introduit le processus dans une boucle à retour unitaire, le système bouclé est-il stable? 5. On choisit à présent K = 35. Le diagramme de Nyquist correspondant est représenté sur la Figure E 4. Sans calculer la fonction de transfert du système bouclé, indiquer le nombre de ses pôles qui se trouvent à l'extérieur du cercle de rayon unité.
3 Figure E 2 Figure E 3
4 Figure E 4 1 E3 - Un processus de fonction de transfert G( s) = est commandé par un 2 ( 1 + s) calculateur qui fournit une séquence {u(kt)}, où k est un entier positif et T est la période d'échantillonnage. Cette séquence est transformée en un signal u b (t) par un convertisseur numérique-analogique (avec bloqueur d ordre zéro) qui commande le processus, dont le signal de sortie c(t) est transformé en une séquence {c(kt)} par un convertisseur analogique-numérique (Figure E 5) Figure E 5 1) Établir l expression de la fonction de transfert G(z) pour T = 0,7 seconde (on prendra e -T = 0,5). 2) Écrire l'équation à temps discret qui régit ce processus, sous la forme c (kt) = f {c[(k-1) T],., u[(k-1)t], }. 3) Déduire de cette équation la réponse statique du processus à un échelon d'amplitude unité. 4) Retrouver ce résultat directement à partir de la fonction de transfert G(z).
5 PARTIE B : Régulation de la température d'un bâtiment Choix : questions I et II, ou question III. I. On veut élaborer un modèle simplifié du comportement thermique d'un bâtiment constitué de deux pièces, portées à des températures T 1 (t) et T 2 (t), qui sont susceptibles d'échanger de la chaleur entre elles et avec une source de chaleur à la température T S (t). On modélise les échanges de chaleur de la manière suivante : entre deux corps i et j aux températures T i et T j, ou entre un corps à la température T i et une source de chaleur à la température T j, il existe un flux de chaleur Φ ij proportionnel à la différence entre les deux températures : ( t) = 1 T K i ( t) T j ( t) ij Φ ij ( ) (Φ ij en unités thermiques par unité de temps, K ij en unité thermique/degré.unité de temps, K ij > 0, K ij = K ji ), un corps i est caractérisé par sa capacité thermique C i telle que dt i dt = 1 Φ C ji ( t) i j I.1. Établir les équations d'état du modèle du bâtiment, en prenant T 1 (t) et T 2 (t) comme variables d'état, et T S (t) comme variable de commande. On posera K S1 = K 1, K S2 = K 2, K 12 = K 3. I.2. En assimilant les flux de chaleur à des courants électriques, tracer le schéma d'un circuit, constitué de deux condensateurs, trois résistances et un générateur de tension, régi par les équations établies à la question précédente. I.3. On prend à présent pour vecteur d'état le vecteur x( t) = T t T 1 ( t) ( ) = T 1 ( t) T 2 ( t) Écrire l'équation d'état relative à la nouvelle variable T(t), et en déduire une condition de commandabilité du processus, de manière simple (c est-à-dire sans calculer la matrice de commandabilité). I.4. On dispose un thermomètre dans chaque pièce. Écrire l équation d observation correspondant au modèle établi à la question précédente.. II. On désigne par T C1 et T C2 les températures de consigne dans les deux pièces du bâtiment. La variable de commande u(t) est la température d'un élément de commande (radiateur par exemple). Les caractéristiques thermiques du bâtiment, et celles de l'installation de climatisation, amènent à établir le modèle d'état suivant : T ( t) = AT( t) + Bu( t) + FT 0 avec A = 1,1 1 y(t) = C T(t) avec C = (1/2 1/2). 1 3, B = 0,1 0, F = 0 2
6 ( ) = T ( t) 1 ( t) T t T 2 ; T 0 est la température extérieure. Tous les temps sont exprimés en heures et les températures en degrés Celsius. Dans toute cette partie, on supposera que T 0 = 0 C. La matrice F n'intervient donc pas dans tout ce qui suit. II.1. Où se trouve le radiateur? II.2. Où se trouve le thermomètre? II.3. On définit le vecteur e( t) = T C T( t) avec T C = T C1 T C2. Écrire, en fonction de A, T C, u(t), l'équation différentielle qui régit e(t) lorsque le processus est en boucle ouverte. II.4. On effectue un bouclage par retour d'état de la forme ( ) = Ge( t) + HT C u t où G et H sont des matrices dont les éléments sont constants et indépendants de T C. On cherche les expressions de G et de H telles que le cahier des charges de la régulation soit respecté. II.4.1. Préciser les dimensions de G et H. II.4.2. Écrire le modèle d'état du système bouclé, avec le vecteur d état T(t), en faisant apparaître la matrice M = A BG. II.4.3. Écrire l'expression y de y(t) en régime permanent, lorsque le bouclage est réalisé, en fonction de M, B, C, G, H, T C, en supposant que la matrice M = A B G est inversible. II.4.4. Soit y C = C T C la valeur de consigne de y(t). Le cahier des charges exige que l erreur statique soit nulle. Exprimer H en fonction de M, B, C, G (on ne cherchera surtout pas à calculer H numériquement), en supposant que la matrice C M -1 B est inversible. II.4.5. Après un arrêt prolongé de la climatisation, la température intérieure est devenue égale à la température extérieure, qui vaut 0. On veut que, après la mise en marche de la climatisation, la réponse thermique soit caractérisée par un temps de montée de 1 h 45mn et un amortissement 2 2. On assimilera la mise en marche de la climatisation à l application d un échelon de consigne à partir de conditions initiales nulles. Le temps de montée t r d'un système du second ordre d'amortissement ξ et de pulsation propre ω n, en réponse à un échelon, est donné approximativement par la relation : 2 1 + 1,1ξ + 1,4ξ t r = ω n Calculer les éléments g 1 et g 2 de la matrice G.
7 II.4.6. On envisage trois hypothèses de conception du bâtiment, pour lesquelles la matrice A du modèle est de la forme A = 1,1 b b 3 Le cas b = 1 a été étudié dans les questions précédentes. On envisage de plus les cas b = 2 et b = 0,5. Dans chacune des hypothèses, on a calculé les éléments de la régulation comme indiqué dans les questions précédentes, avec le même cahier des charges. La Figure 1 et la Figure 2 présentent les résultats de simulation dans les trois cas : pour chaque hypothèse, le graphe de la Figure 1 montre l évolution de la moyenne des températures des pièces, et celui de la Figure 2 l évolution des deux températures, à partir de conditions initiales nulles, avec comme températures de consigne 20 pour T 1 et 18 pour T 2. II.4.6.1. L objectif de régulation de la moyenne des températures des deux pièces est-il atteint? II.4.6.2. Considérant la signification physique des coefficients de la matrice A, affecter à chacun des cas A, B, C une des trois valeurs de b. Choix : questions I et II, ou question III III. On considère un processus soumis à des perturbations supposées mesurables (on rappelle qu'une perturbation est une grandeur physique qui a un effet sur le processus, mais sur laquelle on ne peut pas avoir d'action). Les perturbations p(t) étant mesurables, on peut les considérer comme des entrées du modèle, au même titre que les entrées de commande ; nous décrirons donc le processus par l'équation d'état : x ( t) = Ax( t) + Bu( t) + Fp( t), où x(t) est le vecteur d'état (de dimension n), u(t) le vecteur de commande (de dimension m), et p(t) est le vecteur des perturbations (de dimension ν). On désigne par e(t) le vecteur des erreurs de régulation : e(t) = x C x(t) où x C est le vecteur des valeurs de consigne. En remplaçant l'expression de l'erreur dans l'équation d'état, on obtient l'équation différentielle qui régit l'erreur en boucle ouverte : e t ( ) = Ae( t) Bu( t) Fp( t) Ax C Pour simplifier les notations, on définit le vecteur v(t), de dimension ν + n, dont les ν premières composantes sont les perturbations et les n composantes suivantes sont les consignes. L équation précédente s écrit alors e ( t) = Ae( t) Bu( t) + Ev( t) où E est une matrice (n, ν+n) qui s exprime en fonction de F et A (on ne cherchera pas à le faire). On peut alors exprimer, de manière générale, l'objectif de la régulation : on désire que, en régime permanent, un vecteur z(t), de dimension µ, obtenu par une transformation linéaire des erreurs
8 z(t) = K e(t), soit nul ; K est une matrice qui sert à pondérer les erreurs sur les différentes variables d état. Pour atteindre cet objectif, on réalise un bouclage par retour d état : on élabore un vecteur de commande u(t) qui est une combinaison linéaire du vecteur des erreurs e(t) et du vecteur des perturbations et des consignes v(t) : u( t) = Ge( t) + Hv( t). On cherche les matrices G et H, de dimensions (m, n) et (m, ν + n) respectivement, telles que le cahier des charges soit respecté (on remarquera qu en l absence de perturbations mesurables, et avec des consignes nulles, on est ramené au cas traité en cours). III.1. On désire réaliser une régulation par retour d'état en présence de perturbations mesurables constantes ; on cherche donc à élaborer un vecteur de commande de la forme : u(t) = G e(t) + H v. III.1.1. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit e(t) lorsque le bouclage par retour d'état est réalisé. III.1.2. Que se passerait-il si on choisissait H telle que E BH = 0? Dans toute la suite on supposera que E BH 0. III.1.3. Exprimer e en régime permanent, en fonction de A, B, G, E, H, v, en supposant que la matrice A B G est inversible. III.1.4. Le cahier des charges impose que, en régime permanent, le vecteur z = K e soit nul quelles que soient les perturbations et les consignes (pourvu qu'elles soient constantes). III.1.4.1. Exprimer la matrice H en fonction de A, B, C, G, E, en supposant que la matrice K (A B G) -1 B est inversible. III.1.4.2. Pour que la matrice K (A B G) -1 B soit inversible, il faut qu elle soit carrée. En déduire la relation entre le nombre de variables d'état que l'on peut réguler indépendamment les unes des autres et le nombre de commandes dont on dispose. III.2. On considère le modèle thermique d'un bâtiment comportant deux pièces dont les températures T 1 ( t) et T 2 ( t) sont mesurables. La température extérieure T 0 est une perturbation aisément mesurable. On désigne par T C1 et T C2 les températures que l'on désirerait obtenir, en régime permanent, dans les deux pièces du bâtiment. La variable de commande u(t) est proportionnelle au flux de chaleur apportée ou extraite ; elle est positive dans le premier cas, négative dans le second. Les caractéristiques thermiques du bâtiment, et celles de l'installation de climatisation, sont telles que l'équation d'état du modèle est de la forme : T 1 ( t) = 1,1T 1 ( t) + T 2 ( t) + 0,1u( t) T 2 ( t) = T 1 ( t) 3T ( t) 2 + 2T 0
9 Tous les temps sont exprimés en heures et les températures en degrés Celsius. III.2.1. Si ces équations constituent un modèle du comportement thermique d'une maison comprenant une salle de séjour au rez-de-chaussée, et une chambre sous les combles mal isolés, la température T 1 est-elle celle de la salle de séjour ou celle de la chambre? III.2.2. À la tombée de la nuit, la température extérieure décroît avec une constante de temps de l'ordre de 2 heures. Pour prévoir l'évolution de la température intérieure en l'absence de climatisation, peut-on modéliser cette variation par un échelon? III.2.3. Combien de variables d état peut-on réguler indépendamment avec cette installation? III.2.4. Après un arrêt prolongé de la climatisation, la température intérieure est devenue égale à la température extérieure, qui vaut 0. On veut que, après la mise en marche de la climatisation, la température intérieure moyenne ( T 1 + T 2 ) 2 atteigne la température de consigne ( T C1 + T C2 ) 2 avec un temps de montée de 1h 45mn et un amortissement 2 2. On assimilera la mise en marche de la climatisation à l application d un échelon de consigne à partir de conditions initiales nulles. Le temps de montée t r d'un système du second ordre d'amortissement ξ et de pulsation propre ω n, en réponse à un échelon, est donné approximativement par la relation : 2 1 + 1,1ξ + 1,4ξ t r = ω n Calculer les éléments g 1 et g 2 de la matrice G. III.2.5. On envisage trois hypothèses de conception du bâtiment, pour lesquelles la matrice A du modèle est de la forme A = 1,1 b b 3 Le cas b = 1 a été étudié dans les questions précédentes. On envisage de plus les cas b = 2 et b = 0,5. Dans chacune des hypothèses, on a calculé les éléments de la régulation comme indiqué dans les questions précédentes, avec le même cahier des charges. La Figure 1 et la Figure 2 présentent les résultats de simulation dans les trois cas : pour chaque hypothèse, le graphe de la Figure 1 montre l évolution de la moyenne des températures des pièces, et celui de la Figure 2 l évolution des deux températures, à partir de conditions initiales nulles, avec comme températures de consigne 20 pour T 1 et 18 pour T 2. III.2.5.1. L objectif de régulation de la moyenne des températures des deux pièces est-il atteint?
10 III.2.5.2. Considérant la signification physique des coefficients de la matrice A, affecter à chacun des cas A, B, C une des trois valeurs de b. Figure 1 Figure 2