mai 2015 Collège de la Vésubie Brevet blanc de mathématiques Durée : 2 heures Les pages sont numérotées de 1 à 4 L'usage de la calculatrice est autorisée. Toutes les réponses doivent être justifiées. Chaque exercice est indépendant et vous pouvez les traiter dans l'ordre qui vous convient. Expression écrite et présentation : 4 points. Table des matières Exercice 1 (4 pts) grattage Exercice 2 (3 pts) Polenta Exercice 3 (5 pts) Cosmopolitaine Exercice 4 (2 pts) Quadrilatères Exercice 5 ( 6 pts) construction Exercice 6 ( 5 pts) fonctions Exercice 7 ( 6 pts) calcul littéral Exercice 8 (5 pts) maison spéciale Page 1
Exercice 1 (4 pts) grattage Au dos d'un billet de loterie à gratter, acheté 1 par un professeur, on peut lire le tableau : Tableau des lots : sur 1 500 000 tickets : 158 000 lots de 1, 115 000 lots de 2, 42 000 lots de 10, 1 500 lots de 20, 268 lots de 200 et 2 lots de 2 000. 1. Quelle est la probabilité de gagner 2 000? 2 tickets de 2000 sur 1 500 000 tickets p(gagné 2 000) = 2 1500000 = 1 750 000 2. Quelle est la probabilité de ne rien gagner du tout? Pour ceux qui n'ont pac compris que le 1 allait avec le 1500 Il y a 158 000 + 115 000 + 42 000 +500 + 268 + 2 = 315 770 tickets gagnants Donc 1 500 000 315 770 = 1 184 230 tickets perdants p(perdre) = 1184230 1500000 0,7894 78,94 % Pour ceux qui ont compris que le 1 allait avec le 1500 Il y a 158 000 + 115 000 + 42 000 +1 500 + 268 + 2 = 316 770 tickets gagnants Donc 1 500 000 316 770 = 1 183 230 tickets perdants p(perdre) = 1183 230 1500000 0,7888 78,88 % somme gagnée 3. On appelle rendement, le quotient somme payée. Quel est le rendement si on achète 5 tickets, et que un seul gagne 20. si on achète 5 tickets on paye 5, si on gagne 20, rendement = 20 5 =4 ou 400 % Exercice 2 (3 pts) Polenta Pour préparer la Polenta, Louis utilise 1,5L d'eau pour 375g de semoule de maïs et du sel. 1. Quelle quantité d'eau doit-il prendre s'il n'a que 150g de maïs? Maïs (en g) 375g 150g Eau (en L) 1,5L? Quantité d'eau pour 150g de maïs = 150 1,5 375 =0,6 L d'eau 2. Sachant que 1L d'eau pèse 1kg, (on négligera la masse du sel). Quelles sont les masses des ingrédients nécessaires pour obtenir 1,2kg de polenta? Page 2
Maïs (en g) 375g? Eau (en L) 1,5L? Masse totale 1 875 g 1 200 g Quantité d'eau pour 1,2kg de Polenta = Quantité de maïs pour 1,2kg de Polenta = Exercice 3 (5 pts) Cosmopolitaine 1200 1,5 1875 =0,96 L d'eau 1200 375 1875 =240 g de maïs La durée des chansons du dernier album de Soprano sont indiquées ci-contre. 1. Quelle est l'étendue de cette série? Étendue = plus grande plus petite = 6:32 3:03 = 3:29 l'étendue est 3min29sec 2. Quelle est la durée moyenne d'un morceau? Pour ajouter les durées on va les convertir en secondes. Somme de toutes les durées pour les minutes 3+3+4+4+3+3+4+3+6+5+4+3+4+3+3 = 55 min pour les secondes 36+3+6+30+19+45+21+43+32+1+7+9+0+6+9 = 267sec Moyenne = total en seconde : 55 x60+267 = 3567 secondes somme des valeurs nombre de valeurs = 3567 15 3. Quelle est la durée médiane d'un morceau de cet album. Interpréter le résultat. =237,8 sec (soit 3 min57,8s en moyenne) Il faut ranger les 15 durées par ordre criossant, la médiane est la 8ème...7valeur... médiane...7valeurs... 3 :03 3:19 3:36 3:39 3:39 3:43 3:45 3:46 4:06 4:07 4:21 4:30 4:50 5:01 6:32 médiane Interprétation :Au moins la moitié des chansons durent 3m46 ou moins et au moins l'autre moitié des chansons durent 3,46s ou plus. 4. Calculer le troisième quartile de cette série. Interpréter le résultat. Il y a 15 valeurs. trois quart de 15, cest 3*15:4 = 11,25 Donc Q3 est la 12 ème valeur, Q3 =4min30 Interprétation : Au moins 75% des chansons durent au plus 4min30 Page 3
Exercice 4 (2 pts) Quadrilatères Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse : a) Tout carré est un parallélogramme. VRAI b) Tout rectangle est un carré. FAUX c) Tout carré est un losange, VRAI d) Tout parallélogramme est un rectangle. FAUX Exercice 5 ( 6 pts) construction 1. a) Construire un triangle ABC isocèle en A tel que AB = 5 cm et BC = 2cm. b) Placer le point M de [AB] tel que BM = 2 cm. c) Tracer la parallèle à [BC] passant par M. Elle coupe [AC] en N. 2. Calculer les longueurs MN et AN en justifiant. 3. Montrer que les périmètres du triangle AMN et du quadrilatère BMNC sont égaux Exercice 6 ( 5 pts) fonctions A l aide d un tableur, on a réalisé les tableaux de valeurs de deux fonctions dont les expressions sont : f(x)=2x et g (x)= -2x + 8 1. Quelle est la fonction (f ou g ) qui correspond à la formule saisie dans la cellule B2? En B2 c'est la fonction f (car on fait 2x) 2. Quelle formule a été saisie en cellule B5? En B5 la formule est =-2*B4+8 3. Laquelle des fonctions f ou g est représentée dans le repère de l annexe 1? Dans l'annexe c'est la fonction f car elle passe par (0;0) c'est la fonction linéaire. 4. Tracer la représentation graphique de la deuxième fonction dans le repère de l annexe 1. 5. Donner, en justifiant, la solution de l équation : 2 x = 2x + 8 Méthode graphique : les courbes f et g se coupent en (2;4) donc f(2)=4 et g(2)=4 donc pour x=2, f(x) =g(x) Méthode algébrique : 2 x = -2x + 8 x=2 est solution de l'équation 2 x = -2x + 8 +2x +2x 4 x = 8 donc x = 8:4 = 2 Page 4
Exercice 7 ( 6 pts) calcul littéral A = ( x 3)² 25 1. Calculer A pour x = 7 A(pour x=7) = (7 4)² 25 = 3²-25 = 9 25 = -16 2. Calculer A pour x = 2 A(pour x = 2 )= ( 2 4)² 25 = 2 8 2 + 16-25 = -8 2 7 3. En utilisant la différence de 2 carrés, factoriser A. ( x 3)² 25 = a² b² avec a= (x 3) A = (a b)(a+b) = [(x 3) 5 ][(x 3) + 5] et b= 5 = (x 8) (x+2) 4. Résoudre l'équation A=0 A = 0 si (x 8) = 0 donc x=8 ou si (x+2) = 0 donc x = -2 L'equation a 2 solutions 8 et -2 Exercice 8 (5 pts) maison spéciale Ce dessin représente une maison à 2 étages, vue en coupe,avec un escalier en montée droite représentée par [GF]. Aucune échelle n'est respectée. Les points C, F, B sont alignés, de même que les points D, E, A et les points A, G, B. Le mur [BC] est perpendiculaire au sol [AB]. On sait que AB=10m, la hauteur sous plafond FB égale 2m50. 1. Pourquoi le codage indique que les angles ^FGB et ^GFE sont de même mesure? 2. a) A quelle distance du point B placer le point G, bas de l'escalier, de manière à avoir une pente d'escalier confortable, soit un angle ^FGB de 32? b) Quelle est alors la longueur FG de l'escalier (arrondie au centimètre)? 3. Dans cette question, toute trace de recherche sera valorisée. Calculer la longueur EF du premier étage. En donner la valeur en mètre arrondi au centimètre. Page 5
N du candidat.. ANNEXE 1