Thème 6 : Racines carrées-le point sur les nombres I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d un nombre positif a est un nombre positif La racine carrée de a notée a est le nombre positif tel que a a = ( a ) = a Exemples : La racine carrée de 49 est 7, car 7 = 49 et 7 est positif. On note 49 = 7. La racine carrée de 1 est 1, car 1 = 1 et 1 est positif. On note 1 = 1. La racine carrée de 17,64 est4,, car 4, = 17,64 et 4, est positif. On note 17,64 = 4,. Remarques : 1- la racine carrée d un nombre négatif n existe pas, car le carré d un nombre est toujours positif! - La racine carrée d un nombre est un nombre positif :c est une distance! Utiliser la définition de la racine carrée pour calculer : 3 10 3 = 10 3 3 = 10 3 = 30 17 1 = 1 = 60 7 = 7 7 = 7 = 14 ( ) = 17 17 = 17 7 = 7 7 = 7 7 = 4 7 = 8 a a = a Pour s entraîner : Exercices conseillés : sans calculatrice N 6 p 44 N N 3 p 0 pour la calculatrice N 7 p 44
II Connaître les racines carrées correspondant aux premiers nombres entiers : 1 = 1 ; 4 = ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; = ; 36 = 6 ; 49 = 7 ; 64 = 8 ; 81 = 9 100 = 10 ; 11 = 11 ; 144 = 1 ; 169 = 13 III PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES 1 Attention : 16 + 9 = ; 16 + 9 = ;Conclusion: 100 64 = ; 100-64 = ; Conclusion: 11 +... ; 11+ =... ; Conclusion: ATTENTION : a + b a + b a b a b a et b entiers positifs et a plus grand que b Produit de deux racines carrées (Démonstration faite en classe) Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a : a b = a b Exemples : 7 3 = 7 3 = 1 18 = 18 = 36 = 6 a + b a + b et a b a b 3- Quotient de deux racines carrées Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a : a = b a b 4 4 3 3 Exemples : = = 6 = = 16 = 4 7 7 Application : Comment écrire autrement une somme avec des radicaux? a), 4 + 8 + = 4 + + 8 = 6 + 8 3 3 = 3 3 = 4 3 7
b) Mettre sous la forme a b b entier positif le plus petit possible : 48 on divise 48 par,on obtient 4 ;on divise 48 par 3 on obtient 16 et 16 48 = 16 3 = 4 3 4 = 9 6 = 3 6 7 = 36 = 6 = 4 Se rappeler II ;les racines carrées correspondant à un entier 0 + 80 = 4 + 16 = 4 + 16 = + 4 = 6 4 = 9 = 9 = 3 = 6 c) Racines carrées et développements : ( 3 ) A = + A = 3² + 3 + On n'oublie pas ab le double produit!! A = 9 + 6 + On réduit A= 14 + 6 On reconnaît (a+ b)² et on applique la formule avec a= 3 et b= ( 3 1 ) C ( 3 1) B = + = Démontrer que B + C = 6 ( ) C ( ) B = 3 + 1 = 3 1 On applique (a+b)² et (a-b)² B = 1+ 3 1+ 1 C = 1-3 1 + 1 B = 13+ 4 3 C = 13-4 3 B + C = 13+ 4 3 + 13-4 3 = 6 Pour réviser le contrôle : Exercices conseillés : Calculs : N 34-36-38-39-41 p 1 Aires-Périmètres N 60 p3 N 101p6 Brevet : N 97-98-99-100 p 6 Un auto-test avant le petit contrôle
III Fiche bilan pour réviser 1. Connaître la définition et l appliquer : Définition : Exemples : Calcule : ; 7 7 = ; 64 = ; 9 = ( ) = ( ) =. Connaître les premiers carrés parfaits a 0 1 4 9 16 100 a 11 1 3. Calculer la valeur numérique d une expression littérale Calculer E = x 3x + 1 lorsque x = 3 puis x = 7 4. Calculer et écrire le résultat sous la forme a b ou c + a b a, c sont des entiers et b est un entier positif 3 + 4 + 14 1 + 7 + 4 300 18 8 + 7 + 81 8 3 + 108. Développer et réduire des écritures 4 + 7 = 6 (3 6) = ( + ) = ( 3 ) =
Si a > 0, alors l équation x ² = a admet deux solutions : a et a. L équation x ² = 0, admet une seule solution : 0 Si a < 0, alors l équation x ² = a n admet pas de solution Propriété : Exemples : 1 ) Soit à résoudre l équation x ² = 9. x ² = 9 signifie que le carré de x est 9 Or, les deux nombres dont le carré est 9 sont 9 = 3 et 9 = - 3. Conclusion : Les solutions de l équation x ² = 9 sont 3 et - 3. ) L équation x ² = - 7 n a pas de solution ( en effet, x ² est positif ) QCM : Il peut y avoir plusieurs réponses possibles! Demande les réponses en classe! R1 R R3 R4
1 Le nombre 11 est égal à 11² 11 11 11 9 + 16 est égal à 7 1 3 108 est égal à 3 6 4 7 10,39 6 3 4 6 1 est égal à 6 1 7 6 3 8 6 7 8 169 est égal à 13 x² 4x + pour x = 3 est égal à L équation x ² = 81 a pour solutions 0 18 est égal à 3 13 169 169 7 3 3 + 11 4 3 3 3 9 et 0 8 et -8 9 et -9 9 et 9 3 3 9 3 + 0 est égal à 3 3 100 11,18 10 ( + 3) est égal à 7 + 4 3 7 13,91 11+ 3 11 L équation x ² + 1 = 11 a pour solutions 4 et -4 et - Aucun nombre 11 et 11 1 ( 7 + )( 7 ) est égal à 7 - + 3 V- Le point sur les nombres : Rationnels - Irrationnels Décimal Entier Comment reconnaître?
Les nombres Entiers naturels Entiers relatifs Description Tous les nombres entiers positifs Tous les nombres entiers positifs et négatifs Exemples 0 ; 18 ; 010 1 36 = 6 ; = 3 - ; - 3 ; 0 ; 8 ; - 00 ; 010 Décimaux Rationnels Irrationnels Tous les nombres qui ont une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule Tous les nombres qui peuvent s écrire sous la forme d une fraction. L écriture décimale peut être finie ou infinie mais nécessairement périodique Tous les nombres qui ne sont pas rationnels ;dans un irrationnel, le nombre de décimales est infini et il n y a pas de période 17,9 ; 41 0, 41 100 = ; - 0,03 ; 3 = 0,6 0, 8 714 8 714 8 714...... 7 = = 3, 1487 7 1487 1487... 789 6,31 1 = Ces deux nombres ont une période Ce nombre a 3 chiffres après la virgule 6 6 = ; 6 est donc rationnel!! 1 π ; ; 3 Place dans le diagramme ci-dessous les nombres suivants : 8 7 1 100 ; ;0,0087; ; ; π ; 63 3 3
Suis l exemple : 8 8 4 7 4 = = = = 63 63 9 7 9 3 décimale illimitée périodique 0,66666666666. C est un rationnel! et ce nombre a une écriture Nombres décimaux Nombres -4 1 18, 36 rationnels Nombres entiers Nombres réels