Terminale S Chapitre 12 Les systèmes mécaniques oscillants. Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT I. Exemples de systèmes oscillants. 1. L oscillateur. On appelle oscillateur (ou système oscillant) un système pouvant évoluer, du fait de ses caractéristiques propres, de façon périodique et alternative autour d une position d équilibre. Un système oscillant est donc caractérisé par sa période ou pseudo-période. Exemples : Pendule pesant Pendule élastique vertical Balançoire Les marées Diapason Instrument de musique (vibration des cordes, de l air, de l embouchure). 2. Quelle grandeur suivre pour étudier un oscillateur? La grandeur oscillante intervenant dans les équations est l écart à l équilibre. C est une grandeur algébrique, repérée par l abscisse angulaire (t). Dans le cas d oscillation sans amortissement, l abscisse angulaire θ est une fonction sinusoïdale du temps : 2 π θ = θ m.sin( +ξ ) To La valeur positive extrême (ou maximale) prise par l abscisse angulaire est appelée amplitude de l oscillation. 3. Oscillateurs amortis. Savoir comment un système peut atteindre un régime apériodique. Certains oscillateurs subissent à cause des frottements un amortissement. On observe (comme en électricité) un régime pseudo-périodique lorsque l amortissement est faible, ou un régime apériodique.
II. Etude du pendule. 1. Le pendule à l équilibre. Définir un pendule simple. Justifier la position d équilibre dans le cas d un pendule simple. Définir l écart à l équilibre, l abscisse angulaire, l amplitude, la pseudo-période, la période propre et les mesurer sur un enregistrement. Un pendule simple est un oscillateur élémentaire. C est un modèle idéalisé du pendule pesant dans lequel la masse suspendue peut être considérée comme ponctuelle (le diamètre de la masse est très petit par rapport à la longueur du pendule). A l'équilibre, le fil qui supporte le solide S est vertical. Cette position d'équilibre est stable. A l équilibre, P + F = 0 Ecarté de la verticale et lâché sans vitesse, un pendule simple oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre. Son mouvement est plan. 2. L isochronisme des petites oscillations. Enoncer la loi d isochronisme des petites oscillations. Lorsqu on écarte un pendule pesant ou un pendule simple de sa position d équilibre d une abscisse angulaire 0 et qu on l abandonne à lui-même, on constate que, pour des valeurs de 0 n excédant pas vingt degrés, celui-ci effectue des oscillations libres dont la période T est indépendante de 0. On dit que le pendule simple et le pendule pesant vérifient la loi d isochronisme des petites oscillations. 3. Expression de la période propre du pendule. Savoir que dans le cas d un amortissement faible, la pseudo-période est voisine de la période propre. Pour un pendule simple, justifier la forme de l expression de la période propre par analyse dimensionnelle. À partir d une série de résultats expérimentaux, vérifier la validité de l expression de la période propre d un pendule simple. Dans le cas du pendule simple sans frottement, la période des oscillations To est appelée période propre.
L expérience montre qu elle ne dépend pas de la masse du pendule mais qu elle est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du pendule et qu elle est inversement proportionnelle à la racine carrée de l intensité de la pesanteur ( gravité g ) : On vérifie la relation To = 2. π. l g l est la longueur du fil (en mètre) g est l intensité de pesanteur en m/s². Comment montrer que l g correspond à un temps? la dimension de g correspond à la dimension d une longueur sur la dimension d un temps au carré [g ] = [ L ] / [ t ]² la dimension de l est une longueur [ L] t]² donc : = = [ t]² donc To à la dimension d un temps. [ g] [ L] 4. Comment mettre un pendule en oscillation forcées? Expérience des 3 pendules (2 de même longueur et un plus petit). Le système qui impose sa fréquence est l excitateur. Le pendule qui est mis en oscillation forcées est appelé le résonateur. Lorsqu un pendule est soumis à des actions périodiques d un système extérieur, la période des oscillations est imposée par l excitateur. A la résonance, l amplitude des oscillations est maximale. Pour un oscillateur peu amorti, la résonance a lieu pour une période voisine de sa période propre. L amplitude peut être tellement grande qu elle devient destructrice (pont Tacoma).
III. Etude de l oscillateur : solide + ressort. 1. Force exercée par un ressort. Connaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort. On accroche à un ressort un solide (S). La position du solide est repérée par l abscisse x(t) de son centre de gravité. On prend comme centre O de l axe la position du ressort à l équilibre : l abscisse x(t) correspond donc au déplacement du solide (S). Le ressort est étiré : x(t) > 0 La force de rappel est dirigée vers le mur (gauche) Le ressort est compressé : x(t) < 0 La force de rappel est dirigée vers la droite. La force exercée par le ressort sur le solide (S) appelée force de rappel F est tel que : Direction : celle du ressort Sens : opposée à la déformation du ressort Norme : F = k. x avec k : constante de raideur en N/m Le vecteur force de rappel est : F = - k.x. i ne pas confondre la force de rappel exercée par la ressort qui est défini par rapport à la position d équilibre ressort+solide (vu ci-dessus) et la tension du ressort défini par rapport à la position d équilibre du ressort sans solide : T = k (L-Lo) où Lo correspond à la longueur du ressort à vide et L la longueur du ressort avec le solide ; 2. Etude théorique d un pendule élastique horizontal. Appliquer la deuxième loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d un dispositif oscillant horizontalement. Connaître la signification de tous les termes intervenant dans la solution de l équation différentielle et leur unité. Connaître et savoir exploiter l expression de la période propre, vérifier son homogénéité par analyse dimensionnelle Le solide (S) étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen est soumis à son poids, à la réaction du sol, à la force de rappel du ressort et à la force de frottement. Selon l intensité des frottements, on aura plusieurs régimes : régime apériodique, régime critique, régime pseudo-périodique, régime périodique. Dasn notre cas, on suppose f = 0.
Appliquons le théorème du centre d inertie au système (S): F = m. a Projetons cette relation vectorielle sur l axe Ox : m..a x = -k.x soit Cette équation correspond à une équation différentielle du second ordre. d ² x dt² + m k.x = 0 La solution de cette équation est l équation horaire d un mouvement libre non amorti. Elle est de la 2. π forme : x(t) = Xm. cos (.t + ϕ ). To Vérifions que x(t) est solution de l équation différentielle. 2. π 4. π ² k On obtient : Xm.cos (.t + ϕ ).( - )= 0 To m Donc x(t) est solution si : 4. ² To² To² π k m - = 0 soit To =2. π. m k L expérience montre que la période est proportionnelle à la racine carrée de la masse et qu elle est inversement proportionnelle à la racine carrée de la raideur du ressort. m Comment montrer que correspond à un temps? k la dimension de m correspond à la dimension d une masse la dimension de k correspond à la dimensions d une force sur la dimension d une longueur [ m] m] donc : = [ N] /[ L] [ N] la dimension d une force correspond à la dimension d une masse multiplié par la dimension de l accélération (dimension d une longueur divisée par la dimension d un temps au carré). [ m] m] m] Donc : = = = [t]² donc T correspond bien à un temps [ N] /[ L] [ N] [ m].[ L] /[ t]² Comment déterminer les valeurs de Xm et ϕ? On utilise les conditions initiales : à t = 0 s v(0) = 0 ( qui impose ici 0 = 0 radian ). x(0) = x0 ( qui impose ici Xm = x0 ) III. Etude de système oscillant subissant une action extérieur. Savoir que la résonance mécanique se produit lorsque la période de l excitateur est voisine de la période propre du résonateur Savoir que l augmentation de l amortissement provoque une diminution de l amplitude Connaître des exemples de résonance mécanique. 1. Influence d une force de frottement. Montrer avec Pendulor l influence de l amortissement. Lorsque l amortissement augmente, l amplitude des oscillations diminue, la pseudo-période reste constante. On montre expérimentalement l existence de 2 types de
frottements : Frottement fluide Frottement solide Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT 2. Influence d un excitateur. Lorsque l on relie un système augmentant l amplitude du système étudié, le système augmentant l amplitude est appelé excitateur et le système étudié est appelé résonateur. Lorsque l excitateur est à la fréquence propre ( f=fo = 1/To), l amplitude atteinte par le résonateur est maximale : on dit que l on est à la résonance.