Chapitre 11 OSPH Les oscillations 54 11. Les oscillations Le tere périodique qualifie tout ouveent ou événeent qui se répète à intervalles réuliers. La vibration d une corde de uitare, le déplaceent d un piston dans un oteur, les vibrations des atoes dans un solide en sont des exeples. 11.1. Oscillations haroniques siples On étudie les oscillations râce au systèe bloc-ressort ; il s ait d un bloc de asse fixé à ressort de constante k et de asse nélieable. Pour étudier la position d un objet au cours du teps, on peut enreistrer le ouveent sur une bande de papier qui se déplace à vitesse constante. Le bloc se déplace (sans frotteent) entre des valeurs extrêes x=-a et x=+a. A est l aplitude de l oscillation. La position à partir de l équilibre est donnée par : x( t) Asin t ω se esure en radians par seconde. C est la fréquence anulaire ou pulsation. Un cycle correspond à radians et il s effectue en une période T. On a donc : T ou bien f T 1 f est la fréquence, esurée en Hz ( 1 Hz 1s ) Si le bloc n est pas à x=0 en t=0, on écrit : x( t) Asin( t ) L aruent t est la phase et est la constante de phase. Chacun de ces teres est esuré en radians. Dérivons l équation précédente : dx vx Acos( t ) dvx d x a x Asin( t ) Les valeurs extrêes de la vitesse sont vx A ax A pour x=a. pour x=0 et celles de l accélération sont On peut substituer, dans la dernière équation, l expression de x : d x x 0
Chapitre 11 OSPH Les oscillations 55 Cette fore est une équation différentielle caractéristique de tous les type d oscillation (écanique ou non). L équation horaire trouvée est une solution de cette équation différentielle. Le no de ouveent haronique siple s applique aux exeples écaniques de l oscillation haronique siple (caractérisés par les trois points suivants : il existe une position d équilibre siple, il n y a pas de perte d énerie donc pas de frotteent, a x ). x 11.. Le systèe bloc-ressort La force exercée par un ressort répond à la loi de Hooke : Fres x kx où x est l écart par rapport à la position d équilibre. En utilisant la deuxièe loi de Newton, on peut écrire : k ax x Coe l accélération est la seconde dérivée de la position, on peut écrire : d x k 0 x Par coparaison on constate que le bloc-ressort effectue un ouveent haronique siple de pulsation k La période du systèe est T k La période est donc indépendante de l aplitude! 11.3. L énerie dans le ouveent haronique siple L énerie potentielle du ressort est donnée par L énerie cinétique est donnée par La soe des expressions est l énerie écanique k 1 1 Ep kx ka t sin ( ) 1 1 Ec v A t 1 E cos ( ) ka On utilise sin cos 1 et L énerie écanique est constante. Elle dépend de l écart axial et de la constante de riidité du ressort. En observant le raphique de l énerie en fonction de la position du bloc, on parle d un puit de potentiel crée par le ressort. Celui-ci est parabolique car l énerie est proportionnelle au carré de la position. On utilise souvent ce odèle, êe si le puit de potentielle n est pas tout à fait parabolique. Par exeple en étudiant les potentiels inter atoiques dans les olécules ou les cristaux. 11.4. Le pendule Le pendule siple est une asse ponctuelle suspendue à l extréité d un fil de asse nélieable. La fiure représente un pendule de asse et de lonueur L. La distance parcourue sur l arc à partir du point le plus bas est x L. La coposante tanentielle de la deuxièe loi de Newton :
Chapitre 11 OSPH Les oscillations 56 d s Le sine néatif sinifie que le poids est une force de rappel. Cette équation ne correspond pas à un ouveent haronique siple. Cependant, dans l approxiation des petits anles, sin (en radians) et s L on a : d 0 L Ce qui cette fois correspond à l équation différentielle d un ouveent haronique siple avec : L La période répond à l expression que nous avons déjà vue L aux travaux pratiques : T La période ne dépend ni de la asse ni de l aplitude. Cette dernière doit néanoins respecter la condition des petits anles. sin 11.5. La résonance Nous avons vu qu'un systèe oscillant selon un ouveent haronique siple se caractérise par une pulsation ω indépendante de l'aplitude de l'oscillation. Cette valeur de ω est la pulsation propre du systèe, que l'on dénotera dans ce qui suit par 0. Qu'arrive-t-il lorsqu'un systèe oscillant est excité par une force externe qui varie de anière périodique? Considérons par exeple une personne assise sur une balançoire qui, sans toucher le sol, donne des poussées périodiques sur les cordes qui la soutiennent. Le résultat de ses efforts dépendra de la différence entre la pulsation propre de la balançoire et la pulsation de la force externe qu'elle exerce, e. Si e est très différent de 0, il ne se passera pas rand- chose: une personne qui secoue les cordes beaucoup plus rapideent ou beaucoup plus lenteent que le rythe naturel d'oscillation de la balançoire ne réussira pas à se balancer avec une aplitude appréciable. En revanche, si e est très proche de 0, la force externe est «synchronisée» avec la pulsation propre du systèe et l'aplitude devient très rande. Lorsqu'on se balance, on ajuste instinctiveent la pulsation de la force que l'on exerce avec la pulsation propre de la balançoire. On dit d'un systèe oscillant excité par une force externe dont la pulsation est voisine de sa pulsation propre qu'il est en résonance. Mêe des structures de randes diensions, coe les tours, les ponts et les avions, peuvent osciller. Si la pulsation du écanise d'entraîneent est proche de la pulsation propre, l'édifice peut êe tober en orceaux. L'écrouleent du pont de Tacoa dans l'état de Washinton est un cas éorable de résonance. La résonance dans les circuits électriques est un phénoène vital pour l'éission et la réception des sinaux de radio et de télévision. La résonance joue éaleent un rôle dans les processus atoiques et nucléaires.
Chapitre 11 OSPH Les oscillations 57 11.6. Oscillations aorties Nous allons aintenant iainer une situation sans nélier les pertes d énerie. Nous allons considérer des pertes dues à la résistance d un fluide externe. Si les oscillations ne sont pas trop rapides, la résistance est proportionnelle à la vitesse : f v. γ est la constante d aortisseent. En nélieant la poussée d Archiède du fluide, la deuxièe loi de Newton s écrit : dx d x Fx kx x est l écart par rapport à la position d équilibre, ainsi le poids du bloc n apparaît pas dans la soe des forces. On peut ainsi écrire : d x dx kx 0 Cette fore d équation différentielle se retrouve dans diverses oscillations aorties écanique ou non. On vérifie qu une solution de cette équation est : t 0 sin( ) x A e t La pulsation aortie est donnée par 0 La pulsation aortie est donc inférieur à la pulsation propre 0. On peut dire éaleent que l aplitude diinue selon : t A( t) A e 0 Si 0, on a 0 et il n'y a pas d'oscillation. Cette condition d'aortisseent critique correspond au teps le plus court pour le systèe revienne à l'équilibre. L'aortisseent critique est utilisé dans les ouveents des appareils de esure électriques pour aortir les oscillations de l'aiuille. Le systèe de suspension d'une autoobile est rélé de anière à avoir un aortisseent un peu oins que critique. Lorsqu'on appuie sur un pare-chocs et qu'on le lâche, l'autoobile effectue peut-être une oscillation et deie avant de s'iobiliser. 11.7. Exercices 1. Lorsque deux adultes de asse totale de 150 k entrent dans une voiture de 1450 k, celleci s abaisse de 1 c. a) Quelle est la constante de rappel d un des 4 ressorts de la suspension? b) Quelle est la période d oscillation lorsque l auto est charée et qu elle passe sur des bosses?. Un bloc de asse =30 oscille avec une aplitude de 1 c à l extréité d un ressort horizontal dont la constante de rappel est éale à 1,4 N/. Quelles sont la vitesse et l accélération lorsque la position à partir du point d équilibre est éale à a) -4 c b) 8 c. 3. La position d'un bloc de 50 attaché à un ressort horizontal (k= 3 N/) est donnée par x Acos t, avec A=0 c. Trouvez: (a) l'énerie cinétique et l'énerie potentielle à t = 0,7 T, T étant la période; (b) l'énerie cinétique et l'énerie potentielle à x=a/ : (c) les instants auxquels l'énerie cinétique et l'énerie potentielle sont éales.
Chapitre 11 OSPH Les oscillations 58 4. Un atoe de asse 10-6 k effectue une oscillation haronique siple autour de sa position d'équilibre dans un cristal. La fréquence est éale à 10 1 Hz et l'aplitude à 0,05 n. Trouvez : (a) le odule de la vitesse axiale: (b) son énerie écanique: (c) le odule de son accélération axiale: (d) la constante de rappel correspondante. 5. Un chariot de asse est attaché à un ressort horizontal et oscille avec une aplitude A. Au oent précis où x = A, on place un bloc de asse / sur le chariot. Quel effet cela a-t-il sur les randeurs suivantes: (a) l'aplitude; (b) l'énerie écanique; (c) la période; (d) la constante de phase? 6. Un bloc de 50 est attaché à un ressort vertical dont la constante de rappel est éale à 4 N/. Le bloc est lâché à la position où l'alloneent du ressort est nul. (a) Quel est l'alloneent axial du ressort? (b) Quel teps faut-il au bloc pour atteindre son point le plus bas? 7. Un pendule siple est constitué d'une asse de 40 et d'un fil d'une lonueur de 80 c. À t= 0, la position anulaire est 0,15 rad et la vitesse tanentielle est de 60 c/s, s'éloinant du centre. Trouvez: (a) l'aplitude anulaire et la constante de phase; (b) l' énerie écanique; (c) la hauteur axiale au-dessus de la position d'équilibre. 8. a) Quelle est la lonueur du fil d un pendule siple dont la période est éale à s? b) Si l on eportait le pendule sur la Lune, quelle serait sa période? 9. Une pièce de onnaie est posée sur le dessus d un piston qui effectue un ouveent haronique siple vertical d aplitude 10 c. A quelle fréquence iniale la pièce cesse-t-elle d être en contact avec le piston? 10. Un bloc de asse = 1 k est posé sur un autre bloc de asse M = 5 k qui est attaché à un ressort horizontal (k = 0 N/), tel que représenté à la fiure. Le coefficient de frotteent statique entre les blocs est μ, et le bloc inférieur lisse sur une surface horizontale sans frotteent. L'aplitude des oscillations est A = 0,4. Quelle est la valeur iniale de μ pour que le bloc supérieur ne lisse pas par rapport au bloc inférieur? 11. Un bloc de asse voluique B a une section transversale horizontale d'aire A et une hauteur verticale h. Il flotte sur un fluide de asse voluique f. On pousse le bloc vers le bas et on le lâche. Montrez qu'il effectue un ouveent haronique siple de fréquence anulaire f B h 1. La fiure représente un bloc de asse M sur une surface sans frotteent, attaché à un ressort horizontal de asse. (a) Montrez que, lorsque la vitesse du bloc a pour odule v, l'énerie cinétique du ressort 1 est éale à 6 v (b) Quelle est la période des oscillations? (Indice: Considérez d'abord l'énerie cinétique d'un éléent de lonueur dx du ressort. Supposez que la vitesse de cet éléent est proportionnelle à la distance à partir de l'extréité fixe. Toutes les parties du ressort sont en phase. Pour la question (b), utilisez le fait que l'énerie écanique est constante)