Transformée de Fourier. Grégoire Henning 1/10

Transformée de Fourier. Grégoire Henning 1/10

Table des matières 1. Transformée de Fourier 1.1. Rappel : série de Fourier 1.2. Analyse continue 1.2.1. Formules de transformées de Fourier 1.2.2. Intensité spectrale 1.3. Exemple et première propriété 2. Opérations sur les transformées de Fourier 2.1. Linéarité 2.2. Produit de convolution 3. Transformées de Fourier usuelles 3.1. Constante 3.2. Fonction de Dirac 3.3. Sinus 3.4. Gaussienne 3.5. Lorentzienne 3.6. Exponentielle 2/10

1. Transformée de Fourier 1.1. Rappel : série de Fourier Transformée de Fourier. On rappel que la théorie des série de Fourier nous permet de décomposer toutes fonction périodique 1 en une somme de sinus et cosinus, affectés de coefficients : f t = a n cos n.t b n sin n.t n=0 Plus particulièrement, dans le cadre de la physique, on considère que toute fonction de période T et donc de fréquence = 1 peut s'écrire : T f t = c n e j 2 n t 2 n Le physicien a alors tendance à tracer l'histogramme de c n qui donne l'analyse spectrale du signal périodique. 1.2. Analyse continue 1.2.1. Formules de transformées de Fourier Pour étudier un phénomène qui n'est pas nécessairement périodique (un phénomène quelconque), il faut utiliser les transformées de Fourier. Attention : il ne s'agit que de simple série de Fourier continues, la transformée de Fourier est un outils extrêmement riche et précieux en analyse des signaux 3. La transformée de Fourier d'une fonction f t est définie comme étant F, une fonction (éventuellement complexe) de la fréquence : F = f t e j 2 t dt 1 Il y a en fait des contraintes de continuité (entre autre), mais nous sommes dans le cadre agréable de la physique, ce qui nous conduit à utiliser des fonctions plus aisées à manipuler. 2 Avec j 2 = 1 3 Cependant, nous n'étudions pas ici l'analyse des signaux. 3/10

On a aussi dans ces conditions la formule de transformée de Fourier inverse qui donne f t en fonction de F : f t = F e j 2 t d Une autre façon plus générale (à l'aide d'autres variables) d'écrire ces formules est : f x = 1 u e j u x du 2 et u = f x e j u x dx 1.2.2. Intensité spectrale Tout comme les histogrammes des coefficients de Fourier, le physicien aimera se pencher sur la fonction I =F. F = F 2 qui est l'intensité spectrale de la fonction f t. 1.3. Exemple et première propriété Nous allons tout de suite calculer notre première transformée de Fourier pour en étudier les premières propriétés. Le signal étudié est un créneau de largeur t centré en 0 et de 1 hauteur (on dit que la distribution est normée): t 4/10

La formule de transformée de Fourier donne alors facilement que : d'où F =sinc t 4. t 2 F = t 2 1 t.e j 2 t dt Le graphe de F est alors : Et l'intensité spectrale est : On remarque que la largeur spectrale principale de la transformée de 2 Fourier est. Ce résultat est très générale : plus un signal a une durée t courte, plus la largeur spectrale correspondante est grande, et inversement. sin x 4 On rappel que sinc x = x 5/10

2. Opérations sur les transformées de Fourier 2.1. Linéarité Vue la définition d'une transformée de Fourier, il est évident que cette opération est linéaire, c'est-à-dire que (en notant TF f la transformée de Fourier de f ): TF f g = TF f TF g 2.2. Produit de convolution Cependant, un problème se pose pour le produit : en effet, on a pas TF f.g =TF f.tf g, pour cela, on va définir le produit de convolution. On définit le produit de convolution de f et g par : f g t = f t u. g u du= f u. g t u du= g f t On a alors : TF f g =TF f.tf g 3. Transformées de Fourier usuelles 3.1. Constante Pour la fonction f t =A, on a F =A e j 2 t dt, la convergence de cette fonction n'est pas évidente... On admettra que pour 0, l'intégrale est nulle et que si =0, elle vaut l'infini. Cela définit une fonction appelée fonction de Dirac qui vaut 0 partout sauf en 0 où elle vaut l'infini ; cette fonction de Dirac est notée et on a : 3.2. Fonction de Dirac x = { si x=0 0 sinon } Intéressons nous maintenant à la transformée de Fourier de la fonction de Dirac. Là encore, le calcul n'est pas évident. En réalité, par convention, on a f x x dx= f 0 (avec f une fonction quelconque). D'où le résultat : TF =1. La transformée de Fourier de est une 6/10

constante ; ce qui est intéressant puisque la transformée de Fourier d'une constante est la fonction. 3.3. Sinus Nous allons maintenant nous pencher sur la transformée de Fourier d'un signal sinusoïdal sur une durée finie.. Mais bien sur nous ne considérerons pas un sinus mais une pulsation complexe : s t =e j 2 f 0 t avec f 0 la fréquence de la pulsation, le signal existant entre les instant et 2 2. Le calcul nous donne alors : TF s = 1 sinc f 0. 3.4. Gaussienne Une distribution très répandue et très pratique pour faire les calculs est la distribution Gaussienne : f t = 1 x 2 2 e 2 2 7/10

La transformée de Fourier d'une gaussienne donne alors : qui est aussi une gaussienne : F =e 4 2 2 2 3.5. Lorentzienne Autre distribution classique : la Lorentzienne, définie par : f t = 1 1 t 2. 8/10

La transformée de Fourier de cette distribution est alors de la forme : F = e 3.6. Exponentielle Considérons enfin une exponentielle donnée par : f t =e t 9/10

La transformée de Fourier de cette fonction est alors : 1 F = 1 j 2 L'intensité spectrale de la transformée de Fourier est donc : 1 I = 1 4 2 2 soit une Lorentzienne. 10/10