Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction Exercice 1 : Recherche d'asymptote f est la fonction définie sur ]-2;+ [ par : f(x) = -x² + x + 3 x + 2 a) Déterminer trois réels a,b et c tels que, pour tout x de l'intervalle ]-2;+ [, c f(x) = ax + b + x + 2. b) En déduire que la droite d'équation y = -x + 3 est asymptote oblique à la courbe C représentative de la fonction f. c) Déterminer la position de C par rapport à selon les valeurs de x dans ]-2; + [. d) Prouver que la courbe C admet une asymptote verticale et en donner une équation. Exercice 2 f est la fonction définie sur Y * par f(x) = 1 x 1, et C sa courbe représentative dans x un repère (O; i ; j ). 1) a) Prouver que C admet une asymptote d'équation y = 1 x. b) Préciser la position de C par rapport à. 2) a) Etudier les variations de f puis tracer et C. b) Discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x) = m. 3) a) Lorsque la droite d'équation y = m coupe C en deux points distincts M et N, calculer en fonction de m les coordonnées du point I milieu de [MN]. b) On note A et B les points de C pour lesquels la tangente à C est horizontale. Calculer les coordonnées de A et B et montrer que A, B et I sont alignés. 1
Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction Exercice 3 f est la fonction définie sur Y par : f(x) = x 3 3x² - 5x + 4. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j ). 1) Etudier la fonction f. 2) Démontrer que le point I(1;-3) est un centre de symétrie de la courbe C. 3) Tracer la courbe C. 4) g est la fonction définie sur Y \ {-1} par : g(x) = 4 x x + 1. On note H sa courbe représentative dans le même repère. Etudier la fonction g et tracer H. 5) Vérifier que les courbes C et H passent par le même point A(0;4). Déterminer alors les coordonnées de tous les points d'intersection de C et de H. 6) Démontrer que deux de ces points communs sont symétriques par rapport à I. 7) Démontrer que les deux courbes ont une tangente commune en A. Exercice 4 f est la fonction définie sur Y par : et g la fonction définie sur Y - {0} par : f(x) = x 3 6x g(x) = 2x 16 x On note C et Г les courbes représentatives de f et g dans le repère orthonormal (O ; i, j ). 1) Étudier la fonction f et tracer C. 2) a) Prouver que la courbe Г a une asymptote oblique d dont on donnera une équation. Préciser la position de Г par rapport à d. b) Étudier la fonction g et tracer Г. 3) a) Démontrer que les courbes C et Г ont deux points communs A et B dont on précisera les coordonnées. b) Démontrer que C et Г admettent en A et B une tangente commune et que ces tangentes communes sont parallèles. 2
1) Exercice 1 : Recherche d'asymptote a) ax + b + c ax(x + 2) + b(x + 2) + c ax² + (2a + b)x + 2b + c = = x + 2 x + 2 x + 2 Par identification, on obtient : a = -1 2a + b = 1 2b + c = 3 La résolution de ce système conduit facilement à : a = -1; b = 3 et c = -3 Donc f(x) = -x + 3 b) On a f(x) (-x + 3) = -3 On a lim x + x + 2 = 0 3 x + 2-3 x + 2 On en déduit que la droite d'équation y = -x + 3 est asymptote oblique à la courbe C représentative de la fonction f. c) f(x) (-x + 3) = -3 x + 2 Donc si x > -2 alors x + 2 > 0 et f(x) (-x + 3) < 0 Donc la courbe C est sous la droite. d) On a lim x 2 + f(x) = - On en déduit que la courbe C admet une asymptote verticale d'équation x = -2. Tracé de la courbe C : 3
Exercice 2 1) a) f(x) (1 x) = 1 x 1 x - 1 + x = - 1 x lim (f(x) - (1 - x)) = 0 et lim (f(x) - (1 - x)) = 0 x + x Donc C admet une asymptote d'équation y = 1 x en + et -. b) f(x) (1 x) = - 1 x Donc lorsque x < 0, C est au dessus de. et lorsque x > 0, C est sous. 2) a) f'(x) =-1 + 1 (1 x)(1 + x) = x² x² Tableau des variations de f : x f' f(x) + - -1-3 + + 0 + 1-1 - + 4
2) b) f(x) = m 1 x 1 x = m x x² - 1 = mx (pour x non nul) x² + (m 1)x + 1 = 0 Discriminant = (m 1)² - 4 = (m 1 + 2)(m 1 2) = (m + 1)(m 3). Si m ];-1[ ]3;+ [ alors > 0 2 solutions distinctes. Si m {-1;3} alors = 0 1 solution double. Si m ]-1;3[ alors < 0 pas de solution. 3) a) Si m < -1 ou m > 3 les solutions de l'équation f(x) = m sont : x M = 1 m (m + 1)(m 3) 2 et x N = 1 m + (m + 1)(m 3) 2 Les coordonnées de I milieu de [MN] sont alors : I x M + x N ; y M + y N 2 2 Soit : I 1 m 2 ;m b) On a f'(x) = 0 si la tangente à C est horizontale. Soit : (1 x)(1 + x) x² Donc A(-1;3) et B(1;-1) = 0 x = -1 ou x = 1 AB 1 (-1) -1-3 = 2-4 AI 1 m 2 + 1 m - 3 = 3 m 2 m - 3 On a 2 (m 3) + 4 3 m 2 Donc les vecteurs = 0 (ou AI = 3 m AB) 4 AB et AI sont colinéaires. Donc les points A,B et I sont alignés. 5
Figure illustrant l'exercice avec GeoGebra 6
Exercice 3 1) lim x f(x) = - et lim x + f(x) = + f'(x) = 3x² - 6x 5 f'(x) = 0 3x² - 6x 5 = 0 = (-6)² - 4 3 (-5) = 36 + 60 = 96 = (4 6)² f'(x) = 0 x = 6 4 6 6 Tableau des variations de f = 3 2 6 3 ou x = 3 + 2 6 3 x f' f(x) + 3-2 6 3 3 + 2 6 3 0-0 M + + m M 5,71 et m -11,70 f(1 x) + f(1 + x) 2) On doit vérifier que = -3 2 3) f(1 x) + f(1 + x) = (1 x) 3-3(1 x)² - 5(1 x) + 4 + (1 + x) 3 3(1 + x) 2-5(1 + x) + 4 f(1 x) + f(1 + x) = 1 + 3x² - 3x x 3 3(1 2x + x²) - 5 + 5x + 4 + 1 + 3x² + 3x + x 3 3(1 + 2x + x²) - 5-5x + 4 f(1 x) + f(1 + x) = -6 Donc I est bien centre de symétrie de la courbe C. 7
lim f(x) = lim f(x) = -1. x + x + Donc la courbe C admet une tangente horizontale d'équation y = -1. lim x 1 f(x) = - et lim+ f(x) = +. x 1 Donc la courbe C admet une tangente verticale d'équation x = 1. g'(x) = (-1) (x + 1) (4 x) (x + 1)² g'(x) est du signe de 2x 5. = 2x 5 (x + 1)². 8
Tableau des variations de g x f' g(x) -1-5/2 3/7 + + -1 f 5 4 5 2 = 2 = 3 5 2 + 1 7 5) f(0) = 4 et g(0) = 4 Donc le point A(0;4) appartient bien aux deux courbes. Pour x 4, f(x) = g(x) (x 3 3x² - 5x + 4)(x + 1) = 4 x x 4 3x 3 - - 5x² + 4x + x 3 3x² - 5x + 4 = 4 - x x 4 2x 3 - - 8x² = 0 x²(x 2 2x - 8) = 0 x = 0 ou x =-2 ou x = 4. 9
g(-2) = 4 + 2 = -6 et g(4) = 0-2 + 1 Les points d'intersection des deux courbes sont donc A(0;4) J(-2;-6) K(4;0). 6) Le milieu du segment [JK] a pour coordonnées -2 + 4 2 ;-6 + 0 2 : c'est le point I. Donc J et K sont symétriques par rapport à I. 7) Une équation de la tangente en A à la courbe C est : y = f'(0)x + f(0) = -5x + 4 Une équation de la tangente en A à la courbe H est : y = g'(0)x + g(0) = -5x + 4. Les deux courbes ont donc bien une tangente commune en A. 10
Exercice 4 1) f'(x) = 3x² - 6 = 3(x 2)( x + 2) Tableau des variations de f : x f' f(x) + - 2 4 2-2 - 4 2 + + + f(- 2) = - 2 2 + 6 2 = 4 2 f( 2) = 2 2 6 2 = -4 2 lim f(x) = - et lim f(x) = + x x + 2) a) lim (f(x) - 2x) = lim -16 x x x = 0 et lim (f(x) - 2x) = lim -16 x + x + x = 0 Donc la courbe Г admet une asymptote oblique d d équation y = 2x (en - et en + ). Si x < 0 f(x) 2x = - 16 x Si x > 0 f(x) 2x = - 16 x > 0 : donc la courbe Г est au-dessus de d. > 0 : donc la courbe Г est au-dessous de d. 11
b) g (x) = 2 + 16 x² > 0 Donc g est croissante sur ]- ;0[ et croissante sur ]0 ;+ [. 3) a) Pour x non nul, f(x) = g(x) x 3 6x = 2x 16 x x 3 8x + 16 x = 0 x 4 8x² + 16 = 0 (x² - 4)² = 0 12
(x 2)(x + 2) = 0 x = -2 ou x = 2 f(-2) = -8 + 12 = 4 et f(2) = 8 12 = -4 Les deux points d intersection des courbes C et Г sont donc (-2 ;4) et (2 ;-4) b) Une équation de la tangente à C au point d abscisse -2 est : y = f (-2)(x + 2) + f(-2) Soit y = 6(x + 2) + 4 Soit y = 6x + 16 Une équation de la tangente à Г au point d abscisse -2 est : y = g (-2)(x + 2) + g(-2) Soit y = 6(x + 2) + 4 Soit y = 6x + 16 Donc les courbes C et Г ont bien une tangente commune en -2 d équation y = 6x + 16. Une équation de la tangente à C au point d abscisse 2 est : y = f (2)(x - 2) + f(2) Soit y = 6(x - 2) - 4 Soit y = 6x - 16 Une équation de la tangente à Г au point d abscisse 2 est : y = g (2)(x - 2) + g(2) Soit y = 6(x - 2) - 4 Soit y = 6x - 16 Donc les courbes C et Г ont bien une tangente commune en 2 d équation y = 6x - 16. * Les deux tangentes sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur 6. 13
14