Constante Diélectrique Résumé En général, un champ électrique est créé par un différence de tension électrique entre deux points. Si le champ électrique traverse un matériau dit diélectrique, le champ est modifié selon la constante diélectrique ɛ du matériau. Dans cette expérience, la notion de capacité sera utilisée pour mesurer la constante diélectrique d un matériau donné.
TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Théorie 2 1.1 Champ électrique......................... 2 1.2 Tension.............................. 3 1.3 Potentiel.............................. 3 1.4 Relation entre la charge et le champ électrique......... 5 1.5 La capacité............................ 6 1.6 Le condensateur plan....................... 7 1.7 Capacité en présence d un diélectrique............. 8 2 Mesure absolue de capacité 9 2.1 Méthode de Maxwell....................... 9 3 Plan de travail 10 3.1 Détermination de ɛ 0........................ 10 3.2 Détermination de la constante diélectrique du PVC...... 11
1 Théorie 2 1 Théorie 1.1 Champ électrique La présence d une charge électrique modifie l espace qui l entoure. Elle crée un champ électrique. Ce champ peut être mis en évidence par un corps d épreuve e, constitué d une charge suffisamment faible. En tout point de l espace où un champ électrique E agit, le corps d épreuve sera soumis à une force 1 : F = ee (1.1) Fig. 1.1: 1 Si on déplace la charge e sur un élément de chemin ds dans le champ E, le travail effectué par la force sera : da = F ds = e (E ds) (1.2) Pour un chemin P 1 P 2 sur une courbe C 1, le travail vaudra : P2 A = e E(r) ds (1.3) P 1 Les champs électrostatiques jouissent d une propriété particulière : le travail ne dépend que des extrémités P 1 et P 2 et non du chemin C 1 ou C 2. Si donc on calcule le travail effectué par la force F sur le chemin fermé P 1 P 2 P 1, on obtient 0, ce qui s exprime par e E(r) ds = 0 (1.4)
1.2 Tension 3 Fig. 1.2:. 1.2 Tension Par définition, la tension est le quotient du travail A défini plus haut par la charge e du corps d épreuve : V = A e (1.5) Nous aurons donc : V P2 P 1 = P2 P 1 E ds (1.6) 1.3 Potentiel Nous avons vu que le travail sur une courbe fermée était nul ; on en déduit que la tension U est nulle également, c est-à-dire que l on aura : U 0 = U P2 P 1 (C 1 ) + U P1 P 2 (C 2 ) = E ds = 0 C 1 +C 2 (1.7) 1 Note : dans cette notice, les vecteurs seront notés en gras. Par exemple, une force sera notée F au lieu de F
1.3 Potentiel 4 Pour décrire le champ, il suffit donc d introduire la tension entre un point P mobile et un point G fixe pris comme référence. Ceci s écrit par définition : V P G = P G E ds = U(P ) (1.8) U est le potentiel en P, G étant pris comme référence, c est-à-dire U(G) = 0. On aura ainsi pour différence de potentiel entre deux points P 1 et P 2 : U (P 2 ) U (P 1 ) = P2 P 1 E ds = V CB (1.9) Le champ électrique et le potentiel sont reliés par l équation : E = grad U(x, y, z) (1.10) Le signe moins signifie que le champ électrique est dirigé dans la direction des potentiels décroissants. Si l on se déplace dans un champ électrique suivant la direction de la plus forte variation de ce champ, on obtient une ligne de force du champ. Ces lignes partent des charges + (par exemple sur la surface du conducteur L 1 ) pour se terminer aux charges (par exemple conducteur L 2 ). L intérieur d un conducteur est toujours exempt de charges électrostatiques, et l on voit sans peine que le potentiel à sa surface doit être constant (surface équipotentielle) et que par conséquent, les lignes de forces sont normales à cette surface. Fig. 1.3:
1.4 Relation entre la charge et le champ électrique 5 1.4 Relation entre la charge et le champ électrique Afin de trouver la loi reliant le champ électrique à la charge qui le produit, il est nécessaire d introduire la notion de flux du champ E à travers une surface S (fig. 1.4). Par définition : Fig. 1.4: dφ = E dσ cos α element de flux dσ dφ = E dσ élément de surface Par conséquent, le flux à travers toute la surface S sera : Φ = E dσ (1.11) S Considérons maintenant une charge étendue Q et cherchons la relation entre Q et le flux à travers une surface fermée qui l entoure. Pour interpréter les faits d expérience, on montre que le flux du champ électrique à travers une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale située à l intérieur de cette surface. Exprimée mathématiquement, cette condition devient (Loi de Gauss) : ɛ 0 E dσ = Q enfermée (1.12) On voit ainsi apparaître la constante ɛ 0 comme facteur de proportionnalité. ɛ 0 est appelée constante d influence ou constante diélectrique ou encore permittivité du vide et est liée au système d unités international (MKSA).
1.5 La capacité 6 Les dimensions de Q, E et S sont définies au moyen des grandeurs A, V, m et s. La dimension de ɛ 0 peut donc être déterminée à partir de la relation 1.12. [ɛ 0 ] = A s V m = Farad/mètre La valeur numérique de ɛ 0 doit être déterminée par l expérience. 1.5 La capacité Il est possible, théoriquement ou expérimentalement, de déterminer la répartition du champ électrique pour tout arrangement de conducteurs entre lesquels existe une tension. Considérons un système tel celui de la fig. 1.3. Les conducteurs L 1 et L 2 possèdent les potentiels constants U 1 et U 2. Nous avons vu que : 2 U 2 U 1 = E ds (1.13) 1 Mais de même que pour le flux, il est naturel que E soit proportionnel à Q, ce qui s exprime par : E = RQ (1.14) R est un facteur vectoriel de proportionnalité ne dépendant que de la configuration géométrique du système. D où : 2 U 2 U 1 = Q R ds (1.15) 1 L intégrale ne dépend que de la géométrie. On posera : C = 2 1 1 = capacité (1.16) R ds D où : (U 2 U 1 ) = V = Q C (1.17) Dans le système international (MKSA) l unité de capacité vaut : 1 C = 1 Coulomb Volt = 1 A s V = 1 Farad = 1 F
1.6 Le condensateur plan 7 Remarque : Pratiquement, on ne rencontre pas de capacité de 1 Farad. On utilisera par conséquent les grandeurs : 1.6 Le condensateur plan 1 µf = 10 6 F = 1 microfarad 1 nf = 10 9 F = 1 nanofarad 1 pf = 10 12 F = 1 picofarad Si aux conducteurs L 1 et L 2 on donne la forme de plans parallèles dont la distance de séparation d est beaucoup plus petite que les dimensions linéaires, on obtient un condensateur plan pour lequel les relations électrostatiques deviennent particulièrement simples. En faisant abstraction des extrémités Fig. 1.5: des armatures (effets de bords), le champ E est homogène et perpendiculaire aux surfaces S des plaques et a pour valeur : E = E = V d (1.18) En effet d 0 d E ds = E ds = V (1.19) 0
1.7 Capacité en présence d un diélectrique 8 Comme d autre part le flux total provenant d une plaque est S est la surface d une plaque et qu enfin Φ = SE = Q ɛ 0 (1.20) Q = CV (1.21) Il en résulte S C = ɛ 0 (1.22) d On obtient ainsi un moyen de mesurer ɛ 0 à partir de la mesure de C, S, et d. 1.7 Capacité en présence d un diélectrique Un diélectrique (ou isolant) ne contient que des charges liées. Lorsqu il est plongé dans un champ électrique ces charges se déplacent les unes par rapport aux autres (les charges positives subissant une force dirigée dans un sens et les charges négatives dans l autre sens). Il se forme localement des dipôles qui sont orientés dans le champ électrique. On parle de polarisation induite. Certaines substances possèdent déjà des dipôles permanents. En l absence de champ extérieur, ceux-ci sont distribués de façon aléatoire. Dans un champ électrique, les dipôles s orientent et l on parle lors de polarisation d orientation. Dans les deux cas, le champ produit par les dipôles s additionne vectoriellement au champ extérieur. Si le champ extérieur est E 0 et le champ produit par les dipôles E, on aura pour le champ résultant : E = E 0 + E (1.23) Pour tenir compte du champ résultant on introduit une grandeur ɛ que l on appelle la constante diélectrique et qui caractérise le diélectrique. Si l on reprend le cas du condensateur plan, on montre que, en présence d un diélectrique, la relation 1.22 devient : C = ɛ 0 ɛ S d (1.24) Il est à noter que ɛ est toujours supérieur à 1.
2 Mesure absolue de capacité 9 2 Mesure absolue de capacité 2.1 Méthode de Maxwell Considérons le fait que : 1 F = 1 C/V = 1 As/V = 1 s/ω On doit donc pouvoir déterminer C par une mesure de temps et de résistance. La mesure s effectue dans un dispositif semblable au pont de Wheatstone. Fig. 2.1: V : source de tension R c = 2 kω résistance de protection R 2 = 100 Ω R 3 = 1 MΩ ν = 100 Hz relais au mercure
3 Plan de travail 10 Si ν est la fréquence de commutation, C se déchargera et se chargera ν fois par seconde. Dans le condensateur circulera ν fois par seconde une impulsion de charge : Q = CV (2.1) où V est la tension aux bornes du condensateur. (Il est clair que le temps de charge respectivement de décharge doit être beaucoup plus petit que la période T ) : T = 1 ν Par conséquent, il s écoulera un courant moyen Par analogie avec la loi d Ohm on peut écrire : (2.2) J = νq = νcv (2.3) J = 1 R V (2.4) On voit que la branche qui contient le condensateur présente une résistance équivalente R 4 = 1 (2.5) νc La condition d équilibre du pont c est-à-dire pour laquelle aucun courant ne traverse le galvanomètre est : R 1 R 3 = R 2 R 4 (2.6) En substituant dans l équation 2.6 on trouve : C = 1 R 2 (2.7) ν R 1 R 3 3 Plan de travail 3.1 Détermination de ɛ 0 1. Déterminer C (voir remarque ci-dessous) pour 10 valeurs de l écartement d entre les armatures entre 1 et 10 mm. Choisir les valeurs de d telles que les grandeurs 1/d soient équidistantes. 2. A partir des grandeurs géométriques du dispositif, tracer la courbe C = f(1/d) et en tirer la valeur de ɛ 0 ainsi que C (régression linéaire).
3.2 Détermination de la constante diélectrique du PVC 11 3.2 Détermination de la constante diélectrique du PVC 1. A l aide des plaques de matière plastique (PVC), mesurer la capacité C pour différentes distances d. 2. Tracer le graphe comme en 3.1 et en déduire la constante diélectrique ɛ du PVC. Remarque : Il faut se rendre compte que le relais et les conducteurs de la branche qui contient le condensateur (fig. 2.1) représentent une capacité parasite C en parallèle avec la capacité C à déterminer. On mesure donc C. On veillera donc à ne pas déplacer les fils tout au long des mesures afin de ne pas modifier C, ce qui rendrait la régression linéaire inapplicable.