C7 - Fonctions du second degré TD Seconde

ACTIVITÉ 1 (Introduction de la fonction carré) Soit f la fonction définie pour tout réel par f ()= 2. 1. Compléter le tableau de valeurs suivant à l aide de la calculatrice : 4 0, 7 0, 5 0 0,5 0, 7 1 3 4 f () 2. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 4 ; 4] dans le repère ci dessous en prenant 1 grand carreau comme unité graphique sur l ae des abscisses et 1 carreau pour 2 unités sur l ae des ordonnées. 3. La courbe obtenue semble t elle avoir des propriétés géométriques particulières? Justifier! 4. Faire une conjecture sur le tableau de variation de la fonction carrée surr. 5. Démontrer la conjecture sur l intervalle ] ; 0]. EXERCICE 1 (Comparaison) Comparer les nombres a 2 et b 2 en utilisant les propriétés de la fonction carrée dans chacun des cas suivants : 1. (a) a= 1 2 et b= 1 3 (b) a= 1+ 2 et b= 2+ 2 (c) a= 10 10 et b= 10 100 2. (a) a= 2 3 et b= 5 4 (b) a= 1 π et b= 3 π (c) a=π et b= π EXERCICE 2 (Antécédents) 1. Soit f la fonction carrée. Donner les antécédents éventuels du nombre k par f dans chacun des cas suivants sans justifier : (a) k = 0 (b) k = 1 (c) k = (d) k = 1 4 (e) k = 1 π (f) k = 2 2. Résoudre les équations suivantes : (a) 2 = 9 4 (b) 2 + 3=0 (c) (+ 3) 2 4=0 N. SANS page 1 Lycée jean Giono Turin

C7 - Fonctions du second degré TD Seconde EXERCICE 3 ( Inégalités et encadrements) Donner un intervalle des 2 dans chaque cas en vérifiant le résultat graphiquement. 1. (a) > 3 (b) < (c) 1 5 (d) 2. (a) < 4 (b) > (c) ] ; 3] (d) ] 4 ; 2] EXERCICE 4 (Inéquations et lecture graphique) Résoudre les inéquations suivantes par lecture graphique sans justifier : 1. (a) 2 < 4 (b) 2 > (c) 2 3 (d) 2 0 2. (a) 1 2 < 25 (b) 2 < (c) 2< 2 9 (d) 2 > 0 EXERCICE 5 (Un grand classique) Donner un encadrement de 2 lorsque [ ; 5]. EXERCICE 6 Les nombres a et b sont positifs. L énoncé «a < b équivaut à a 2 < b 2» signifie que a < b a 2 < b 2 et que a 2 < b 2 a < b. On dit aussi «a < b si et seulement si a 2 < b 2. On note a< b a 2 < b 2. Parmi les équivalences suivantes, indiquer celles qui sont vraies et celles qui sont fausses. 1. Pour tous réels a et b, a< b a 2 < b 2 2. Pour tous réels négatifs a et b, a< b a 2 > b 2 3. Pour tous réels a et b, a 2 = b 2 a= b ou a= b 4. 2 < 1 < 1 EXERCICE 7 (Bilan) A l aide d un graphique ou d un tableau de variations, répondre au questions suivantes : 1. résoudre les équations ou inéquations suivantes : a) 2 = 5 b) 2 < 4 c) 2 = d) 2 9. 2. Vrai ou fau «Pour tout réel dans l intervalle [ ; 4], 4 2 16». Justifier. 3. Compléter l implication suivante : «Si [1 ; 12] alors... 2...» PROBLÈME 1 ( Un problème d aire) D C Dans le carré ABCD de côté, on découpe à chaque angle un carré de côté 4. 1. Calculer l aire de la surface colorée en fonction de. 2. Tanguy affirme que l aire de la surface colorée représente 75 % de l aire du carré initial quelque soit la longueur de son côté. Cette affirmation est elle correcte? Justifier. 3. Eiste t il des valeurs de pour lesquelles l aire colorée est elle égale à l aire blanche? Justifier. A M B 4. Pour quelles valeurs de l aire blanche est elle supérieure à l aire colorée? ACTIVITÉ 2 (Découverte des fonctions polynômes de degré 2) On appelle fonction polynomiale du second degré toute fonction f définie surrpar f ()= a 2 +b+c où a,b et c sont des constantes réelles avec a 0. L objectif de cette activité est de découvrir les propriétés de ces fonctions. N. SANS page 2 Lycée jean Giono Turin

Partie A Observations et conjectures 1. Utiliser la commande curseur du logiciel GEOGEBRA pour définir trois paramètres nommés a,b et c pouvant être choisis entre 5 et 5 avec un incrément de 0,1 puis taper l epression dans la fenêtre de saisie pour obtenir la représentation graphique de f. 2. Que se passe t il dans le cas où a= 0? Ce cas sera désormais eclu de cette étude. 3. Que peut on remarquer dans le cas où a= 1, b= 0 et c = 0? 4. Quel nom peut on donner à la courbe représentative de la fonction f? La courbe semble t elle avoir des propriétés géométriques particulières? 5. Faire varier successivement les curseurs a,b et c. a 2 + b + c Quelles remarques peut on faire sur l influence de chacun des coefficients a, b et c sur le sens de variation de la fonction f? 6. Proposer une conjecture sur le tableau de variation de la fonction f en distinguant différents cas. Partie B Recherche du sommet Soit l ae de symétrie de C f la courbe représentative de f, cela signifie que si un point M appartient à C f alors son symétrique M par rapport à appartient aussi à C f. On se propose de déterminer l équation de la droite dans le cas général. 1. Dans quel cas C f admet elle l ae des ordonnées comme ae de symétrie? 2. On se place dans le cas où la courbe admet un ae de symétrie différent de l ae des ordonnées. (a) Construire la droite D d équation y = c. (b) Placer I et J les points d intersection de d avec la courbe de C f. (c) En déduire une construction de la droite ae de symétrie de C f. (d) Construire S le sommet de la courbe. 3. (a) Justifier par le calcul que la droite D d équation y = c coupe la courbe d équation y = a 2 + b+ c en deu points I et J et eprimer leur abscisse en fonction de a et b. (b) Calculer l abscisse de K le milieu de [IJ]. (c) En déduire l équation de la droite et l abscisse du sommet S en fonction de a et b. Partie C Application Soit g et h les fonctions définies respectivement surrpar g ()= 2 + 4+ 1 et h()= 2 + 6 5. Compléter les tableau de variations suivants en utilisant les résultats précédents : + + g () h() EXERCICE 8 ( To be or not to be) Déterminer dans chacun des cas suivants si f est une fonction polynomiale de degré 2 et préciser les coefficients a, b et c en cas de réponse affirmative : 1. a. f ()=3 2 4+ 1 b. f ()= 2 + 4 c. f ()=3 2 + 2. a. f ()=(2+ 3)(1 ) b. f ()=4 4 c. f ()=2(2+ 1) 2 4(2 ) 3. a. f ()= 2 2+ 3 4 b. f ()= 2 + 3 4 c. f ()= 2 + 3 N. SANS page 3 Lycée jean Giono Turin

EXERCICE 9 (Différentes écritures d un polynôme) Dans chacun des cas ci dessous f () peut être égale à l une ou plusieurs des epressions a, b ou c. Déterminer les bonnes réponses : 1. f ()=9 2 1 a. (9 1) 2 b. 8 2 c. (3 1)(3+ 1) 2. f ()=16 2 + 8 a. (4+ 1) 2 1 b. (4+ 2) 2 c. 8(2+ 1) 3. f ()= 4( 2) 2 + 1 a. 4 2 + 17 b. (+ 5)(2 3) c. 4 2 + 16 15 4. f ()= 2 + + 1 a. ( 1) 2 + 2 b. (+ 1 2 )2 + 1 c. (+ 1 2 )2 + 3 4 EXERCICE 10 (Associer une fonction et sa représentation) On a construit ci contre les courbes représentatives de quatre fonctions f, g,h et k dans un même repère du plan. C 1 C 2 4 3 Associer chacune des paraboles C 1, C 2, C 3 et C 4 à la bonne fonction en epliquant le raisonnement : 2 1 On donne les informations suivantes : 1 2 3 4 5 f ()= 2 2 g ()= 2 + 16 30 h()=(+ 1) 2 + 1 k()= ( 2) 2 + 4 EXERCICE 11 (Super classique) On donne f ()= 2 + 2 15 pour tout. 1. Montrer que f ()=( 3)(+ 5). 2. Montrer que f ()=(+ 1) 2 16. 3. En utilsant la forme la plus adaptée : (a) Résoudre f ()=0. (b) Résoudre f () 9. C 3 C 4 4 3 2 EXERCICE 12 Sur le graphique ci-dessous sont tracées une droite D et une parabole P. Cette dernière représente la fonction f définie surrpar f ()=3 2. 1. (a) Résoudre l équation f () = 0. (b) En déduire, graphiquement, le signe de f () en fonction de. 2. (a) Déterminer la fonction affine g représentée par D. (b) Résoudre, graphiquement, l inéquation f () > g (). 3. On désire retrouver par le calcul le résultat précédent. (a) Prouver que f ()> g () équivaut à 2 + + 2>0. (b) Vérifier que (+ 1)(2 )= 2 + + 2. (c) Résoudre alors l inéquation f () > g (). 1 O 1 2 N. SANS page 4 Lycée jean Giono Turin

EXERCICE 13 (Utilisation du cours) Durant les cinq premiers jours de la semaine le cours d une action est donné en par la fonction f définie par f ()= 3 2 12+ 30 où est eprimé en jour donc [0 ; 5]. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f en epliquant. 2. Représenter l allure de la courbe de la fonction f en précisant l équation de l ae de symétrie et les coordonnées de S le sommet de la parabole. 3. Pour un acheteur, à quel moment de la semaine était il le plus intéressant d acheter cette action? 4. Pour un vendeur, à quel moment de la semaine était il le plus intéressant de vendre cette action? EXERCICE 14 (Utiliser une écriture adaptée) Soit P la fonction définie surrpar P ()=(2+ 3) 2 4. 1. Montrer que P est une fonction polynomiale du second degré. 2. Calculer P (0) et P (1). 3. Démontrer que la fonction P admet un minimum et préciser la valeur de pour laquelle il est atteint. 4. Déterminer l ensemble des réels pour lesquels la courbe de P est en dessous de l ae des abscisses. EXERCICE 15 La fonction g est définie pour tout nombre réel par g ()= (3 )(2 1). Montrer que g est une fonction polynôme du second degré EXERCICE 16 Dresser le tableau de variations surrdes fonctions polynômes du second degré suivantes. f : 2 + 4 g : ( 2) 2 + 1 f : 2 5+ 6 EXERCICE 17 Dessiner une allure de courbe représentative des fonctions suivantes : f : ( 5) 2 g : ( 2) 2 + 1 f : 2 5+ 6 EXERCICE 18 Sans aucun calcul, dire, parmi les fonctions proposées, celle qui a pour représentation graphique la courbe suivante : 4 3 2 1 1. f : ( 1) 2 + 3 2. f : (+ 1) 2 + 3 3. f : (+ 1) 2 3 4 1 2 4. f : ( 1) 2 3 PROBLÈME 2 (Modélisation) Un artisan crée des boucles d oreilles en métal. Il étudie un nouveau modèle de forme rectangulaire et souhaite y incruster une pierre précieuse, la plus petite possible, afin de réduire les coûts. On modélise la situation par le rectangle ABCD, tel que AB = 6 et AD = 4. Les points M, N, P et Q appartiennent respectivement au segments [AB], [BC], [CD] et [AD] tels que AM = BN = CP = DQ. L objectif de l artisan est de déterminer la position du point M pour que l aire du quadrilatère MNPQ soit la plus petite possible. On note =AM et f () l aire du quadrilatère MNPQ. Après avoir schématisé la situation, vous epliquerez le fait que 0 4. Traduire le problème posé par une question mathématique. Ce type de problème mathématique s appelle une OPTIMISATION. Après avoir montré que f ()=2 2 0+24, vous déterminerez le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 4]. N oubliez pas de vérifier le résultat à l aide de la calculatrice. Proposez une solution argumentée à l artisan. N. SANS page 5 Lycée jean Giono Turin

C7 - Fonctions du second degré TD Seconde PROBLÈME 3 (Modélisation bis) Pour honorer son contrat publicitaire un navigateur souhaite afficher sur la grand voile de son bateau le logo de son sponsor. La grand voile a une forme triangulaire et le logo a une forme rectangulaire. C La situation est schématisée ci - contre où le triangle ABC représente la grande voile et le rectangle B M N H représente le logo avec M [AB]. L objectif du navigateur est d afficher le logo le plus visible possible ce qui revient à déterminer les dimensions du rectangle B M N H de façon que son aire soit maimale. On sait que BC = 6 m et AB = 3 m. H B M N A Partie A - Une conjecture avec GEOGEBRA 1. Réaliser une figure dynamique avec le logiciel GEOGEBRA. 2. Renommer a l aire du polygone B M N H, et AM la longueur du segment [AM] puis construire le point P de coordonnées (AM ; a) en tapant P = (AM, a) dans l espace de saisie. 3. Activer la trace du point P (l option apparait en cliquant droit) sur le point et déplacer le point M sur le segment [AB]. Que représente la courbe obtenue? 4. Faire une conjecture sur les dimensions du logo recherché. Partie B - Étude de fonction On note la distance entre A et M (en m) et f () l aire du rectangle B M N H en fonction de (en m 2 ). 1. Montrer que M N = 2 et f ()= 2 + 6, [0 ; 3]. 2. Déterminer le maimum de la fonction f sur [0 ; 3] et la valeur en laquelle il est atteint. 3. Conclure sur les dimensions du logo d aire maimum et calculer le pourcentage que son aire représente par rapport à l aire de la voile. PROBLÈME 4 (Modélisation ter) D E C F ABCD est un carré de côté 1 cm. Le point E est un point quelconque sur le segment [C D] tel que C E =. Le point F est le point du segment [BC] tel que CF = CE. L objectif de cet eercice est de déterminer la position du point E sur le segment [CD] telle que l aire du triangle AEF soit maimum. A B On ne donne aucune indication de méthode, vous pouvez modéliser le problème pour conjecturer une solution et tenter de la justifier ensuite par le calcul. PROBLÈME 5 (Comme des pros) Un jardinier dispose d un terrain rectangulaire de 12 m sur 8 m. Il désire le partager en quatre parcelles bordées par deu allées perpendiculaires de même largeur. Il estime que l aire des deu allées doit représenter 1 6 de la superficie de son terrain. Le but de ce problème est de déterminer la largeur des allées. 1. Eprimer en fonction de l aire des deu allées. 2. (a) Prouver que le problème revient à résoudre l équation 2 20+ 16= 0. (b) Vérifier que 2 20+ 16= ( 10) 2 84. (c) En déduire. 8 m 12 m N. SANS page 6 Lycée jean Giono Turin

PROBLÈME 6 Une entreprise produit de la farine de blé. On note q le nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0< q < 80. On appelle C(q) le coût total de fabrication, R(q) la recette obtenue par la vente et B(q) le bénéfice obtenu par la vente de q tonnes de farine. 1. Sachant que chaque tonne est vendue 120, eprimer R(q) en fonction de q. 2. Sachant que C(q)=2q 2 + 10q+ 900 : (a) Déterminer l epression de B(q). (b) Montrer que B(q)=(q 10)(q 45). 3. Déterminer la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable. 4. Déterminer la production correspondant au bénéfice maimal et le montant de ce bénéfice. PROBLÈME 7 Le propriétaire d un cinéma de 1 000 places estime, pour ses calculs, qu il vend 300 billets à 7 par séance. Il a constaté qu à chaque fois qu il diminue le pri du billet de 0,1, il vend 10 billets de plus. Il engage une campagne de promotion. 1. Il décide de vendre le billet 5. (a) Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance? (b) Quelle est alors la recette pour une séance? 2. À quel pri devrait-il vendre le billet pour remplir la salle? Commenter. 3. Le propriétaire envisage de proposer réductions de 0,1. (a) Quel est alors le pri d un billet en fonction de? (b) Eprimer en fonction de la recette, notée r (), pour une séance et vérifier que r ()= 2 + 40+ 2100. (c) En déduire la recette maimale, le pri du billet et le nombre de spectateurs à cette séance. PROBLÈME 8 Une société de livres par correspondance a actuellement 10000 abonnés qui paient, chacun, 50 par an. Une étude a montré que chaque fois qu on augmente d 1 le pri de l abonnement annuel, cela entraîne une diminution de 100 abonnés et chaque fois qu on baisse d 1 le pri de l abonnement annuel, cela entraîne une augmentation de 100 abonnés. On se propose de trouver comment modifier le pri de l abonnement annuel pour obtenir le maimum de recette. n désigne la variation du pri de l abonnement annuel en euros (n est un entier relatif). 1. Eprimer en fonction de n le pri de l abonnement annuel, et le nombre d abonnés correspondant. 2. Eprimer en fonction de n la recette annuelle de cette socité, notée R(n). 3. Déterminer la valeur de n pour laquelle R(n) est maimum. Quel est alors le montant de l abonnement annuel, le nombre d abonnés et la recette totale correspondante? PROBLÈME 9 Une zone de baignade rectangulaire est délimitée par une corde (agrémentée de bouées) de longueur 50 m. Quelles doivent être les dimensions de la zone pour que la surface soit maimale? zone de baignade plage PROBLÈME 10 Le viaduc de Garabit est un ouvrage ferroviaire situé près et sur la commune de Ruynes-en-Margeride, en France dans le Cantal, qui permet à la ligne de Béziers à Neussargues (ou ligne des Causses) de franchir les gorges de la Truyère, affluent du Lot. Entièrement métallique, il fut construit par la société Gustave Eiffel et Cie et achevé en 1884 (3 ans avant la tour Eiffel), mais la mise en service de la ligne n eut lieu qu en 1888. Il est situé sur la route de Saint-Flour à Mende, à 14 kilomètres de Saint-Flour. Son arche a une forme de parabole de portée 165 m et de flèche 52 m. (Nombre de rivets posés : 678 768!!! tour Eiffel 2500000...). Modéliser cette arche et la tracer sur votre calculatrice. N. SANS page 7 Lycée jean Giono Turin