Généralités 1. Mode de génération ( ) ( ) La La ( ) définie par ( ) définie par 2. Monotonie REMARQUE5 Si une suite ( ) est définie de maniére explicite telle que ( ) suivent celles de f =f(n) pour tout n, les variations de Si une suite ( ) est délinie par récurrence telle que sont pas forcément les mêmes que celles de f = f( ) pour tout n, les variations de ( ) ne
Limite 1. Limite infinie Définition : On dit que la suite (u n ) admet pour limite +, si tout intervaile de la forme]a ; + [, où a est un réel, contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit que la suite (u n ) admet pour iimite - si tout intervaile de la forme ]- où b est un réel, contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Une suite (u n ) admet pour limite - lorsque la suite (-u n ) tend vers +. Exemple : La suite (u n ) définie sur N par u n = n² a pour limite + Dém : Soit a un réel négatif, l intewalle ]a ; + [, contient tous les termes de la suite (u n ) puisque n² est positif ou nul Soit a un réel strictement positif, l intervalle ]a ; + partir d un certain rang qui est E( a)+1 [, contient tous les termes de la suite (u n ) à
2. Limite finie Définition : Représentation et exemple : La suite ci-dessous a pour limite 3 car pour les grandes valeurs de n, tous les termes de la suite se rapprochent de la valeur 3. Par exemple à partir de n = 5, tous sont dans l intervalle ]2.5 ; 3.5[ Remarque : Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. 3. Suites sans limite E1. La suite (u n ) définie sur N par : u n = (- 1)" u 0 = 1, u 1 = -1, u 2 = 1, u 3 = -1 soit une alternance de 1 et -1 On peut trouver un intervalle ouvert centré en 1 de la forme ]1- qui contient 1 mais pas -1 donc il ne convient pas. On peut trouver un intervalle ouvert centré en -1 de la forme ]1-1 donc il ne convient pas. contient -1 mais pas D après la définition de la limite d une suite, celle-ci n a pas de limite. E2. La suite (v n ) définie sur N par : v n = sin n Les termes de la suite (v n ) définie sur N par v n = sin n se répartissent uniformément dans l interval1e [-1 ; 1]. La suite (v n ) n a donc pas de limite.
Limites et comparaison 1. Théorème des gendarmes Soit trois suites numériques (u n ), (v n ) et (w n ) définies pour tout n et Si u n v n w n à partir d un certain rang et si lim u n = lim w n = l alors lim v n = l Dém : Soit I un intervalle ouvert de centre l (u n ) tend vers l donc I contient tous les termes de la suite (u n ) à partir d un certain rang n 1 ; (w n ) tend vers l donc I contient tous les termes de la suite (w n ) à partir d un certain rang n 2 ; u n v n w n à partir d un certain rang n 3 ; I contient donc tous les termes des suites (u n ) et (w n ) à partir du rang max(.n 1 ; n 2 ; n 3 ) et u n v n w n pour tout n max(.n 1 ; n 2 ; n 3 ) Donc I contient tous les termes de la suite (v n ) a partir du rang max(.n 1 ; n 2 ; n 3 ) Comme ce raisonnement s applique pour n importe quel intervalle ouvert I contenant l la suite (v n ) tend vers l 2. Autres théorèmes Th1 : (u n ) et (v n ) étant deux suites réelles définies sur N. Si, à partir d un certain rang, u n si lim v n = + a1ors lim u n = + v n et Dém : Soit un intervalle ] A ; + [, avec A un réel. lim v n = + signifie l intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang n l, i.e. v n > A pour tout n n l or u n v n à partir d un certain rang n 2. Alors pour tout n max(n l, n 2 ) on a u n v n Donc l intervalle ] A ; + [, avec A un réel. contient tous les termes de la suite (u n ) à partir du rang max(n l, n 2 ) On en déduit donc que la suite (u n ) tend vers + Th2 : (u n ) et (v n ) étant deux suites réelles définies sur N. Si, à partir d un certain rang, u n si lim u n = - a1ors lim u n = - v n et
Opérations et limites Limites d une somme Si u n a pour limite l l l + + - Si v n a pour limite l' + - + - - alors u n + v n a pour limite l + l' + - +????? - Limites d un produit Si u n a pour limite l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + + - 0 0 Si v n a pour limite l' + - + - + - - + - alors u n v n a pour limite ll' + - - + + - +?????????? Limites d un quotient Si u n a pour limite l l l + + - - - Si v n a pour limite l' + - l' > 0 l' < 0 l' > 0 l' < 0 - alors a pour limite l/l' 0 0 + - - +????? Si u n a pour limite Si f a pour limite l > 0 l < 0 + - + - l > 0 l < 0 0 Si v n a pour limite Si g a pour limite 0 + 0 + 0 + 0 + 0-0 - 0-0 - 0 alors a pour limite alors f/g a pour limite + - + - - - - +????? Formes indéterminées Les résultats notés????? sont appelés des formes indéterminées. On ne peut pas conclure directement, il faut étudier cas par cas.
Suites majorées minorées bornées - Convergence Définitions Soit une suite (u n ) définie sur N. La suite (u n ) est majorée s il existe un réel M tel que, pour tout n N, on a u n M. La suite (u n ) est minorée s il existe uu réel m tel que, pour tout n N, on a u n m. La suite (u n ) est bornée si elle est majorée et minorée. : 1. La suite (u n ) définie sur N par : u n = n² - 3 est minorée par -3 (mais aussi par tout réel inférieur à -3). Dém : on sait que n² pour tout n N, donc n² - 3, soit u n -3 pour tout n N. 2. La suite (v n ) définie sur N par: v n+1 = 0,2v n +6 et v 0 = -3 est majorée par 7,5 (mais aussi par tout réel supérieur à 7,5). La démonstration se fait par récurrence 3. La suite (w n ) défime sur N par : w n = 3cosn - 1 est bornée par - 4 et 2. Dém : nous savons que -1 cosn 1 pour tout n, donc -1 cosn 3 1 3 Soit - 3cosn 3 D où - 3cosn 2 Conclusion : - w n 2 pour tout n Convergence des suites monotones 1.Propriété Soit ( ) une suite croissante définie sur N. Si = l, alors la suite ( ) est majorée par l. Démonstration par l absurde. Supposons qu i1 existe un rang n 0 tel que u n0 > l. Comme u n0 > l l intervalle ] l - 1 ; u n0 [ est un intervalle ouvert qui contient l.
Or Si rang N. = l, l intervalle ] l - 1 ; u n0 [ doit contenir tous les termes de la suite ( ) à partir d un certain Mais la suite ( ) est croissante, et > 0 pour tout n > n 0, donc, si n > n 0, n appartient pas à cet intervalle Il est donc impossible que celui-ci contienne tous les ternes de la suite ( ) àpartir d un certain rang. L hypothèse est fausse et la suite est majorée par l. 2.Théorème Une suite qui converge est bornée. La suite (u n ) définie sur N par u n = converge vers -5 et est bornée par -5 et -4. AITENTION! La réciproque du théorème énoncé ci -dessus est fausse. Par exemple, la suite (v n ) définie sur N par v n = (-1) n est bornée par -1 et 1, mais elle diverge. D où : Une suite non bornée est divergente. Exemple :la suite (v n ) définie sur N par v n = n (-1) n n est pas bornée donc elle diverge. 4. autres théorèmes T1 Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. T2 Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge. T3 Si une suite est croissante et non majorée, alors elle tend vers +. T4 Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle tend vers -. La suite (u n ) définie sur N par u n = est minorée par 0 et décroissante alors elle converge. Démonstration T3 Soit (u n ) une suite non majorée, donc pour tout M réel, il existe un rang n de N tel que un > M, Comme (u n ) est croissante, pour tout entier n n, on a 21 u n u n et donc u n > M. Ce qui signifie que, pour tout M réel, tous les termes de la suite sont dans l intervalle ]M ; + partir d un certain rang. Donc, par définition [ à NB : Les réciproques de T3 et T4 sont fausses