Application BAEP 1 Poutre continue à deux travées

ENPC Béton Armé Et Précontraint Application BAEP Poutre continue à deu travées On considère une poutre continue à deu travées de 8,m de portée a poutre est en béton C5 et a une section en T de 6cm de hauteur a table a une épaisseur de 5cm et une largeur de m a largeur de l'âme est égale à 8cm es appuis de la poutre sont constitués de appuis néoprènes de 5mm 5mm Hypothèses complémentaires : On utilisera des armatures HA de classe B On considère un environnement de classe XC et une classe structurale S4 On considère des charges uniormément réparties : o Charges permanentes y compris poids propre : 8 kn/ml o Charges d'eploitation : 5 kn/ml On rappelle les coeicients de combinaison sur l'action variable : o =,7 ; =,5 ; =, On considère un coeicient de luage 6 m appuis 5mm*5mm 8 m 8 m 6 m 5 m m 6 m 8 m Travail à eectuer : Séance : Déterminer le erraillage pratique (leion et eort tranchant) des sections critiques de la poutre Séance : Déterminer l'épure d'arrêt des barres Etudier les zones d'about Dessiner le erraillage pratique d'ensemble de la poutre Séance : Faire les vériications ES et déterminer le ratio de erraillage de la poutre On donne les eorts dans les sections critiques : ab t a Section a Section t Section ab oment de leion Eort tranchant oment de leion Eort tranchant Combinaison ondamentale EU 9 knm 77 kn 7 knm 46 kn Combinaison caractéristique ES 86 knm 5 kn 5 knm kn Combinaison réquente ES 759 knm 468 kn 445 knm 87 kn Combinaison quasi permanente ES 78 knm 44 kn 44 knm 7 kn On donne pages suivantes les courbes d'eorts enveloppes de la poutre Application Calcul d une poutre continue à deu travées /8

ENPC Béton Armé Et Précontraint Eorts tranchants enveloppes EU (kn) 77 kn 96 5 4 5 97 89 8 79 648 567 486 45 4 4 6 46 kn 8 8 6 4 4 6 8 g g+,5q g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q,5g+,5q,5g+,5(q+q) IN AX 6 59 458 77 Application Calcul d une poutre continue à deu travées /8

ENPC Béton Armé Et Précontraint oments de leion enveloppes EU (knm) 5 4 5 97 89 8 79 648 9 knm 567 486 7 knm 45 4 4 6 8 5 5 5 g g+,5q g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q,5g+,5q,5g+,5(q+q) IN AX 6 59 458 77 96 Application Calcul d une poutre continue à deu travées /8

ENPC Béton Armé Et Précontraint Plan du corrigé ) Détermination des enveloppes d'eorts 6 Combinaisons à étudier 6 Calcul des sollicitations 6 Détermination des enveloppes ) Détermination de l'enrobage ) Détermination des armatures de leion en ace inérieure de la poutre Détermination de la largeur participante de la poutre : Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers 4 Détermination de la section d acier 5 4 Détermination du erraillage pratique 5 4) Détermination des armatures de leion en ace supérieure de la poutre 6 4 Détermination de la largeur participante de la poutre : 6 4 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers 6 4 Détermination de la section d acier 7 44 Détermination du erraillage pratique 7 5) Dimensionnement des armatures transversales 8 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles et détermination de leur inclinaison 8 5 Eort tranchant réduit à l'appui central 8 5 Détermination des armatures d eort tranchant à l'appui central 8 54 Eort tranchant réduit au etrémités 9 55 Détermination des armatures d eort tranchant au etrémités 9 56 Vériication du tau minimal d armatures transversales 9 57 Ferraillage pratique 9 6) Epure d'arrêt des barres 6 Décalage de la courbe des moments 6 Calcul des moments résistants 6 Détermination de l'épure des barres 7) Etude des zones d'appui 7 7 Ancrage des aciers sur appui 7 7 Vériication de la bielle d'about sur les appuis d'etrémités 8 7 Vériication de la bielle d'about sur l'appui central 8) Retour sur le choi de l angle d inclinaison des bielles d eort tranchant 9) Plan de erraillage pratique 9 Armatures sur appui 9 Répartition des armatures d'eort tranchant 9 Plan de erraillage ) Détermination du coeicient d équivalence 4 ) Vériications des contraintes à l'es 5 Détermination de l inertie issurée à mi-travée 5 Calcul des contraintes à mi-travée 6 Détermination de l inertie issurée sur l appui central 6 4 Calcul des contraintes sur l appui central 6 ) Vériication de l'ouverture des issures 8 Vériication oraitaire 8 Application Calcul d une poutre continue à deu travées 4/8

ENPC Béton Armé Et Précontraint Valeur limite de l'ouverture calculée des issures (w ma ) 9 Calcul de l'ouverture des issures (w k ) 4 ) Vériication des lèches 4 Vériication oraitaire 4 Flèche sous combinaison quasi-permanente 44 Vériication du critère de lèche nuisible 46 Calcul de la lèche par intégration des courbures 49 4) Ratio de erraillage 5 5) Calcul des armatures de couture entre l'âme et la table 5 5 Principe du calcul 5 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles 5 5 Calcul des armatures de couture 5 6) Calcul au eu 5 6 Vériication par le calcul 5 6 Vériication des dispositions minimales 5 7) Annee : Rappel théorique : calcul des armatures de leion à l EU 55 7 Principes générau de la leion simple 55 Déinition de la leion simple 55 Equations d équilibre d une poutre en béton armé 55 Eemple : Etude d une poutre isostatique 55 7 Dimensionnement d une section rectangulaire 56 Rappel des hypothèses de calcul liées au EU 56 Principes de dimensionnement 57 Equations d équilibre 59 Approimation rectangulaire 6 Pivot A ou Pivot B? 6 Détermination de la section d acier 6 Vériication de la hauteur utile 64 Synthèse de la méthode de calcul des armatures dans une section rectangulaire 64 oment réduit 66 Inluence du pivot A 67 Inluence du type de diagramme retenu pour les aciers 68 Inluence de l approimation rectangulaire 69 7 Dimensionnement d une section en Té 7 Déinition d une poutre en Té 7 Détermination de la largeur participante 7 Détermination de la section d acier 7 Vériications complémentaires 7 74 Détail du calcul des armatures de couture âme-table 74 8) Annee : Rappel théorique : calcul des armatures d eort tranchant à l EU 75 8 Eort tranchant résistant sans armatures 75 8 Vériication des bielles 76 8 Vériication des tirants 77 84 Inluence du choi de l inclinaison des bielles 78 85 Réduction de l eort tranchant au appuis 79 86 Dispositions minimales 8 87 Synthèse de la méthode de calcul des armatures d eort tranchant 8 Application Calcul d une poutre continue à deu travées 5/8

ENPC Béton Armé Et Précontraint ) Détermination des enveloppes d'eorts Combinaisons à étudier Pour déterminer les enveloppes d'eorts dans une poutre continue, il aut considérer que chaque travée de la poutre peut être chargée ou non par l'action variable De plus, le poids propre peut avoir pour eet de aire diminuer localement le moment de leion, il aut donc appliquer alternativement au poids propre les coeicients, et,5 On appelle Q l'eet de l'action variable appliquée sur la première travée et Q l'eet de l'action variable appliquée sur la seconde travée On obtient ainsi 8 combinaisons EU à prendre en compte :,G,5G,G +,5Q,5G +,5Q,G +,5Q,5G +,5Q,G +,5Q +,5Q,5G +,5Q +,5Q Calcul des sollicitations Pour résoudre le problème hyperstatique qui nous est posé, on se ramène à deu problèmes isostatiques, en appliquant le principe de superposition : = p + A B B C p p = + Ainsi, pour résoudre le cas d'une poutre continue à deu travées chargée uniormément, on considère d'une part les deu travées indépendamment l'une de l'autre de manière isostatique et soumises à la même charge répartie et d'autre part, on applique le même moment à l'etrémité de chaque travée pour retrouver la continuité a valeur de ce moment sera calculée de manière à obtenir la même rotation de section à gauche et à droite de l'appui Application Calcul d une poutre continue à deu travées 6/8

ENPC Béton Armé Et Précontraint Application Calcul d une poutre continue à deu travées 7/8 p R A A p R p R V A A A p p p p V 4 4 6 4 4 p B u C u C B p p E I u B p p E I 4 6 4 p p p E I R A A R R V A A A V 6 6 B u C u C B E I u B E I p R A A p R p R V B B B p p p p V 4 4 6 4 4 p B u C u C B p p E I u B p p E I 4 6 4 p p p E I R A A R R V B B B V 6 B u C u C B E I u B E I

ENPC Béton Armé Et Précontraint Application Calcul d une poutre continue à deu travées 8/8 6 E I E I En appliquant le principe de superposition, on obtient : pour p p V pour p p V pour p p pour p p pour p p p E I pour p p p E I 4 6 4 6 4 6 4 a rotation de la section de la poutre continue est identique à gauche et à droite On a donc l'égalité suivante : 4 4 p E I p E I On en déduit donc : 8 p On obtient donc : pour p p V pour p p V 8 5 8 pour p p p pour p p 8 8 5 8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On utilise la même méthode pour résoudre le problème ci-dessous : = p + A B B C p p = + On obtient le résultat suivant : p et : 6 7 p V p pour 6 p V pour 6 7 p p 6 p p 6 6 pour pour On trace page suivante les diagrammes d'eort tranchant et de moment pour G, Q, Q et Q +Q Année - 9/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Eort tranchant Eort tranchant 6 4 45 8 5 6 4 6 g 5 45 8 5 6 q 5 5 5 Eort tranchant 5 Eort tranchant 5 45 8 5 6 5 q 5 5 45 8 5 6 q+q 5 oment de leion oment de leion 6 4 45 8 5 6 4 6 8 g 5 5 5 45 8 5 6 5 q oment de leion oment de leion 5 5 5 45 8 5 6 5 q 5 5 5 45 8 5 6 5 5 q+q Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination des enveloppes En eectuant les 8 combinaisons EU, on obtient les courbes d'eort suivantes avec lesquelles on détermine les enveloppes Eorts tranchants enveloppes EU (kn) 8 g 6 g+,5q 4 g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q 8 6 4 4 45 486 567 648 79 8 89 97 5 4 5 96 77 458 59 6,5g+,5q,5g+,5(q+q) 4 6 8 oments de leion enveloppes EU (knm) 5 g g+,5q g+,5q 8 6 4 4 45 486 567 648 79 8 89 97 5 4 5 96 77 458 59 6 g+,5(q+q),5g,5g+,5q 5,5g+,5q,5g+,5(q+q) 5 Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Détermination de l'enrobage 'enrobage nominal c nom est la distance entre la surace de l'armature et le parement c nom 'enrobage nominal est déini par la ormule suivante : c nom = c min + c dev où c dev = mm est la marge pour tolérances d'eécution et c min est donné par la ormule suivante : avec : c min,b = c min,dur = c dur, = c dur,st = c dur,ad = enrobage minimal vis-à-vis des eigences d adhérence enrobage minimal vis-à-vis des conditions d environnement marge de sécurité réduction en cas d acier inoydable réduction en cas de protection supplémentaire c min,dur dépend des conditions d'environnement et de la classe structurale On détermine la valeur de c min,dur grâce au tableau suivant : Tableau 44NValeurs de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conormes à l'en 8 On en déduit c min,dur = 5 mm et donc c nom = ma(5 mm ; + mm) Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Détermination des armatures de leion en ace inérieure de la poutre e point de départ du calcul est le moment réduit EU où b est la largeur participante de la poutre, d la hauteur utile et cd le tau de b d cd ck 5 travail de calcul du béton : cd, Pa C,5 On rappelle que d représente la distance du haut de la section de la poutre au centre de gravité des aciers Cette distance n est connue qu une ois le erraillage pratique dessiné Il aut donc aire une première approimation de cette valeur On utilise pour cela la ormule suivante : d min,9 h ; h,, on en déduit donc d =,5m On vériiera par la suite que d réelle d Détermination de la largeur participante de la poutre : a largeur participante d'une section en T est donnée par la ormule suivante :, l be be, i bw b avec be, i, bi, l bi b e,i est la largeur eicace de l'aile i b e est la largeur participante de la section en T b i est la largeur de l'aile i b w est la largeur de l'âme l est la distance entre points de moment nul Dans notre cas, nous avons : b = b =,6 m b w =,8 m Pour déterminer la distance entre points de moment nul dans une poutre continue, on peut utiliser le schéma ci-dessous : Dans le cas d'une poutre à deu travées, nous avons donc l =,85l soit pour notre eemple : l =,85 8, = 6,885 m On en déduit :,b +,l =,89 m et donc b e, = b e, = b = b =,6 m Ainsi, b e = m Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers On vériie EU l,t = b e h cd (d-h /) =,975 Nm a compression se situe donc entièrement dans la table de compression EU,7 On en déduit, 6 b d,5, e cd On remarque que > AB =,56 Nous sommes donc en pivot B De la valeur du moment réduit, on déduit la hauteur de béton comprimé d :,5, 8, soit d =,4 m On remarque que le béton comprimé se situe uniquement dans la table de compression, ce qui valide l'hypothèse de b = m On en déduit le bras de levier z = d(-,4) =,484m Nous sommes en pivot B, on a donc c =,5 On en déduit st,5 9,7 st = 9,7 > ys /E s = 45/ =,7 es aciers ont donc plastiié Pour déterminer la contrainte dans les aciers st, on a le choi entre la branche horizontale et la branche inclinée du diagramme contrainte-déormation de l acier Branche horizontale : st = 45 Pa yd k yd yd st E s st yd yd uk E Branche inclinée : 9,7,7 st 45 47 45 5,7 46 Pa st s c = 5 cd =, Pa h =,6m d =,5m d =,4m z = d(-,4) =,484m,8d st = 9,7 st = 46 Pa Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination de la section d acier EU,7 Ast 4,7 cm z st,484 45 On retient une section de,6 cm² ou A st EU z st,7,484 46,6 cm 4 Détermination du erraillage pratique Pour déterminer le nombre de barres par lit, on cherche en général à obtenir un espacement horizontal entre barres de l'ordre de 5 à cm Cet espacement nous conduit ici à disposer 5 barres par lit On rappelle dans le tableau ci-dessous les diamètres disponibles dans le commerce et leur section associée nominal encombrement A nom HA 8 8 mm mm 5 cm² HA mm mm 79 cm² HA mm 4 mm cm² HA 4 4 mm 7 mm 54 cm² HA 6 6 mm 9 mm cm² HA mm 4 mm 4 cm² HA 5 5 mm mm 49 cm² HA mm 8 mm 84 cm² Pour obtenir,6 cm², il aut 6,5 cm² pour chaque groupe de barres Pour optimiser les quantités d'acier, on cherche à disposer les barres suivant plusieurs lits On arrêtera chaque lit de barres en onction de la courbe enveloppe des moments car nous n'avons pas besoin de cm² d'acier tout le long de la poutre mais uniquement au droit du point de moment maimum Avec 5 barres HA, 5 barres HA6 et 5 barres HA4, on obtient environ,5 cm² e erraillage pratique que l on met en œuvre est donc lit de 5 HA, lit de 5 HA6 et lit de 5 HA4 On représente le erraillage sur le schéma ci-dessous : 5 79+5+8 = 47 57+ = 79 5++= 57 5 On en déduit que le barycentre des aciers est situé à 84mm du parement, ce qui correspond à une hauteur utile réelle de,56m, ce qui valide notre première hypothèse sur d Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 4) Détermination des armatures de leion en ace supérieure de la poutre 4 Détermination de la largeur participante de la poutre : a largeur participante correspond à la largeur de la zone de béton comprimé Pour le calcul des armatures supérieures, la zone de béton comprimé se situe en partie basse de la section, soit dans l'âme a largeur à prendre en compte est donc b =,8m 4 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers EU,9 On en déduit, 56 b d cd,8,5, On remarque que > AB =,56 Nous sommes donc en pivot B De la valeur du moment réduit, on déduit la hauteur de béton comprimé d :,5,, soit d =,88 m 77 On en déduit le bras de levier z = d(-,4) =,45m Nous sommes en pivot B, on a donc c =,5 On en déduit st,5 5,78 st = 5,78 > ys /E s = 45/ =,7 es aciers ont donc plastiié Pour déterminer la contrainte dans les aciers st, on a le choi entre la branche horizontale et la branche inclinée du diagramme contrainte-déormation de l acier Branche horizontale : st = 45 Pa yd k yd yd st E s st yd yd uk E Branche inclinée : 5,78,7 st 45 47 45 5,7 48 Pa st s st = 5,78 st = 48 Pa h =,6m d =,5m z = d(-,4) =,45m d =,88m c =,5,8d cd =, Pa Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 4 Détermination de la section d acier EU,9 Ast 64,5 cm z st,45 45 On retient une section de 64, cm² ou A st EU z st,9 64, cm,45 48 44 Détermination du erraillage pratique Pour déterminer le nombre de barres par lit, on cherche en général à obtenir un espacement horizontal entre barres de l'ordre de 5 à cm Cet espacement nous conduit ici à disposer 5 barres par lit On rappelle dans le tableau ci-dessous les diamètres disponibles dans le commerce et leur section associée nominal encombrement A nom HA 8 8 mm mm 5 cm² HA mm mm 79 cm² HA mm 4 mm cm² HA 4 4 mm 7 mm 54 cm² HA 6 6 mm 9 mm cm² HA mm 4 mm 4 cm² HA 5 5 mm mm 49 cm² HA mm 8 mm 84 cm² Pour obtenir 64, cm², il aut,8 cm² pour chaque groupe de barres Pour optimiser les quantités d'acier, on cherche à disposer les barres suivant plusieurs lits Comme le moment sur appui diminue très vite, on se contentera de deu lits Avec 5 barres HA et 5 barres HA5, on obtient environ 64,8 cm² e erraillage pratique que l on met en œuvre est donc lit de 5 HA et lit de 5 HA5 On représente le erraillage sur le schéma ci-dessous : 5++9 = 64 mm 64+4 = 98mm 5 On en déduit que le barycentre des aciers est situé à 77mm du parement, ce qui correspond à une hauteur utile réelle de,5 m, ce qui valide notre première hypothèse Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU V 5) Dimensionnement des armatures transversales 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles et détermination de leur inclinaison Rd,ma cw b cot an w z cd tan cw = b w =,8m z =,45m,6 ck =,56 5 cd =, Pa cotan(),5 Avec cotan() =,5 on obtient V Rd,ma =,49 N Cette valeur est largement supérieure à V EU On choisit donc cotan() =,5, soit =,8 car c est la valeur de l inclinaison des bielles qui ait utiliser le moins d aciers transversau 5 Eort tranchant réduit à l'appui central a vériication de l eort tranchant n est pas nécessaire à une distance inérieure à d des appuis On prolonge le erraillage calculé à la distance d des appuis jusqu au bout de la poutre De plus, dans les régions sans discontinuité de V ed (charges uniormes) la détermination de l eort tranchant sur une longueur l=z(cotgθ+cotg) peut être eectuée en utilisant la plus petite valeur de V ed sur cette longueur eort tranchant de calcul V Ed calculé à la distance l=z(cotanθ+cotan) des appuis vaut : V EU ( = -z(cotanθ+cotan)-,5) = 77 - p EU,5 = 555 kn = V Ed 5 Détermination des armatures d eort tranchant à l'appui central A s,555, cm 45,45,5 ml sw Il aut vériier VRd, s z ywd cot an VEd On en déduit A sw s Année - 8/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 54 Eort tranchant réduit au etrémités a vériication de l eort tranchant n est pas nécessaire à une distance inérieure à d des appuis On prolonge le erraillage calculé à la distance d des appuis jusqu au bout de la poutre De plus, dans les régions sans discontinuité de V ed (charges uniormes) la détermination de l eort tranchant sur une longueur l=z(cotgθ+cotg) peut être eectuée en utilisant la plus petite valeur de V ed sur cette longueur eort tranchant de calcul V Ed calculé à la distance l=z(cotanθ+cotan) des appuis vaut : V EU ( = z(cotanθ+cotan)-,5) = 46 - p EU,5 = 79 kn = V Ed 55 Détermination des armatures d eort tranchant au etrémités A s,79 5,7 cm 45,45,5 ml sw Il aut vériier VRd, s z ywd cot an VEd On en déduit A sw s 56 Vériication du tau minimal d armatures transversales On calcule le erraillage minimal d eort tranchant par la ormule : A,8 ck bwsin,8 5,8 rw,min bwsin 7,6 cm s 5 sw min yk ml 57 Ferraillage pratique Pour déterminer le erraillage pratique, on commence par calculer l espacement maimal des armatures s ma = 75d(+cotan()) =,75 m e erraillage longitudinal est constitué de 5 barres par lit Nous mettrons donc au minimum un cadre et trois épingles pour constituer la cage de erraillage, ce qui représente 5 armatures transversales Si on considère que ces barres sont des HA8, on obtient A sw =,5 cm² On en déduit s =,cm au niveau de l'appui central Au etrémités, on dispose 7,6 cm²/ml, correspondant au erraillage minimal, soit un espacement de cm On respecte bien l espacement maimal On dispose donc un cadre HA8 et trois épingles HA8 tous les cm au niveau de l'appui central et tous les cm au etrémités FIN DE A ère SEANCE Année - 9/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 6) Epure d'arrêt des barres es sections d'armature déterminées précédemment correspondent au armatures nécessaires dans les sections critiques de la poutre Cependant, en dehors de ces sections, les sollicitations sont plus aibles et les sections d'acier nécessaires sont donc moins importantes Ainsi, il est possible d'arrêter certains lits d'armatures lorsque celui-ci n'est plus nécessaire 'épure d'arrêt des barres consiste à déterminer la longueur minimale de chaque lit d'armatures ain que la courbe des moments résistants de la poutre englobe au plus près l'enveloppe des moments sollicitant 6 Décalage de la courbe des moments a bielle de béton qui équilibre les eorts dans une section donnée s appuie sur des armatures de leion situées dans la section voisine, il aut tenir compte du surcroît de traction correspondant e décalage de la courbe des moments permet de tenir compte de cet eet Pour obtenir la courbe de moment décalé, il aut décaler les courbes enveloppes de moment cot cot d'une longueur a l dans le sens le plus déavorable, avec a l z On peut considérer z,9 d, 45 m On obtient la courbe décalée suivante : 5 a l a l a l a l -5 8 6 4 4 45 486 567 648 a l 79 8 89 97 5 4 5 96 77 458 59 6 oment IN oment AX oment IN décalé oment AX décalé a l - -5 Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 6 Calcul des moments résistants Pour calculer les moments résistants, on ait l'hypothèse du pivot B et on utilise l'approimation rectangulaire En considérant dans un premier temps la branche horizontale du diagramme contraintedéormation des aciers : On ait l'hypothèse que les aciers sont plastiiés N A N,8 d b st yd A yd,8 d b,4 cd c cd st c On vériie que les aciers sont plastiiés et que nous sommes en pivot B,7 st 45 Si les hypothèses sont vériiées, on a alors d A R On considère maintenant la branche inclinée du diagramme contrainte-déormation des aciers : yd N st st A st A st,8 d b,4 c N cd c,8 d b cd On ait l'hypothèse que les aciers sont plastiiés :,8 st yd yd st uk yd yd E E s s En remplaçant st et dans l'équation ci-dessus, on obtient une équation du second degré en st dont les solutions sont : yd yd b E b E, s s yd b,8 d b cd st yd,8 yd,8 A yd yd yd uk E uk E uk s s Es Après avoir vériié les hypothèses,7 st 45, on obtient : d A R st On obtient les moments résistants suivants pour les armatures inérieures : Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU lits lits lit b m m m cd Pa Pa Pa A 45 cm² 575 cm² 57 cm² d 56 m 54 m 54 m st 465 Pa 466 Pa 466 Pa d 4 m m m z 499 m 5 m 55 m c 5 9 7 st 4 45 45 Vériication st 465 Pa 466 Pa 466 Pa R 77 Nm 66 Nm 9 Nm On obtient les moments résistants suivants pour les armatures supérieures : lits lit b 8 m 8 m cd Pa Pa A 6475 cm² 4 cm² d 5 m 56 m st 477 Pa 44 Pa d 9 m 9 m z 447 m 488 m c 5 5 st 6 Vériication st 477 Pa 44 Pa R 67 Nm 868 Nm On remarque pour les armatures inérieures que nous sommes en pivot A pour les calculs avec lits et lit On utilise néanmoins l'approimation rectangulaire, ce qui génère une erreur sur le bras de levier z Cependant, l'ordre de grandeur de cette erreur est inérieur à % et cela n'a donc pas d'incidence sur le résultat inal 6 Détermination de l'épure des barres En cherchant l'intersection de chaque droite de moment résistant avec les courbes décalées de moment déinies précédemment, on détermine l'épure d'arrêt des barres On obtient le résultat suivant : Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 5 6 59 458 77 96 5 4 5 97 89 8 79 648 567 486 45 4 4 6 8-5 - -5 Il aut ensuite vériier que les longueurs d'ancrage sont bien assurées entre deu lits successis On calcule pour cela les longueurs d ancrage des diérents lits d armatures a longueur d'ancrage de réérence est donnée par la ormule suivante : sd lb, rqd 4 bd avec sd la contrainte de calcul de la barre, bd =,5 ctd ctd = ctk,5 / C = /5 =,47 Pa = si les conditions d'adhérence bonnes, sinon, =,7 = car mm Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On a donc bd =, Pa pour les armatures inérieures et bd =, Pa pour les armatures supérieures sd = st ( ud ) = 466, Pa On a donc l b,rqd = 5 pour les armatures inérieures et l b,rqd = 5 pour les armatures supérieures On peut maintenant déterminer la longueur d'ancrage de calcul : l bd = 4 5 l b,rqd l b,min =, pour des ancrages droits 5,7 On considère ici que les coeicients,, 4 et 5 sont égau à On a donc l bd = l b,rqd En reportant les longueurs d'ancrage sur les courbes précédentes, on trouve : l bd (ème lit) l bd (ème lit) 5 6, 5,9 4,58,77,96,5,4,5 9,7 8,9 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6,8-5 - -5 Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On remarque que sur appuis, le second lit n'est pas suisamment ancré avec les longueurs initialement calculées, il aut donc augmenter la longueur du second lit jusqu'à obtenir une courbe de moment résistant qui englobe complètement les courbes enveloppes de moment sollicitant On obtient alors : 5 6, 5,9 4,58,77,96,5,4,5 9,7 8,9 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6,8-5 - -5 Ain d'économiser des armatures en ace supérieure de la poutre, on remplace les premier lit de HA par un lit de 5 HA8 à partir d'une abscisse que l'on détermine de la même manière que précédemment On obtient la courbe d'épure suivante : 5 6, 5,9 4,58,77,96,5,4,5 9,7 8,9 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6,8-5 - -5 Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On reporte sur les courbes précédentes les longueurs à prendre en compte pour chaque lit 'ae des ordonnées a été inversé ain de dessiner les armatures inérieures en bas et les armatures supérieures en haut 6, 5,9 5 HA8 4,58,77 5 HA,96,5 5 HA5,4,5 9,7 8,9 8, 5 HA4 5 HA6 5 HA 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6,8 - -5 - -5 5 5 Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7) Etude des zones d'appui 7 Ancrage des aciers sur appui es bielles d'eort tranchant arrivent sur appui avec une inclinaison ce qui génère un eort horizontal qu'il aut équilibrer Pour cela, on calcule l'eort de traction à ancrer sur appui dont on déduira la section sur appuis 'eort de traction à ancrer sur les appuis d'etrémité est donné par la ormule suivante : cot cot FE VEd soit FE,58 N et A, cm On doit aussi vériier A appui Atravée mais = dans l'annee nationale rançaise 'ancrage du premier lit suit donc On calcule maintenant la longueur d'ancrage nécessaire pour reprendre l'eort de traction sur appui a longueur d'ancrage de réérence est donnée par la ormule suivante : sd lb, rqd 4 bd avec sd la contrainte de calcul de la barre, bd =,5 ctd ctd = ctk,5 / C = /5 =,47 Pa = car conditions d'adhérence bonnes = car mm On a donc bd =, Pa = mm sd = F E / A =,58 /,57 = 69,4 Pa On a donc l b,rqd = 8 On peut maintenant déterminer la longueur d'ancrage de calcul : l bd = 4 5 l b,rqd l b,min =,7 si c d > sinon =, c d = min(c ; a/) (c schéma ci-contre) l b,min > ma(,l b,rqd ; ; mm) 5,7 On considère ici que les coeicients,, 4 et 5 sont égau à On a donc l bd =,7l b,rqd = =,4 m cot Sur l'appui central, il n'y a pas d'eort de traction à ancrer car V Ed (on a un z eort de compression) Il aut cependant ancrer les aciers avec une longueur minimale l bd = Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7 Vériication de la bielle d'about sur les appuis d'etrémités Il aut maintenant vériier la contrainte de compression du béton au niveau des appuis Pour les appuis d'etrémités, la contrainte maimale admissible est donnée par la ormule ck suivante : Rd, ma,85 cd 7, Pa 5 Pour calculer la contrainte de compression dans la bielle, on considère le schéma ci-dessous : (zcot())/ (zcot())/ ' bielle a bielle z u/ u/ a/ a/ On calcule ' à l'aide du triangle rectangle vert ci-dessous : (zcot())/ (zcot())/ ' z u/ u/ bielle a/ a/ ' a bielle z (zcot())/ Année - 8/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU a u zcot a u On en déduit : cot cot soit cot cot z z z On en déduit : cot = 84 (avec u/=57m et z= 45m) soit =8,5 a contrainte dans la bielle est obtenue en considérant le triangle rectangle violet ci-dessous : (zcot())/ (zcot())/ ' bielle a bielle z u/ u/ ' a/ a/ (ucot('))/ a/ a bielle / VEd,46,966 N sin,477 b,5,5 m a bielle appui bielle VEd sin b appui a bielle ucos asin,9 m On en déduit : bielle,8 Pa 8 Rd, ma On rappelle sur le schéma ci-contre le principe de conception du nœud suivant la théorie des bielles et tirants Année - 9/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7 Vériication de la bielle d'about sur l'appui central Pour l'appui central, la contrainte maimale admissible est : ck Rd, ma cd, Pa 5 Pour calculer la contrainte de compression dans la bielle, on considère le schéma ci-dessous : dcotan()/ dcotan()/ dcotan()/ dcotan()/ V Ed, V Ed, a Dans le cas particulier où V Ed, = V Ed, comme c'est le cas ici, la contrainte est identique sur les trois aces du noeud a contrainte de compression sur les aces du noeud vaut donc : VEd noeud avec V Ed =,77 N ; a =,5 m ; b appui =,5 m a b appui Ainsi, noeud,8 Pa Rd, ma On remarque donc que la vériication des bielles d'about peut avoir une incidence sur le reste du calcul Ainsi, si nous n'avions disposé qu'un seul néoprène de 55mm à chaque appui, on aurait dépassé la contrainte admissible dans la bielle d'about, ce qui aurait remis en cause l'hypothèse cotan() =,5 Il aurait alors allu calculer l'angle optimal permettant de respecter la contrainte admissible dans les bielles d'about puis recalculer les armatures d'eort tranchant et l'épure d'arrêt des barres Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 8) Retour sur le choi de l angle d inclinaison des bielles d eort tranchant e choi de l angle d inclinaison des bielles d eort tranchant a une inluence non négligeable sur les quantités d armatures es équations montrent que lorsque diminue, les armatures d eort tranchant diminuent, tandis que les armatures de leion augmentent en raison d un décalage de la courbe des moments plus important objecti lorsque l on travaille dans un bureau d études d eécution est de mettre en œuvre la quantité minimale d armatures permettant d assurer la tenue structurelle de l ouvrage, tout en respectant la règlementation e choi de l angle est un paramètre important pour atteindre cet optimum Il n eiste pas de règle simple permettant de déterminer l angle donnant le moins d armatures au global, sau à reaire le calcul complet et comparer les quantités d armatures pour plusieurs valeurs de Il semblerait néanmoins que pour des poutres courantes, correctement dimensionnées, l angle optimum se situe autour de cot = alheureusement, cette analyse n est pas généralisable à toutes les poutres Un autre point ayant une incidence sur le choi de l angle q est la présence ou non d une reprise de bétonnage dans la poutre (lorsque l on coule d abord la retombée de poutre, c est-àdire jusque sous la dalle, ou que cette retombée est préabriquée, puis, dans un second temps la partie de poutre se situant dans l épaisseur de la dalle) Cette reprise de bétonnage constitue un plan de aiblesse Il aut donc vériier qu il y a suisamment d armatures traversant ce plan (des armatures verticales) pour assurer un bon onctionnement de la poutre Cette vériication conduit à augmenter signiicativement la quantité d armatures d eort tranchant Dans ces conditions, la diérence de quantité d armatures d eort tranchant entre cot = et cot =,5 devient négligeable et l angle optimum est proche de Note : la vériication des suraces de reprise ne ait pas partie du programme de BAEP On donne ci-dessous des eemples de reprises de bétonnage etraits de l Eurocode a partie hachurée représente le béton coulé en seconde phase Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 9) Plan de erraillage pratique 9 Armatures sur appui Etrait de l'article 9 de l'eurocode : () Pour une poutre ormant une construction monolithique avec ses appuis, il convient de dimensionner la section sur appuis pour un moment léchissant résultant de l'encastrement partiel d'au moins β ois le moment léchissant maimal en travée, y compris lorsque des appuis simples ont été adoptés dans le calcul NOTE a valeur de β à utiliser pour les poutres, dans un pays donné, peut être ournie par son Annee Nationale a valeur recommandée est β =,5 Nous ne sommes pas dans le cas d'une construction monolithique avec ses appuis puisque nous avons considéré des appuis néoprène Nous allons cependant bâtir le plan de erraillage avec cette hypothèse Il aut donc pouvoir reprendre un encastrement sur appuis correspondant à un moment au moins égal à ois le moment à mi-travée Il aut donc pouvoir reprendre, Nm a section d'armatures permettant de reprendre ce moment de leion est égale à 5, cm, soit 5 barres HA On dispose donc 5 barres HA en ace supérieure de la poutre au niveau des etrémités Ces barres doivent être ancrées, la longueur d'ancrage étant égale à 56 9 Répartition des armatures d'eort tranchant Nous avons calculé les armatures d'eort tranchant nécessaires au niveau des appuis Il aut maintenant déinir leur répartition tout le long de la poutre Au etrémités de la poutre, le erraillage d'eort tranchant correspond au erraillage minimal qui sera donc prolongé jusqu'à mi-travée Au niveau de l'appui central, nous avons déini un erraillage composé de 5 HA8 espacés de cm sur une longueur de,5m, soit pour compris entre 6,85 m et 9,5 m Pour < 6,85m et > 9,5 m, on peut errailler la poutre en considérant l'eort tranchant à = 6,85 - zcotan() = 5,75 m ou = 9,5 + zcotan() =,475 m, abscisse pour lesquelles l'eort tranchant maimal vaut 9 kn, ce qui correspond à un erraillage de 7,99 cm²/ml, soit 5 HA8 tous les cm Pour < 5,75 m et >,475 m, on est au erraillage minimal Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 9 Plan de erraillage On dessine ci-dessous le plan de erraillage de la poutre à l'échelle /5 pour la coupe longitudinale et à l'échelle /5 pour la coupe transversale FIN DE A ème SEANCE Année - /8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Ain de valider le erraillage pratique établi précédemment, il aut encore eectuer les vériications permettant de s assurer du bon comportement de la poutre dans des conditions d utilisation normales Ces vériications s eectuent au ES (Etats imites de Service) es critères de vériication sont les suivants : - Contrainte de compression du béton o ES caractéristiques : k,6 c ck o ES quasi-permanents : c k ck,45 - Contrainte de traction des aciers o ES caractéristiques : k,8 - Ouverture des issures o ES quasi-permanents : - imitation de lèche o ES quasi-permanents : st yk wma, ck yk ck mm ou vériication oraitaire 5, cm o Critère de lèche nuisible (uniquement si la poutre supporte des éléments ragiles) ) Détermination du coeicient d équivalence e béton armé est un matériau hétérogène constitué de béton et d armatures en acier Pour aciliter les calculs au l ES, on se ramène à une section homogénéisée en béton, c est-à-dire que l on assimile les armatures à une section équivalente en béton ayant le même centre de gravité et pouvant travailler en traction et en compression On passe de l'acier au béton équivalent en multipliant la section d'acier par le coeicient d'équivalence n Ain de déterminer le coeicient d équivalence n, on utilise les deu hypothèses du calcul ES : - es contraintes sont proportionnelles au déormations (loi de Hooke) : E - adhérence est paraite entre l acier et le béton adjacent : s c Es Es On en déduit : s c n c n E E c e module du béton devant tenir compte du luage, on a c n e coeicient de luage eicace est donné par l équation suivante : ES, qp 78 e,,67 86 ES, car On en déduit n 5, 7 4,67 E cm E s e Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Vériications des contraintes à l'es Détermination de l inertie issurée à mi-travée Ain de calculer les contraintes, il aut déterminer l inertie de la section à mi-travée en considérant que celle-ci est issurée On commence par déterminer la position de l ae neutre élastique de la section en écrivant que le moment statique est nul par rapport cet ae On suppose que l ae neutre n est pas situé dans la table de compression On obtient alors : y y h b = m b b bw n As d y h = 5 m On obtient donc une équation du second degré en y Ae neutre inertie issurée est donnée par la ormule suivante : y y h I b b b n A d y w s On obtient donc les résultats suivants : hauteur utile d 56 m largeur de la table b m épaisseur de la table h 5 m largeur d'âme b w 8 m section d'armatures A s 5 cm² coeicient d'équivalence n 57 position de l'ae neutre y 4 m inertie issurée I 9 m4 b w = 8 m On trouve donc ici que l ae neutre se trouve dans la table de compression Il aut donc reaire le calcul en tenant compte de cette hypothèse a position de l ae neutre et l inertie issurée sont déinis par les ormules suivantes : y y b n As d y et I n A d y b s hauteur utile d 56 m largeur de la table b m épaisseur de la table h 5 m largeur d'âme b w 8 m section d'armatures A s 5 cm² coeicient d'équivalence n 57 position de l'ae neutre y 4 m inertie issurée I 9 m4 On note que les résultats sont quasiment identiques entre les deu calculs Ceci est du au ait que l ae neutre se situe quasiment au bas de la table de compression y h = 6 m Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Calcul des contraintes à mi-travée On calcule les contraintes dans une section soumise à de la leion simple par la ormule v I v est l ordonnée du point pour lequel on veut calculer la contrainte, est le moment de leion dans la section considérée, I est l inertie de la section considérée es contraintes dans le béton et l acier sont donc donnés par les ormules suivantes : c y et s n d y I I On obtient les contraintes suivantes pour les diérents états-limites de service : b st ES caractéristique 5 Nm 79 Pa Pa ES réquent 445 Nm 68 Pa 85 Pa ES quasi permanent 44 Nm 6 Pa 68 Pa On vériie donc à l ES caractéristique : - c 7,9 Pa k ck,6 ck, Pa -, Pa k,8 4, Pa st yk yk On vériie à l ES quasi-permanents : c 6, Pa k ck,45 ck 5, 75 Pa Détermination de l inertie issurée sur l appui central a position de l ae neutre et l inertie issurée sont déinis par les ormules suivantes : y y bw n As d y et I n A d y bw s hauteur utile d 5 m largeur d'âme b w 8 m section d'armatures A s 648 cm² coeicient d'équivalence n 57 position de l'ae neutre y 59 m inertie issurée I 7 m4 h = 5 m Ae neutre b = m y b w = 8 m h = 6 m 4 Calcul des contraintes sur l appui central Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On obtient les contraintes suivantes pour les diérents états-limites de service : b st ES caractéristique 86 Nm 9 Pa 4 Pa ES réquent 759 Nm 68 Pa 68 Pa ES quasi permanent 78 Nm 59 Pa 58 Pa On vériie donc à l ES caractéristique : - c 9, Pa k ck,6 ck, Pa - 4, Pa k,8 4, Pa st yk yk A l ES quasi-permanent, on obtient : c 5,9 Pa k ck,45 ck 5, 75 Pa e critère n est pas vériié à l ES Face à ce constat, on peut essayer d ainer le calcul en prenant en compte les armatures inérieures comprimées tout en s assurant qu elles sont suisamment ancrés Si cela ne suit pas, il audra augmenter la section d acier Cependant, dans ce cas précis, on dépasse très peu la limite admissible De plus, si l on se réère à l article de l Eurocode déinissant ce critère, on trouve : 7 imitation des contraintes () Si, sous charges quasi-permanentes, la contrainte dans le béton est inérieure à k ck, on peut admettre que le luage est linéaire Si la contrainte dans le béton ecède k ck, il convient de considérer un luage non-linéaire (voir 4) NOTE a valeur de k à utiliser dans un pays donné peut être ournie par son Annee Nationale a valeur recommandée est k =,45 Ainsi, le critère que nous avons dépassé imposerait de considérer un luage non linéaire de la poutre (en particulier pour le calcul de lèche) Etant donné le aible dépassement de ce critère (on dépasse de %), on considèrera que le luage est linéaire Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Vériication de l'ouverture des issures Il eiste deu méthodes pour vériier l ouverture des issures : - Une vériication oraitaire à partir de valeurs tabulées permettant de déterminer le diamètre ou l espacement maimal des barres en onction de la contrainte dans l acier en combinaison quasi-permanente - On peut aussi calculer directement la valeur de l ouverture des issures à partir des ormules données dans l Eurocode et la comparer à la valeur maimale admissible dépendant de la classe d environnement Vériication oraitaire a vériication oraitaire se base sur les tableau suivants de l Eurocode : Tableau 7NDiamètre maimal φ * s des barres pour la maîtrise de la issuration ¹ Tableau 7NEspacement maimal des barres pour la maîtrise de la issuration ¹ Cette vériication paraît relativement simple à eectuer, cependant, les notes aérentes à ces tableau précisent : NOTE es valeurs du tableau sont basées sur les hypothèses suivantes : c = 5mm ; ct,e =,9 Pa ; h cr =,5h ; (h - d) =,h ; k =,8 ; k =,5 ; k c =,4 ; k =, ; k t =,4 et k' =, Cette note est renorcée dans l Annee Nationale Française par les restrictions suivantes : Année - 8/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU les Tableau 7N et 7N ont été établis sur des hypothèses précisées dans les notes aérentes, auquelles il aut ajouter les hypothèses complémentaires suivantes pour le Tableau 7N : h = 4 mm et un seul lit d'armatures ; En conclusion, les notes ci-dessus sont si restrictives qu elles rendent ces tableau quasiment inutilisables Il sera donc préérable de calculer directement la valeur de l ouverture des issures, d autant qu elle peut se programmer très acilement dans une euille Ecel ou dans un logiciel de calcul automatique de poutres Valeur limite de l'ouverture calculée des issures (w ma ) On trouve la valeur limite de l ouverture calculée des issures dans le tableau 7NF a valeur limite de l ouverture calculée des issures est donc de, mm sous combinaison quasi-permanente de charges On attire l attention sur la note () du tableau : «attention est attirée sur le ait que w ma est une valeur conventionnelle servant pour le calcul» Ainsi, la valeur que nous calculons est une valeur conventionnelle moyenne qui ne pourra en aucun cas être comparée à des mesures eectuées sur l ouvrage eécuté Année - 9/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU w Calcul de l'ouverture des issures (w k ) k s r, ma sm cm où : - s r,ma est l'espacement maimal des issures - ε sm est la déormation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, incluant l'eet des déormations imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu Seul est pris en compte l'allongement relati au-delà de l'état correspondant à l'absence de déormation du béton au même niveau - ε cm est la déormation moyenne du béton entre les issures ε sm - ε cm peut être calculé au moyen de l'epression : ct, e s kt e p, e p, e s sm cm,6 E E s où : - σ s est la contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section issurée Dans le cas des éléments en béton précontraint par pré-tension, σ s peut être remplacée par Δσ p, variation de contrainte dans les armatures de précontrainte depuis l'état correspondant à l'absence de déormation du béton au même niveau - α e est le rapport E s /E cm - ct,e = ctm - As Ap As p, e ; p, e Ac, e Ac, e dans le cas d éléments en béton armé non précontraints - A c,e est l'aire de la section eective de béton autour des armatures tendues, c'est-àdire l'aire de la section de béton autour des armatures de traction, de hauteur h c,e, où h c,e est la plus petite des trois valeurs ci-après :,5(h - d), (h - )/ ou h/ (voir Figure 7) - k t est un acteur dépendant de la durée de la charge o k t =,6 dans le cas d'un chargement de courte durée o k t =,4 dans le cas d'un chargement de longue durée Figure 7 Sections eectives de béton autour des armatures tendues (cas types) s Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU s r,ma peut être calculé par l epression suivante : s r, ma k c k k k4 p, e - est le diamètre des barres orsque plusieurs diamètres de barres sont utilisés dans une même section, il convient de retenir un diamètre équivalent eq Dans le cas d'une section comportant n barres de diamètre et n barres de diamètre, il convient d'adopter : n n eq n n - c est l'enrobage des armatures longitudinales - k est un coeicient qui tient compte des propriétés d'adhérence des armatures adhérentes o =,8 pour les barres à haute adhérence o =,6 pour les armatures ayant une surace eectivement lisse (armatures de précontrainte, par eemple) - k est un coeicient qui tient compte de la distribution des déormations : o =,5 en leion o =, en traction pure Dans le cas d'une traction ecentrée ou pour certaines zones localisées, il convient d'utiliser des valeurs intermédiaires de k que l'on peut déterminer de la manière suivante : k où ε est le plus grand et ε le plus petit allongement relati en ibre etrême, la section étant supposée issurée 5 - k,4 (c en mm), suivant l Annee Nationale Française c - k 4 =,45 Dans notre cas, on trouve à mi-travée : h 6 m b w d y ct,e E s A s s 8 m 56 m 4 m Pa GPa 5 cm² 64 Pa e 588 k t 4 h c,e 5 m A c,e m² p,e 7 sm cm 45 eq c mm 6 mm 4 mm 7 mm 45 mm k 8 k 5 k 98 k 4 45 p,e 7 s r,ma w k w ma 9 mm 9 mm mm Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Sur appui, on trouve : h 6 m b w d y ct,e E s A s s 8 m 5 m 59 m Pa GPa 648 cm² 58 Pa e 588 k t 4 h c,e 4 m A c,e 9 m² p,e 7 eq c mm 5 mm 89 mm 45 mm k 8 k 5 k 98 k 4 45 p,e 7 s r,ma w k 7 mm 97 mm sm cm 4 w ma mm On en conclut que le critère d ouverture des issures est respecté à mi-travée et sur appui Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Vériication des lèches Comme pour la vériication de l ouverture des issures, il eiste deu possibilités pour vériier les lèches : une vériication oraitaire ou une vériication par le calcul Vériication oraitaire a vériication oraitaire consiste à comparer le rapport portée sur hauteur utile (/d) à une valeur maimale Si le rapport /d ne dépasse pas la valeur maimale, alors il n est pas nécessaire de calculer la lèche e rapport /d maimal est ourni dans le tableau ci-dessous : Clause 74 () NOTE es valeurs de K à utiliser sont données dans le Tableau 74NF pour des cas courants (C/5, σ s = Pa, diérents systèmes structurau et les pourcentages d'armatures - ρ =,5 % et ρ =,5 %) Il est possible d'interpoler entre les deu pourcentages donnéstableau 74NF Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile pour les éléments en béton armé, en l'absence d'eort normal de compression ρ est le pourcentage d'armatures de traction nécessaire à mi-portée (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment engendré par les charges de calcul Dans notre cas, ρ =,5%, ainsi le rapport /d est limité à 6, or /d = 5,7 Il n est donc pas nécessaire de calculer la lèche Nous allons néanmoins calculer la lèche ain de décrire la méthode de calcul déinie dans l Eurocode Année - 4/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Flèche sous combinaison quasi-permanente e calcul de lèche se ait sous combinaison quasi-permanente des charges Cette lèche calculée doit être inérieure à /5, soit,4 mm a lèche d une poutre en béton armé est diicile à calculer car l inertie de la poutre varie sur sa longueur, en eet, les sections aiblement sollicitées ne sont pas issurées tandis que les sections ortement sollicitées sont issurées De plus, l inertie dépend du erraillage qui évolue lui aussi le long de la poutre Eurocode décrit une méthode simpliiée pour évaluer la lèche d une poutre en béton armé a lèche d une poutre en béton armé est donnée par la ormule : II I où I est la lèche de la poutre en considérant que celle-ci n est pas issurée, II est la lèche de la poutre en considérant que celle-ci est entièrement issurée, est un coeicient d interpolation entre les deu états de la poutre donné par la ormule suivante : cr =,5 pour un chargement prolongé I h I h cr est le moment critique de première issuration, cr ctm ctm v h y où I h est l inertie non issurée de la section (ou inertie homogénéisée) et v est la distance entre l ae neutre et la ibre inérieure est le moment sollicitant, donc ici, = ES,qp =,44 Nm On calcule maintenant l inertie homogénéisée : On suppose que l ae neutre n est pas situé dans la table de compression On obtient alors : y y h h y b b bw bw n As d y Après simpliication des termes en y, on obtient donc une équation du er degré en y inertie homogénéisée est donnée par la ormule suivante : y y h h y I b b b b n A d y w w s b = m h = 5 m Ae neutre y h = 6 m b w = 8 m Année - 44/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On obtient donc les résultats suivants : hauteur utile d 56 m largeur de la table b m hauteur totale h 6 m épaisseur de la table h 5 m largeur d'âme b w 8 m section d'armatures A s 5 cm² coeicient d'équivalence n 57 position de l'ae neutre y 59 m inertie non issurée I h 5 m4 Résistance à la traction du béton ctm Pa oment critique de première issuration cr 6 Nm 5 oment sollicitant ES,qp 44 Nm Coeicient d'interpolation 88 a lèche maimale de la poutre est obtenue lorsque qu une seule travée est chargée par l action variable a lèche est alors obtenue par la ormule suivante pour : 4 4 7 u g, q Ec, e I 48 4 48 96 4 96 Ecm où Ec e, GPa,, t Il n est pas évident de trouver analytiquement le minimum de cette onction (u() est négati) On trace donc cette onction dans Ecel et on en déduit les lèches dans l état issuré et dans l état non issuré : 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6,8,5,,5 αi αii,,5 Année - 45/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On en déduit : Flèche dans l'état non issuré α I 76 mm Flèche dans l'état issuré α II 5 mm coeicient d'interpolation 88 Flèche α 84 mm On en déduit que le critère de lèche est vériié Il n est pas toujours possible de déterminer acilement la lèche analytiquement Il est alors possible d utiliser une valeur approchée de la lèche donnée par la ormule : où est le moment à mi-travée de la poutre E I Dans notre cas, on obtient par cette ormule : oment à mi travée ES,qp 44 Nm Portée 8 m odule d'élasticité eecti du béton E c,e Pa Inertie non issurée I h 5 m4 Inertie issurée I 9 m4 Flèche dans l'état non issuré α I 96 mm Flèche dans l'état issuré α II 59 mm coeicient d'interpolation 88 Flèche α mm Vériication du critère de lèche nuisible orsque qu une poutre supporte des éléments ragiles (cloisons, açades, revêtements ragiles, ), il est nécessaire de vériier le critère de lèche nuisible Cette méthode est communément admise par tous les acteurs du bâtiment et permet d éviter l endommagement des éléments ragiles par une leion trop importante des planchers à long terme a méthode de calcul tient compte du processus de chargement du plancher et des propriétés de celui-ci a méthode n est pas décrite dans l Eurocode mais dans un ascicule édité par la Fédération Française du Bâtiment intitulé : «Recommandations proessionnelles pour l application de la norme NF EN 99-- et de son annee nationale» On donne pages suivantes, un etrait de ce document décrivant la méthode de calcul des lèches nuisibles Année - 46/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Année - 47/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Année - 48/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Dans notre cas, on a c = r = a lèche nuisible est limitée à,5 cm On ait l hypothèse que ψ =,, c est-à-dire que % du luage s est déjà produit lorsque l on apporte les éléments ragiles On obtient les résultats suivants pour le calcul de lèche nuisible : 8 m p 69 Nm t c Nm di r Nm dv q 57 Nm w t 5 cm cr 6 Nm w di 8 cm I h 5 m4 w dv 5 cm I e 9 m4 E i 4 Pa wnuisible 99 cm E v Pa wma 5 cm Calcul de la lèche par intégration des courbures Un calcul plus précis de la lèche peut être ait en calculant la courbure dans un grand nombre de sections le long de l'élément (en tenant compte pour chaque section du erraillage eectivement mis en place), puis à calculer la lèche par intégration numérique Comme nous l'avons ait au, deu calculs de courbure seront eectués, l'un en supposant la poutre non issurée et l'autre en supposant la poutre entièrement issurée On appliquera la ormule (78) de l'eurocode au courbures : II I On intègre ensuite la courbure ainsi interpolée pour calculer la lèche Une telle précision n'est généralement pas requise et les méthodes précédentes suisent C'est le cas pour notre eemple, d'autant plus que la lèche calculée est très inérieure à la lèche limite Année - 49/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 4) Ratio de erraillage e ratio de erraillage est le rapport entre le poids d'acier mis en oeuvre dans la poutre et le volume de béton de la poutre Ce ratio permet d'évaluer si la poutre est bien dimensionnée et si elle sera acilement eécutable sur chantier Un dimensionnement acceptable correspond à un ratio compris entre 75 et kg/m Pour déterminer le poids d'acier mis en oeuvre dans la poutre, on utilise la nomenclature du plan de erraillage n type nombre de nombre ongueur Poids par barres d'éléments totale diamètre HA 5 857 cm HA 8 8 kg HA 6 5 54 cm HA kg HA 4 5 5 cm HA kg 4 HA 8 5 55 cm HA 4 45 kg 5 HA 5 6 cm HA 6 857 kg 6 HA 5 56 cm HA kg 7 HA 5 5 4 cm HA 5 655 kg 8 HA 8 6 64 cm HA 768 kg 9 HA 8 78 7 cm TOTA 747 kg On calcule le volume de la poutre : V poutre = A c totale a longueur totale est égale à 6,45m a section de béton est égale à,48 m On ne prend pas en compte la table de compression dans le calcul du ratio car nous n'avons pas armé cette partie de la poutre Il manque donc des aciers et cela ausserait le ratio de prendre en compte les ailes On en déduit : V poutre = 7,896 m On en déduit un ratio de 9,5 kg/m Ce ratio est relativement aible, mais il ne prend pas en compte les armatures de la table de compression (armatures de dalle + couture âme-table) De plus, en cas de reprise de bétonnage sur la hauteur de la poutre (on peut par eemple couler les 45cm de l'âme de la poutre puis couler les 5cm de dalle, on peut également avoir un retombée de poutre préabriquée), il aut dimensionner les armatures de reprise de bétonnage qui peuvent aire augmenter le ratio global Enin, en cas de réservation dans la poutre, il audra prévoir des renorts autour de cette réservation ce qui era aussi augmenter le ratio FIN DE A ème SEANCE Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU COPEENTS 5) Calcul des armatures de couture entre l'âme et la table 5 Principe du calcul Pour dimensionner les armatures de leion, nous avons pris en compte toute la largeur de la table de compression Cette hypothèse nécessite de disposer des armatures de couture entre l'âme et la table de la poutre Ces armatures permettent de diuser l'eort de compression dans les ailes e dimensionnement de ces armatures s'appuie sur un schéma de bielles et tirants similaire à celui utilisé pour l'eort tranchant a procédure de vériication est aussi similaire : Il aut d'abord vériier la contrainte de compression dans les bielles de béton Il aut ensuite dimensionner les armatures de couture a vériication peut s'eectuer sur des tronçons de longueur en respectant < ½ distance entre la section de moment nul et la section de moment maimal et < distance entre charges pour des charges ponctuelles 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles Il aut respecter : v Ed Fd h cd sin cos où F d est la variation d eort normal sur dans une aile h est l'épaisseur de la table de compression est l'angle d'inclinaison des bielles Il aut vériier, cot, si la membrure est comprimée et, cot,5 si la membrure est tendue Note : en remarquant que sin cos, on retrouve l'epression de tan cot vériication de la contrainte de compression dans les bielles d'eort tranchant Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU e point de moment nul est situé en = et le point de moment maimal en =,4m On pose donc =,6 m On en déduit : h z F F d v Ed m Nm 6 m 6 m 5 m 556 Nm 556 Nm 45 m 6 N 7 N 5 Pa 4 m 6 m 5 m 7 Nm 74 Nm 45 m 87 N 6 N 48 Pa On calcule maintenant l'angle optimal,6 ck,56 ; cd =, Pa 5 Avec cot =, on a sin cos 4, v sin cos Ed cd On choisit donc cot = cd 8 Pa et on vériie largement la condition 5 Calcul des armatures de couture es armatures de couture doivent vériier On obtient donc : A s s ved h yd cot h v Ed cot( ) A s /s A s s m 6 m 6 m 5 m 5 Pa 6 cm²/ml 5 cm² 9 m 4 m 6 m 5 m 48 Pa 8 cm²/ml 5 cm² 6 m On dispose donc HA8 tous les 9cm en zone d'appui Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 6) Calcul au eu a résistance au eu est l'objet de la partie - de l'eurocode On distingue deu méthodes de vériication d'une poutre soumise au eu : es méthodes décrites dans la section 4 de l EC partie - qui permettent de vériier les poutres en situation de eu en tenant compte de l'échauement et de l'endommagement de la section a section 5 de l EC partie - permet de s assurer de la tenue au eu en utilisant les valeurs tabulées de certaines dispositions minimales On suppose un eu normalisé R9 (c'est-à-dire un eu de 9 mn) 6 Vériication par le calcul On vériie la tenue de la poutre soumise au eorts correspondant à des situations de eu en tenant compte de son endommagement es eorts en situation de eu sont donnés par l'équation suivante : E E où E peut désigner l'eort tranchant ou le moment de leion d, i i G k d Gk i Qk, Qk, i ; i,, 5;, 5 G Q G Q, k, On en déduit : E d,i =,66E d Ainsi, V ma,i =,66V ma,eu ; ma,i =,66 ma,eu ; k a vériication de la résistance d'une section soumise au eu étant un calcul relativement compliqué, nous ne le traiterons pas ici 6 Vériication des dispositions minimales a section 5 de l'ec partie - permet de s'aranchir d'un calcul au eu si la poutre respecte une certain nombre de dispositions minimales Ces dispositions sont : argeur minimale de la poutre b min Distance moyenne de l'ae des armatures au parement : a a section droite de la poutre ne doit pas être inérieure à b min es valeurs de b min et a à respecter sont données dans le tableau 55 donné page suivante Il aut respecter au choi l'une des quatre colonnes 'enrobage de 5 mm nous assure que la distance moyenne de l'ae des armatures au parement est supérieure à 5 mm Nous respectons donc un critère de la quatrième colonne qui impose aussi b min = 4 mm Or notre poutre a une largeur de 8 mm Nous respectons donc bien les critères du tableau 55 pour un eu normalisé R9 a section droite de notre poutre est de,48 m, ce qui est bien supérieur à b min =, m Nous pouvons donc dire que notre poutre résiste à un eu normalisé R9 Année - 5/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Année - 54/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7) Annee : Rappel théorique : calcul des armatures de leion à l EU 7 Principes générau de la leion simple Déinition de la leion simple Une section d une poutre est soumise à de la leion simple lorsque la somme des orces etérieures agissant sur cette section eprimée par rapport au aes principau d inertie se réduit à un couple et un eort de cisaillement Ainsi, en tout point d une poutre soumise à de la leion simple, les sollicitations internes de la poutre sont {N() = ; () ; V()} Equations d équilibre d une poutre en béton armé es équations d équilibre s obtiennent en écrivant l égalité entre les orces etérieures agissantes et les eorts internes résistants générés par les contraintes se développant dans les matériau lorsque la section de la poutre se déorme On ne s intéresse ici qu au sollicitations normales à la section, c est-à-dire au moment de leion et à l eort normal (nul dans le cas de la leion simple) e moment de leion lié au orces etérieures sera équilibré par des contraintes de traction et de compression qui vont se développer dans la section En béton armé, les contraintes de traction se développent dans les armatures et les contraintes de compression dans le béton On obtient ainsi deu eorts résultants dans la section : un eort de traction repris par les armatures, noté N A, et un eort de compression repris par le béton, noté N B Ces eorts sont espacés d une distance z que l on appelle le bras de levier, comme cela est représenté sur la igure ci-dessous ( ) Equilibré par N B N A z Béton comprimé Armatures tendues Eorts etérieurs Eorts internes On écrit maintenant l équilibre entre les orces etérieures et les eorts internes: Eort normal : = N A N B oment de leion : () = N B z Eemple : Etude d une poutre isostatique Pour illustrer les propos précédents, nous allons étudier tout au long du cours une poutre isostatique soumise à une charge répartie p et représentée sur le schéma ci-dessous Année - 55/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU y p es notations utilisées sont les suivantes : : portée de la poutre (selon l ae ) p : intensité de la charge répartie le long de la poutre (orces etérieures appliquées à la poutre) On détermine maintenant analytiquement les sollicitations générées par les actions etérieures sur la poutre On se place dans une section quelconque à une abscisse et on somme les orces etérieures appliquées sur la partie à gauche de cette section par rapport à la partie à droite de cette section (c schéma ci-dessous) es eorts s écrivent donc : N() = V() = V A p () = V A p/ En remarquant que (=) = (=) =, on obtient V A = p/ et donc : N() = V() = p(/-) () = p/(-) F = p (résultante) / p N( ) ( ) V() V A (réaction d appui) V B (réaction d appui) 7 Dimensionnement d une section rectangulaire Rappel des hypothèses de calcul liées au EU es hypothèses utilisées pour le calcul au états limites ultimes (EU) sont les suivantes : es sections planes restent planes (principe de Navier-Bernouilli), Adhérence paraite des armatures et du béton adjacent, Résistance du béton à la traction négligée, Année - 56/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 4 Diagrammes contrainte-déormation des matériau non linéaires On rappelle les diagrammes contrainte-déormation des matériau : Pour le béton, on utilise le diagramme «parabole-rectangle» : Pour ck compris entre pa et 5 pa, on a : n = ; c = ; cu =,5 où n est l'eposant, tel qu'indiqué dans le Tableau (c Annee ) ε c est la déormation atteinte pour la contrainte maimale, telle qu'indiquée dans le Tableau (c Annee ) ε cu est la déormation ultime, telle qu'indiquée dans le Tableau (c Annee ) Pour les aciers on utilise un diagramme bilinéaire à choisir entre le diagramme à «branche horizontale» et le diagramme à «branche inclinée» : E S = Gpa Pour des armatures de classe B : yk = 5 pa ; k =,8 ; uk = 5 ; ud =,9 uk = 45 Principes de dimensionnement e calcul au états limites ultimes consiste à vériier qu aucun des deu matériau, béton et acier, ne dépasse son point limite de rupture sous charges majorées En pratique, on se place dans un état limite ou l un des deu matériau au moins atteint tout juste son point de rupture Pour le béton, ce point est caractérisé par le ait que la ibre la plus sollicitée a une déormation relative en compression tout juste égale à cu ( =,5 pour ck 5 pa), ce qui correspond au pivot B Année - 57/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Pour l acier, ce point est caractérisé par le ait que la ibre située au barycentre des aciers tendus a une déormation en traction tout juste égale à ud =,9 uk (= 45 pour des armatures de classe B), ce qui correspond au pivot A Un diagramme de déormation à l EU en leion simple passera donc soit par le pivot A (cas de rupture par l acier) soit par le pivot B (cas de rupture par le béton) es pivots A et B sont représentés sur le diagramme ci-dessous sur lequel on voit aussi apparaître le pivot C qui n est utilisé qu en leion composée avec compression Figure 6Diagramme des déormations relatives admissibles à l'état-limite ultime Année - 58/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Equations d équilibre On repart des équations d équilibre obtenues au : Eort normal : = N A N B oment de leion : () = N B z On adapte des équations à une section rectangulaire en béton armé N A est l eort de traction repris par les aciers et N B l eort de compression repris par le béton a position et l intensité de ces résultantes se déduisent du diagramme de contrainte qui lui-même se déduit du diagramme de déormation hypothèse (principe de Navier-Bernouilli) permet d'airmer que le diagramme de déormation est linéaire es hypothèses et 4 permettent de déduire les diagrammes de contrainte dans les matériau : y d y b y b h z d d A a a b Section de la poutre b : largeur de la poutre (selon l ae z) h : hauteur de la poutre (selon l ae y) A : aire d acier représentée en son centre de gravité d : distance entre la ibre supérieure et le centre de gravité des aciers Cette distance est appelée la hauteur utile d : hauteur de béton comprimé d : bras de levier des eorts internes, c est-à-dire la distance entre le centre de gravité des aciers et le barycentre des compressions b : déormation maimale du béton a : déormation des aciers eprimée en leur centre de gravité b : contrainte maimale dans le béton a : contrainte dans les aciers eprimée en leur centre de gravité On obtient alors : N A = A a b b d d N B z = d () = A a d et () = d Diagramme des déormations b b d Diagramme des contraintes En dimensionnement à l EU, conormément au paragraphe précedent, on aura a = ud (pivot A) ou b = cu (pivot B) Année - 59/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Approimation rectangulaire Pour simpliier les équations précédentes, on peut admettre en leion simple et en pivot B un diagramme rectangulaire simpliié de compression déini par les coeicients et e coeicient représente la hauteur "eicace" de la zone comprimée et le coeicient déinit la résistance eective du béton e principe de cette approimation est déini par le schéma suivant NOTE Si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la ibre etrême la plus comprimée, il convient de réduire η cd de % intérêt de cette approimation peut paraître limité dans le cas d une section rectangulaire pour laquelle on peut calculer acilement la résultante de compression et sa position avec la loi parabole rectangle Cependant, pour une section quelconque (telle que celle représentée sur le schéma ci-dessus), l intégration des contraintes est plus complee En utilisant l approimation rectangulaire, la résultante de compression est égale à l aire hachurée multipliée par le tau de travail cd et celle-ci est appliquée au centre de gravité de cette aire hachurée Dans la suite, on utilisera l approimation rectangulaire On era une comparaison entre le diagramme rectangulaire et le diagramme parabole-rectangle dans le paragraphe Ainsi, si on se trouve en pivot B, les équations d équilibre deviennent : N A = A a N B = bd cd z = d = (-/)d () = A a (-/)d et () = (-/)bd cd Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Pivot A ou Pivot B? Pour déterminer la section d acier nécessaire, il aut savoir au préalable si la section est en pivot A ou en pivot B ain de déinir correctement l état de contrainte dans le béton Pour cela, on détermine le moment limite entre le pivot A et le pivot B en utilisant le diagramme de déormation passant par les deu pivots y d y b = cu y cd d h z d d A b Section de la poutre a = ud Diagramme des déormations a Diagramme des contraintes avec approimation rectangulaire On suppose un béton de classe C et des armatures de classe B On a donc cu =,5 et ud = 45 On en déduit les équations suivantes : AB =,5/(,5+45) =,7 AB =,4 AB =,97 AB =,8 AB bd cd AB d =,56bd cd AB /(bd cd ) =,56 On ait ainsi apparaître le coeicient sans dimension AB /(bd cd ) que l on va noter AB D une manière générale, pour une poutre en leion simple, on appellera moment réduit le coeicient = EU /(bd cd ) (c 9 pour plus de détails sur ce coeicient) En comparant le moment réduit de la poutre à AB, on peut savoir si l on est en pivot A ou en pivot B En eet, lorsque la sollicitation de leion simple augmente progressivement, le diagramme de déormation passe successivement par le pivot A (aible sollicitation et aible hauteur de béton comprimé) puis par le pivot B On a ainsi : < AB ou < AB =,56 pivot A > AB ou > AB =,56 pivot B On peut déinir le coeicient AB pour un béton et une classe d armatures quelconque : cu AB AB cu ud,5 AB AB AB b d cd AB d AB cu,5 AB cu,5 AB ud cu cu ud cu,5 cu ud Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination de la section d acier Pour déterminer la section d acier, il aut tout d abord déterminer si l on est en pivot A ou en pivot B On compare pour cela le moment réduit = /(bd cd ) au moment réduit limite entre pivot A et pivot B, AB On era l hypothèse d un béton de classe inérieure ou égale à C5 et des armatures de classe B Si on est en pivot A ( < AB ) : y y b < cu y cd d d h A En théorie, on ne peut pas utiliser l approimation rectangulaire Cependant, pour simpliier, on utilise quand même cette approimation On montrera dans le que cette approimation n a qu une très aible incidence sur le résultat (<,5% sur la section d'acier) es équations d équilibre obtenues dans le deviennent : N A = N B = A a N B =,8bd cd EU =,8bd (-,4) cd = A a d On ait apparaître le moment réduit dans la dernière équation : =,8(-) Il ne reste plus que deu inconnues : d et d est la hauteur utile et dépendra du erraillage pratique On postule donc une valeur initiale pour d, hypothèse qu il audra vériier une ois le erraillage pratique établi En postulant d = min(,9h ; h,), on obtient une valeur généralement acceptable Il ne reste donc plus qu une seule inconnue : On a donc une équation du second degré en que l on résout :,5,4 Il reste à déterminer la section d acier En pivot A, l allongement des aciers est par déinition égal à ud Si l on choisit d utiliser la branche horizontale du diagramme contraintedéormation des aciers, on a a = yk / S Si on utilise la branche inclinée du diagramme yk contrainte-déormation des aciers, on a a S On en déduit la section d acier : EU A d a z b Section de la poutre d d a = ud Diagramme des déormations ( k ) ud uk a yk yk E E S S S S Diagramme des contraintes avec approimation rectangulaire Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Si l on est en pivot B ( > AB ) : y d y b = y cd d h A z b Section de la poutre d d a < ud En pivot B, on peut utiliser l approimation rectangulaire On retombe donc sur les mêmes équations que pour le pivot A : N A = N B = A a N B =,8bd cd EU =,8bd (-,4) cd = A a d Après résolution de l équation du second degré en, on trouve :,5,4 EU A d a a diérence avec le pivot A réside dans le ait que l on ne connaît pas a et donc on ne connaît pas non plus a a déormation relative des aciers se déduit en ait de la valeur de par la ormule suivante : a b cu On en déduit ensuite a en utilisant le diagramme contrainte-déormation des aciers : Si a yd = yk /( S E S ) a = E S a (les aciers sont dans la phase élastique) Si a yd = yk /( S E S ) a = yk / S si l on utilise la branche horizontale du diagramme yk a yk ES S a ( k ) si l on utilise la S uk yk ES S branche inclinée du diagramme (les aciers sont dans la phase plastique) Diagramme des déormations a Diagramme des contraintes avec approimation rectangulaire Année - 6/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Vériication de la hauteur utile Une ois la section d acier théorique calculée, on détermine un erraillage pratique A partir de ce erraillage pratique, on calcule la position réelle du centre de gravité des aciers et donc la valeur réelle de la hauteur utile que l on compare à la valeur qui a été prise en compte initialement : Si la hauteur utile réelle est supérieure à la hauteur utile initialement prise en compte, on peut optimiser la section d acier en reaisant le calcul avec la hauteur utile réelle ou conserver le résultat obtenu Si la hauteur utile réelle est inérieure à la hauteur utile initialement prise en compte, la section d acier obtenue est sous-dimensionnée et on est du côté de l insécurité Il aut donc nécessairement reaire le calcul avec la hauteur utile réelle pour vériier si le erraillage pratique choisi est suisant Si il ne l est pas, il aut déterminer un nouveau erraillage pratique et reaire la vériication jusqu à ce que la hauteur utile réelle soit supérieure ou égale à la hauteur utile prise en compte dans le calcul Synthèse de la méthode de calcul des armatures dans une section rectangulaire On donne page suivante le logigramme de dimensionnement d'une section rectangulaire en béton armé Année - 64/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On postule une valeur de d : d = min(,9h ; h,) On calcule le moment réduit : EU b d cd d = d réelle oui Pivot A :,5,4 a = ud b = a (-) AB? non Pivot B :,5,4 b = cu a = b (-)/ oui a > yk /( S E S )? branche inclinée? non non oui a yk a ( k ) S uk yk yk ES S E S S a = yk / S a = E S a A EU d a On détermine un erraillage pratique et on calcule la position réelle du centre de gravité des aciers : d réelle d réelle > d? oui Optimisation? non oui FIN non Année - 65/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU oment réduit EU Nous avons ait apparaître en posant les équations le coeicient sans dimension b d cd qui est le point de départ du dimensionnement d une poutre en leion simple On appelle ce coeicient le moment réduit Ce coeicient est très utilisé lors du pré-dimensionnement des poutres puisqu il n est constitué que de variables connues : EU est déterminé par les charges qui s appliquent sur la poutre, b est la largeur de la poutre, cd est la résistance de calcul du béton, d est le seul paramètre inconnu puisqu il dépend du erraillage pratique que l on va mettre en place Cependant, on peut postuler une valeur pour d qui sera proche de la valeur réelle En général, en prenant d = min(,9h ; h,) comme valeur de départ, on approche bien la valeur réelle Cette valeur initiale peut être modulée en onction de l enrobage, des dimensions de la poutre, Dans tous les cas, il audra vériier que la valeur initiale prise en compte est bien supérieure à la valeur réelle correspondant au erraillage que l on va mettre en place En général, le moment réduit est compris dans une ourchette allant de,9 à, a borne supérieure est conditionnée par les critères ES : lèche, limitation des contraintes dans le béton, Ce coeicient est donc très utilisé en pré-dimensionnement pour déterminer les dimensions d une poutre A partir du moment EU (que l on connaît en aisant une approimation sur le poids propre de la poutre qui n est généralement pas prépondérant) et de la qualité de béton que l on souhaite, on détermine les paramètres b et d de la poutre en essayant d avoir un moment réduit compris entre,9 et,, tout en respectant les critères architecturau (dimensions maimales admissibles) On en déduit ensuite la hauteur h de la poutre en utilisant par eemple la ormule h = min(d/,9 ; d +,) ou en déterminant un erraillage pratique Enin, comme nous l avons déjà vu précédemment, le moment réduit permet de déterminer le mode de rupture en leion : < AB =,56 pivot A > AB =,56 pivot B Année - 66/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Inluence du pivot A Dans l'ancien règlement (BAE), le pivot A correspondait à un allongement des aciers de Dans le règlement Eurocode, l'allongement maimal des aciers est très largement supérieur (,5 pour des armatures de classe A, 45 pour des armatures de classe B et 67,5 pour des armatures de classe C) On étudie l'incidence de cette évolution règlementaire avec un eemple On considère une section rectangulaire de 4cm de largeur et 7cm de hauteur en béton de classe de résistance ck = Pa On suppose des armatures de classe B On utilisera l'approimation rectangulaire et la branche horizontale du diagramme contrainte-déormation des aciers On compare les résultats obtenus en onction de la règlementation utilisée pour un moment réduit identique égal à,4 : Eurocode =,4 pivot B =,89 =,94 b =,5 a = 5, a = 44,8 Pa A = 6,7 cm² =,4 pivot A =,89 =,94 b =, a =, a = 44,8 Pa A = 6,7 cm² "BAE" Ainsi, on remarque que la valeur de l'allongement correspondant au pivot A n'a pas d'incidence sur le dimensionnement de la section En eet, que l'on soit en pivot A ou en pivot B, on utilise l'approimation rectangulaire, raison pour laquelle les résultats précédents sont identiques Si on n'utilise pas l'approimation rectangulaire, on aura un résultat similaire puisque l'approimation aite génère un écart inérieur à,5% sur la section d'acier (c ) Année - 67/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Inluence du type de diagramme retenu pour les aciers Pour comprendre l incidence du choi du diagramme contrainte-déormation des aciers (branche horizontale ou branche inclinée), on compare la section d acier obtenue avec les deu diagrammes en onction du moment réduit On considère des armatures de classe B, c est-à-dire que l on a k =,8 On trace le rapport entre la section obtenue avec la branche horizontale et la section obtenue avec la branche inclinée :,8 A(br horiz)/a(br inclinée),7,6,5,4, A(br horiz)/a(br inclinée),,,99,5,,5,,5,,5,4,45 On remarque que la section est évidemment plus importante avec la branche horizontale qu avec la branche inclinée On remarque aussi le gain généré par l utilisation de la branche inclinée diminue lorsque la sollicitation augmente Ainsi, le gain obtenu est de l ordre de % dans la section la plus sollicitée d une poutre pour laquelle on devrait avoir un moment réduit compris entre,9 et, si celle-ci est correctement dimensionnée e gain est donc négligeable, voire nul lorsque l on passe au erraillage pratique Cependant, lorsque l on étudie la poutre dans son ensemble, le moment réduit varie tout au long de la poutre entre et sa valeur maimale En utilisant la branche inclinée, on peut donc gagner en moyenne 4% à 5% d acier par rapport à la branche horizontale Ce gain ne sera eecti avec le erraillage pratique que si la poutre est erraillée avec plusieurs lits d armatures Année - 68/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Inluence de l approimation rectangulaire On peut estimer l erreur eectuée lorsque l on utilise l approimation rectangulaire Pour cela, on trace le rapport entre la section d acier obtenue en utilisant l approimation rectangulaire et la section obtenue en utilisant la loi parabole-rectangle Cette comparaison est aite pour une section rectangulaire avec un béton de résistance caractéristique ck 5 pa approimation rectangulaire est utilisée aussi bien en pivot A qu en pivot B On utliise la branche horizontale du diagramme contrainte-déormation des aciers,5 A(appro Rect)/A(parab Rect),995,99,985,98,975 A(appro Rect)/A(parab Rect),97,965,96,955,95,5,,5,,5,,5,4 On remarque donc qu en pivot A (,56), l erreur aite en utilisant l approimation rectangulaire est négligeable puisqu elle est inérieure à,5% En pivot B, l erreur est inérieure à,5% tant que le moment réduit est inérieur à,7 Pour des sollicitations plus importantes, les aciers sont en phase élastique et la précision se dégrade ortement Cependant, pour de telles sollicitations, les critères ES vont devenir prépondérants sur le dimensionnement des armatures Année - 69/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7 Dimensionnement d une section en Té Déinition d une poutre en Té On décrit sur le schéma ci-dessous les grandeurs caractéristiques d une section en Té : b h A h d b w h : épaisseur de la table de compression b : largeur de la table de compression b w : largeur de l âme de la poutre h : hauteur totale de la poutre d : hauteur utile de la poutre (distance entre le centre de gravité des aciers tendus et la ibre la plus comprimée) Détermination de la largeur participante Avant d étudier la section en Té, il aut déterminer la largeur participante b e, c est-à-dire la largeur de la table de compression que l on peut prendre en compte Pour que la table de compression puisse être prise en compte dans le calcul des armatures, il aut que les contraintes de compression puissent se diuser dans la largeur Cette largeur participante dépend donc de la largeur disponible b et de la portée de la poutre (ou plus précisément la distance entre points de moment nul) :, l be be, i bw b avec be, i, bi, l bi b e,i est la largeur eicace de l'aile i b e est la largeur participante de la section en T b i est la largeur de l'aile i b w est la largeur de l'âme l est la distance entre points de moment nul Pour déterminer la distance entre points de moment nul dans une poutre continue, on peut utiliser le schéma ci-dessous : Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination de la section d acier On utilisera dans ce paragraphe l approimation rectangulaire On suppose un béton de résistance caractéristique ck 5 pa et des armatures de classe B On trace les diagrammes de contraintes : b e y y b y cd h d d h Section de la poutre a première étape du calcul consiste à déterminer si la compression (après approimation rectangulaire) s eerce entièrement dans la table de compression Pour cela, on calcule le moment maimal ( l,t ) pouvant être repris par la table de compression seule On détermine ce moment en supposant qu une contrainte égale à cd pour un béton courant (ou cd pour un béton haute perormance) s eerce dans la totalité de la table de compression et que la contrainte de compression est nulle ailleurs On en déduit : l,t = b e h cd (d-h /) On compare ensuite l,t au moment EU EU : EU l,t a compression est entièrement dans la table EU > l,t a compression n est pas entièrement dans la table Si la compression est entièrement dans la table, on retrouve les équations d une section rectangulaire On a donc : EU b d e A b w cd,5,4 a = b /( ) yk a yk ES S a ( k ) si a >,75 ou a = E S a sinon S uk yk ES S EU A d a z d d a Diagramme des déormations a Diagramme des contraintes avec approimation rectangulaire Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Si la compression n est pas entièrement dans la table, on a alors : b e y y b y cd h d d h A b w z Section de la poutre d d a Pour déterminer la section d acier, on décompose la section en deu parties : les débords de la table de compression et la nervure : Diagramme des déormations a Diagramme des contraintes avec approimation rectangulaire es débords sont entièrement comprimés, ils équilibrent donc le moment suivant : h table b e bw h cd d a partie restante de la section orme une section rectangulaire de largeur b w et de hauteur utile d qui doit équilibrer le moment EU = EU table étude de cette section est identique à l étude d une section rectangulaire On en déduit : EU EU table b d b d w cd w,5 cd,4 a = b '/( ') yk a yk ES S a ( k ) si a >,75 ou a = E S a sinon S uk yk ES S EU A d a table b EU e bw h cd A A h d a a d a A Vériications complémentaires orsque l on calcule une section en Té, il aut également dimensionner les armatures qui permettent de diuser les eorts de compression dans les débords de la table de compression que l on appelle armatures de couture âme-table e détail de ce calcul est donné en 74 Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Année - 7/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 74 Détail du calcul des armatures de couture âme-table Principe du calcul : Pour dimensionner les armatures de leion, nous avons pris en compte toute la largeur de la table de compression Cette hypothèse nécessite de disposer des armatures de couture entre l'âme et la table de la poutre Ces armatures permettent de diuser l'eort de compression dans les ailes e dimensionnement de ces armatures s'appuie sur un schéma de bielles et tirants similaire à celui utilisé pour l'eort tranchant a procédure de vériication est aussi similaire : Il aut d'abord vériier la contrainte de compression dans les bielles de béton Il aut ensuite dimensionner les armatures de couture a vériication peut s'eectuer sur des tronçons de longueur en respectant < ½ distance entre la section de moment nul et la section de moment maimal et < distance entre charges pour des charges ponctuelles Vériication de la contrainte de compression dans les bielles : Fd Il aut respecter : ved cd sin cos h où F d est la variation d eort normal sur dans une aile h est l'épaisseur de la table de compression est l'angle d'inclinaison des bielles Il aut vériier, cot, si la membrure est comprimée et, cot,5 si la membrure est tendue Note : en remarquant que sin cos tan cot, on retrouve l'epression de vériication de la contrainte de compression dans les bielles d'eort tranchant Calcul des armatures de couture : As ved h Si v Ed k ctd, les armatures de couture doivent vériier yd s cot Si v Ed k ctd, aucune armature de couture n'est nécessaire Suivant l'annee nationale rançaise, k =,5 en cas de surace verticale de reprise de bétonnage rugueuse et k =, si il n'y a pas de surace verticale de reprise de bétonnage Année - 74/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 8) Annee : Rappel théorique : calcul des armatures d eort tranchant à l EU 'Eurocode déinit dans les procédures générales de vériication (6) quatre valeurs de calcul de l eort tranchant : V Ed est l'eort tranchant agissant de calcul, V Rd,c est l'eort tranchant résistant de calcul en l'absence d'armature d'eort tranchant, V Rd,s est l'eort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'eort tranchant, V Rd,ma est l'eort tranchant de calcul maimal pouvant être repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression a méthode de calcul des armatures d eort tranchant consiste à eectuer les vériications suivantes : Vériier si il est nécessaire ou non de disposer des armatures d eort tranchant C est le cas dès que V Ed V Rd,c A noter cependant que les poutres ne nécessitant pas d armatures d eort tranchant sont rares De plus, il audra disposer malgré tout une quantité minimale d armatures d eort tranchant Vériier le non écrasement des bielles de béton, c est-à-dire vériier V Ed V Rd,ma Cette vériication permettra également de déterminer l équarrissage de la poutre et l angle minimal d inclinaison des bielles de compression Dimensionner la quantité d armatures d eort tranchant en vériiant V Ed V Rd,s Ces vériications sont aites eclusivement au Etats imites Ultimes 8 Eort tranchant résistant sans armatures eort tanchant résistant sans armatures V Rd,c est donné par la ormule :,8 VRd c ma k l, ck,5 cp bw d ; vmin k bw d C b w est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue, k, avec d en mm, d Asl l avec A sl aire d armatures longitudinales ancrées au-delà de la section de bw d calcul, cp = en leion simple, v min =,5k / / ck, k =,5 Année - 75/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 8 Vériication des bielles e calcul de l'eort tranchant de calcul maimal pouvant être repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression est eectué en déterminant l'aire de la section droite de la bielle, en lui associant un tau de compression maimum pour déterminer l'eort de compression maimal dans la bielle et en projetant l'eort obtenu sur la verticale z(coscotsin) z b w c V Rd,ma En notant b w l'épaisseur de la poutre et c la compression maimale du béton on obtient l'epression de V Rd,ma : V b z(cos cotsin ) sin V V Rd,ma Rd,ma Rd,ma b b w w w z(cot cot)sin z(cot cot) c c c cot a théorie des bielles et tirants limite la contrainte de compression : c cd avec,6 ck 5 On a donc : V Rd, ma bw z(cot cot) cd cot Dans le cas le plus courant, les armatures transversales sont verticales, c est-à-dire que l on a = 9 epression de V Rd,ma devient alors : bw z cd V Rd,ma tan cot Avec : b w est la largeur de l âme de la poutre, z le bras de levier qui résulte du calcul en leion ou qui peut être pris égal à,9d, =,6(- ck /5) avec ck eprimé en pa, cd est la contrainte de calcul du béton, est l angle d inclinaison des bielles Année - 76/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 8 Vériication des tirants e calcul de l'eort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'eort tranchant V Rd,s consiste à dénombrer les barres d'acier qui traversent une issure inclinée d un angle par rapport à l'horizontal, puis à calculer l'eort résistant de ces barres et à le projeter sur la verticale Un cours d'armatures transversales a une section notée A sw et les diérents cours sont espacés d'une distance s 'analyse géométrique considère un triangle de hauteur z dont un coté est parallèle à la issure inclinée de par rapport à l'horizontale et l'autre parallèle au aciers transversau inclinés de par rapport à l'horizontale V Rd,s F st z z(cot+cot) s e nombre de cours d'armatures qui traversent la issure est égal à z(cot()+cot())/s, chaque cours développe un eort résistant F st =A sw ywd en notant ywd le tau de travail de ces aciers et son inclinaison par rapport à l'horizontale En projetant cet eort résistant sur la verticale, on obtient l'epression de V Rd,s z(cot cot) Asw V Rd, sy Fst sin z ywd (cot cot)sin s s Dans le cas ou = 9 l'epression de V Rd,s se simpliie et on obtient: zcot Asw V F cot Rd, sy st ywd z s s Où : A sw est l aire de la section d'un cours d'armatures transversales, s est l espacement entre deu cours successis, z est le bras de levier, qui résulte du calcul en leion ou qui peut être pris égal à,9d, ywd est la limite d'élasticité de calcul des armatures transversales égale à yk / s, est l angle d'inclinaison des bielles 'inéquation V Ed V Rd,s permet alors de calculer A sw /s e choi de A sw en onction du nombre de barres d armatures longitudinales permet ensuite d'en déduire s 'espacement est minimal en zone d'appui et augmente au ur et à mesure que l'on se déplace vers la mi-travée tout en étant plaonné à un maimum précisé plus loin Année - 77/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 84 Inluence du choi de l inclinaison des bielles Comme on l a vu précédemment, le choi de l angle d inclinaison des bielles est laissé libre à l ingénieur entre,8 (cot() =,5) et 45 (cot() =,) e choi de cet angle n est pas sans conséquence sur le dimensionnement du béton et des armatures On étudie donc l inluence du choi de cet angle sur les valeurs de V Rd,ma et V Rd,s, c est-à-dire sur le dimensionnement de la poutre et des armatures Pour voir l inluence du choi de l angle sur V Rd,ma, on trace la valeur de V Rd,ma /(b w z), c est-à-dire la contrainte de cisaillement, en onction de la classe du béton et de cot() V rd,ma /(bz) 9 (Pa) 8 7 6 5 4 5 5 cotan() ck = 5 ck = ck = 5 ck = 4 ck = 5 On remarque donc que plus l angle est petit, plus la contrainte de cisaillement maimale admissible diminue On dimensionnera donc la section de béton en onction de la contrainte de cisaillement On déterminera ensuite la valeur minimale de l angle A partir de l inéquation V Ed V Rd,s, on remarque que la section d armatures d eort tranchant sera inversement proportionnelle à cot() Ainsi, plus l angle est aible, plus les bielles de béton sont comprimées et plus la quantité d armatures d eort tranchant sera aible On cherchera donc à minimiser l angle dans un souci d économie de la quantité d armatures Cependant, plus les bielles sont comprimées, plus elles génèrent une traction supplémentaire importante dans les armatures de leion (phénomène non étudié dans le cadre du cours de CCAT) Ainsi, un angle aible augmentera la quantité d armatures de leion par rapport à un angle plus élevé a quantité optimale d'armatures de la poutre est donc généralement obtenue pour un angle intermédiaire entre,8 et 45 Dans le cadre du cours de CCAT, on cherchera à minimiser la quantité d armatures d eort tranchant et donc à maimiser la valeur de cot() Année - 78/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 85 Réduction de l eort tranchant au appuis Pour dimensionner les armatures, on peut considérer un eort tranchant réduit qui tient compte de la transmission directe des charges au appuis En eet, lorsque l on s intéresse à ce qu il se passe autour de la première issure d eort tranchant à partir d un appui, on comprend bien que les charges appliquées à gauche de la issure sur le schéma ne génèrent pas de traction dans les armatures d eort tranchant traversant la issure Partie des charges allant directement au appuis Partie des charges devant être remontée par les armatures eurocode prend en compte ce phénomène en déinissant un eort tranchant réduit V Ed,réduit pour le calcul des armatures Pour la détermination de cet eort tranchant réduit, il aut distinguer les charges réparties des charges ponctuelles : Poutre principalement soumise à des charges réparties : dans ce cas, il n'y a pas lieu d'eectuer de vériication à l'eort tranchant à une distance du nu de l'appui inérieure à d (hauteur utile avec d 9h), il convient de maintenir les armatures requises jusqu'au droit de l'appui ( 6 (8)) ais dans les mêmes conditions il est précisé ( 6(5)) que la détermination des armatures sur une longueur élémentaire I=z(cot()+cot()) peut être eectuée en prenant la plus petite valeur de V Ed sur cette longueur Ces deu clauses ne sont pas cumulables, selon la valeur retenue pour on retiendra soit la première (=45 ) soit la seconde (zcot()>d) d V( b a d l = z(cot() + cot()) V(=b a /+d V(=b a /+l Poutre principalement soumise à des charges ponctuelles : dans le cas où des charges concentrées sont appliquées sur la ace supérieure de l'élément, à une distance a v du nu de l'appui telle que,5d a v d, la contribution de cette charge peut être multipliée par = a v /(d) Pour a v,5d il convient de prendre a v =,5d Cette réduction peut Année - 79/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU être appliquée pour la vériication de V Rd,c Elle n'est valable que si les armatures longitudinales sont totalement ancrées au droit de l'appui d,5d =,5 F = d a v a valeur de V Ed calculée sans appliquer le coeicient doit vériier la condition V Ed,5b w d,6(- ck /5) cd a valeur V Ed,réduit doit satisaire la condition V Ed,réduit Asw ywd sin() ( 6 (9)) où A sw ywd représente la résistance des armatures qui traversent les issures d'eort tranchant dans la zone chargée Il convient de ne tenir compte des armatures d'eort tranchant que dans la partie centrale de la zone chargée sur une longueur égale à,75a v Année - 8/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 86 Dispositions minimales es dispositions minimales concernent le tau d'armatures d'eort tranchant w qui doit être supérieur à un tau minimal w,min et l'espacement s de deu cours successis d'armatures qui doit être inérieur à une valeur maimale s l,ma A,8 sw ck w w, min s b sin w A,8 sw ck bwsin s min yk où: A sw est l aire de la section d'un cours d'armatures transversales, s est l espacement entre deu cours successis, b w est la largeur d'âme de la poutre, est l angle entre les armatures d eort tranchant et l ae longitudinal, ck est la résistance caractéristique à la compression du béton (eprimée en Pa), yk est la limite d'élasticité des armatures transversales (eprimée en Pa) espacement maimal s l,ma entre les cours d armatures transversales est donné par la ormule suivante :,75 d cot s l, ma yk Année - 8/8

Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 87 Synthèse de la méthode de calcul des armatures d eort tranchant On suppose des armatures transversales perpendiculaires à l ae de la poutre ( = 9 ) On vériie l équarissage de la poutre et on détermine l angle minimal par la ormule : bw z cd V Ed tan cot Principalement réparties Détermination de V Ed,réduit : V Ed,réduit = V Ed (=d) ou V Ed,réduit = V Ed (=l) (l = zcot()) Type de charges? Principalement ponctuelles Détermination de V Ed,réduit :,5d a v d = a v /(d) a v,5d =,5 V Ed,réduit V Rd,c? Détermination de la quantité d armatures transversales : A V sw Ed, réduit s zcot ywd oui non Vériication des dispositions minimales : A s sw s l min,8 yk ck b, ma,75 d cot w sin FIN Année - 8/8