Introduction. Automatique. Bernard BAYLE ENSPS, FIP 1A

Introduction Automatique Bernard BAYLE bernard@eavr.u-strasbg.fr ENSPS, FIP 1A 2005 2006

Introduction Notion de système Système Etymologiquement : ensemble organisé

Introduction Notion de système Système Etymologiquement : ensemble organisé Système et Automatique Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique,... d entrée u et de sortie y

Introduction Notion de système Système Etymologiquement : ensemble organisé Système et Automatique Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique,... d entrée u et de sortie y Système et temps Système à temps continu u(t) et y(t) fonctions d une variable continue t Système à temps discret u(k) et y(k) fonctions d une variable discrète k

Introduction Hypothèses et objectifs du cours (1) Systèmes considérés Classe restreinte de systèmes réels : mono-entrée mono-sortie linéaires invariants Cas continu Modélisation Cas discret Equation différentielle linéaire à coef. constants Equation aux différences linéaire à coef. constants

Moteur à courant continu (MCC) : système électromécanique Système : entrée : tension u(t) sortie : vitesse ω(t)

Moteur à courant continu (MCC) : système électromécanique i(t) i(t) R L u(t) γ(t) f ω(t) u(t) e(t) Relation entrée-sortie : RJ + Lf ω(t) + Rf + Kem 2 dω(t) dt LJ + Rf + Kem 2 d 2 ω(t) dt 2 = K em Rf + Kem 2 u(t)

Introduction Hypothèses et objectifs du cours (2) Dans ce cours... Systèmes linéaires ou linéarisés autour d un point de fonctionnement. Moteur à courant continu L équation différentielle du modèle n est plus valable présence d hystérésis ou de saturation du circuit magnétique : étude dans la plage de fonctionnement linéaire spécifiée par le constructeur.

Introduction Hypothèses et objectifs du cours (3) Dans ce cours... Etude des techniques pratiques de commande des systèmes linéaires invariants commande par calculateur. commande numérique échantillons de mesure CNA + amplification CAN commande analogique mesures

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Première partie I Systèmes et asservissements à temps continu

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Plan 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

Plan Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

Linéarité Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Definition Soit y 1 (t) et y 2 (t) les réponses d un système Σ excité séparément par les entrées u 1 (t) et u 2 (t) et α R. Le système est linéaire si sa sortie vaut αy 1 (t) + y 2 (t) en réponse à l entrée αu 1 (t) + u 2 (t). u 1 (t) Σ y 1 (t) linéarité αu 1 (t) + u 2 (t) Σ αy 1 (t) + y 2 (t) u 2 (t) Σ y 2 (t) Principes de superposition et de linéarité.

Invariance Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Definition Soit y(t) la réponse d un système Σ d entrée u(t). Le système est invariant si une même commande, appliquée à deux instants différents produit la même sortie aux instants considérés. u(t) Σ y(t) invariance u(t + τ) y(t + τ) Σ

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Principe de causalité Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Definition Un signal f (t) à temps continu est causal si f (t) = 0, t < 0. Definition Soit y(t) la réponse d un système d entrée u(t). Le système est causal si, t < 0, u(t) = 0 y(t) = 0. La réponse du système ne précède pas son excitation. Tout système physiquement réalisable est causal. Hypothèse Tous les signaux et systèmes étudiés sont causaux.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0 n, m N tel que m n pour un système causal

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0 n, m N tel que m n pour un système causal n : ordre du système, c n : classe du système

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0 n, m N tel que m n pour un système causal n : ordre du système, c n : classe du système y(t) : n CI pour y et m CI pour u

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Formulation générale Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition La réponse d un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t) peut s écrire sous la forme : y(t) = g(t) u(t) où g(t) est appelée réponse impulsionnelle du système et où désigne le produit de convolution défini par : g(t) u(t) = + g(τ)u(t τ)dτ.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Formulation générale Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition La réponse d un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t) peut s écrire sous la forme : y(t) = g(t) u(t) où g(t) est appelée réponse impulsionnelle du système et où désigne le produit de convolution défini par : causalité g(t) u(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Réponse impulsionnelle Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété La réponse impulsionnelle d un système représente sa réponse à une impulsion de Dirac. En effet : y(t) = g(t) δ(t) et, par définition de l impulsion de Dirac : y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t).

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Réponse indicielle Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition On appelle réponse indicielle d un système sa réponse à un échelon unité : { 0, si t < 0, U(t) = 1, si t 0. Cette réponse vaut : y(t) = g(t) U(t) = t 0 g(τ) U(t τ)dτ = t 0 g(τ)dτ. La réponse indicielle d un système est souvent utilisée pour le caractériser (identification).

Réponse indicielle D 1 105 % 100 % 95 % 90 % Amplitude 10 % t m t 1 t 5% Temps

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : définition Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Soit {f (t)} un signal à temps continu, prenant la valeur f (t) à l instant t. La transformée de Laplace de {f (t)} est définie par : Propriété F(s) = L{f (t)} = + 0 f (t)e st dt. Soit s = σ + jω. La transformée de Laplace est généralement définie sur un demi-plan complexe pour lequel σ ]σ 0, + [. La valeur σ 0 définissant la limite de convergence est appelée abscisse de convergence de la transformée.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : calcul Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Tables de transformées Autant que possible, on utilise des tables de transformées pré-calculées : δ(t) 1 U(t) 1 s...

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : calcul Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Tables de transformées Autant que possible on utilise des tables de transformées pré-calculées. Exemple de calcul (complet et rigoureux) Calcul de la transformée de Laplace de f (t) = e at U(t).

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Linéarité : L{f (t) + αg(t)} = F(s) + αg(s), α R

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Changement d échelle : L { f ( t α)} = αf(αs), α R

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Retard : L{f (t τ)} = e τs F(s), τ R

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Dérivation en t : L { } df (t) dt = sf(s) f (0)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Dérivation en s : df (s) ds = L{ tf (t)}

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Intégration : L { } t 0 f (τ)dτ = F (s) s

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Théorème de la valeur initiale : lim t 0 f (t) = lim s + sf (s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Théorème de la valeur finale : lim t f (t) = lim s 0 sf (s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Produit de convolution : L{f (t) g(t)} = F(s) G(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Produit : L{f (t) g(t)} = 1 2πj F(s) G(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : inversion Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Soit F(s) la transformée de Laplace de f (t). La transformée de Laplace inverse de F(s) s écrit : f (t) = L 1 {F(s)} = 1 F(s)e st ds. 2πj Intégrale d une fonction complexe sur un contour... Γ Axe imaginaire contour de Bromwich Γ singularités de la transformée Axe réel Γ

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : intérêt Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réécriture du modèle du système Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l évolution dynamique du système en équations algébriques en s. Relation entrée-sortie du MCC Variable t : RJ + Lf ω(t) + Rf + Kem 2 dω(t) dt LJ + Rf + Kem 2 d 2 ω(t) dt 2 = K em Rf + Kem 2 u(t),

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : intérêt Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réécriture du modèle du système Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l évolution dynamique du système en équations algébriques en s. Relation entrée-sortie du MCC Variable s : RJ + Lf LJ Ω(s) + Rf + Kem 2 sω(s) + Rf + Kem 2 s 2 Ω(s) = K em Rf + Kem 2 U(s),

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : intérêt Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réécriture du modèle du système Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l évolution dynamique du système en équations algébriques en s. Relation entrée-sortie du MCC Variable s : ( RJ + Lf LJ 1 + Rf + Kem 2 s + Rf + Kem 2 s 2 ) Ω(s) = K em Rf + Kem 2 U(s),

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : définition Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Soit un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t). Réponse temporelle du système : y(t) = g(t) u(t).

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : définition Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Soit un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t). En appliquant la transformée de Laplace : Y (s) = G(s)U(s). Définition On appelle fonction de transfert du système la transformée de Laplace G(s) de la réponse impulsionnelle : G(s) = Y (s) U(s). Le terme synonyme transmittance est souvent utilisé.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : propriétés (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme de la fonction de transfert Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard la fonction de transfert prend la forme d une fraction rationnelle : G(s) = N(s) m D(s) = i=0 b is i n i=c a is i Caractéristiques : racines de N(s) : m zéros racines de D(s) : n pôles zéros et les pôles C

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : propriétés (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme de la fonction de transfert Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard la fonction de transfert prend la forme d une fraction rationnelle : G(s) = b 0 + b 1 s +... b m s m a c + a c+1 s +... a n s n Caractéristiques : racines de N(s) : m zéros racines de D(s) : n pôles zéros et les pôles C K = b 0 a c : gain statique

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : propriétés (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme de la fonction de transfert Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard la fonction de transfert prend la forme d une fraction rationnelle : G(s) = b m a n m i=1 (s z i) n i=1 (s p i) Caractéristiques : racines de N(s) : m zéros racines de D(s) : n pôles zéros et les pôles C : coefficient de gain b m an

Fonction de transfert du MCC donc : G(s) = Ω(s) U(s) = s 2 + RJ+Lf LJ Kem LJ s + Rf +K 2 em LJ. N(s) = K em LJ et D(s) = RJ + Lf s2 + LJ s + Rf + K em 2. LJ

Fonction de transfert du MCC Caractéristiques : pas de zéro pôles (tels que D(s) = 0)? On montre (voir annexe cours) : G(s) = Ω(s) U(s) = τ el = L R, τ em = et K = RJ Rf + Kem 2, K em Rf + Kem 2. K τ el τ em ( s + 1 τ el ) ( s + 1 τ em ),

Fonction de transfert du MCC Caractéristiques : pas de zéro pôles (tels que D(s) = 0)? On montre (voir annexe cours) : donc deux pôles : G(s) = Ω(s) U(s) = K τ el τ em ( s + 1 τ el ) ( s + 1 τ em ), p 1 = 1 τ el et p 2 = 1 τ em.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Analyse harmonique Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition On se place dans le cas d un système linéaire invariant de fonction de transfert G(s), en régime permanent sinusoïdal de pulsation ω. On appelle G(s = jω) réponse harmonique. Propriété La réponse du système à une entrée sinusoïdale A sin ωt est : y(t) = A G(jω) sin (ωt + Arg{G(jω)}). Analyse harmonique : étude de la fonction G(jω) : comportement fréquentiel du système (signal périodique) diagrammes mettant en correspondance module et argument

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Diagramme de Bode Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes : module en décibels (db) : G db (ω) = 20 log 10 G(jω) argument, généralement exprimée en degrés (deg) : ϕ(ω) = Arg{G(jω)} On utilise traditionnellement les termes de gain et de phase, plutôt que les termes modules et argument.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Intérêt du diagramme de Bode Module d un produit de nombres complexes = produit de leurs modules. Par conséquent : module en db d un produit de nombres complexes = somme de leurs modules en db (propriété du logarithme) : 20 log 10 G 1 (jω)g 2 (jω) = 20 log 10 G 1 (jω) + 20 log 10 G 2 (jω), = G 1dB (jω) + G 2dB (jω). Argument d un produit de nombres complexes = somme des arguments : Arg{G 1 (jω)g 2 (jω)} = ArgG 1 (jω) + ArgG 2 (jω).

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (3) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Diagramme de Nyquist Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(jω) dans le plan complexe, lorsque ω varie de à +. Remarque Ce diagramme est orienté selon les ω croissants. En général on choisi l échelle du diagramme de Nyquist de sorte que le point complexe d abscisse 1, dit point critique apparaisse et puisse être situé par rapport au lieu de G(jω).

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (4) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Lieu de Black-Nichols Le lieu de Black-Nichols est le lieu orienté des points de coordonnées (ϕ(ω), G db (ω)) lorsque ω varie de à +. On tache aussi de faire apparaître le point critique de coordonnées ( 180, 0) sur ce lieu. Remarque Ce diagramme est orienté selon les ω croissants. En général on choisi l échelle du diagramme de Nyquist de sorte que le point complexe d abscisse 1, dit point critique apparaisse et puisse être situé par rapport au lieu de G(jω).

Moteur à courant continu Maxon F2260, bobinage 885 Calculer la valeur numérique des paramètres du modèle : G(s) = Ω(s) U(s) = τ el = L R, τ em = et K = RJ Rf + Kem 2, K em Rf + Kem 2. d après la (nouvelle) documentation. Etablir les diagrammes harmoniques. K ( s + 1 τ el τ em τ el ) ( s + 1 τ em ),

20 Diagramme de Bode Amplitude(dB) 0 20 40 60 80 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Phase (deg) 20 40 60 80 100 120 140 160 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Pulsation (rad/s)

1 Diagramme de Nyquist 0 1 Axe imaginaire 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 8 10 Axe réel

20 Lieu de Black Nichols 10 0 10 Gain (db) 20 30 40 50 60 70 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Phase (deg)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Un système linéaire invariant à temps continu d ordre un est décrit par une équation différentielle d ordre un à coefficients constants reliant son entrée u(t) et sa sortie y(t) : y(t) + τ dy(t) dt = Ku(t) où τ et K sont des constantes réelles non nulles ; τ est la constante de temps du système et K son gain statique. La réponse indicielle est y(t) = α + βe t τ constantes réelles dépendant des CI. avec α et β deux

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable A l instant t = 0 : y(0) = α + β.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable Quand t, dy(t) dt = 0 : lim t = K, et lim y(t) t = α.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable soit les paramètres : α = K, β = y(0) K.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable Finalement : y(t) = K (1 e t τ ) + y(0)e t τ.

16 Réponse indicielle 14 12 10 Amplitude 8 6 4 2 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Temps (s) Réponse indicielle d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10 pour différentes CI

100 % 95 % Réponse indicielle 63 % Amplitude τ 3 τ Temps Caractéristiques générales de la réponse indicielle d un système du premier ordre

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (3) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert d un système du premier ordre est donc : G(s) = Y (s) U(s) = K 1 + τs. Réponse harmonique La réponse harmonique associée est : G(jω) = Description de la réponse harmonique : K 1 + jτω. étude du comportement asymptotique du régime permanent sinusoïdal extrapolation par des valeurs choisies

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (4) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Description de la réponse harmonique : G(jω) = K 1 + jτω. ω G(jω) gain gain phase équivalent (db) (deg) ω 1 τ, soit ωτ 1 K K K db = 20 log 10 K 0 1 τ ω 1 jk, soit ωτ 1 τ K 1 + j τω K 2 K db 3 45 K ω K db 20 log 10 τ 20 log 10 ω 90

Diagramme de Bode K 20 db 3 db Amplitude(dB) 10 0 10 20 db/décade 20 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Phase (deg) 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 ω c Pulsation (rad/s) Diagramme de Bode d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

Lieu de Black Nichols 20 K db 15 10 5 Gain (db) 0 5 10 15 90 20 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Phase (deg) Lieu de Black-Nichols d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

1 Diagramme de Nyquist 0 1 Axe imaginaire 2 3 4 5 K 2 0 2 4 6 8 10 1 Axe réel K/2 = 5 Diagramme de Nyquist d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Un système linéaire invariant à temps continu d ordre deux est décrit par une équation différentielle d ordre deux à coefficients constants reliant son entrée u(t) et sa sortie y(t). On considère des systèmes dont l équation différentielle se met sous la forme canonique : ω 2 n y(t) + 2ξω n dy(t) dt + d 2 y(t) dt 2 = K ω 2 n u(t), où ξ et K sont des constantes réelles strictement positives et ω n une constante réelle non nulle ; ξ : coefficient d amortissement, ω n : pulsation naturelle et K : gain statique.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ : α + βe ξωnt sin( 1 ξ 2 ω n t + ϕ), si 0 < ξ < 1, α + (β + γt)e ξωnt, si ξ = 1, α + βe (ξ+ ξ 2 1)ω nt + γe (ξ+ ξ 2 1)ω nt, si ξ > 1, avec α, β, γ R dépendant des CI.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ : α + βe ξωnt sin( 1 ξ 2 ω n t + ϕ), si 0 < ξ < 1, α + (β + γt)e ξωnt, si ξ = 1, α + βe (ξ+ ξ 2 1)ω nt + γe (ξ+ ξ 2 1)ω nt, si ξ > 1, avec α, β, γ R dépendant des CI. ξ 1 : aucune oscillation

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ : α + βe ξωnt sin( 1 ξ 2 ω n t + ϕ), si 0 < ξ < 1, α + (β + γt)e ξωnt, si ξ = 1, α + βe (ξ+ ξ 2 1)ω nt + γe (ξ+ ξ 2 1)ω nt, si ξ > 1, avec α, β, γ R dépendant des CI. ξ 1 : aucune oscillation ξ < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsation fixe ω p = 1 ξ 2 ω n, dont l amplitude décroît exponentiellement vers zéro. On appelle ω p pseudo-pulsation ou pulsation amortie.

16 Réponse indicielle 14 ξ= 0,2 Amplitude 12 10 8 6 0,42 0,71 1 1,5 4 3,48 2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Temps (s) Réponses indicielles d un système du second ordre pour différentes valeurs du coefficient d amortissement

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (3) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Temps de réponse Pas de loi simple : abaques ou simulation. Approximation: deux pôles réels, associés à deux constantes de temps (τ 1 > τ 2 ) t 5% 3τ 1 deux pôles complexes : la réponse indicielle est comprise à l intérieur d une enveloppe exponentielle connue : e ξωnt. t 5 % < 3 ξω n

Temps de réponse à 5 % d un système du second ordre de coefficient d amortissement 0, 6 et d un premier ordre de constante de temps 1 ξω n 12 Réponse indicielle 10 8 Amplitude 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Temps (sec)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (4) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Premier dépassement (cas pseudo-oscillant) Formes analytiques : t 1 = 2π, D 1 = e 1 ξ 2 ω n ξπ 1 ξ 2. Compromis optimal amortissement-rapidité est obtenu pour : ξ = 2 2 0, 7 D 1 % = 5 % de la valeur finale et donc t 1 = t 5 %.

100 90 80 Amplitude du premier dépassement (%) 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Amortissement Correspondance entre premier dépassement (D 1% ) et coefficient d amortissement, pour un système du second ordre

Correspondance entre le temps de réponse à 5% normalisé ω n t 5% et le coefficient d amortissement ξ, pour un système du second ordre

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (5) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert du système du second ordre est : G(s) = Y (s) U(s) = K ω 2 n ω 2 n + 2ξω n s + s 2. Pôles = solutions de ω 2 n + 2ξω n s + s 2 = 0 :

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (5) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert du système du second ordre est : G(s) = Y (s) U(s) = K ω 2 n ω 2 n + 2ξω n s + s 2. Pôles = solutions de ω 2 n + 2ξω n s + s 2 = 0 : p 1,2 = (ξ ± j 1 ξ 2 )ω n si 0 < ξ 1 et p 1,2 = (ξ ± ξ 2 1)ω n si ξ 1.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (5) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert du système du second ordre est : G(s) = Y (s) U(s) = K ω 2 n ω 2 n + 2ξω n s + s 2. Pôles = solutions de ω 2 n + 2ξω n s + s 2 = 0 : Axe imaginaire p 1 ω n ω n 1 ξ 2 cos(ψ) = ξ ψ 0 Axe réel ξω n p 2 -ω n 1 ξ 2

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (6) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Description de la réponse harmonique : G(jω) = K ω 2 n ω 2 n ω 2 + 2jξω n ω. ω G(jω) gain gain phase équivalent (db) (deg) ω ω n K K K db = 20 log 10 K 0 ω n ω ω n K 2jξ K ω 2 n ω 2 K 2ξ K db 6 20 log 10 ξ 90 K ω 2 n ω 2 K db + 40 log 10 ω n 40 log 10 ω 180

Diagramme de Bode K 20 db Amplitude(dB) 0 ξ= 0,2 20 0,42 0,71 40 1 1,5 3,48 60 40 db/décade 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Phase (deg) 20 40 60 80 90 100 120 140 160 180 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Pulsation (rad/s) Diagramme de Bode d un système du second ordre K = 10, ω n = 100, ξ variable ω c

30 Lieu de Black Nichols 20 10 0 K db ξ= 0,2 0,42 0,71 1 1,5 Gain (db) 10 20 3,48 30 40 50 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Phase (deg) Lieu de Black-Nichols d un système du second ordre K = 10, ω n = 100, ξ variable

Diagramme de Nyquist 0 5 ξ= 0,2 0,42 0,71 1 1,5 3,48 Axe imaginaire 10 15 20 25 10 5 0 5 K= 10 15 Axe réel Diagramme de Nyquist d un système du second ordre K = 10, ω n = 100, ξ variable

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme générique d une fonction de transfert : G(s) = K s c p i=1 (1 + τ is) q i=p+1 (1 + 2 ξ i ω ni s + 1 ω 2 s 2 ) ni p j=1 (1 + τ js) q j=p +1 (1 + 2 ξ j ω nj s + 1 ω 2 s 2 ). nj

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme générique d une fonction de transfert : G(s) = K s c p i=1 (1 + τ is) q i=p+1 (1 + 2 ξ i ω ni s + 1 ω 2 s 2 ) ni p j=1 (1 + τ js) q j=p +1 (1 + 2 ξ j ω nj s + 1 ω 2 s 2 ). nj Termes du premier ordre : pôles et zéros réels

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme générique d une fonction de transfert : G(s) = K s c p i=1 (1 + τ is) q i=p+1 (1 + 2 ξ i ω ni s + 1 ω 2 s 2 ) ni p j=1 (1 + τ js) q j=p +1 (1 + 2 ξ j ω nj s + 1 ω 2 s 2 ). nj Termes du premier ordre : pôles et zéros réels Termes du second ordre : pôles et zéros complexes conjugués

Simplification du modèle du MCC Modèle du second ordre : G(s) = Modèle du premier ordre : 9, 8975 (1 + 0, 0184s)(1 + 0, 0004s). G(s) = 9, 8975 1 + 0, 0184s. Réponse harmonique relative au pôle dominant? G 1 (jω) = 1 1 + 0, 0184jω, Réponse harmonique relative au pôle secondaire? G 2 (jω) = 1 1 + 0, 0004jω

K db = 20 0 ( 1) ω Amplitude (db) ( 1) ( 2) ( 1) 0 1 τem 1 τel ω Phase (deg) 90 180 G(jω) asymptotique G(jω) réel G 1(jω) asymptotique G 2(jω) asymptotique

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Règles générales : pôles réels Lorsque deux pôles sont suffisamment distincts le pôle le plus près de l axe des imaginaires, c est-à-dire le plus petit en valeur absolue, associé à la constante de temps la plus lente, est prépondérant. Si l on doit faire une approximation pour simplifier l étude d un système, dont le modèle est d ordre élevé, on négligera donc les pôles les plus rapides. Si les pôles sont proches, il peut devenir plus hasardeux d effectuer une telle simplification.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Règles générales : pôles complexes conjugués On pourra, de même considérer que la dynamique liée à une paire de pôles complexes conjugués est négligeable devant celle liée à un pôle simple ou à une autre paire de pôles complexes conjugués si la pulsation naturelle associée à cette paire est grande devant la pulsation naturelle de l autre paire, ou devant la pulsation associée au pôle simple.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Règles générales : zéros Cas similaire : on simplifiera les zéros entre eux de la même manière. En revanche, on procédera avec prudence pour ce qui est de négliger un zéro prépondérant au vu de la valeur des pôles.

Plan Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu A la douche... Douche à un bouton...

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu A la douche... Douche à un bouton... Après la douche brûlante, la douche à deux robinets...

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu A la douche... Douche à un bouton... Après la douche brûlante, la douche à deux robinets...... enfin, un thermostat et c est réglé!

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Cas du MCC Equations électriques et mécaniques : U(s) = E(s) + (R + Ls)I(s), E(s) = K em Ω(s), Γ(s) = (f + Js)Ω(s), Γ(s) = K em I(s). U(s) + E(s) 1 R + Ls I(s) Γ(s) Ω(s) 1 K em f + Js K em

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (3) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Cas du MCC (bis) Equations électriques et mécaniques : U(s) = E(s) + (R + Ls)I(s), E(s) = K em Ω(s), Γ(s) Γ r (s) = (f + Js)Ω(s), Γ(s) = K em I(s). U(s) + E(s) 1 R + Ls I(s) Γ r (s) Γ(s) + 1 K em f + Js Ω(s) K em

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma général d un asservissement à temps continu perturbation référence + erreur correcteur commande procédé sortie mesure capteur bruit

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations Y r (s) : référence (ou grandeur de consigne)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations Y (s) : sortie (ou grandeur réglée)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations Y m (s) : mesure

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations E(s) : erreur (ou écart) de l asservissement

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations C(s) : correcteur

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations U(s) : commande du procédé

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations P(s) : perturbation

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations B(s) : bruit de mesure

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations CG(s) = C(s)G 1 (s)g 2 (s) : fonction de transfert de la chaîne directe (ou chaîne d action)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations H(s) = H 1 (s) H 2 (s) : fonction de transfert de la chaîne de retour (ou chaîne de contre-réaction)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Fonction de transfert d un système asservi (1) Y r (s) + E(s) U(s) C(s) G(s) Y (s) Y m(s) H(s) Définitions

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Fonction de transfert d un système asservi (1) Y r (s) + E(s) U(s) C(s) G(s) Y (s) Y m(s) H(s) Définitions Fonction de transfert en boucle ouverte du système : FTBO : C(s)G(s)H(s), notée CGH(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Fonction de transfert d un système asservi (1) Y r (s) + E(s) U(s) C(s) G(s) Y (s) Y m(s) H(s) Définitions Fonction de transfert en boucle fermée du système : FTBF : Y (s) Y r (s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Fonction de transfert d un système asservi (2) Yr (s) + E(s) U(s) C(s) Ym(s) H(s) d où : G(s) Y (s) Equations : U(s) = C(s)E(s), E(s) = Y r (s) Y m (s), Y m (s) = H(s)Y (s), Y (s) = G(s)U(s). U(s) = C(s) (Y r (s) H(s)Y (s)), Y (s) = CG(s) (Y r (s) H(s)Y (s)), et finalement : Y (s) Y r (s) = CG(s) 1 + CGH(s).

Exercice P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Montrer qu avec les perturbations P(s) et B(s) : Y (s) = CG(s) Y r (s) + G 2 (s) P(s) CG(s) H 2 (s) B(s). 1 + CGH(s)

Régulation de la vitesse du rotor d un MCC Commande = tension d entrée y r pour une vitesse de rotation désirée ω r. Mesure = vitesse du rotor est mesurée par une génératrice tachymétrique placée sur l axe et qui délivre une tension y m proportionnelle à la vitesse de rotation de l axe.

Régulation de la vitesse du rotor d un MCC Commande = tension d entrée y r pour une vitesse de rotation désirée ω r. Mesure = vitesse du rotor est mesurée par une génératrice tachymétrique placée sur l axe et qui délivre une tension y m proportionnelle à la vitesse de rotation de l axe. Y r (s) + Y m(s) C(s) U(s) Kem LJ s 2 + RJ+Lf s+ Rf +K em 2 LJ LJ Ω(s) K ω

Régulation de la vitesse du rotor d un MCC Commande = tension d entrée y r pour une vitesse de rotation désirée ω r. Mesure = vitesse du rotor est mesurée par une génératrice tachymétrique placée sur l axe et qui délivre une tension y m proportionnelle à la vitesse de rotation de l axe. Y r (s) + C(s) U(s) Kem LJ s 2 + RJ+Lf s+ Rf +K em 2 LJ LJ Ω(s) K ω Y m(s)

Régulation de la vitesse du rotor d un MCC Commande = tension d entrée y r pour une vitesse de rotation désirée ω r. Mesure = vitesse du rotor est mesurée par une génératrice tachymétrique placée sur l axe et qui délivre une tension y m proportionnelle à la vitesse de rotation de l axe. Y r (s) 1 Kω Ω r (s) + K ω C(s) U(s) Kem LJ s 2 + RJ+Lf s+ Rf +K em 2 LJ LJ Ω(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Comportement fréquentiel d un système asservi ( Y (jω) Y r (jω) = CG(jω) CG(jω), si CGH(jω) 1, 1 + CGH(jω) 1, si CGH(jω) 1. H(jω) 0 boucle ouverte boucle fermée ( 1) ω ( 2) ϕ(ω) 0 1 τ1 1 ω c τ2 ω 90 180

Stabilité Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Première définition De manière naturelle : on dira qu un système est stable si, écarté de sa position d équilibre, il y revient. Seconde définition Un système est stable si toute entrée bornée produit une sortie bornée. Cette définition caractérise la stabilité entrée bornée-sortie bornée

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères algébriques de stabilité (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Théorème Un système linéaire invariant à temps continu est stable si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative. Ce théorème est valable pour tout système, qu il soit en boucle ouverte ou fermée. Pour un système d ordre élevé, il faut généralement recourir à une résolution numérique pour déterminer les pôles du système.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères algébriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Critère de Routh-Hurwitz Soit D(s) = a ns n + a n 1 s n 1 + + a cs c le polynôme dénominateur de la fonction de transfert du système considéré. Le système est stable si les a i, i = c, c + 1,..., n sont de même signe et du même signe que les éléments de la première colonne du tableau suivant (dit tableau de Routh) : a n a n 2 a n 4... a n 1 a n 3 a n 5... b n 1 = a n 1 a n 2 ana n 3 a n 1 b n 3 = a n 1 a n 4 ana n 5 a n 1 b n 5... c n 1 = b n 1 a n 3 a n 1 b n 3 b n 1 c n 3 = b n 1 a n 5 a n 1 b n 5 b n 1...... d n 1 = c n 1 b n 3 b n 1 c n 3 c n 1.....................

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : définition Le lieu des racines d un système, encore appelé lieu d Evans, est le lieu des pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée lorsque le gain K p de la chaîne directe varie de 0 à +. Donc un système en boucle fermée est stable tant que ses pôles, pour la valeur de K p courante, sont dans le demi-plan complexe gauche. Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) K p G(s) H(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : construction Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n son ordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s) son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines, permettent sa construction :

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : construction Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n son ordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s) son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines, permettent sa construction : Règle n. 1 : Symétrie par rapport à l axe réel ;

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : construction Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n son ordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s) son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines, permettent sa construction : Règle n. 2 : n branches ; n points de départ, pour K p = 0, confondus avec les pôles de la FTBO ; m points d arrivée, pour K p = +, confondus avec les zéros de la FTBO.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : construction Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n son ordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s) son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines, permettent sa construction : Règle n. 3 : n m branches infinies : ces branches donnent n m asymptotes faisant des angles β λ = 2λ+1 n m π, avec λ = 0, 1..., n m 1 avec l horizontale ; intersection des asymptotes avec l axe réel au point d affixe δ = P n i=1 p i P m i=1 z i n m.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : construction Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n son ordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s) son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines, permettent sa construction : Règle n. 4 : Branches du lieu appartenant à l axe réel : un point d affixe réelle appartient au lieu si le nombre de pôles et zéros réels de la FTBO situés à sa droite est impair ;

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Lieu des racines : construction Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n son ordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s) son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines, permettent sa construction : Règle n. 5 : Intersections du lieu avec l axe réel : un point d affixe réelle x est un point potentiel de séparation si : 1 dn(s) N(s) ds = 1 dd(s) s=x D(s) ds. s=x

Lieu des racines d un système du 2nd ordre, en boucle fermé On s intéresse au lieu des racines du procédé de fonction de transfert : 1 G 2 (s) = (s p 1 )(s p 2 ) en boucle fermée, le retour étant unitaire.

1 Lieu des racines 0.8 0.6 0.4 0.2 Im 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 Re

Lieu des racines d un système du 3ème ordre, en boucle fermé On s intéresse au lieu des racines du procédé de fonction de transfert : 1 G 3 (s) = s(s p 1 )(s p 2 ) en boucle fermée, le retour étant unitaire.

10 Lieu des racines 8 6 4 2 Im 0 2 4 6 8 10 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 Re

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Critères géométriques de stabilité (3) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Marges de stabilité On définit la marge de phase par : M φ = 180 + Arg{CGH(jω c )}, où ω c est telle que CGH(jω c ) db = 0 db et la marge de gain par : M G = CGH(jω π ) db où ω π est tel que Arg{CGH(jω π )} = 180. Théorème Le système est stable en boucle fermée si la marge de phase (ou la marge de gain) du système en boucle ouverte est positive.

Etude d un cas On s intéresse à un procédé de fonction de transfert : F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. 1 Calculer les pôles du système en boucle ouverte. Le système est-il stable? 2 Appliquer le critère de Routh-Hurwitz pour résoudre le même problème. 3 Reprendre les deux questions précédentes pour le système en boucle fermé, avec retour unitaire. 4 Déterminer maintenant le lieu des racines du système. 5 Quelle est l influence d un zéro? Pour cela ajouter un zéro, de sorte que le système ait pour fonction de transfert : 0, 2s + 1 F 2 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. 6 Déterminer les marges de stabilité du système.

Précision (1) Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Précision statique La précision statique du système est caractérisée par l erreur en régime permanent en réponse à un échelon. Cette erreur est appelée erreur statique (ou erreur de position). D après le théorème de la valeur finale : ε = Précision dynamique lim t + ε(t) = lim s 0 se(s). On parlera de précision dynamique dès que l entrée du système évolue de manière continue dans le temps : par exemple on désigne par erreur de vitesse la valeur de l erreur quand l entrée du système est une rampe.

Précision (2) Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu On suppose donc que le système asservi considéré est sans perturbation de modèle ou de mesure. L expression de l erreur est : E(s) = Y r (s) H(s)Y (s), et donc : Finalement : E(s) = Y r (s) CGH(s)Y r (s) 1 + CGH(s). E(s) = Y r (s) 1 + CGH(s).

Précision (3) Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu L expression générale de l erreur d un système asservi est : ε = lim s 0 sy r (s) 1 + CGH(s). Avec : CGH(s) = K 1 + β 1 s +... s c 1 + α 1 s +... On établit le tableau suivant : entrée échelon Y r = E 0 s rampe Y r = V 0 s 2 classe 0 E 0 1 + K classe 1 0 V 0 K classe 2 0 0

Précision (4) Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Dualité stabilité-précision 20 log 10 Kp (Kp > 1) ωc ω c > ωc ω Kp GdB(ω) ϕ(ω) 1 τ1 1 τ2 GdB(ω) ω 90 180 Mϕ M ϕ < Mϕ

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Commande : généralités (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Problème posé? La commande u(t) d un système à temps continu peut être modifiée en asservissant ce système à l aide d un correcteur. Les paramètres de réglages sont : la forme du correcteur : série boucle interne retour d état etc. les paramètres du correcteur : réglage des actions proportionnelle, intégrale et dérivée réglage d un correcteur par retour d état

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Commande : généralités (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Cahier des charges Problème posé sous forme d un cahier des charges (faisable) = ensemble de contraintes à satisfaire Exemples : dépassement maximal précision statique ou dynamique temps de réponse bande passante etc.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Commande : généralités (3) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Caractéristiques classiques d un bon asservissement Stabilité : système stable amortissement maîtrisé M ϕ 50 à 70 deg ξ 0, 5 à 0, 8 Précision : selon la classe ou le gain du système (le cas échéant ajout d une ou plusieurs intégrations) Rapidité : rapidité et bande passante sont liées (pulsation de coupure élevée, système rapide)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Correcteurs PID : introduction Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Forme idéale du PID Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) C(s) = K p 1 + 1 «G(s) τ i s + τ ds H(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Correcteurs PID : introduction Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Forme idéale du PID Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) C(s) = K p 1 + 1 «G(s) τ i s + τ ds H(s) Action proportionnelle : précision améliorée / stabilité diminuée ; temps de montée réduit et plus de dépassement ; temps de réponse pas forcément diminué.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Correcteurs PID : introduction Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Forme idéale du PID Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) C(s) = K p 1 + 1 «G(s) τ i s + τ ds H(s) Action intégrale : classe du système augmentée : précision améliorée ; marge de phase diminuée de 90 deg par l ajout d une intégration pure ; saturation : dispositif d anti-saturation.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Correcteurs PID : introduction Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Forme idéale du PID Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) C(s) = K p 1 + 1 «G(s) τ i s + τ ds H(s) Action dérivée : augmentation de la bande passante du système ; augmentation de la stabilité, à bande passante égale ; correcteur dérivé non causal : correction approchée, par avance de phase.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Correcteurs PID : introduction Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Forme idéale du PID Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) C(s) = K p 1 + 1 «G(s) τ i s + τ ds H(s) Actions combinées : P = proportionnel ; PI = proportionnel et intégral (ou retard de phase) ; PD = proportionnel et dérivé (ou avance de phase) ; PID = proportionnel, intégral et dérivé (ou avance et retard de phase).

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Adéquation correcteurs/systèmes à asservir (1) Correcteur à avance de phase C(s) = K p 1+τ d s 1+aτ d s, avec a < 1 PD approché, si a 1 C db (ω) ( ) 20 log Kp 10 a PD idéal avance de phase 20 log 10 K p ω ϕ(ω) 90 PD idéal ϕ M 1 τ d 1 aτ d avance de phase ω

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Adéquation correcteurs/systèmes à asservir (2) Correcteur à avance de phase : intérêt L intérêt de ce type de correcteur est d ajouter de la phase au système en boucle ouverte, dans une certaine bande de fréquence. Ceci peut permettre, sous certaines conditions, de rendre le système stable ou d augmenter sa marge de phase. Pour cette raison le correcteur à avance de phase se prête bien à la correction des systèmes peu stables, comme les systèmes de classe supérieure ou égale à un. Avance de phase maximale telle que : a = 0, 1 ϕ M = 54, 9 deg sin ϕ M = 1 a 1 + a à ω M = 1 aτd.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Adéquation correcteurs/systèmes à asservir (3) Correcteur PI ( C(s) = K p 1 + 1 ) τ i s Intérêt = K p(1 + τ i s). τ i s Ce correcteur possède une intégration. Il convient donc bien lorsque l on souhaite annuler l erreur statique d un système de classe 0. Contrairement au correcteur PD, le PI est tout à fait réalisable physiquement ; c est d ailleurs le correcteur le plus utilisé. En revanche, du fait de son action intégrale il présente l inconvénient de saturer éventuellement l entrée du système. Il faut alors l associer à un dispositif anti-saturation, constitué le plus souvent d un simple écréteur.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Adéquation correcteurs/systèmes à asservir (4) Correcteur PI approchée = correcteur à retard de phase C(s) = ak p 1+τ i s 1+aτ i s, avec a > 1 PI approché, si a 1 CdB(ω) 20 log 10 akp retard de phase ω 20 log 10 Kp PI ϕ(ω) 1 aτ i retard de phase 1 τ i PI ω ϕm 90

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Adéquation correcteurs/systèmes à asservir (3) Correcteur à avance et retard de phase (et correcteur PID) avec a < 1 et b > 1. Intérêt C(s) = bk p 1 + τ d s 1 + τ i s 1 + aτ d s 1 + bτ i s, Ce correcteur est bien évidemment plus général que les correcteurs précédents. Il a vocation à corriger des systèmes plus délicats à régler. Il n est cependant pas nécessaire d utiliser ce type de correcteur si le cahier des charges peut être rempli par un des correcteurs précédemment évoqués. En extrapolant ce qui a été vu pour les correcteurs avance et retard de phase, on conçoit que ce correcteur approche le correcteur PID idéal.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Méthode du lieu des racines (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Interprétation pour la correction des systèmes Lieu des racines = lieu des pôles de la FTBO, lorsque le gain de la chaîne directe varie. Y r (s) + E(s) U(s) Y (s) K p CG(s) H(s)

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Méthode du lieu des racines (2) Synthèse par placement de pôles et zéros Problème de synthèse = obtention des pôles et zéros conférant au système le comportement dynamique souhaité, généralement de type second ordre : choix de pôles et zéros compensant les pôles présents dans la FTBO ; choix de pôles et zéros imposant la nouvelle dynamique du système ; réglage du gain. Utilisation des courbes caractéristiques pour un système d ordre deux pseudo-oscillant : courbes de même amortissement (demi-droites partant de l origine) ; courbes de même temps de réponse (verticales) ;et courbes de même bande passante (demi-cercles centrés sur l origine).

25 0.46 0.34 Lieu des racines 0.24 0.17 0.11 0.05 25 20 0.62 20 15 15 10 0.84 10 Axe imaginaire 5 0 5 5 5 10 0.84 10 15 15 0.62 20 20 0.46 0.34 0.24 0.17 0.11 0.05 25 15 10 5 25 0 Axe réel

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Méthode du lieu des racines (3) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Attention! Tous les systèmes ne peuvent pas nécessairement être transformés en système du second ordre.

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Méthode du lieu des racines (3) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Attention! Certaines compensations doivent être évitées : on ne compensera jamais un pôle à partie réelle positive : s (p i + p i ) s p i = 1 p i s p i.

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. A la main Tracer le lieu des racines et effectuer une correction proportionnelle.

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. Correcteur purement proportionnel 30 Lieu des racines 20 10 Axe imaginaire 0 10 20 30 50 40 30 20 10 0 Axe réel

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. A la main Tracer le lieu des racines et effectuer une correction proportionnelle et dérivée.

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. Correction proportionnelle et dérivée 80 Lieu des racines 60 40 20 Axe imaginaire 0 20 40 60 80 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Axe réel

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. Correction proportionnelle et dérivée Lieu des racines 25 20 15 10 Axe imaginaire 5 0 5 10 15 20 25 20 15 10 5 0 Axe réel

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. A la main Tracer le lieu des racines et ajouter une paire pôle-zéro de plus?!

Première synthèse F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500. Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps de réponse t 5% < 0, 2s. A la main?? Tracer le lieu des racines et ajouter une paire pôle-zéro de plus...et si on utilisait Matlab...

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Méthodes harmoniques : correction PI Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Correction PI Réglage d un correcteur PI : ( C(s) = K p 1 + 1 ) τ i s en utilisant le diagramme de Bode. = K p(1 + τ i s). τ i s Hypothèse Système de classe zéro avec deux pôles réels, associés aux constantes de temps τ 1 et τ 2, τ 1 τ 2.

GH db(ω) 1 τ1 1 τ2 ω ϕ(ω) 1 τ1 1 τ2 ω 90. 180

( 1) CGH db(ω) pour K p = 1 GH db(ω) 1 τ1 1 τ2 ω ( 2) ϕ(ω) 1 τ1 1 τ2 ω 90 Arg (CGH(ω)) 180

CGH db(ω) CGH db(ω) pour K p = 1 ( 1) GH db(ω) 20 log K p 1 τ1 1 ω c τ2 ω ( 2) ϕ(ω) 1 τ1 1 ω c τ2 ω 90 M ϕ désirée Arg (CGH(ω)) M ϕ 180

Synthèse de correcteur PI Cahier des charges : G(s) = 1 (s + 1)(s + 5) erreur statique nulle réglage de la stabilité premier cas : marge de phase de 45 deg deuxième cas : coefficient d amortissement de 0, 7

Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Méthodes harmoniques : correction à avance de phase Correction à avance de phase Réglage d un correcteur PD approché : C(s) = K p en utilisant le diagramme de Bode. 1 + τ d s 1 + aτ d s Hypothèse Système est de classe 1 avec un pôle réel, associé à la constante de temps τ 1.

( 1) ω ( 2) ϕ(ω) GH db(ω). 1 τ 1 ω 90. 180

( 1) ω ( 1) ( 2) CGH db(ω) pour K p = 1 ϕ(ω) GH db(ω) 1 τ 1 1 τ d ω c 1 aτ d ω 90 M ϕ désirée Arg (CGH(ω)) M ϕ 180

( 1) ( 2) ( 1) ω 20 log K p ( 2) CGH db(ω) CGH db(ω) pour K p = 1 ϕ(ω) GH db(ω) 1 τ 1 1 τ d ω c 1 aτ d ω 90 M ϕ désirée Arg (CGH(ω)) 180

Synthèse de correcteur à avance de phase Cahier des charges : erreur statique nulle marge de phase de 60 deg bande passante 10 rad/s G(s) = 150 s(s + 5)

Autres méthodes Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Méthodes de Ziegler-Nichols Essais : identification de la réponse indicielle ; identification du régime critique ; Synthèse sous forme de tableaux.

y(t) pente α = K τ K t r t r + τ t coefficients du correcteur type de correcteur K p τ i τ d P PI 1 αt r 0, 9 αt r t r 0, 3 PID 1, 2 αt r 2t r 0, 5t r

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Deuxième partie II Systèmes et asservissements à temps discret

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Plan 3 Systèmes à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret 4 Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Plan 3 Systèmes à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret 4 Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Signaux à temps discret Définition Un signal à temps discret est une suite ordonnée de valeurs numériques réelles, complexes, scalaires ou vectorielles. On note f (k) la valeur du signal à l instant k (k-ème valeur du signal).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Signaux à temps discret Définition Un signal à temps discret est une suite ordonnée de valeurs numériques réelles, complexes, scalaires ou vectorielles. On note f (k) la valeur du signal à l instant k (k-ème valeur du signal). Echelon unité : U(k) = U(k) { 0, si k < 0, 1, si k 0 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 k

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Signaux à temps discret Définition Un signal à temps discret est une suite ordonnée de valeurs numériques réelles, complexes, scalaires ou vectorielles. On note f (k) la valeur du signal à l instant k (k-ème valeur du signal). Impulsion unité : δ(k) δ(k) = { 1, si k = 0, 0, sinon. 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 k

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage idéal Définition On appelle signal échantillonné idéal le signal à temps continu : f (t) = + k= f (kt e )δ(t kt e ) où δ(t) représente l impulsion de Dirac. Autrement dit : f (t) = + X k= f (t)δ(t kt e) = f (t) + X k= δ(t kt e) donc f (t) peigne d impulsions de Dirac δ Te (t) = P + k= δ(t kte), de période Te, modulé en amplitude par f (t).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (1) Interprétation de l échantillonnage Echantillonnage = prélèvement de f (t) à t = kt e : modulation en amplitude du signal par un signal mod(t). f (t) fm(t) f (t) fm(t) t 0 Te 2Te t mod(t) mod(t) 0 Tw Te 2Te t

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (2) Pour T w petit : f m (t) = f (t) mod(t)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (2) Pour T w petit : f m (t) = f (t) mod(t) = f (t) + k= U(t kt e ) U(t kt e T w ),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (2) Pour T w petit : f m (t) = f (t) mod(t) = f (t) = + k= + k= U(t kt e ) U(t kt e T w ), f (kt e ) (U(t kt e ) U(t kt e T w )),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (2) Pour T w petit : f m (t) = f (t) mod(t) = f (t) = + k= + k= U(t kt e ) U(t kt e T w ), f (kt e ) (U(t kt e ) U(t kt e T w )), + = T w f (kt e )δ(t kt e ) k=

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (2) Pour T w petit : f m (t) = f (t) mod(t) = f (t) = + k= + k= U(t kt e ) U(t kt e T w ), f (kt e ) (U(t kt e ) U(t kt e T w )), + = T w f (kt e )δ(t kt e ) = T w f (t). k=

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Echantillonnage réel (2) Pour T w petit : f m (t) = f (t) mod(t) = f (t) = + k= + k= = T w + U(t kt e ) U(t kt e T w ), f (kt e ) (U(t kt e ) U(t kt e T w )), k= f (kt e )δ(t kt e ) = T w f (t). Le signal échantillonné idéal f (t) a donc les mêmes propriétés spectrales (même forme des transformées de Laplace) que le signal f m (t) issu d un échantillonnage réel (ou réaliste) de f (t).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (1) Première expression : F (s) = + 0 f (t)e st dt,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (1) Première expression : F (s) = = + 0 + 0 f (t)e st dt, ( + ) f (kt e )δ(t kt e ) e st dt, k=

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (1) Première expression : F (s) = = = + 0 + 0 + k= f (t)e st dt, ( + ) f (kt e )δ(t kt e ) e st dt, k= ( + f (kt e ) 0 ) δ(t kt e )e st dt.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (1) Première expression : F (s) = = = + 0 + 0 + k= On obtient finalement : F (s) = f (t)e st dt, ( + ) f (kt e )δ(t kt e ) e st dt, k= ( + f (kt e ) + k= 0 ) δ(t kt e )e st dt. f (kt e )e ktes.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (2) Deuxième expression :

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (2) Deuxième expression : f (t) = f (t)δ Te (t),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (2) Deuxième expression : f (t) = f (t)δ Te (t), avec δ Te (t) = + k= c k e 2πkt Te,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (2) Deuxième expression : f (t) = f (t)δ Te (t), avec δ Te (t) = + k= c k e 2πkt Te, où c k = 1 T e Te 2 T e 2 δ Te (t)e 2jπkt Te dt = 1 T e.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (2) Deuxième expression : f (t) = f (t)δ Te (t), avec δ Te (t) = + k= où c k = 1 T e Te 2 donc f (t) = f (t) c k e 2πkt Te, T e 2 + k= δ Te (t)e 2jπkt Te dt = 1 T e. 1 T e e 2jπkt Te,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (2) Deuxième expression : f (t) = f (t)δ Te (t), avec δ Te (t) = + k= où c k = 1 T e Te 2 donc f (t) = f (t) c k e 2πkt Te, T e 2 + k= = 1 T e + k= δ Te (t)e 2jπkt Te dt = 1 T e. 1 T e e 2jπkt Te, f (t)e 2jπkt Te

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (3) On en déduit : F (s) = + 0 ( 1 + T e k= f (t)e 2jπkt Te ) e st dt,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (3) On en déduit : F (s) = + 0 = 1 T e + ( 1 k= + T e k= ( + 0 ) f (t)e 2jπkt Te e st dt, f (t)e 2jπk (s Te ) )t dt,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée de Laplace d un signal échantillonné (3) On en déduit : F (s) = + 0 = 1 T e + ( 1 k= + T e k= ( + 0 ) f (t)e 2jπkt Te e st dt, f (t)e 2jπk (s Te ) )t dt, soit finalement : F (s) = 1 T e + k= F ( s 2jπk ). T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Analyse spectrale de l échantillonnage (1) Définition La transformée de Fourier d un signal causal f (t) est : F(jω) = F{f (t)} = + 0 f (t)e jωt dt. C est un cas particulier de la transformée de Laplace. Le module de la transformée de Fourier d un signal est appelé spectre de ce signal (d où l analyse spectrale) Propriété La transformée de Fourier inverse vaut : f (t) = F 1 {F(jω)} = 1 2π + F(jω)e jωt dt.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Analyse spectrale de l échantillonnage (1) Comme F (s) = 1 ( ) + T e k= F s 2jπk T e le spectre du signal échantillonné est périodique, de période jω e = j 2π T e. F (jω) AM 0 ω ωm ωm Question Quel est le spectre du signal échantillonné, selon les valeurs respectives des pulsations ω M et ω e?

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Analyse spectrale de l échantillonnage (2) Cas où ω M est inférieure à la pulsation de Nyquist ωe 2. F (jω) A M Te ωe ωm ωe ωe + ωm ωe 2 ωm ωm 0 ωe 2 ωe ωm ωe ω ωe + ωm bandes complémentaires bande de base bandes complémentaires Conclusion L information contenue dans le signal à temps continu est présente dans chacune des bandes et notamment dans la bande de base, pour des pulsations comprises dans l intervalle [ ω e ω e]. Il est donc possible de reconstruire le signal à temps continu par filtrage passe-bas idéal en supprimant les bandes complémentaires du spectre.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Analyse spectrale de l échantillonnage (3) Cas où ω M est supérieure à la pulsation de Nyquist. F (jω) repliement de spectre A M Te 0 ω ωm ωm ωe 2 ωe 2 bandes complémentaires bande de base bandes complémentaires Conclusion On appelle le phénomène observé repliement de spectre. Il correspond en effet au repliement des bandes complémentaires dans la bande de base : on ne peut plus reconstruire f (t) à partir de f (t).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Analyse spectrale de l échantillonnage (3) Théorème de Shannon Pour pouvoir reconstituer sans perte d information un signal à temps continu à partir d échantillons de période T e de ce signal, il faut que la fréquence d échantillonnage f e = 1 T e soit au moins égale au double de la fréquence maximale contenue dans le spectre de ce signal.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Analyse spectrale de l échantillonnage (3) Théorème de Shannon Pour pouvoir reconstituer sans perte d information un signal à temps continu à partir d échantillons de période T e de ce signal, il faut que la fréquence d échantillonnage f e = 1 T e soit au moins égale au double de la fréquence maximale contenue dans le spectre de ce signal. Filtrage anti-repliement Si, la fréquence d échantillonnage étant fixée, le signal comporte des composantes spectrales à des fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist, il faut que le signal analogique soit filtré avant échantillonnage de manière à assurer un repliement négligeable. Un tel filtre passe-bas analogique est appelé filtre anti-repliement.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (1) Problème Obtenir la reconstruction du signal f (t) à partir des échantillons f (k). Filtrage dans la bande de base = filtrage passe-bas idéal de réponse harmonique H(jω), de pulsation de coupure ω N. A M Te 1 AM H(jω) F(jω) F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ω bande de base

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (2) A M Te 1 AM H(jω) F (jω) F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ω F(jω) = T e F (jω)h(jω)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (2) A M Te 1 AM H(jω) F (jω) F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ω F(jω) = T e F (jω)h(jω) d où : f (t) = F 1 {F(jω)} = F 1 {T e F (jω)h(jω)},

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (2) A M Te 1 AM H(jω) F (jω) F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ω F(jω) = T e F (jω)h(jω) d où : f (t) = F 1 {F(jω)} = F 1 {T e F (jω)h(jω)}, = T e 2π + F (jω)h(jω)e jωt dω,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (2) A M Te 1 AM H(jω) F (jω) F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ω F(jω) = T e F (jω)h(jω) d où : f (t) = F 1 {F(jω)} = F 1 {T e F (jω)h(jω)}, = T e 2π = T e 2π + ωe 2 F (jω)h(jω)e jωt dω, ω e 2 F (jω)e jωt dω,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (2) A M Te 1 AM H(jω) F (jω) F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ω F(jω) = T e F (jω)h(jω) d où : f (t) = F 1 {F(jω)} = F 1 {T e F (jω)h(jω)}, = T e 2π = T e 2π = T e 2π + ωe 2 ω e π Te π T F (jω)h(jω)e jωt dω, F (jω)e jωt dω, 2 ( + ) f (kte )e jωkte e jωt dω.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (3) f (t) = T e 2π + k= ( f (kt e ) π Te π Te e jω(t kte) dω ),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (3) f (t) = T e 2π = T e 2π + k= + k= ( f (kt e ) f (kt e ) π Te [ π Te e jω(t kte) dω e jω(t kte) j(t kt e ) ] ω= π Te ) ω= π Te,,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (3) f (t) = T e 2π = T e 2π = T e 2π + k= + k= + k= ( f (kt e ) f (kt e ) π Te [ π Te e jω(t kte) dω e jω(t kte) j(t kt e ) π ] ω= π Te ) ω= π Te,, f (kt e ) ej Te (t kte) e j π Te (t kte), j(t kt e )

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (3) f (t) = T e 2π = T e 2π = T e 2π = T e 2π + k= + k= + k= + k= ( f (kt e ) f (kt e ) π Te [ π Te e jω(t kte) dω e jω(t kte) j(t kt e ) π ] ω= π Te ) ω= π Te,, f (kt e ) ej Te (t kte) e j π Te (t kte), j(t kt e ) f (kt e ) 2 sin π T e (t kt e ) t kt e,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (3) f (t) = T e 2π = T e 2π = T e 2π = T e 2π = + k= + k= + k= + k= ( f (kt e ) f (kt e ) π Te [ π Te e jω(t kte) dω e jω(t kte) j(t kt e ) π ] ω= π Te ) ω= π Te,, f (kt e ) ej Te (t kte) e j π Te (t kte), j(t kt e ) f (kt e ) 2 sin π T e (t kt e ) t kt e, + f (kte ) sin π T e (t kt e ) π. (t kt )

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction idéale d un signal (4) Soit finalement : f (t) = + k= ( ) t kte f (kt e )sinc T e avec sincx = sin πx πx.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (1) Problème Obtenir la reconstruction du signal f (t) à partir des échantillons f (k), à l aide d un bloqueur d ordre zéro (BOZ), qui maintient la valeur d un signal échantillonné durant une période d échantillonnage. f b(t) f (t) f (t) BOZ f b(t) f (t) 0 t T e 2T e 3T e 4T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (2) Un BOZ est donc un système dont la réponse impulsionnelle est une porte b 0 (t) de largeur T e, d amplitude unitaire. fb(t) f (t) f (t) BOZ fb(t) f (t) 0 t Te Comme b 0 (t) = U(t) U(t T e ), B 0 (s) = 1 e T es s et donc :

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (2) Un BOZ est donc un système dont la réponse impulsionnelle est une porte b 0 (t) de largeur T e, d amplitude unitaire. fb(t) f (t) f (t) BOZ fb(t) f (t) 0 t Te Comme b 0 (t) = U(t) U(t T e ), B 0 (s) = 1 e T es s et donc : B 0 (jω) = 1 e jωte, jω

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (2) Un BOZ est donc un système dont la réponse impulsionnelle est une porte b 0 (t) de largeur T e, d amplitude unitaire. fb(t) f (t) f (t) BOZ fb(t) f (t) 0 t Te Comme b 0 (t) = U(t) U(t T e ), B 0 (s) = 1 e T es s et donc : B 0 (jω) = e jω T e 2 e jω Te 2 e jω Te 2 jω,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (2) Un BOZ est donc un système dont la réponse impulsionnelle est une porte b 0 (t) de largeur T e, d amplitude unitaire. fb(t) f (t) f (t) BOZ fb(t) f (t) 0 t Te Comme b 0 (t) = U(t) U(t T e ), B 0 (s) = 1 e T es s et donc : B 0 (jω) = e jω T e 2 2 sin ω Te 2 ω.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (3) Suite au blocage d ordre 0 et au filtrage passe-bas idéal, on a : F b (jω) = B 0 (jω)f (jω),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (3) Suite au blocage d ordre 0 et au filtrage passe-bas idéal, on a : F b (jω) = B 0 (jω)f (jω), = 1 B 0 (jω)f(jω), T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (3) Suite au blocage d ordre 0 et au filtrage passe-bas idéal, on a : F b (jω) = B 0 (jω)f (jω), = 1 T e B 0 (jω)f(jω), = e j( ωt e 2 ) sin ( ωte 2 ( ωte 2 ) ) F(jω).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (3) Suite au blocage d ordre 0 et au filtrage passe-bas idéal, on a : Comme ωte 2 = π ω ω e : F b (jω) = B 0 (jω)f (jω), = 1 T e B 0 (jω)f(jω), = e j( ωt e 2 ) sin ( ωte 2 ( ωte 2 ( F b (jω) = e j ωt e ω 2 sinc ω e ) ) F(jω). ) F(jω).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Reconstruction approchée d un signal (4) F b (jω) = e j ωt e 2 }{{} déphasage ( ) ω sinc ω e }{{} déformation F(jω). La réponse harmonique du signal bloqué se déduit de celle du signal à temps continu initial par : une déformation, liée au sinus cardinal ; un retard pur d une demi période d échantillonnage. Fb(jω) 1 ω sinc ωe F (jω) ωe 2 0 ωe 2 ωe ω

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z Définition La transformée en z d un signal à temps discret f (k) est définie par : F(z) = Z{f (k)} = k=+ f (k)z k. k=0 On remarque que : F s = lnz = P + T e k=0 f (k)z k = F (z). Propriété La transformée en z est une fonction de la variable complexe z, généralement définie sur une zone du plan complexe pour laquelle z > R 0. La valeur R 0 définissant la limite de convergence est appelée rayon de convergence.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : calcul Tables de transformées Autant que possible, on utilise des tables de transformées pré-calculées : δ(k) 1 U(k) z z 1...

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : calcul Tables de transformées Autant que possible on utilise des tables de transformées pré-calculées. Exemple de calcul (complet et rigoureux) Calcul de la transformée en z de f (k) = e akte U(k).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Linéarité : Z{f (k) + αg(k)} = F(z) + αg(z), α R

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Changement d échelle : Z{α k f (k)} = F ( z α), α R

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Retard : Z{f (k n)} = z n F (z), n N

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Avance : Z{f (k + n)} = z n ( F(z) k=n 1 k=0 f (k) z k ), n N

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Multiplication par une rampe : Z{kf (k)} = z df (z) dz

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Th. de la valeur initiale : lim k 0 f (k) = lim z + F(z)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Th. de la valeur finale : lim k f (k) = lim z 1 (1 z 1 )F(z)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z : propriétés Notations Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général des signaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k) et g(k), de transformées en z respectives F(z) et G(z). Propriétés Convolution : Z{f (k) g(k)} = n=+ n= f (k)g(n k) = F(z)G(z)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z inverse (1) Remarque Qualitativement, on peut comprendre que la transformée en z d un signal f (t) échantillonné à la période T e, ne peut pas permettre de retrouver le signal original à temps continu f (t). f (t) g(t) 0 1 T e 2 T e 3 T e 4 T e 5 T e 6 T e 7 T e t

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z inverse (2) Calcul En pratique (dans l ordre croissant de difficulté) : tables de transformées ; décomposition en éléments simples, puis tables de transformées ; division selon les puissances croissantes de z 1 ; formule d inversion.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z inverse (3) Calcul : décomposition en éléments simples Transformée en z sous la forme : F(z) = N(z) D(z) = n i=1 A i z. z c i Alors : f (k) = n A i ci k i=1 U(k). Exemple Calcul de la transformée en z inverse de : F(z) = z z 2 (c + d)z + cd.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z inverse (4) Calcul : division selon les puissances croissantes Transformée en z sous la forme : F(z) = N(z) D(z) = m i=0 b iz i n i=0 a iz i. La division selon les puissances croissantes de z 1 de N(z) par D(z) donne : Alors : F(z) = c 0 + c 1 z 1 + c 2 z 2 +... f (k) = c 0 δ(k) + c 1 δ(k 1) + c 2 δ(k 2) +...

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z inverse (5) Calcul : division selon les puissances croissantes f (k) = c 0 δ(k) + c 1 δ(k 1) + c 2 δ(k 2) +... conduit aux valeurs : f (0) = c 0, f (1) = c 1,... Exemple Calcul de la transformée en z inverse de : F(z) = z + z2 2 + 3z + z 2.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Transformée en z inverse (6) Calcul : formule d inversion La transformée en z inverse de la transformée F(z) s écrit : f (k) = Z 1 {F(z)} = 1 F(z)z k 1 dz, 2πj où Γ est un contour fermé du plan complexe contenant toutes les singularités de F(z). Γ

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Résolution d équations aux différences (1) Soit l équation aux différences : a 0 f (k) + a 1 f (k + 1) + + a nf (k + n) = b 0 g(k) + b 1 g(k + 1) + + b mg(k + m). Comme : Z{f (k)} = F(z), Z{f (k + 1)} = zf(z) zf (0), Z{f (k + 2)} = z 2 F(z) z 2 f (0) zf (1),... et de même Z{g(k)} = G(z), Z{g(k + 1)} = zg(z) zg(0), Z{g(k + 2)} = z 2 G(z) z 2 g(0) zg(1),...

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Résolution d équations aux différences (1) Soit l équation aux différences : a 0 f (k) + a 1 f (k + 1) + + a nf (k + n) = b 0 g(k) + b 1 g(k + 1) + + b mg(k + m). Alors : (a 0 + a 1 z + + a n z n ) F(z) = (b 0 + b 1 z +... b m z m ) G(z)+P n (z), où P n (z) est un polynôme en z d ordre n, dépendant des CI des signaux f (k) et g(k). On en déduit que : F(z) = b 0 + b 1 z + + b m z m P n (z) a 0 + a 1 z +... a n z n G(z) + a 0 + a 1 z +... a n z n. Par transformée en z inverse on peut donc résoudre l équation aux différences originale.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Résolution d équations aux différences (2) Remarque Les termes liés aux CI viennent de l avance. Si on modifie l équation par décalage, de façon à ne plus avoir que des retards, ces termes disparaissent. Exemple Résolution de l équation aux différences : f (k + 2) + 2f (k + 1) + f (k) = 0, 8g(k + 1) + 0, 4g(k) où f (k) et g(k) causaux, g(0) = 1, g(1) = 0, 5, g(2) = 0, 5 et g(k) = 0 pour k 3.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Plan 3 Systèmes à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret 4 Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (1) Hypothèses On considère des systèmes linéaires, causaux et invariants dans le temps, de sortie y(k) en réponse à un signal à temps discret d entrée u(k). Propriété La relation entrée-sortie d un tel système est caractérisée par une équation aux différences : n a i y(k i) = i=0 m b i u(k i) i=0 où m n pour un système causal.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (1) Hypothèses On considère des systèmes linéaires, causaux et invariants dans le temps, de sortie y(k) en réponse à un signal à temps discret d entrée u(k). Cette relation s écrit encore, sous forme développée : a 0 y(k) + a 1 y(k 1) + + a ny(k n) = b 0 u(k) + b 1 u(k 1) + + b mu(k m).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (2) n a i y(k i) = i=0 m b i u(k i) i=0

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (2) ( n ) ( m ) a i z i Y (z) = b i z i U(z). i=0 i=0

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (2) ( n ) a i z i Y (z) = i=0 ( m ) b i z i U(z). i=0 Définition On appelle fonction de transfert de ce système à temps discret (ou transmittance discrète) la fraction rationnelle : G(z) = Y (z) U(z). D après ce qui précède, elle prend donc la forme : G(z) = N(z) m D(z) = i=0 b iz i n i=0 a iz i.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (3) Propriété La fonction de transfert à temps discret est la transformée en z de la réponse du système à une impulsion unité discrète (Z{δ(k)} = 1, donc Y (z) = G(z) et y(k) = g(k)). Ceci établit une certaine analogie avec les signaux à temps continu qui peut même être menée plus loin. On montre en effet que : y(k) = g(k) u(k) = = n=+ n=k pour un système causal. n=+ n= g(n)u(k n). g(n)u(k n),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système à temps discret (4) Exemple Soit le signal à temps discret f (k), de transformée en z : F(z) = 10z + 5 z 2 1, 2z + 0, 2. A la lumière de ce qui précède, calculer f (k). Il s agit bien évidemment d un exercice de compréhension, la méthode la plus naturelle étant ici de factoriser (deux pôles évidents!) et décomposer en éléments simples F(z) ou d effectuer la division selon les puissances croissantes de z 1.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (1) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (1) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z) Y (s) = (G(s)U (s)),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (1) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z) Y (s) = (G(s)U (s)), = 1 T e + k= Y ( s 2jπk T e ),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (1) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z) Y (s) = (G(s)U (s)), = 1 T e + k= = 1 T e + k= Y ( s 2jπk T e ), ( G s 2jπk ) ( U s 2πk ), T e T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (1) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z) Y (s) = (G(s)U (s)), = 1 T e + k= = 1 T e + = ( 1 k= + Y T e k= ( s 2jπk T e ), ( G s 2jπk ) ( U s 2πk ), T e T e ( G s 2jπk ) ) U (s). T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (2) On en déduit que : Y (s) = G (s) U (s), Y (z) = G(z) U(z). Remarque Il y a équivalence entre les transformées de Laplace des signaux échantillonnés et les transformées en z des signaux à temps discret.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (2) On en déduit que : Y (s) = G (s) U (s), Y (z) = G(z) U(z). Définition La fonction de transfert à temps discret du système est donc : G(z) = Y (z) U(z).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (3) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G 1 (s) G 2 (s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z) (G 1 (s)g 2 (s)) (G 1 (s)) (G 2 (s)) Alors, on aura : Y (z) = G 1 G 2 (z)u(z), en notant, pour alléger : G 1 G 2 (z) = Z{L 1 {G 1 (s)g 2 (s)}}.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (4) Remarque C est en particulier le cas de l association d un bloqueur d ordre zéro et d un procédé. u(t) U(s) T e u (t) U (s) BOZ G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Fonction de transfert d un système échantillonné (5) Comme : on a : Y (z) U(z) où g I (t) = L 1{ G(s) s et ( Y (s) 1 e T es ) U (s) = G(s). s {( 1 e = Z {L 1 T es ) s = Z{g I (t) g I (t T e )}, }. Par conséquent : Y (z) U(z) = (1 z 1 )Z{g I (t)}, Y (z) U(z) = (1 z 1 )Z { G(s) s }} G(s), }.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Pôles et zéros d un système échantillonné (1) u(t) U(s) T e u (t) U (s) G(s) y(t) Y (s) T e y (t) Y (s) Y (z) Vocabulaire Les pôles (resp. les zéros) en s du système sont les pôles (resp. les zéros) de G(s) = Y U (s). Ses pôles (resp. ses zéros) en z sont les pôles (resp. les zéros) de G(z) = Y (z) U(z).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Pôles et zéros d un système échantillonné (2) Si G(s) ne comporte que des pôles simples : n A i G(s) = s p i et par conséquent : i=1 g(t) = L 1 {G(s)} = n A i e p i t U(t). Les pôles en z sont obtenus en appliquant alors la transformée en z : n A i z G(z) = z e p. i T e i=1 A un pôle simple en s d affixe p i correspond donc un pôle en z en e p i T e. i=1

3ωe 2 Im(s) ω e + ω 2 Im(z) Im(s) ω e ω 2 ωe 2 ω e ω 2 ω 2 ω 2 T e Re(s) Re(s) Re σ 2 σ 1 ω 2 ωe 2 σ 2 σ 1 ω 2 ω e + ω 2 e σ2te e σ1te ω e 3ωe 2 ω e ω 2 temps continu s = σ ± jω échantillonnage idéal σ ± jω mod jω e temps discret z = e jω

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Pôles et zéros d un système échantillonné (3) Im(z) Im(s) p 1 < 0 Re(s) p 2 > 0 e p1te e p2te Re(z) Correspondance entre les pôles en s et les pôles en z d un système du premier ordre

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Pôles et zéros d un système échantillonné (4) ξ = constante Im(z) Im(s) Re(s) Re(z) ω n = constante Correspondance entre les pôles en s et les pôles en z d un système du second ordre

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret Pôles et zéros d un système échantillonné (5) Remarque Il n existe pas de relation simple entre les zéros de G(s) et ceux de G(z). Pour s en convaincre il suffit de prendre un exemple. Si l on considère : g(t) = e at alors : G(s) = G(z) = 1 s + a, z z e. ate Ainsi, il existe un pôle en z alors qu il n en existe pas en s.

Plan Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants 3 Systèmes à temps discret Signaux à temps discret et échantillonnage Représentation des systèmes à temps discret 4 Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Structure des systèmes à commande numérique (1) Constat Systèmes continus : organes de commande analogiques consigne analogique y r (t) organes de commande analogiques (électriques, hydrauliques, pneumatiques,...) + ε(t) correcteur analogique u(t) p(t) procédé y(t) mesure analogique capteur commande analogique du système b(t)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Structure des systèmes à commande numérique (2) Commande numérique Système à commande numérique : remplacement de la commande analogique du système par des algorithmes (comparaison, correction) mis en œuvre sur calculateur. p(t) y r (k) + ε(k) consigne numérique correcteur numérique CNA u(t) procédé y(t) mesure analogique CAN capteur T e commande numérique du système b(t)

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Structure des systèmes à commande numérique (3) Commande hybride temps continu-temps discret Traitement de l information analogique par découpage temporel des signaux au niveau du calculateur. Interface calculateur/procédé : convertisseur numérique-analogique (CNA) pour convertir les signaux issus du calculateur qui constituent l entrée du procédé (ou plus généralement de l ensemble amplification+procédé) ; convertisseur analogique-numérique (CAN) pour convertir les mesures effectuées sur le procédé et les fournir au calculateur : échantillonnage et quantification (bruit de quantification).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants y r (k) + ε(k) u(k) u(t) C(z) BOZ G(s) Y r (z) E(z) U(z) U(s) CNA T e y(t) Y (s) y(k) Y (z) y m(k) Y m(z) T e CAN y m(t) Y m(s) H(s) j U(z) = C(z)E(z), Y m(z) = (1 z 1 G(s)H(s) )Z s j E(z) = Y r (z) Y m(z), Y (z) = (1 z 1 G(s) )Z s ff U(z), ff U(z).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants U(z) = C(z)E(z), E(z) = Y r (z) Y m (z), { G(s)H(s) Y m (z) = (1 z 1 )Z s { G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z s } U(z). } U(z),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Donc : U(z) = C(z) U(z) = C(z)E(z), E(z) = Y r (z) Y m (z), { G(s)H(s) Y m (z) = (1 z 1 )Z s { G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z s } U(z). } U(z), ( { } ) Y r (z) (1 z 1 G(s)H(s) )Z s U(z),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants U(z) = C(z)E(z), E(z) = Y r (z) Y m (z), { G(s)H(s) Y m (z) = (1 z 1 )Z s { G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z s } U(z). } U(z), Donc (: { }) U(z) 1 + (1 z 1 G(s)H(s) )C(z)Z s = C(z)Y r (z),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants U(z) = C(z)E(z), E(z) = Y r (z) Y m (z), { G(s)H(s) Y m (z) = (1 z 1 )Z s { G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z s } U(z). } U(z), soit : U(z) = C(z)Y r (z) 1 + (1 z 1 )C(z)Z { G(s)H(s) }. s

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants U(z) = C(z)E(z), E(z) = Y r (z) Y m (z), { G(s)H(s) Y m (z) = (1 z 1 )Z s { G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z s } U(z). } U(z), La FTBF du système à commande numérique est alors : Y (z) Y r (z) = Y (z) U(z) U(z) Y r (z),

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants soit, finalement : U(z) = C(z)E(z), E(z) = Y r (z) Y m (z), { G(s)H(s) Y m (z) = (1 z 1 )Z s { G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z s Y (z) Y r (z) = (1 z 1 )C(z)Z } U(z). { G(s) } s } U(z), 1 + (1 z 1 )C(z)Z { G(s)H(s) s }.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Système échantillonné bouclé (3) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Exemple Calculer la FTBF discrète de l asservissement représenté à la figure suivante. P(s) G 2(s) T e Y (z) Y r (z) + C(z) BOZ G 1(s) + + Y (s) Y m(z) T e + + B(z)

Stabilité Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Généralités Les définitions générales de la stabilité s appliquent bien évidemment aux systèmes échantillonnés. Pôles en z et condition de stabilité Un système linéaire invariant à temps discret est stable si et seulement si tous ses pôles sont de module strictement inférieur à un.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Critère algébrique de Jury (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants On considère un système à temps discret de fonction de transfert : avec a n > 0. N(z) D(z), avec D(z) = a 0 + a 1 z + + +a n z n, Lorsque les coefficients de D(z) sont réels, ce qui est le cas en pratique pour des systèmes asservis à temps discret, le critère de Jury permet de conclure sur la stabilité, sans pour autant calculer les racines de D(z).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Critère algébrique de Jury (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Soit : a 0,i = a i, i = 0, 1,..., n, a j+1,i = Critère de Jury a j,0 a j,n j i a j,n j a j,i, avec 0 i n j 1. Une condition nécessaire et suffisante pour que D(z), à coefficients réels ait ses racines de module inférieur à l unité est que les inégalités suivantes soient vérifiées : 1 a 0 a n < 0 ; 2 D(1) > 0 ; 3 ( 1) n D( 1) > 0 ; 4 a j,0 a j,n j > 0, j = 1, 2,..., n 2.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Critère algébrique de Jury (3) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Exemple Etudier ce critère pour les systèmes d ordre inférieur ou égal à trois.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Critères algébriques de Routh et transformée en w Le critère de Routh ne s applique pas tel quel aux systèmes à temps discret. Pour cela on utilise la transformée en w : w = z 1 z + 1 z = 1 + w 1 w qui associe à l intérieur du cercle unité du plan en z le demi-plan gauche du plan en w. Critère de Routh en temps discret On admet que la stabilité est vérifiée si le polynôme en w : ( ) 1 + w D (w) = (1 w) n D 1 w vérifie le critère de Routh.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Critères algébriques de stabilité Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Exemple A l aide des critères algébriques précédents, montrer que le système de fonction de transfert : G 1 (z) = 1, 42 0, 12z + 0, 113z 2 0, 1066 0, 5620z + 1, 67z 2 2, 2z 3 + z 4 est stable, alors que le système de fonction de transfert : G 2 (z) = est instable. 1, 42 0, 12z + 0, 113z 2 0, 98 0, 5620z + 1, 67z 2 2, 2z 3 + z 4

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Critères géométriques de stabilité Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Pôles en z et critère géométrique de stabilité Un système linéaire invariant à temps discret est stable si et seulement si ses pôles sont à l intérieur du cercle unité dans le plan complexe. Lieu des racines Le lieu des racines autorise l analyse et la commande des systèmes à temps discrets. Pour pouvoir l appliquer il suffit de transposer ses propriétés en s, d après les règles vues précédemment.

3ωe 2 Im(s) ωe + ω 2 Im(z) Im(s) ωe ω2 ωe 2 ωe ω 2 ω 2 ω 2Te Re(s) Re(s) Re(z) σ2 σ1 ω2 ωe 2 σ2 σ1 ω 2 ωe + ω 2 e σ2te e σ1te ωe 3ωe 2 ωe ω 2 temps continu s = σ ± jω échantillonnage idéal σ ± jω mod jωe temps discret z = e jω

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Précision : expression de l erreur (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Y r (z) + E(z) U(z) j ff C(z) (1 z 1 GH(s) )Z s Y m(z) Le signal d erreur est : ε(k) = y r (k) y m (k). Donc : E(z) = Y r (z) { 1 + C(z)(1 z 1 )Z }. GH(s) s

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Précision : expression de l erreur (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Comme : z 1 ε = lim E(z) z 1 z si les pôles de z 1 z E(z) sont à l intérieur du cercle unité : ε = lim z 1 z 1 z Y r (z) { 1 + C(z)(1 z 1 )Z }. GH(s) s Selon le même cheminement que dans le cas continu, il est donc possible de calculer l erreur statique ou dynamique du système si l on connaît les limites en 1 de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Précision : classe du système Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Intégration en z Dans le cas d un système à temps discret, une intégration est caractérisée par la présence d un pôle en z = e 0 = 1. Ainsi, on sait qu il y a au moins une intégration si la somme des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert du système considéré est nulle :

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Précision : classe du système Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Intégration en z Dans le cas d un système à temps discret, une intégration est caractérisée par la présence d un pôle en z = e 0 = 1. Ainsi, on sait qu il y a au moins une intégration si la somme des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert du système considéré est nulle : D(z) = a 0 + a 1 z + + a n z n,

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Précision : classe du système Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Intégration en z Dans le cas d un système à temps discret, une intégration est caractérisée par la présence d un pôle en z = e 0 = 1. Ainsi, on sait qu il y a au moins une intégration si la somme des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert du système considéré est nulle : D(1) = a 0 + a 1 + + a n.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Précision : expression générale de l erreur (1) On considère que la fonction de transfert d un système linéaire invariant à temps discret est donnée par l équation : { } GH(s) C(z)(1 z 1 K 1 + β 1 z +... )Z = s (z 1) c 1 + α 1 z +... où c est la classe du système. entrée classe 0 échelon Y r (z) = E 0z z 1 E 0 1 + K classe 1 0 rampe Y r (z) = V 0 K V 0z (z 1) 2 classe 2 0 0

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Erreur due aux perturbations (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants P(s) Y r (z) + E(z) ε(k) C(z) U(z) BOZ CNA U(s) G 1 (s) + + G 2 (s) Y (s) Y m(z) T e H(s) Soit c 2 le nombre d intégration dans G 2 (s)h(s) (inférieur à la classe c du système).

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Erreur due aux perturbations (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants On montre que pour un échelon de perturbation d amplitude E 0 : ε = E 0 K 1 lim z 1 (z 1) c c 2 lim z 1 (z 1) c + K 2 où K 1 et K 2 sont des constantes. On en déduit le théorème suivant. Conséquence Pour obtenir une erreur statique nulle en présence d une perturbation constante, il faut et il suffit que c > c 2, c est-à-dire qu il y ait au moins un intégrateur en amont du point d application de la perturbation. Rejet d un bruit permanent : intégration dans le correcteur, etc..

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Synthèse continue Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants f (t) fb(t) f (t Te 2 ) 0 t Te 2Te 3Te 4Te Idée Si la fréquence d échantillonnage est suffisamment élevée on peut considérer que l échantillonneur, comme le bloqueur, sont assimilables un simple retard d une demi-période d échantillonnage (bloc de fonction de transfert de e T e 2 s ). Difficulté : synthèse du correcteur continu en présence d un retard pur.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Transposition de correcteurs continus Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe de la méthode Cette méthode de synthèse de correcteur consiste à discrétiser un correcteur continu préexistant ou synthétisé par une méthode continue pour l utiliser dans un schéma de commande numérique. Problème à résoudre On cherche pour cela les conditions permettant d approcher au mieux un correcteur continu à l aide d équations aux différences.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l arrière (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe Approximer la dérivation (multiplication par s en continu) par la formule des rectangles (Euler), comme une différence vers l arrière : df (t) dt f (t) f (t T e) T e.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l arrière (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe Approximer la dérivation (multiplication par s en continu) par la formule des rectangles (Euler), comme une différence vers l arrière : df (t) dt f (t) f (t T e) T e. Donc, dans le cas discret : { } f (t) f (t Te ) Z = 1 z 1 F(z) = z 1 F(z). T e z T e T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l arrière (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe Approximer la dérivation (multiplication par s en continu) par la formule des rectangles (Euler), comme une différence vers l arrière : df (t) dt f (t) f (t T e) T e. Donc, dans le cas discret : { } f (t) f (t Te ) Z = 1 z 1 F(z) = z 1 F(z). T e z T e T e D où : s z 1 z T e.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l arrière (2) ( Transposition : C(s) C (z) = C s = z 1 z T e ). Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Transposition et stabilité Im(s) Im(z) Re(s) Re(z) conserve la stabilité

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l avant (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe Approximer la dérivation d un signal à temps continu f (t) par une différence vers l avant : df (t) dt = f (t + T e) f (t) T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l avant (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe Approximer la dérivation d un signal à temps continu f (t) par une différence vers l avant : df (t) dt = f (t + T e) f (t) T e Donc, dans le cas discret : { } f (t + Te ) f (t) Z T e = z 1 F(z) T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l avant (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Principe Approximer la dérivation d un signal à temps continu f (t) par une différence vers l avant : df (t) dt = f (t + T e) f (t) T e Donc, dans le cas discret : { } f (t + Te ) f (t) Z T e = z 1 F(z) T e D où : s z 1 T e

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Différences vers l avant (2) ( ) Transposition : C(s) C (z) = C s = z 1 T e. Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Transposition et stabilité Im(s) Im(z) Re(s) Re(z) ne garantit pas la stabilité

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Transformation bilinéaire (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants On définit la transformation bilinéaire : z = 1 + Te 2 s 1 Te 2 s qui est en fait une approximation linéaire du changement de variable z = e Tes :

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Transformation bilinéaire (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants On définit la transformation bilinéaire : z = 1 + Te 2 s 1 Te 2 s qui est en fait une approximation linéaire du changement de variable z = e Tes : e Tes = e Te 2 s, e T e 2 s

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Transformation bilinéaire (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants On définit la transformation bilinéaire : z = 1 + Te 2 s 1 Te 2 s qui est en fait une approximation linéaire du changement de variable z = e Tes : e Tes = e Te 2 s, e T e 2 s 1 + Te 2 s 1 Te 2 s

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Transformation bilinéaire (2) ( Transposition : C(s) C (z) = C s = 2 T e Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants ) z 1 z+1. Transposition et stabilité Im(s) Im(z) Re(s) Re(z) conserve la stabilité

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Choix de la période d échantillonnage Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Critères :

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Choix de la période d échantillonnage Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Critères : T e suffisamment petite par rapport à la constante de temps τ du système. Typiquement, on impose T e τ 5 ;

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Choix de la période d échantillonnage Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Critères : T e suffisamment petite par rapport à la constante de temps τ du système. Typiquement, on impose T e τ 5 ; si l on souhaite obtenir une bande passante ω n pour le système bouclé, il faut que T e 1 10 ω n ;

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Choix de la période d échantillonnage Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Critères : T e suffisamment petite par rapport à la constante de temps τ du système. Typiquement, on impose T e τ 5 ; si l on souhaite obtenir une bande passante ω n pour le système bouclé, il faut que T e 1 10 ω n ; si T e est du même ordre que le temps de calcul de la commande, il faut modéliser le retard dû à ce calcul (terme de retard pur z 1 ou e ste dans un bloc continu) ;

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Choix de la période d échantillonnage Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Critères : T e suffisamment petite par rapport à la constante de temps τ du système. Typiquement, on impose T e τ 5 ; si l on souhaite obtenir une bande passante ω n pour le système bouclé, il faut que T e 1 10 ω n ; si T e est du même ordre que le temps de calcul de la commande, il faut modéliser le retard dû à ce calcul (terme de retard pur z 1 ou e ste dans un bloc continu) ; T e pas trop petite, sinon les pôles dominants sont proches du cercle unité (e ate 1 si T e petit) : problèmes numériques.

Exemple Soit le système de fonction de transfert : F 1 (s) = 5000 s 3 + 61s 2 + 560s + 500 = 5000 (s + 1)(s + 10)(s + 50). On veut maintenant une erreur statique nulle, un coefficient d amortissement de 0, 9 et un temps de réponse t 5% < 0, 2s. 1 Déterminer le correcteur continu permettant de remplir ce cahier des charges. 2 Réaliser la commande numérique de ce correcteur en choisissant soigneusement la période d échantillonnage et en transposant le correcteur par transformation bilinéaire. 3 Donner l équation aux différences vérifiée par le correcteur. 4 Déduire le modèle discret de l asservissement.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Correcteur PID numérique standard (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants La forme standard du correcteur PID numérique provient de la transposition de la forme standard continue. En appliquant la transposition par différences vers l avant au terme intégral et la transposition par différences vers l arrière au terme dérivé, on obtient : ) T e C(z) = K p (1 + τ i (z 1) + N(z 1). (1 + NTe τ d )z 1 Les variantes P, PI et PD, aisément déduites de la forme précédente, sont bien évidemment également utilisées.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Correcteur PID numérique standard (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Exemple Mettre le correcteur : C(s) = 0, 154 ( s + 11 + 1 ) s trouvé précédemment sous forme standard.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Anti-saturation du terme intégral Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Problème de saturation du terme intégral Dans le cas (c est-à-dire toujours) où les actionneurs présentent des saturations, la présence d un terme intégral dans le correcteur peut poser problème. Configuration assimilable à une boucle ouverte : en cas de variations de la consigne, intégration jusqu à de très grandes valeurs (effet mémoire) ; quand l erreur est réduite (action intégrale désaturée), temps important pour que les valeurs des variables ne soient correctes de nouveau. Solutions possibles : suspendre l action intégrale en cas de saturation ; recalculer le terme intégral pour ne pas saturer.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (1) Correcteur possédant un certain nombre de degrés de liberté : ( ) z l D I (z) 1 + β 1 z +... C(z) = K c z 1 N I (z) 1 + α 1 z +... avec :

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (1) Correcteur possédant un certain nombre de degrés de liberté : avec : ( ) z l D I (z) 1 + β 1 z +... C(z) = K c z 1 N I (z) 1 + α 1 z +... l nombre minimal d intégrations permettant de satisfaire la spécification en précision ;

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (1) Correcteur possédant un certain nombre de degrés de liberté : avec : ( ) z l D I (z) 1 + β 1 z +... C(z) = K c z 1 N I (z) 1 + α 1 z +... l nombre minimal d intégrations permettant de satisfaire la spécification en précision ; compensation des pôles et zéros à l intérieur du cercle unité (sauf les pôles oscillants trop proches du cercle et ceux à partie réelle négative) ;

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (1) Correcteur possédant un certain nombre de degrés de liberté : avec : ( ) z l D I (z) 1 + β 1 z +... C(z) = K c z 1 N I (z) 1 + α 1 z +... l nombre minimal d intégrations permettant de satisfaire la spécification en précision ; compensation des pôles et zéros à l intérieur du cercle unité (sauf les pôles oscillants trop proches du cercle et ceux à partie réelle négative) ; introduction alternativement de pôles et de zéros supplémentaires

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (1) Correcteur possédant un certain nombre de degrés de liberté : avec : ( ) z l D I (z) 1 + β 1 z +... C(z) = K c z 1 N I (z) 1 + α 1 z +... l nombre minimal d intégrations permettant de satisfaire la spécification en précision ; compensation des pôles et zéros à l intérieur du cercle unité (sauf les pôles oscillants trop proches du cercle et ceux à partie réelle négative) ; introduction alternativement de pôles et de zéros supplémentaires et réglage du gain ajustable K c.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (2) Exemple On considère un asservissement à retour unitaire du procédé ayant pour fonction de transfert : G(s) = K s(1 + τs) avec K = 50, τ = 0, 3 et f e = 100 Hz.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Synthèse directe par placement de pôles (3) Questions 1 Calculer la fonction de transfert en z équivalente au bloc BOZ + procédé notée GH(z) ; 2 On souhaite que le système en boucle fermée ait un comportement analogue à celui d un deuxième ordre de pulsation naturelle ω n = 4 rad/s et de coefficient d amortissement ξ = 0, 71. Par ailleurs, on souhaite avoir une erreur de position nulle en régime permanent et une erreur de vitesse de 0, 1 rad/s en présence d une consigne en rampe. donner la forme du correcteur envisagé ; calculer ce correcteur de façon a ce qu il remplisse le cahier des charges précédent ; en déduire l équation aux différences constituant la relation entrée-sortie de ce correcteur.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Méthode du lieu des racines (1) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants La compensation de zéros et de pôles par leur introduction dans la fonction de transfert d un correcteur série trouve un intérêt particulier lorsque l on réalise cette synthèse en s appuyant sur le lieu des racines, dont on connaît le paramétrage en courbes de même amortissement et en courbes de même pulsation naturelle. On peut adopter les règles générales vues dans le paragraphe précédent pour choisir la forme du correcteur que l on règle alors en s appuyant sur la construction du lieu des racines.

Systèmes à temps discret Asservissements à temps discret Méthode du lieu des racines (2) Notion de système asservi à temps discret Stabilité et précision des systèmes à temps discret Commande numérique des systèmes linéaires invariants Exemple On reprend la synthèse précédente en s appuyant sur le lieu des racines.