CHAPITRE XX LA PARABOLE Elle pourrait déjà être incluse dans le domaine des Mathématiques Supérieures et, pourtant, nous somme en possession de nombreux éléments, déjà, permettant son étude. Nous nous attacherons, d ailleurs, avant tout à la détermination des variations non linéaires et à l application de ses principes à la résolution pratique des équations. Pente, sens de variation, etc., ne seront pas négligées pour autant. 90. Fonction non linéaire. La parabole n est plus une fonction linéaire, comme l avait déjà montré le tableau VIII-E. Pour une fonction linéaire donnée, on pouvait considérer n importe quel intervalle de la variable indépendante et l on obtenait toujours le même coefficient angulaire, a. Pour la parabole, par contre, le coefficient angulaire varie, à chaque instant, en passant d une valeur de x à la suivante, comme le confirme le tableau XX-A, pour la fonction = x, d unité de x en unité de x. En dessinant la (fig. XX-), les divers triangles rectangles, obtenus par cette pente et par l unité et par l unité de variable indépendante, les hpoténuses donneraient une idée assez précise de la forme générale de la parabole obtenue. Il n est, d ailleurs, pas besoin de faire augmenter x d une unité entière pour constater ces augmentations de la pente, comme le prouvent bien les quatre dernières lignes du tableau XX-A: entre et, augmente de 0,8 unité, alors que cette augmentation sera de 0,87 (donc 6 centièmes de plus), lorsque x d un dixième, en passant de, à,. 9. Sens de la variation. + 6 0 8 6 A Lorsque x passe de 0 à à à à à,, à,, à,, à, B C TABLEAU XX-A = x passe à 9 6 6,8 7,6 8,9 9,6 Parabole et augmente de.. 7 0,8 0,8 0,8 0,87 La pente d une parabole varie même pour des fractions d unité de l abscisse D x passe de à Passe De 9 à 6 (7 unités) passe de à ( unités) x passe de à x + Fig. XX-. Les hpoténuses donnent une idée de la forme de la parabole.
Nous pourrions considérer la relation du 7 comme une sorte de cas particulier du trinôme du second degré, = ax + bx + c ( 60), dans lequel nous aurions a =, b = 0, c = 0. Cette relation =x donnait lieu à une parabole et il devrait, logiquement, en être de même pour la relation = x, qui n en diffère que par le SIGNE du paramètre a. Du tableau des variations XX-B, nous pourrons facilement déduire que cette fonction = x sera croissante ( 7) pour les valeurs TABLEAU XX-B x 0 + = x 0 = x 0 Le signe de a (dans ax ) donne le sens de la variation Si l on donne à x La valeur de x=0 6 = 6 Axe de smétrie De la parabole décroît TABLEAU XX-C - 0 x devient 0 9 6 et x + 0 - -0 - -0 d où x x 6 0 - -6-6 - et en ajoutant + 6 pour obtenir 6 0 0 Variations du trinôme =x x+6 x' = b D a x= = négatives de x et quelle deviendra décroissante pour des valeurs positives ; pour x = 0, enfin, la fonction présente alors un maximum. Comme pour la fonction linéaire (chapitre XVI), le signe du coefficient de la variable indépendante aant l exposant le plus fort déterminera encore le sens général de la variation. Avec une certaine hardiesse, nous pourrions en conclure que la parabole est, de façon générale, la représentation graphique du trinôme du second degré de la forme = ax + bx + c. minimum de Valeur de =x + 6 x ' = b + D a x= a b croît Fig. XX-. L axe de smétrie de la parabole correspond à la demi-somme des racines.
Il est évident que la constante c représentera encore l ordonnée à l origine ( 7), car c est effectivement la valeur que prend, lorsque x égale zéro. Ainsi le tableau XX-C, qui correspond au trinôme = x x + 6, montre bien que la parabole passe par le point de coordonnées x = 0, = 6 (fig. XX-). 9. Axe de smétrie de la parabole.(g) L existence d un tel axe est encore confirmé par le tableau XX-C, mais il ne sera plus représenté ici, par l axe des ordonnées luimême (x = 0), mais plutôt par une valeur, comprise entre x = et x = : pour ces deux valeurs, en effet, s annule. Or, l intersection avec l axe des abscisses (donc, lorsque = 0) représente bien ( 7) les racines du binôme et il n a aucune raison, pour qu il n en soit pas de même pour le trinôme général. On comprend alors que cet axe vertical de smétrie se situe à mi-chemin entre ces deux racines, autrement dit à la valeur de x, qui représentent leur demi-somme, ou à la moitié de a b ( 6), soit a b (fig. XX-). Cette nouvelle relation donne pour = x x + 6 : le point x = +, qui se trouve effectivement à michemin entre x et x, racines du trinôme ( 6). Cet axe de smétrie présente encore la particularité de porter la valeur des variables, pour lesquelles le sens de x= =0 = x x+ - Deux racines égales. Un seul point de tangence. Fig. XX-. Un seul point de tangencepar suite de deux racines égales = x + x+ x= 0, = x= = 7 - - Fig. XX-. La parabole ne coupe pas l axe des abscisses, le trinôme n admet que des racines imaginaires. la variation s inverse : la variation est ici effectivement décroissante à gauche de cet axe, mais elle devient croissante à sa droite.
9. Première méthode de résolution graphique. La parabole représente ainsi un moen graphique de résoudre les équations du second degré, tout comme la droite le faisait pour le premier degré. Ainsi, il suffirait de tracer la parabole de la fonction =x x + 6 pour trouver les racines du trinôme, grâce à ses intersections avec l axe des abscisses. Le trinôme du 6 comportait deux racines égales à, et, effectivement, le tableau XX-D confirme que s annule pour la seule valeur qu a révélée effectivement le calcul direct. La parabole sera seulement tangente (fig. XX-) à l axe des abscisses. Tout se passe, pour ainsi dire, comme si les deux points d insertion habituels s étaient rapprochés l un de l autre en coulissant le long de la trajectoire que forme la parabole pour aller se confondre en ce seul point de tangence. On comprend, enfin, que la parabole correspondant au trinôme du 6, ne coupe jamais l axe des abscisses (fig. XX-), puisqu une telle intersection correspondrait uniquement à des racines réelles, et que ce trinôme admet uniquement deux racines imaginaires. On pourrait dire encore qu un tel trinôme ne deviendra jamais équation puisqu il ne passera jamais par le zéro de la variable dépendante. 9. Deuxième méthode de résolution graphique. Cette méthode, bien plus simple a appliquer, se comprend peut-être un peu difficilement. Nous trouverons encore les mêmes coordonnées pour les points d intersection entre les deux fonctions = x (dont la représentation graphique sera, d après le 7, une parabole), et =x 6 (dont la représentation graphique est, d après le chapitre XVIII, une droite). Pour ces deux seuls points d intersection, les deux fonctions seront TABLEAU XX-D x - 0 = x x + 0 Variations d un trinôme admettant deux racines égales. Deuxième 6 Racine de égales et nous pourrons écrire = x = x 6 Or, notre équation x x + 6 = 0, nous pourrons encore l écrire sous cette même forme, en faisant passer le binôme dans le membre de droite. 9 8 7 Première Racine de Deux racines Egales de - - - = x - - Deuxième racine de = = x Ne rencontre jamais = x ' = x 6 x+ Fig. XX-. La parabole = x² sert d élément commun pour la résolution graphique de divers trinômes. = x
Dès lors, pour trouver les points d intersection des deux fonctions, autrement dit les racines de l équation, il suffira de tracer, sur un même sstème d axes (fig. XX-), la parabole (très simple et bien connue de nous) = x et la droite = x 6. Les intersections auront lieu (la figure XX- le montre), d abord, en un point de coordonnées, x =, =, et ensuite aux coordonnées x = et = 9. Les deux valeurs de x, et, sont bien les racines de l équation. En conservant cette même parabole, on pourra tracer également la droite =, qui résulterait d une transformation de l équation du 6 : x 8 = 0 x = 8 x = La droite serait parallèle à l axe des abscisses et l intersection aurait bien lieu pour x = + et x =. Et toujours avec la même parabole, on trouverait encore la droite =x provenant de l équation du 6. La parabole = x, enfin ne rencontrera jamais la droite = x, qui formait la deuxième partie de l équation du 6, dépourvue de racines réelles.