Tirages dans une urne. Enoncé

Enoncé Dans tout l eercice, on désigne par c un entier naturel non nul fié On considère alors une urne contenant initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher, dans laquelle on effectue des tirages successifs d une boule selon le protocole suivant : après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l urne, dans laquelle on rajoute, avant le tirage suivant, c boules de la couleur de la boule qui vient d être tirée ) Dans cette question, on suppose que l urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges, où b et r sont des entiers naturels non nuls a) Déterminer la probabilité d obtenir une boule blanche au premier tirage b) Déterminer la probabilité d obtenir une boule blanche au deuième tirage c) Si la deuième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche? ) Pour tous entiers naturels non nuls n, et y, on note u(,y) n la probabilité d obtenir une boule blanche au n ème tirage, lorsque l urne contient initialement boules blanches et y boules rouges a) Montrer que : 3 y (n,,y) (! ), u (,y) u n( + c,y) + u n(,y + c) + y + y b) En déduire que :! y 3 (n,,y) ( ), u n(,y) + 3) Dans cette question, on suppose que l urne contient initialement eactement une boule blanche et une boule rouge et que c est égal à Pour tout entier naturel n non nul, on note alors X n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n premiers tirages Déterminer la loi de X et de X Page Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

Montrer alors que, pour tout n!, l espérance et la variance X n suit une loi uniforme dont on précisera Page Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

Correction ) a) Avant de procéder au premier tirage, l urne contient b+r boules, dont b boules blanches Il y a donc b+r tirages possibles, dont b favorables à la réalisation de l événement «obtenir une boule blanche au premier tirage» Les tirages étant équiprobables (les boules étant indiscernables au toucher), on peut donc conclure : La probabilité d obtenir une boule blanche au premier b tirage est b+ r b) Pour tout k!, notons B k l événement «obtenir une boule blanche au k ème tirage», et R k l événement «obtenir une boule rouge au k ème tirage» La famille (B, R ) formant un système complet d évènements, on peut écrire, d après la formule des probabilités totales : précédente, p(b ) p(b )p(b B ) + p(r )p(b R ) donc, d après le résultat de la question b r p(b / B ) + p(b / R ) b + r b + r comme p(r ) p(b ) : De plus, sachant que l événement B est réalisé, l urne contient, avant de procéder au deuième tirage, b+r+c boules, dont b+c blanches Les tirages étant b+ c équiprobables, on a donc : p(b / B ) b + c + r On a donc : b(b + c) rb p(b ) + (b + r)(b + r + c) (b + r)(b + r + c) soit finalement : La probabilité d obtenir une boule blanche au deuième b tirage est b+ r Page 3 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

c) Les évènements B et B étant de probabilités non nulles, on a, d après la formule de Bayes : p(b / B ) p(b )p(b / B ) d où, d après les résultats précédents : p(b ) Si la deuième boule tirée est blanche, la probabilité que la première boule tirée ait été blanche est b+ c b + r + c ) a) Soit (, y) (! ) La famille (B, R ) formant un système complet d évènements, on peut écrire, d après la formule des probabilités totales : n!, p(b ) p(b )p(b / B ) + p(r )p(b / R ) donc, en substituant à b et y à y n!, u (,y) p(b /B ) + p(b /R ) + y + y r dans le résultat de la question a : Soit alors n! Sachant que l'évènement B est réalisé, l'urne contient alors +c boules blanches et y boules rouges avant de procéder au deuième tirage Pour que l'événement B soit réalisé, il faut et il suffit donc que l'on obtienne une boule blanche dans l'urne à l'issue d'une suite de n tirages dont le premier est effectué dans une urne contenant +c boules blanches et y boules rouges On a donc : ( ) n!,p B B u ( + c,y) n De même, on a : ( ) n!,p B R u (,y + c) On peut finalement conclure : n y n!, (,y) (! ),u (,y) u n( + c,y) + u n(,y+ c) + y + y b) Montrons par récurrence que : n!, (,y) (! ),u n(,y) + y Au rang n D'après le résultat de la question a, la propriété est vérifiée au rang n Page 4 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

Soit n! Supposons que : question a, on a : (, y) (! ),u n(, y) D'après le résultat de la + y y (, y) (! ),u (, y) u n(+ c,y) + u n(,y+ c) + y + y ( + c) y + ( + y)( + y + c) ( + y)( + y + c) + y Ainsi, la propriété est vérifiée au rang donc par hypothèse de récurrence : d'où : On peut finalement conclure : n!, (,y) (! ),u n(,y) + y a) A l'issue du premier tirage, on a pu obtenir une boule blanche avec une probabilité égale à ou aucune boule blanche avec une probabilité On peut donc conclure : X suit la loi uniforme sur " $ 0,# % b) Au cours des deu premiers tirages, on a pu obtenir ou ne pas obtenir une boule blanche à chacun des deu premiers tirages, donc X ( Ω ) { 0,,} Pour que l'événement [X 0] soit réalisé, il faut et il suffit que l'on n'ait obtenu aucune boule blanche au cours des deu premiers tirages, donc que l'on ait obtenu deu boules rouges On a donc : [X 0] R R p(x 0) p(r R ) d'où : donc, comme p(r ) 0 : p(r )p ( R R ) d'où, comme c : ie : 3 Page 5 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

3! Pour que l'événement [X ] soit réalisé, il faut et il suffit que l'on ait obtenu deu boules blanches au cours des deu premiers tirages On a donc : [X ] B B d'où : p(x ) p(b B ) donc, comme p(b ) 0 : p(b )p ( B B ) d'où, comme c : 3 ie : 3 p(x ) p(x 0) p(x ) donc : et enfin, comme : X ( ) { 0,,} 3 On peut donc conclure : Ω : X suit la loi uniforme sur " $ 0, # % c) Montrons par récurrence que, pour tout n!,xn suit la loi uniforme sur " $ 0,n# % Au rang n D'après le résultat de la question 3a, la propriété est vérifiée au rang n Soit n! Supposons que X n suive la loi uniforme sur " $ 0,n# % Au cours des premiers tirages, on a pu obtenir une boule blanche à chacun des tirages, donc : X ( Ω ) " $ 0,n + # % Soit alors k " $, # % Pour l'événement [X k] soit réalisé, il faut et il suffit que l'on ait obtenu eactement k boules blanches au cours des premiers tirages, donc que l'on ait obtenu soit eactement k boules blanches au cours des n premiers tirages puis une boule rouge au () ème, soit eactement k- boules blanches au cours des n premiers tirages puis une boule blanche au () ème On a donc : (( ) ( )) (( ) ( )) d'où : [X k] [Xn k] R [Xn k ] B p(x k) p [Xn k] R [Xn k ] B donc, ces évènements étant incompatibles : p[x k] R + p[x k ] B ( ) ( ) n n Page 6 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

Trois cas se présentent alors : - si k0 Dans ce cas, l'événement [Xn k ] est impossible, et on a : p(x 0) p [X 0] R donc, comme, par hypothèse de récurrence, ( ) n p(xn 0) 0 : p(xn 0)p ( R Xn 0) soit encore, comme, par hypothèse, X n suit la loi uniforme sur " $ 0,n# % : pr ( X n 0 ) Or, sachant que l'événement [X n 0] est réalisé, l'urne contient boules dont rouges avant de procéder au () ème tirage Les tirages étant équiprobables, on a donc : pr ( Xn 0), et donc : n + p(x 0), n + - si k " $,n# % Dans ce cas [X n k ] et [X n k] sont des évènements de probabilité non nulle, et on a : p(x k) p(xn k)p ( R Xn k) + p(xn k )p ( B Xn k ) donc, par hypothèse de récurrence : ( pr ( Xn k) + pb ( Xn k ) ) Or, sachant que l'événement [X n k] est réalisé, l'urne contient boules dont k+ blanches avant de procéder au () ème tirage Les tirages étant équiprobables, on a donc : k pr ( Xn k) k pb ( n Xn k ) n k " $,n #%,p(x k), n + et : + + d'où : - si k Dans ce cas, l'événement [Xn k] est impossible, et on a : Page 7 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

( ) + donc, comme, par hypothèse de récurrence, p(xn n) 0 : p(x n ) p [Xn n] B ( ) p(xn n)p B Xn n soit encore, comme, par hypothèse, X n suit la loi uniforme sur " $ 0, n# % : pb ( X n n ) Or, sachant que l'événement [Xn n] est réalisé, l'urne contient boules dont blanches avant de procéder au () ème tirage Les tirages étant équiprobables, on a donc : pb ( Xn n), et donc : n + p(x n + ) On a donc : k " $ 0, #%,p(x k) n + Ainsi, X n + suit la loi uniforme sur " $ 0,n + # %, donc la propriété est vérifiée au rang On peut finalement conclure : Pour tout n,xn! suit la loi uniforme sur " $ 0,n# % On a donc : n n,e(x n) kp(xn k) k 0 n k k 0! donc : d'où, comme n n(n + ) n!, k : k 0 n n!,e(x n) On a : Page 8 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07

n n,e(x n) k p(xn k) k 0 n k k 0! donc : d'où, comme n n(n + )(n + ) n!, k : k 0 6 n(n + ) et donc, comme : 6 n(n + ) n 6 4 soit encore : n(n + ) 3n soit finalement : n!,v(x n) E(X n) (E(X n)) n + n n!,v(x n) Page 9 Matthias FEGYVERES Stéphane PRETESEILLE EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (), le /0/07