Chapitre 5 : agrandissement, réduction ; sections de solides I. Rappels et sections de solides 1/ Parallélépipède rectangle Description/Figure Un parallélépipède rectangle ou un pavé droit est une figure de l'espace dont toutes les faces sont des rectangle. Il y a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Sections d'un pavé droit Par un plan parallèle à une face. La tranche obtenue est un rectangle de même dimension que la face considérée. Par un plan passant par les diagonales On obtient encore un rectangle...
Volume Il faut faire le produit des trois dimensions du parallélépipède : V =l L h Un volume se mesure en m, cm... Rappel 1 Litre=1 dm 2/ Cylindre de révolution (5 ème ) Description/Figure Un cylindre de révolution est formé de deux disques parallèles appelés les bases Sections Section parallèle aux bases On obtient une section qui a la même forme que les bases : un cercle. Section à l'axe de révolution On obtient un rectangle
Rappels Aire d'un disque de rayon r : r 2 (en cm 2 ou en m 2 ) Circonférence du cercle de rayon r : 2 r ( cm ou en m ) Volume d'un cylindre On suppose que la base est un disque de rayon r : aire la base multipliée par la hauteur : r 2 h (ou h représente la hauteur) Rappel sur le calcul en écriture fractionnaire Addition A= 1 2 5 8 A= 1 4 2 4 5 8 A= 4 8 5 8 A= 1 8 B= 2 5 6 B= 4 6 5 6 B= 1 6 C= 5 8 7 12 On écrit les multiples 8, 16, 24, 2, 40... 12, 24 C= 15 24 14 24 C= 29 24 D= 20 5 12 D= 9 60 25 60 D= 16 60 D= 4 15 / Prisme droit (5 ème ) Description/Définition Un prisme est un solide constitué de deux faces parallèles. Une face est un polygone. Figure de gauche : 7 faces, 15 arêtes et 10 sommets. Figure de droite : 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Section par un plan parallèle aux bases Si on «découpe» le prisme ci-contre parallèlement à ses bases, on obtient une figure identique aux bases. Volume On fait le produit de la base par la hauteur. Exemple On considère un prisme à base triangulaire. On suppose que c'est un triangle rectangle. V ABC DEF = CA CB 2 AD 4/ Pyramide et cône de révolution (4 ème ) Description/définition (pyramide) Une pyramide est constituée d'une base et d'un sommet. La base est un polygone. Il y a des faces : ce sont des triangles. Section Parallèlement à la base, on obtient une figure réduite de cette base. Calcul du volume d'une pyramide aire de la base hauteur V =
Rappels Multiplication et division de fractions A= 12 18 A= 6 2 11 6 A= 22 B= 7 15 45 49 B= 7 15 15 7 7 B= 7 C= 5 8 2 15 C= 5 8 4 8 5 C= 4 A= 22 5/ Cône Description Un cône est composé d'une base qui a la forme d'un disque et d'un sommet. Section Si on coupe le cône par un plan parallèle à la base, on obtient un cercle réduit. Volume aire de la base hauteur V = V = r2 h où r est le rayon du disque et h est la hauteur.
II. Agrandissement, réduction 1/ Activités Activité 1 R S 6 12 9 T G 4,5 9 F 6,75 H On considère la réduction du triangle SRT en un triangle GFH. L'objectif est de trouver un nombre, qu'on appellera coefficient de réduction, qui permet de calculer les longueurs du petit triangle en partant de celles du grand triangle. On notera k ce coefficient. Pour pouvoir réduire, ce nombre doit être compris entre 0 et 1. Ce nombre k doit vérifier l'équation 6 k=4,5 ou encore k= 4,5 6 =0,75. Vérifions pour les autres longueurs : 9 0,75=6,75 et 12 0,75=9. A retenir Un coefficient de réduction est un nombre compris entre 0 et 1. Il permet de faire le lien entre les longueurs d'une figure que l'on a réduit. Il faut pour cela multiplier une grande longueur par ce coefficient pour obtenir une petite longueur. Activité 1 bis (à l'oral) Le dessin 2 est-il un agrandissement du dessin 1? Si oui, précise le rapport d'agrandissement. Si non, explique pourquoi. Dessin 2 Dessin 1 / / / / Réponse : agrandissement de rapport k=
Même question avec : 21 4 8 6 21 Réponse : agrandissement de rapport k=2 Et puis avec.. 4,5 6 4 Réponse : agrandissement de rapport k=1,5 Activité 2 MATH est un trapèze de bases [TH ] et [ AM ]. Construis-en une réduction de rapport 1 10. On va construire un nouveau trapèze M ' A' T ' H ' en 1 multipliant les longueurs par 10 : T ' H '=5 dm 1 10 =5 cm ; A' M ' = dm 1 = cm 10 etc. Construisons : T 4 dm A o dm 1 dm H o M Cette figure n'est pas en vraie grandeur!
Activité Le triangle SBA est une réduction du triangle SRT. On a ST =4 cm ; SB= cm ; AB=2 cm et RT =5 cm. Quel est le rapport (ou coefficient) de réduction? k= BA RT = 2 5 =0,4 R B Calcule les longueurs SA et SR. SA=ST k =4 0,4=1,6 cm S cm 2 cm 4 cm A 5 cm T Que dire de BAS et RTS? BAS= RTS A retenir Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, les angles ne changent pas. On dit qu'il y a conservation des angles. Activité 4 Le cône C ' a pour sommet S et pour base le disque de centre H et de rayon [ HB ]. Le cône C a pour sommet S et pour base le disque de centre O et de rayon [OA]. On a SH =2 cm et SO=6 cm Le cône C ' est une réduction du cône C Calcule le rapport de réduction (ou coefficient de réduction). Ce coefficient est compris entre 0 et 1, c'est k= 2 6 = 1. Déduis-en le rayon de la base du cône C ' sachant que OA=12 cm. Il suffit de multiplier OA par le coefficient : OA k=12 1 =4 cm S Calcule l'aire de la base de C : OA 2,14 12² OA 2 452,16 cm 2 Calcule l'aire de la base de C ' : HB 2,14 4 2 HB 2 50,24 cm² H O B A
On remarque que 452,16 1 2=50,24. En multipliant le grand disque par le coefficient au carré, on obtient l'aire du petit disque. A retenir Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k mais les aires sont multipliées par k 2. De même, on peut supposer que les volumes sont multipliés par k. Pour jeudi 6 janvier 2011 Contrôle sur ce chapitre