Fonction Logarithme Népérien

7 C H A P I T R E Fonction Logarithme Népérien John NAPIER 1 550-1 617 John NAPIER, connu sous le nom francisé de NEPER était un mathématicien écossais, plus connu a ses débuts pour ses attaques virulentes contre le catholicisme que ses travau mathématiques. Ce n est que peu de temps avant sa mort, qu en 1614, il mis au point sa découverte des logarithmes, par une approche cinématique. Cette découverte lui permis de publier la même année une table des logarithmes des sinus d angles croissant de minutes en minutes. De telles tables de logarithmes ont été utilisées jusqu au XX ième siècle avant l avènement des calculatrices de poche. Des mathématiciens de A à Z. B. HAUCHECONE et D.SURATTEAU au éditions ellipses

Sommaire 0 Généralités 0.1 Programme de la classe de Première S 0. Programme de la classe de Terminale S 1 Fonction logarithme népérien 1.1 Définitions et premières propriétés a) Définition b) Premières propriétés c) Lien graphique entre les fonctions eponentielle et logarithme népérien 1. Propriétés a) Sens de variations et conséquences b) Limites au bornes 1.3 Tableau de variations et applications a) Tableau de variations b) Représentation graphique c) Eercice Propriétés de la fonction logarithme népérien.1 Propriétés algébriques a) Logarithme népérien d un produit. Compléments sur les limites et la dérivation a) Autres limites b) Dérivée de lnu)).3 Fonction logarithme décimal et applications a) Introduction b) Définition c) Propriétés d) Eemples d interventions 3 Résumé du cours 4 Démonstrations du cours 5 Eercices 94 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

0 Généralités 0 1 Programme de la classe de Première S Ne figure pas au programme de la classe de Première S 0 Programme de la classe de Terminale S Comme dans les classes précédentes, l activité mathématique est motivée par la résolution de problèmes. L ensemble des fonctions mobilisables est élargi par l introduction de la fonction logarithme. L acquisition d automatismes de calcul demeure un objectif du programme, cependant, dans le cadre de la résolution de problèmes, on a recours si besoin à un logiciel de calcul formel ou scientifique. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction ln) Connaître le sens de variation, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. On peut introduire la fonction logarithme népérien grâce au propriétés de la fonction eponentielle ou à partir de l équation fonctionnelle. Relation dérivée. fonctionnelle, Utiliser, pour a réel strictement positif et b réel, l équivalence ln a = b a = e b Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. Connaître et eploiter ln lim + = 0 On souligne dans les cadres algébrique et graphique que les fonctions logarithme népérien et eponentielle sont réciproques l une de l autre. Tout développement théorique sur les fonctions réciproques est eclu. On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction logarithme en 1 et la limite en 0 ln1 + ) de On évoque la fonction logarithme décimal pour son utilité dans les autres disciplines. [SI] Gain lié à une fonction de transfert. [SPC] Intensité sonore, magnitude d un séisme, échelle des ph. Équations fonctionnelles. Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 95

1 Fonction logarithme népérien 1 1 Définitions et premières propriétés a) Définition On a vu dans le chapitre V, que pour tout réel k strictement positif l équation e = k admet une solution unique appelée logarithme népérien de k et notée lnk). Cette correspondance qui à k > 0 associe ce nombre réel est appelée fonction logarithme népérien. y y = ep) y = k 1 0 lnk) 1 Définition 1 On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée "ln" qui à strictement positif associe l unique solution de l équation e y = Remarque. L adjectif "népérien" vient du nom du mathématicien anglais John NAPIER 1550 1617) La fonction logarithme népérien permet donc de déterminer l antécédent d un réel strictement positif pour la fonction eponentielle. On dit que les fonctions eponentielle et logarithme népérien sont réciproques. Eemple. Puisque e 0 = 1 on a ln1) = 0, et de même puisque e 1 = e il vient lne) = 1 De la définition il résulte les propriétés suivantes vues lors de l étude de la fonction eponentielle. 96 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

b) Premières propriétés Propriété 1 Soient a et b deu réels strictement positifs et soit k un réel quelconque. a. Le domaine de définition de la fonction ln est l intervalle ]0, + [ b. lna) = k a = e k c. lna) = lnb) a = b d. lna) k a e k e. lna) lnb) a b Comme lors de l étude de la fonction eponentielle, ces propriétés vont nous permettre de résoudre des équations ou inéquations. Eercice 1 Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes 1. ln) = 5 ; ln + 1) = 3 ; ln ) + ln) = 0. ln) < 3 ; ln ) > 3 ; ln + 7) 1 Solution 1. Pour > 0, ln = 5 = e 5 Pour > 1, ln + 1) = 3 + 1 = e3 = e3 1 Pour > 0, ln ) + ln) = 0 X +X = 0 avec X = ln. Cette dernière équation admet comme solution X 1 = 1 et X =, ce qui donne ln = 1 ou ln = = e ou = e. Pour > 0, ln < 3 < e 3. L ensemble des solutions est donc l intervalle ] 0, e 3[ Pour <, ln ) < 3 < e 3 > e 3. L ensemble des solutions est donc l intervalle ] e 3, [ Pour 7, ln + 7) 1 + 7 e 1 e 1 7. [ L ensemble des solutions est donc l intervalle e 1 7, 7 [ La propriété 1 b. admet la conséquence immédiate suivante, également rencontrée lors de l étude de la fonction eponentielle Conséquences 1 a. Soit un réel strictement positif b. Soit un réel quelconque e ln) = ln e ) = Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 97

c) Lien graphique entre les fonctions eponentielle et logarithme népérien y y = ep) Ma, b) 1 y = ln) Nb, a) 0 1 Considérons un point Ma,b) appartenant à la courbe C ep ), représentative de la fonction eponentielle. Ses coordonnées vérifient l équation de cette courbe y = ep), d où b = epa) On en déduit que a = lnb) ce qui signifie que le point Nb, a) appartient à la courbe C ln ), d équation y = ln) représentative de la fonction logarithme népérien. On constate graphiquement que ces points Ma,b) et Nb, a) sont symétriques par rapport à la droite ) d équation y =. On conclut alors que les courbes C ep ) et C ln ) sont symétriques l une de l autre par la symétrie aiale d ae la droite ) d équation y = Propriété Les courbes représentatives des fonctions eponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite ) d équation y = Remarque. Ce résultat peut se généraliser au courbes représentatives de deu fonctions réciproques : De cette représentation graphique, nous allons obtenir un certain nombre propriétés 1 Propriétés a) Sens de variations et conséquences Sens de variation et dérivabilité. Propriété 3 La fonction logarithme népérien est croissante sur ]0, + [. La fonction logarithme népérien est dérivable et donc continue sur ]0, + [. 98 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

Démonstration. En effet, dans la symétrie d ae la droite ) d équation y =, «l allure de la courbe» se conserve. Ce résultat sera prouvé d une autre manière par la suite. La courbe représentative de la fonction eponentielle admet une tangente en chacun de ses points dont aucune n est horizontale. Par symétrie aiale, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une tangente en chacun de ses points dont aucune n est verticale. Il s ensuit que la fonction logarithme népérien est dérivable et donc continue) sur son domaine. Le fait que cette fonction soit dérivable va nous permettre de calculer sa fonction dérivée. La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, + [, avec Propriété 4 ln) ) = 1 Démonstration. Nous savons que epln ) = 1) Or les deu fonctions ep et ln sont dérivables sur ]0, + [, nous pouvons donc dériver membre à membre l égalité 1), il vient epln ) ) = 1 ) D après la formule Nous obtenons epu )) = u ) epu) epln ) ) = ln ) epln ) L égalité ) devient donc Or D où Et donc Remarque. ln ) epln ) = 1 epln ) = ln ) = 1 ) 1 ln = Comme est strictement positif, il s ensuit que 1 est également strictement positif et donc que ln ) aussi. On retrouve ainsi le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur son domaine. Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 99

On peut prouver directement que la fonction logarithme népérien est dérivable en tout point de son domaine. Eercice Montrer que la fonction logarithme népérien est dérivable en un point a > 0 de son domaine et déterminer ln a) Solution On détermine le tau de variations de la fonction logarithme népérien entre deu points a et b distincts de son domaine. ln) lna) T = a Comme a et sont strictement positifs, on peut poser a = epa) et = epx) et donc D où Et donc A = lna) et X = ln) X A T = epx) epa) 1 epx) epa) = T X A La fonction eponentielle étant dérivable, 1 T tend vers ep A) lorsque X tend vers A, d où lim T = 1 X A ep A) = 1 epa) = 1 a Or dire que X tend vers A signifie que ln) tend vers lna) et donc que tend vers a. En effet, la fonction eponentielle étant continue, si ln) tend vers lna), on aura epln)) qui tendra vers eplna)) et donc tend vers a. D où lim T = lim T = 1 a X A a Ce qui signifie que la fonction logarithme népérien est dérivable en a avec ln a) = 1 a Graphiquement, on constate également que lim ln) = + et que lim ln) = + 0 Mais nous pouvons établir ces résultats directement à partir des propriétés de la fonction eponentielle. b) Limites au bornes Propriété 5 lim ln) = + et lim ln) = + 0 Démonstration. 300 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

Démontrons que lim + ln) = + à partir de la définition d une limite égale à + en +. Soit un réel A > 0 aussi grand que l on veut, peut-on rendre ln > A? Supposons que > e A, alors par croissance de la fonction logarithme népérien, nous obtenons ln > ln e A) Soit ln > A On peut donc rendre ln aussi grand que l on veut à condition de prendre suffisamment grand.ce qui signifie que lim ln) = +. + Démontrons que lim 0 ln) =. Considérons un réel B, aussi grand que l on souhaite en valeur absolue, mais négatif. Déterminons un réel strictement positif α tel que Si 0 < < α alors ln) < B Supposons que < e B Alors par croissance de la fonction logarithme népérien, nous aurons ln < ln e B) Soit ln < B On peut donc rendre ln) plus petit que n importe quel réel négatif B, à condition de prendre suffisamment petit c est à dire entre 0 et e B ) Ceci se traduit par lim ln) = 0 On proposera ultérieurement une démonstration de ce résultat à partir des propriétés de la fonction logarithme népérien. 1 3 Tableau de variations et applications a) Tableau de variations Des propriétés 3 et 5 on déduit le tableau de variations suivant de la fonction logarithme népérien 0 + ln ) + ln) + Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 301

Ce tableau nous redonne le fait, déjà constaté graphiquement, que la fonction logarithme népérien s annule une seule fois sur l intervalle ]0, + [. Il permet également d en déduire son signe : Signe de la fonction logarithme népérien. 0 1 + Propriété 6 Soit ln) 0 + ln) > 0 > 1 ln) < 0 < 1 ln) = 0 = 1 b) Représentation graphique Précisons la représentation graphique obtenue à la section 1.1 c) en déterminant la tangente T à la courbe C ln ) au point d abscisse 1. Comme ln1) = 0 et que ln 1) = 1 = 1, cette droite a donc pour équation 1 T : y = 1 Cette droite est la symétrique par rapport à la première bissectrice ) de la tangente T à la courbe C ep ) au point d abscisse 0. Puisque T est toujours au dessous de la courbe C ep ), par symétrie d ae ), T sera toujours au dessus de la courbe C ln ). Donc, pour tout ]0, + [, on a ln) 1 On obtient ainsi la représentation graphique suivante. 1 T y = ln) 0 1 On peut prouver directement l inégalité précédente : 30 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

c) Eercice Eercice 3 En étudiant les variations d une fonction convenablement choisie, montrer que, pour tout réel strictement positif, on a ln) 1 Solution Considérons la fonction φ définie sur ]0, + [ par Cette fonction est dérivable sur ]0, + [ avec φ) = 1 ln) φ ) = 1 1 = 1 Puisque > 0, φ ) est du signe de 1. De plus comme φ1) = 1 1 ln1) = 0 on en déduit donc le tableau de variations suivant. 0 1 + φ ) 0 + φ) 0 On en déduit, que φ) est toujours positif et donc, pour tout > 0, on a 1 ln) ou encore ln) 1 Propriétés de la fonction logarithme népérien 1 Propriétés algébriques Nous avons vu que la fonction eponentielle transforme une somme de deu nombres réels en un produit de deu nombres réels strictement positifs. Par réciprocité entre les deu fonctions logarithme népérien et eponentielle, nous allons étudier l influence du logarithme népérien sur un produit de deu réels strictement positifs. a) Logarithme népérien d un produit Propriété 7 Soient a et b deu réel strictement positifs, alors lna b) = lna) + lnb) Remarque. Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 303

Il est nécessaire que a et b soient strictement positifs. En effet, s ils sont strictement négatifs tous les deu, on pourra calculer lna b) car a b sera alors strictement positif. Mais alors, ni lna) ni lnb) ne seront définis. Démonstration. Soient a et b deu réel strictement positifs, d après la conséquence 1.a, nous pouvons écrire que a = e lna) ainsi que b = e lnb) D où a b = e lna) e lnb) = e lna)+lnb) Ce qui signifie que lna b) = lna) + lnb) Remarque. Il est possible de donner une démonstration de cette propriété sans recourir à la fonction eponentielle, en utilisant uniquement le fait que ln) ) = 1 et ln1) = 0 Soit a un nombre réel fié, considérons la fonction φ qui a tout strictement positif associe le réel φ) = lna) φ est une fonction dérivable sur ]0, + [ de la forme g a), sa dérivée est donc φ ) = a ln a) = a a = 1 = ln)) Soit φ) ln) ) = 0 ce qui signifie que la fonction φ) ln) est constante sur l intervalle ]0, + [, d où pour tout ]0, + [ φ) ln) = φ1) ln1) = lna) soit ou encore lna) ln) = lna) lna) = ln) + lna) Ce résultat étant vrai quel que soit strictement positif, on en déduit que pour tout réel strictement positifs a et b, on a lnab) = lna) + lnb) Cette propriété fondamentale admet les conséquences suivantes. 304 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

Conséquences Soient a et b deu réels strictement positifs et p un entier relatif. a ) a. ln = lna) lnb) b ) 1 b. ln = lnb) b c. lna p ) = p lna) d. ln a ) = 1 lna) Démonstration. a. Calculons de deu façons ln D une part b a ). b ln b a ) = lna) b D autre part D où soit Ou encore ln b a ) a ) = lnb) + ln b b a ) lna) = lnb) + ln b a ) lna) lnb) = ln b a ) ln = lna) lnb) b b. En prenant a = 1 dans le résultat précédent, on obtient ) 1 ln = ln1) lnb) b Or ln1) = 0 et donc ) 1 ln = lnb) b c. Supposons que p soit positif, et montrons par récurrence que, pour tout entier naturel p ln a p) = p lna) C est vrai pour p = 0. En effet, ln a 0) = ln1) = 0 et 0 lna) = 0 Supposons que la propriété soit vraie au rang p, c est à dire supposons que lna p ) = p lna), alors ln a p+1) = ln a p a ) = ln a p) + lna) = p lna) + lna) = p + 1)lna) Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 305

Ce qui signifie que la propriété est vrai au rang p + 1. La propriété est donc vraie pour tout entier naturel p. Supposons que p soit négatif, posons alors p = n où n est un entier naturel. ln a p) = ln a n) ) 1 = ln a n = ln a n) d après.b = n lna) d après.a car n est positif = p lna) En conclusion, cette propriété est vraie pour tout entier relatif p. d. D une part ln a a ) = lna) D autre part Et donc Soit ln a a ) = ln a ) + ln a ) = ln a ) lna) = ln a ) ln a ) = 1 lna) Ces propriétés permettent de transformer et de simplifier des epressions contenant des logarithmes népériens. Eercice 4 Eprimer les nombres réels suivants en fonction de ln) et de ln3) 8 ) A = ln18) ; B = ln 9 ) ) 3 ; C = ln + ln Solution A = ln 3 ) = ln 3 ) + ln) = ln3) + ln) 8 ) B = ln = ln 8 ) ln9) = ln8) + ln ) ln9) = 3ln + 1 9 ln ln3 = 7 ln ln3 ) ) ) 1 C = ln + ln = ln 3 ) 3 = ln = ln3 ln Eercice 5 Résoudre dans R l équation ln 1) + ln + 1) = ln + ) Solution L idée consiste à ramener cette équation sous la forme lna) = lnb) 306 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

en utilisant la propriété lna) + lnb) = lnab) Cependant, comme il l a été précédemment rappelé, il faut que a et b soient simultanément strictement positifs pour pouvoir appliquer cette propriété. Il faut donc, avant toute transformation d écritures, déterminer le domaine D de validité de cette équation. D 1 > 0 et + 1 > 0 et + > 0 Ce qui donne Soit en définitive > 1 et > 1 > 1 et > Supposons donc que > 1, il vient ln 1) + ln + 1) = ln + ) ln 1) + 1) ) = ln + ) ln 4 1 ) = ln + ) 4 1 = + 4 3 = 0 Équation du second degré qui admet comme solution dans R, = 1 ou = 3 4 Or nous avons supposé que > 1, la seconde solution est donc à rejeter, en conclusion : = 1 Compléments sur les limites et la dérivation a) Autres limites Démontrons les trois résultats complémentaires suivants ln a. lim + = 0 Théorème 1 b. lim 0 + ln = 0 ln1 + ) c. lim = 1 0 Démonstration. a. Posons = e X ou encore X = ln, et donc ln = X e X Or lorsque tend vers +, X = ln tend également vers +, donc Or nous savons que ln lim + = lim X X + e X e X lim X + X = + Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 307

Donc D où X lim X + e = 0 X ln lim + = 0 b. Posons = 1 X et donc X = 1, d où ln = 1 X ln 1 X ) = 1 lnx) lnx) = X X Or lorsque tend vers 0 +, X = 1 tend vers +, et donc lim ln = 0 + lim X + lnx) X lnx) = lim X + X = 0 d après le résultat précédent. En conclusion lim ln = 0 0 + ln1 + ) c. lim = lim T, où T est le tau de variations de la fonction ln en 1. 0 0 La fonction ln étant dérivable en 1 de nombre dérivée ln 1) = 1 = 1, il s ensuit que 1 ln1 + ) lim = 1 0 Eercice 6 Déterminer les limites des fonctions suivantes au point indiqué. ) + 1 1. f ) = ln en + ; g ) = ln en + ; h) = ln 1) en + 1 + 1 ln1 + 3) ln1 + ). f ) = en 0 ; g ) = en 0 sin Solution 1. ) ln On factorise par, il vient f ) = 1 Or ln lim + = 0 d où et Comme Il vient que ln lim + 1 = 1 ) ln lim f ) = lim + + 1 = lim + = + 1 lim + 1 = lim + = 1 lim g ) = lim ln1) = 0 + + 308 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

On factorise par au numérateur et par au dénominateur, il vient ln 1 1 ) ) h) = ln ) + ln 1 1 ) 1 + 1 ) = 1 + 1 ) = ln 1 1 + 1 + ln 1 1 ) 1 + 1 ) Or ln lim + = 0 ; lim + et donc 1 1 + 1 = 1 ; lim 1 ln 1 ) + = ln1 = 0 et lim 1 + 1 ) = + + lim + ln 1 1 ) 1 + 1 ) = 0 En conclusion. On pose X = 3, il vient Or nous savons que d où Or D où lim h) = 0 + ln1 + 3) f ) = 3 = 3 ln 1 +X ) 3 X ln1 + ) lim = 1 0 ln 1 +X ) lim f ) = 3 lim = 3 0 X 0 X ln1 + ) g ) = sin ln1 + ) sin lim = 1 et lim = 1 0 0 lim g ) = 1 1 0 1 = 1 b) Dérivée de lnu)) Propriété 8 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R Alors la fonction lnu )) est dérivable sur I avec ) u ) lnu )) = u) Démonstration. Supposons que cette fonction soit dérivable et calculons de deu façons la dérivée de ) ep lnu )) Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 309

D une part, de façon évidente : [ )] ep lnu )) = u )) D autre part : D où et donc [ )] ) ) ep lnu )) = lnu )) ep lnu )) = lnu ))) u) u )) = lnu ))) u) ) u )) lnu )) = u) Remarque. On peut également démontrer ce théorème à partir du résultat hors programme) que l on a obtenu en généralisant certaines formules de dérivation, à savoir : [ v u )) ] = u ) v u)) En prenant pour v la fonction ln Eemple. Si f ) = ln + 1) alors f ) = 1 + 1 Si f ) = ln 3) alors f ) = 3 ; g ) = ln ) alors g ) = 1 = 1 ; g ) = ln 5) alors g ) = 5 5 Eercice 7 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes. 1. f ) = ln ) ; g ) = ln 1 + e ) ; h) = ln 1 ). f ) = ln cos ) ; g ) = ln ln + 1 Solution 1. f ) = ln ) + 1 = ln ) e g ) = 1 + e On sait que h) = 1 ln 1 ) d où h ) = 1 1 1 = 1 1). f ) = sin cos g ) = = tan 1 ) ) 1 ln + 1 ln ln + 1 ) = 3 ln + 1) 310 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

3 Fonction logarithme décimal et applications a) Introduction Si l on cherche un entier naturel n tel que 10 n = 1000, la réponse est évidente : n = 3 Si l on cherche un nombre réel tel que e =, la réponse est également évidente : = ln). Maintenant, peut-on trouver un nombre réel tel que 10 =? Dans ce cas la réponse est moins évidente à priori. Si à la place de 10 nous avions pris e, la réponse aurait fait intervenir la fonction ln. L idée consiste à voir si il est possible d utiliser la fonction ln avec le nombre 10, puisque on a Soit et donc 10 = ln 10 ) = ln) ln10) = ln) = ln) ln10) Nous avons donc réussi à eprimer simplement en fonction de ln) et ln10). Seulement pour arriver à ce résultat, nous avons du utiliser la propriété ln a p) = p ln a pour un eposant réel alors qu elle n est valable que pour un eposant p entier relatif. Nous ne savons pas si cette «manipulation» est licite, mais elle aboutit à un résultat mathématiquement correct. On convient alors d attribuer à la valeur obtenue par cette «manipulation». Par définition, ce résultat est appelé logarithme décimal de b) Définition On appelle fonction logarithme décimal, la fonction notée log et définie sur ]0, + [, par Définition log) = ln ln10 Eemple. log) = ln) 0,301, et en particulier : ln10) log1) = ln1) ln10) = 0 et log10) = ln10) ln10) = 1 Remarque. Le résultat log10) = 1 est à l origine de l appellation «logarithme décimal» ou «logarithme de base di». Dans le cas de la fonction logarithme népérien nous aurions eu lne) = 1, c est pour cela que la fonction logarithme népérien est aussi qualifié de «fonction logarithme de base e». Il est possible de généraliser cette définition pour d autres bases, par eemple deu. On obtient alors une «fonction logarithme de base deu» définie par log ) = ln) ln) Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 311

c) Propriétés Propriété 9 Les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité étant M = 1 ln10) Ce résultat est évident à partir de la définition, mais il n en est pas moins essentiel, car il permet de prouver que : Propriété 10 Les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal possèdent les mêmes propriétés. En particulier, pour tout réel strictement positif a et b. a ) a. loga b) = loga) + logb) ; log = loga) logb) b ) 1 b. log = logb) ; loga p ) = p loga) b c. La fonction log est croissante sur ]0, + [ et dérivable avec log ) = 1 ln10) 1 d. lim log) = + ; lim = + 0 + Démonstration. Démontrons, par eemple le premier résultat lna b) loga b) = ln10) lna) + lnb) = ln10) = lna) ln10) + lnb) ln10) = loga) + logb) Eemple. log100) = log 10 ) = log10) = ; log 10 14) = 14log10) = 14 Remarque. D une façon générale, la propriété s écrit pour a = 10 loga p ) = p loga) log10 p ) = p log10) = p On convient de généraliser ce résultat pour un eposant réel quelconque, en posant log10 ) = log10) = Cette égalité définie en fait une nouvelle fonction 10 qui joue le rôle de la fonction eponentielle pour la fonction logarithme népérien. Elle est appelée fonction «eponentielle de base di» 31 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

y = ln) 1 C B y = log) 1 3 4 A 1 AB= AC ln10) d) Eemples d interventions La fonction logarithme décimal intervient dans de nombreu domaines :chimie, acoustique, astronomie, écologie etc... Eercice 8 L equilibre qui eiste entre l eau et les ions produits par autoprotolyse peut être décrit par la relation suivante : K e = [ H 3 O +] [OH ] où [ H 3 O +] désigne la concentration en mol.l 1 ) d ions H 3 O + et [OH ] celle en ions OH. K e est une constante appelée produit ionique de l eau qui dépend de la température. À 5 C elle a pour valeur K e = 10 14. L acidité d une solution est mesurée par son ph qui vaut par définition ph = log [ H 3 O +]) 1. Dans une eau pure à 5 C, il y a autant d ions H 3 O + que OH. En déduire le ph de l eau pure à 5 C.. Une solution est dite acide si elle contient plus d ions H 3 O + que OH. Dans quel intervalle son ph varie-t-il? 3. Une solution aqueuse a un ph de 8,1, quelle est sa concentration en ions OH? Eercice 9 La magnitude M d un séisme sur l échelle de RICHTER est évaluée à partir de l amplitude A des ondes sismiques enregistrées sur un sismographe par la formule ) A M = log = loga loga 0 A 0 Où A 0 désigne l amplitude d un séisme de référence. 1. a) On a mesuré l amplitude du séisme du 13 janvier 001 au Salvador et on a obtenu A = 3,97.10 7 A 0 Calculer l amplitude de ce séisme sur l échelle de RICHTER. b) La magnitude d un séisme est de 5. Déterminer le rapport A de son amplitude à l amplitude A 0 de référence. Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 313

c) Quelle variation d amplitude correspond à une variation de magnitude 1 sur l échelle de RICHTER?. a) L énergie E en Joules) libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par la relation loge = a + bm Calculer a et b sachant qu un séisme de magnitude 8 met en jeu environ 30 000 fois plus d énergie qu un séisme de magnitude 5, lui même libérant une énergie de 0,.10 0 J. b) Le mai de 1960 à Valvidia au Chili a été enregistré un séisme de magnitude 9,5. Quelle a été l énergie libérée à son foyer? Comparer avec l énergie libérée par la bombe atomique qui a eplosé à Hiroshima le 6 aout 1 945 314 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

Résumé du cours Fonction logarithme népérien Définition 1 On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée "ln" qui à strictement positif associe l unique solution de l équation e y = Propriété 1 Soient a et b deu réels strictement positifs et soit k un réel quelconque. a. Le domaine de définition de la fonction ln est l intervalle ]0, + [ b. lna) = k a = e k et lna) = lnb) a = b c. lna) k a e k et lna) lnb) a b d. Soit un réel strictement positif e ln) = e. Soit un réel quelconque ln e ) = Propriété Les courbes représentatives des fonctions eponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite ) d équation y = Dérivabilité, sens de variation, et limites. La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, + [, avec ln) ) 1 = La fonction logarithme népérien est croissante sur ]0, + [. Propriété 3 lim ln) = + et lim ln) = + 0 ln lim = 0 et lim + ln = 0 0 + ln1 + ) lim = 1 0 Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 315

Tableau de variations et de signes 0 + ln ) + Propriété 4 ln) + 0 1 + ln) 0 + 1 T y = ln) 0 1 Propriété 5 Soient a et b deu réel strictement positifs et p un entier relatif. a. lna b) = lna) + lnb) a ) ) 1 b. ln = lna) lnb) et ln = lnb) b b c. lna p ) = p lna) et ln a ) = 1 lna) Propriété 6 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R Alors la fonction lnu )) est dérivable sur I avec ) u ) lnu )) = u) 316 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

Fonction logarithme décimal On appelle fonction logarithme décimal, la fonction notée log et définie sur ]0, + [, par Définition log) = ln ln10 Propriété 7 Pour tout réel strictement positif a et b, et tout entier relatif p. a ) a. loga b) = loga) + logb) ; log = loga) logb) b ) 1 b. log = logb) ; loga p ) = p loga) b c. La fonction log est croissante sur ]0, + [ et dérivable avec d. lim log) = + ; lim = + 0 + log ) = 1 ln10) 1 Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 317

Démonstrations du cours 318 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

Eercices 1 Simplifiez - si c est possible - les epressions suivantes 1. ln ) 3 ln 3 ) ln3) 3ln) ln + ) ln + ln ln ln3. ; ; lne 3ln ) 3n ln 3. lne 5 ) ; ln 5) + ln 1 5 ) ; ep ln3 + ) ) ) 8 4. ln ; ln65 ; ln10 6 ) ; ln0,08 5 ln1 ln 3 + ln0 Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes. 1. ln = 3 ; ln3 1) = 5 ln + ln 7) = ln ; ln + 4 + 3) = ln + 7). ln ) 4ln + 3 = 0 ; ln + 1) ln3 lne +1) 3 ; lnln ) > 0 3 Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point indiqué. ln 1. en 0 et +, ln ) en 0, ln1 + e ) en et ) + 1 ln en -1,1 et + 1. ln1 + 5) ln ln en + ; en 0 ; en 1,0 et 1 + ; lnln ) en 1 4 Calculer les dérivées des fonctions suivantes. ) + 1 1. f ) = ln ; g ) = ln 1 e h) = ln ) ) +1 ; m) = ln e 1. k) = ln3 + 1) ; j ) = ln 1) l ) = lnln ) ; p) = ln 5 Soit g la fonction définie sur ]0,+ [ par g ) = 1 + ln 1. Déterminer les limites de g en 0 et +.. Calculer g ), étudier son signe et dresser le tableau de variation de g. 3. Montrer que 1 est l unique solution de l équation g ) = 0 sur l intervalle ]0,+ [, en déduire le signe de g ) sur ]0,+ [ 6 Soit la fonction f définie sur ] 3,3[ par 1. Étudier la parité de f. ) 3 + f ) = ln 3. Déterminer les limites de f en 3 et 3 3. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations. 4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f à l origine. 5. Représenter f dans un repère orthonormé unité cm 7 Mesure du niveau sonore. Le niveau sonore en décibels db) d un son de pression acoustique p est donné par L = 0log p p 0 où p 0 = 10 5 Pa, est la plus petite pression perceptible en moyenne) par une oreille humaine. 1. Calculer les niveau sonores correspondant à : p = p 0 ; p = 10 3 p 0 ; p = 10 9 p 0. Un "orchestre techno " peut atteindre jusqu à 130 db, calculer le rapport p p 0 correspondant. Un niveau supérieur à 90 db est considéré comme dangereu pour l oreille. 8 1. On considère la fonction f définie sur [0; + [ ln1 + ) par f 0) = 1 et f ) = pour > 0. Préciser la limite de f en 0.. a) Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0, + [ par : ) g ) = ln1 + ) + 3 3 Calculer g 0) et en déduire que sur [0, + [ : ln1 + ) + 3 3 b) Par une étude analogue, montrer que si 0 alors : ln1 + ) c) Établir que pour tout > 0, on a : 1 ln1 + ) 1 + 3 En déduire que f est dérivable en zéro et que f 0) = 1. 3. a) Soit h la fonction définie sur [0;+ [ par h) = ln1 + ) 1 + Étudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0, + [. Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 319

b) Montrer que, sur [0, + [, f ) = h). c) Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +. d) Montrer que la courbe C f admet une asymptote. Donner l équation de la tangente au point d abscisse 0. 9 Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul, à qui on associe la fonction numérique f n définie sur ] 1, + [ par : f n ) = n ln1 + ) On désigne par C n la courbe représentative de f n dans le repère orthonormé O, i, ) j. 1. Soit h n la fonction numérique définie sur ] 1, + [ par : h n ) = n ln1 + ) + 1 + Étudier le sens de variation de h n. En utilisant la valeur de h n 0), déterminer le signe de h n ) sur ] 1, + [. a) Pour tout ] 1, + [, vérifier que f 1 ) = h 1) et pourtoutn > 1, f n ) = n 1 h n ). Pour tout entier naturel n impair, a) justifier que f n et h n sont de même signe sur ] 1, + [, b) dresser le tableau de variation de la fonction f n, en précisant les limites en 1 et +. c) Pour tout entier naturel n pair, dresser le tableau de variation de la fonction f n, en précisant les limites en 1 et +. 3. Étudier la position relative des courbes C 1 et C. 10 Soit g la fonction définie sur ]0, + [ par g ) = 1 + ln) 1. Déterminer les limites de g en 0 et +.. Calculer g ), étudier son signe et dresser le tableau de variation de g. 3. Montrer que 1 est l unique solution de l équation g ) = 0 sur l intervalle ]0, + [, en déduire le signe de g ) sur ]0, + [ 11 Soit n N, montrez que le nombre de chiffres dans l écriture décimale de n est 1 +Elogn) où E) représente la partie entière d un réel, c est à dire l entier naturel immédiatement inférieur ou égal à. On encadrera n par deu puissances successives de 10 ) 1 On pose f ) = ln 1 + 1. Déterminez l ensemble de définition de f et étudiez sa parité.. Calculez lim f ) ln + 3. Étudiez les variations de f et tracez sa courbe représentative dans un bon repère. 13 A. On considère la fonction g définie sur [1 ; + [ par g ) = ln 1 1. a) Étudier les variations de g sur [1 ; + [. Résoudre l équation g ) = 0 dans [1 ; + [. b) En déduire que g ) > 0 si et seulement si > e. B. On considère la fonction f définie sur [1, + [ par f ) = ln 1) +. a) Montrer que pour tout réel de l intervalle [1, + [, f ) = 4g ). b) Étudier le signe de f ) sur [1, + [ et en déduire le tableau de variations de f sur [1, + [. 3. a) Montrer que, dans l intervalle [, 3], l équation f ) = 0 admet une solution unique notée α. b) Déterminer un encadrement d amplitude 10 de α. 14 Soit f la fonction définie sur ]0, 1] par : f ) = 1 + ln Soit C sa courbe représentative et soit T) la droite d équation y =. 1. a) Justifier que lim 0 f ) = 1 b) En utilisant le signe de ln sur ]0, 1], montrer que, pour tout ]0, 1], on a f ) 1.. a) Calculer f ) pour tout nombre réel ]0 ; 1]. b) Vérifier que la droite T) est tangente à la courbe C au point d abscisse 1. 3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel ]0, 1] par g ) = 1 + ln a) Étudier les variations de g sur l intervalle ]0, 1] et dresser le tableau de variation de g. On ne cherchera pas la limite de g en 0. b) En déduire les positions relatives de la courbe C et de la droite T). 15 On considère la suite u n ) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : u n = 1 + 1 ) n. n 1. On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f ) = ln1 + ) a) En étudiant les variations de la fonction f, montrer que, pour 0 : ln1 + ) b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, lnu n ) 1 30 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

c) La suite u n ) peut-elle avoir pour limite +?. On considère la suite v n ) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : v n = lnu n ) a) On pose = 1 n. Eprimer v n en fonction de. ln1 + ) b) Que vaut lim? Aucune justification n est 0 demandée. En déduire : lim v n. n + c) En déduire que la suite u n ) est convergente et déterminer sa limite. 16 Partie A Soit la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [0 ; + [ par f ) = 5ln + 3) 1. a) Calculer f ) et étudier son signe sur [0 ; + [. b) Donner, dans un tableau, les variations de f sur l intervalle [0 ; + [. c) Montrer que, pour tout strictement positif on a f ) = 5 ln ) 1 + 5ln 1 + 3 ). d) En déduire la limite de f en +. e) Compléter le tableau de variation de f sur l intervalle [0 ; + [.. a) Montrer que l équation f ) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [0 ; + [. b) Après avoir vérifié que α [14 ; 15], donner une valeur approchée de α à 10 près. c) En déduire le signe de f sur l intervalle [0;+ [. Partie B : Soit u n ) la suite définie par { u0 = 4 u n+1 = 5lnu n + 3) pour tout entier naturel n 0 On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 ; + [ par g ) = 5ln + 3) 1. A l aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variations de la suite u n ).. a) Etudier le sens de variations de la fonction g sur l intervalle [0 ; + [. b) Vérifier que g α) = α où α est défini dans la partie A question.a. c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 u n α. d) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1 de la partie B. e) Démontrer que lim u n = α. n + 3. On considère l algorithme suivant : u prend la valeur 4 Répéter Tant que u 14, < 0 u prend la valeur de 5lnu + 3) Fin du Tant que Afficher u a) Justifier que cet algorithme se termine. b) Donner la valeur que cet algorithme affiche on arrondira à 5 décimales). 17 Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f ) = 1 + ln) et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. 1. a) Étudier la limite de f en 0. ln) b) Que vaut lim? En déduire la limite de la + fonction f en +. c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. Démontrer que, pour tout réel appartenant à l intervalle ]0 ; + [, f ) = 1 ln) 3. b) Résoudre sur l intervalle ]0 ; + [ l inéquation 1 ln) > 0. En déduire le signe de f ) sur l intervalle ]0 ; + [. c) Dresser le tableau des variations de la fonction f. 3. a) Démontrer que la courbe C a un unique point d intersection avec l ae des abscisses, dont on précisera les coordonnées. b) En déduire le signe de ]0 ; + [. f ) sur l intervalle 18 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé O, ı, j ), la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; + [. On dispose des informations suivantes : les points A, B, C ont pour coordonnées respectives 1, 0), 1, ), 0, ) ; la courbe C passe par le point B et la droite BC) est tangente à C en B ; il eiste deu réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif, Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 31

f ) = a + b ln 1. a) Donner les valeurs de f 1) et f 1). b) Vérifier que pour tout réel strictement positif, f b a) b ln ) =. c) En déduire les réels a et b.. a) Montrer que pour tout réel ]0,+ [, f ) est du signe de ln. b) Déterminer les limites de f en 0 et en +. c) En déduire le tableau de variations de f. 3. a) Démontrer que l équation f ) = 1 admet une unique solution α sur l intervalle ]0,1]. b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu il eiste un unique réel β de l intervalle ]1,+ ] tel que f β) = 1. Déterminer l entier n tel que n < β < n + 1. 4. On donne l algorithme ci-dessous. Variables : a,b et m sont des nombres réels. Initialisation : Affecter à a la valeur 0. Affecter à b la valeur 1. Traitement : Tant que b a > 0,1 Affecter à m la valeur 1 a + b). Si f m) < 1 alors Affecter à a la valeur m. Sinon Affecter à b la valeur m. Fin de Si. Fin de Tant que. Sortie : Afficher a. Afficher b. a) Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l on recopiera sur la copie. étape 1 a 0 b 1 b a m étape étape 3 étape 4 étape 5 b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme? c) Modifier l algorithme ci-dessus pour qu il affiche les deu bornes d un encadrement de β d amplitude 10 1. 19 Restitution organisée des connaissances On rappelle que Démontrer que e t lim t + t = + ln) lim = 0 + Partie A On considère la fonction f définie sur [1 ; + [ par f ) = ln) On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, ı, j ). 1. Soit g la fonction définie sur [1 ; + [ par g ) = 1 + ln) Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; + [.. a) Montrer que, pour tout de [1 ; + [, f ) = g ) b) En déduire le sens de variation de f sur [1 ; + [. c) Montrer que la limite de f ) lorsque tend vers + est nulle. d) Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D : y =. 3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à, on note respectivement M k et N k les points d abscisse k de C et D. a) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à, la distance M k N k entre les points M k et N k est donnée par M k N k = lnk) k. b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k 0 supérieur ou égal à tel que la distance M k N k soit inférieure ou égale à 10. 0 Partie A On considère la fonction g définie sur l intervalle ]0; + [ par : g ) = 3 1 + ln 1. Étudier les variations de la fonction g sur l intervalle ]0; + [.. Justifier qu il eiste un unique réel α tel que g α) = 0. Donner une valeur approchée de α, arrondie au centième. 3. En déduire le signe de la fonction g sur l intervalle ]0; + [. Partie B On considère la fonction f ]0; + [ par : définie sur l intervalle f ) = ln On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d un repère orthogonal O; ı ; j ). 3 Sommaire chapitre 7 Francis CORTADO

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Démontrer que la courbe f ) a pour limite 0 lorsque tend vers +. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite : y =. 3. Justifier que f ) a même signe que g ). 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f. 5. Tracer la courbe C dans le repère O, ı, j ). On prendra comme unités : cm sur l ae des abscisses, 1 cm sur l ae des ordonnées. 1 Partie A On désigne par f la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par f ) = 1 + 1 + ln + 1 1. Déterminer la limite de la fonction f en +.. Démontrer que pour tout réel de l intervalle [1 ; + [, f 1 ) = + 1). Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3. En déduire le signe de la fonction f sur l intervalle [1 ; + [. Partie B Soit u n ) la suite définie pour tout entier strictement positif par ). u n = 1 + 1 + 1 3 +... + 1 n lnn. 1. On considère l algorithme suivant : Variables : i et n sont des entiers naturels. u est un réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à u la valeur 0. Traitement : Pour i variant de 1 à n. Affecter à u la valeur u + 1 i Sortie : Afficher u. Donner la valeur eacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n = 3.. Recopier et compléter l algorithme précédent afin qu il affiche la valeur de u n lorsque l utilisateur entre la valeur de n. 3. Voici les résultats fournis par l algorithme modifié, arrondis à 10 3. À l aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite u n ) et son éventuelle convergence. Partie A : étude d une fonction On considère la fonction f définie sur l intervalle ]1 ; + [ par f ) = ln 1. Calculer les limites de la fonction f en + et en 1.. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle ]1 ; + [. 3. En déduire que si e alors f ) e. Partie B : étude d une suite récurrente On considère la suite u n ) définie par : { u 0 = 5 u n+1 = f u n ) 1. Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite u n )?. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n e. b) Déterminer les variations de la suite u n ). c) En déduire que la suite u n ) est convergente. d) Déterminer sa limite l. 3. On donne l algorithme suivant X est une variable réelle ; Y est une variable entière Affecter 5 à X et 0 à Y Tant que X >,7 Faire Affecter X/lnX) à X Affecter Y + 1 à Y Fin de Tant que Afficher Y À l aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l algorithme. n 0 1 3 4 5 u n 5 3,106 67,740 65,718 37,718 8,718 8 n 4 5 6 7 8 9 10 u n 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,63 0,66 Francis CORTADO Sommaire chapitre 7 33